حجم فرمول هرم کوتاه شده. هرم

هرم. هرم کوتاه شده

هرمچند وجهی است که یکی از وجوه آن چند ضلعی است ( پایه ، و تمام وجوه دیگر مثلث هایی هستند با یک راس مشترک ( صورت های جانبی ) (شکل 15). هرم نامیده می شود درست ، اگر قاعده آن چند ضلعی منتظم باشد و بالای هرم به مرکز قاعده بیرون زده باشد (شکل 16). هرم مثلثی که تمام لبه های آن برابر است نامیده می شود چهار وجهی .

دنده جانبیهرم آن طرف وجه جانبی است که به قاعده تعلق ندارد ارتفاع هرم فاصله بالای آن تا صفحه قاعده است. تمام لبه های جانبی هرم منظم با یکدیگر برابرند، تمام وجوه جانبی مثلث های متساوی الساقین هستند. ارتفاع وجه جانبی هرم منظمی که از راس کشیده شده است نامیده می شود حکم . بخش مورب به قسمتی از هرم گفته می شود که صفحه ای از دو لبه جانبی عبور می کند که به یک وجه تعلق ندارند.

سطح جانبیهرم مجموع مساحت تمام وجوه جانبی است. سطح کل مجموع مساحت تمام وجوه جانبی و قاعده نامیده می شود.

قضایا

1. اگر در یک هرم تمام لبه های جانبی به یک اندازه به صفحه قاعده متمایل شوند، آنگاه بالای هرم به مرکز دایره ای که نزدیک قاعده محصور شده است بیرون زده می شود.

2. اگر تمام لبه های کناری هرم دارای طول مساوی باشند، آنگاه بالای هرم به مرکز دایره ای که نزدیک قاعده محصور شده است بیرون زده می شود.

3. اگر تمام وجوه در هرم به طور مساوی به صفحه قاعده متمایل شوند، آنگاه بالای هرم در مرکز دایره حک شده در قاعده بیرون زده می شود.

برای محاسبه حجم هرم دلخواه، فرمول صحیح این است:

جایی که V- جلد؛

پایه S- مساحت پایه؛

اچ- ارتفاع هرم

برای یک هرم معمولی، فرمول های زیر صحیح است:

جایی که پ- محیط پایه؛

ساعت یک- ابهام

اچ- ارتفاع؛

اس پر

سمت S

پایه S- مساحت پایه؛

V- حجم یک هرم منظم.

هرم کوتاه شدهبه بخشی از هرم که بین پایه و صفحه برش موازی با پایه هرم محصور شده است (شکل 17). هرم ناقص منظم بخشی از یک هرم منظم است که بین پایه و صفحه برش موازی با قاعده هرم محصور شده است.

زمینههرم کوتاه - چند ضلعی های مشابه. صورت های جانبی - ذوزنقه ها ارتفاع یک هرم کوتاه فاصله بین پایه های آن است. مورب هرم ناقص قطعه ای است که رئوس آن را به هم متصل می کند که روی یک صورت قرار ندارند. بخش مورب بخشی از یک هرم بریده بریده توسط صفحه ای است که از دو لبه جانبی که به یک وجه تعلق ندارند می گذرد.

برای یک هرم کوتاه فرمول های زیر معتبر هستند:

(4)

جایی که اس 1 , اس 2- نواحی پایه های بالا و پایین.

اس پر- سطح کل؛

سمت S- سطح جانبی؛

اچ- ارتفاع؛

V- حجم یک هرم کوتاه

برای یک هرم کوتاه معمولی فرمول صحیح است:

جایی که پ 1 , پ 2 – محیط پایه ها

ساعت یک- شعار یک هرم منقطع منظم.

مثال 1.در یک هرم مثلثی منظم، زاویه دو وجهی در قاعده 60 درجه است. مماس زاویه میل لبه کناری بر صفحه قاعده را پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 18).

هرم منظم است، به این معنی که در قاعده یک مثلث متساوی الاضلاع وجود دارد و تمام وجوه جانبی مثلث متساوی الساقین هستند. زاویه دو وجهی در قاعده، زاویه تمایل وجه جانبی هرم به صفحه قاعده است. زاویه خطی زاویه است آبین دو عمود: و غیره بالای هرم در مرکز مثلث پیش بینی شده است (مرکز دایره دایره و دایره محاط شده مثلث ABC). زاویه شیب لبه جانبی (به عنوان مثال S.B.) زاویه بین خود لبه و برآمدگی آن بر روی صفحه پایه است. برای دنده S.B.این زاویه زاویه خواهد بود SBD. برای پیدا کردن مماس باید پاها را بشناسید بنابراینو O.B.. طول قطعه را بگذارید BDبرابر با 3 آ. نقطه در بارهبخش خط BDبه قطعات تقسیم می شود: و از ما پیدا می کنیم بنابراین: از ما در می یابیم:

پاسخ:

مثال 2.حجم هرم چهار گوش بریده منتظم را در صورتی بیابید که قطر قاعده های آن برابر با سانتی متر و سانتی متر و ارتفاع آن 4 سانتی متر باشد.

راه حل.برای یافتن حجم هرم ناقص از فرمول (4) استفاده می کنیم. برای پیدا کردن مساحت پایه ها، باید اضلاع مربع های پایه را با دانستن قطر آنها پیدا کنید. اضلاع پایه ها به ترتیب برابر با 2 سانتی متر و 8 سانتی متر است که به معنای مساحت پایه ها است و با جایگزینی تمام داده ها در فرمول، حجم هرم بریده شده را محاسبه می کنیم.

پاسخ: 112 سانتی متر 3.

مثال 3.مساحت وجه جانبی یک هرم منقطع مثلثی منتظم را که اضلاع قاعده های آن 10 سانتی متر و 4 سانتی متر و ارتفاع هرم 2 سانتی متر است، پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 19).

وجه جانبی این هرم ذوزنقه ای متساوی الساقین است. برای محاسبه مساحت ذوزنقه باید پایه و ارتفاع آن را بدانید. پایه ها با توجه به شرایط داده شده است، فقط ارتفاع نامعلوم باقی مانده است. از کجا پیداش میکنیم آ 1 Eعمود بر یک نقطه آ 1 در صفحه پایه پایین، آ 1 دی– عمود بر آ 1 در هر AC. آ 1 E= 2 سانتی متر، زیرا این ارتفاع هرم است. برای پیدا کردن DEبیایید یک نقاشی اضافی ایجاد کنیم که نمای بالا را نشان می دهد (شکل 20). نقطه در باره- برآمدگی مراکز پایه های بالا و پایین. از آنجا که (نگاه کنید به شکل 20) و از سوی دیگر خوب– شعاع حک شده در دایره و OM- شعاع حک شده در یک دایره:

MK = DE.

با توجه به قضیه فیثاغورث از

ناحیه کناری صورت:

پاسخ:

مثال 4.در قاعده هرم یک ذوزنقه متساوی الساقین قرار دارد که پایه های آن قرار دارد آو ب (آ> ب). هر وجه جانبی زاویه ای برابر با صفحه قاعده هرم تشکیل می دهد j. مساحت کل هرم را پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 21). مساحت کل هرم SABCDبرابر با مجموع مساحت و مساحت ذوزنقه است آ ب پ ت.

اجازه دهید از این جمله استفاده کنیم که اگر تمام وجوه هرم به یک اندازه به صفحه قاعده متمایل شوند، آنگاه راس به مرکز دایره محاط شده در قاعده کشیده می شود. نقطه در باره- طرح ریزی راس اسدر قاعده هرم مثلث SODبرآمدگی متعامد مثلث است CSDبه هواپیمای پایه با استفاده از قضیه مساحت طرح متعامد یک شکل مسطح، به دست می آوریم:

همینطور معنی داره بنابراین، مشکل به یافتن ناحیه ذوزنقه کاهش یافت آ ب پ ت. بیایید یک ذوزنقه بکشیم آ ب پ تبه طور جداگانه (شکل 22). نقطه در باره– مرکز دایره ای که در ذوزنقه حک شده است.

از آنجایی که یک دایره را می توان در ذوزنقه حک کرد، پس یا از قضیه فیثاغورث داریم

توانایی محاسبه حجم اشکال فضایی هنگام حل تعدادی از مسائل عملی در هندسه مهم است. یکی از رایج ترین چهره ها هرم است. در این مقاله هر دوی اهرام کامل و کوتاه را در نظر خواهیم گرفت.

هرم به عنوان یک شکل سه بعدی

همه در مورد اهرام مصر می دانند، بنابراین آنها می دانند که در مورد چه نوع شخصیتی صحبت خواهیم کرد. با این حال، سازه های سنگی مصر تنها یک مورد خاص از یک کلاس بزرگ از اهرام است.

جسم هندسی مورد بررسی در حالت کلی یک قاعده چند ضلعی است که هر رأس آن به نقطه خاصی از فضا متصل است که به صفحه قاعده تعلق ندارد. این تعریف منجر به شکلی متشکل از یک n-ضلعی و n مثلث می شود.

هر هرمی از n+1 وجه، 2*n لبه و n+1 راس تشکیل شده است. از آنجایی که شکل مورد نظر یک چندوجهی کامل است، تعداد عناصر مشخص شده از برابری اویلر تبعیت می کند:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

چند ضلعی که در قاعده قرار دارد، نام هرم را می دهد، به عنوان مثال، مثلثی، پنج ضلعی، و غیره. مجموعه ای از اهرام با پایه های مختلف در عکس زیر نشان داده شده است.

نقطه ای که در آن n مثلث یک شکل به هم می رسند راس هرم می گویند. اگر یک عمود از آن روی قاعده پایین بیاید و آن را در مرکز هندسی قطع کند، چنین شکلی خط مستقیم نامیده می شود. اگر این شرط برآورده نشود، هرم مایل رخ می دهد.

شکل راستی که قاعده آن توسط یک n ضلعی متساوی الاضلاع (متساوی الاضلاع) تشکیل شده باشد منظم نامیده می شود.

فرمول حجم هرم

برای محاسبه حجم هرم از حساب انتگرال استفاده می کنیم. برای این کار، شکل را با برش صفحات موازی با پایه به تعداد بی نهایت لایه نازک تقسیم می کنیم. شکل زیر یک هرم چهار گوش به ارتفاع h و طول ضلع L را نشان می دهد که در آن چهارضلعی لایه نازک مقطع را مشخص می کند.

مساحت هر لایه را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2.

در اینجا A 0 مساحت پایه است، z مقدار مختصات عمودی است. مشاهده می شود که اگر z = 0 باشد، فرمول مقدار A 0 را می دهد.

برای بدست آوردن فرمول حجم هرم، باید انتگرال را در تمام ارتفاع شکل محاسبه کنید، یعنی:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

با جایگزینی وابستگی A(z) و محاسبه ضد مشتق، به عبارت زیر می رسیم:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.

ما فرمول حجم یک هرم را به دست آورده ایم. برای یافتن مقدار V کافی است ارتفاع شکل را در مساحت پایه ضرب کنید و سپس نتیجه را بر سه تقسیم کنید.

توجه داشته باشید که عبارت به دست آمده برای محاسبه حجم هرم از هر نوع معتبر است. یعنی می تواند مایل باشد و پایه آن می تواند یک n-gon دلخواه باشد.

و حجم آن

فرمول کلی حجم به دست آمده در پاراگراف بالا را می توان در مورد هرم با پایه منظم اصلاح کرد. مساحت چنین پایه ای با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

در اینجا L طول ضلع یک چند ضلعی منظم با n راس است. نماد پی عدد پی است.

با جایگزینی عبارت A 0 به فرمول کلی، حجم یک هرم منظم را بدست می آوریم:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

به عنوان مثال، برای یک هرم مثلثی، این فرمول عبارت زیر را نشان می دهد:

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.

برای یک هرم چهار گوش معمولی، فرمول حجم به شکل زیر است:

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.

تعیین حجم اهرام منظم مستلزم شناخت ضلع قاعده آنها و ارتفاع شکل است.

هرم کوتاه شده

بیایید فرض کنیم که یک هرم دلخواه را برداشتیم و بخشی از سطح جانبی آن را که حاوی رأس است، بریدیم. شکل باقی مانده یک هرم کوتاه نامیده می شود. در حال حاضر از دو پایه n-گونال و n ذوزنقه تشکیل شده است که آنها را به هم متصل می کند. اگر صفحه برش موازی با قاعده شکل بود، یک هرم کوتاه با پایه های موازی مشابه تشکیل می شود. یعنی طول اضلاع یکی از آنها را می توان با ضرب طول دیگری در یک ضریب k به دست آورد.

شکل بالا یک منتظم ناقص را نشان می‌دهد. می‌توان دید که پایه بالایی آن، مانند پایه پایین، از یک شش ضلعی منتظم تشکیل شده است.

فرمولی که می توان با استفاده از حساب انتگرالی مشابه فرمول بالا بدست آورد به صورت زیر است:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

جایی که A 0 و A 1 به ترتیب نواحی پایه های پایین (بزرگ) و بالایی (کوچک) هستند. متغیر h نشان دهنده ارتفاع هرم کوتاه شده است.

جلد هرم خئوپس

حل مشکل تعیین حجمی که بزرگترین هرم مصر در درون خود دارد جالب است.

در سال 1984، مارک لهنر و جان گودمن، مصر شناسان بریتانیایی، ابعاد دقیق هرم خئوپس را تعیین کردند. ارتفاع اولیه آن 146.50 متر (در حال حاضر حدود 137 متر) بوده است. میانگین طول هر یک از چهار ضلع سازه 230.363 متر بوده است. پایه هرم مربعی شکل با دقت بالا است.

اجازه دهید از ارقام داده شده برای تعیین حجم این غول سنگی استفاده کنیم. از آنجایی که هرم چهار گوش منظم است، پس فرمول برای آن معتبر است:

با جایگزینی اعداد، دریافت می کنیم:

V 4 = 1/3* (230.363) 2 * 146.5 ≈ 2591444 m 3.

حجم هرم خئوپس تقریباً 2.6 میلیون متر مکعب است. برای مقایسه، توجه می کنیم که استخر شنای المپیک دارای حجم 2.5 هزار متر مکعب است. یعنی برای پر کردن کل هرم خئوپس به بیش از 1000 استخر از این دست نیاز دارید!

• 22.09.2014

  اصول کارکرد، اصول جراحی، اصول عملکرد. هنگامی که دکمه اولین رقم کد SA1 را فشار می دهید، ماشه DD1.1 تغییر می کند و یک ولتاژ سطح بالا در ورودی D ماشه DD1.2 ظاهر می شود. بنابراین، هنگامی که دکمه کد SA2 بعدی را فشار می دهید، تریگر DD1.2 حالت خود را تغییر می دهد و ماشه بعدی را برای تعویض آماده می کند. در صورت شماره گیری صحیح بیشتر، ماشه DD2.2 آخرین بار فعال می شود و...

• 03.10.2014

  دستگاه پیشنهادی با حفاظت از اتصال کوتاه، ولتاژ را تا 24 ولت و جریان را تا 2 آمپر تثبیت می کند. در صورت راه اندازی ناپایدار تثبیت کننده، باید از همگام سازی از یک مولد پالس مستقل استفاده شود (شکل 2). 2. مدار تثبیت کننده در شکل 1 نشان داده شده است. یک ماشه اشمیت روی VT1 VT2 مونتاژ شده است که ترانزیستور تنظیم کننده قدرتمند VT3 را کنترل می کند. جزئیات: VT3 مجهز به هیت سینک ...

• 20.09.2014

  تقویت کننده (عکس را ببینید) طبق یک مدار سنتی با لوله های بایاس خودکار ساخته شده است: خروجی - AL5، درایورها - 6G7، kenotron - AZ1. نمودار یکی از دو کانال تقویت کننده استریو در شکل 1 نشان داده شده است. از کنترل صدا سیگنال به شبکه لامپ 6G7 تقویت شده و از آند این لامپ از طریق خازن ایزوله C4 به ...

• 15.11.2017

  NE555 یک تایمر جهانی است - دستگاهی برای تشکیل (تولید) پالس های تک و تکراری با ویژگی های زمانی پایدار. این یک ماشه RS ناهمزمان با آستانه های ورودی خاص، مقایسه کننده های آنالوگ دقیقاً تعریف شده و یک تقسیم کننده ولتاژ داخلی است (ماشه اشمیت دقیق با ماشه RS). برای ساخت ژنراتورهای مختلف، مدولاتورها، رله‌های زمان، دستگاه‌های آستانه و غیره استفاده می‌شود.