Ուժային արտահայտություններ (արտահայտություններ ուժերով) և դրանց փոխակերպումը. Հզորությունը ռացիոնալ ցուցիչով Օրինակներ թեմայի վերաբերյալ Իշխանությունը ռացիոնալ ցուցիչով

Մաթեմատիկայի ուսուցիչ՝ Նաշկենովա Ա.Ն. Մայբալիկի միջնակարգ դպրոց Դասի պլան «Էքսպոնենտ ռացիոնալ ցուցիչով» թեմայով.

(հանրահաշիվ, 11-րդ դասարան)

Դասի նպատակները.

Ընդլայնել և խորացնել ուսանողների գիտելիքները թվերի հզորությունների վերաբերյալ. ուսանողներին ծանոթացնել ռացիոնալ ցուցիչի աստիճանի հայեցակարգին և դրանց հատկություններին.

Մշակել գիտելիքներ, հմտություններ և կարողություններ արտահայտությունների արժեքները հաշվարկելու համար՝ օգտագործելով հատկությունները.

Շարունակել աշխատել վերլուծելու, համեմատելու, հիմնականը լուսաբանելու, հասկացությունները սահմանելու և բացատրելու հմտությունների զարգացման վրա.

Զարգացնել հաղորդակցական իրավասությունը, սեփական գործողությունները պատճառաբանելու, անկախություն և աշխատասիրություն զարգացնելու ունակություն:

Սարքավորումներ: դասագիրք, թերթիկներ, նոութբուք,ներկայացման նյութ Power Point ;

Դասի տեսակը. նոր գիտելիքներ ուսումնասիրելու և սկզբնական շրջանում համախմբելու դաս:

Դասի պլան:

1.Օրգ. պահը. - 1 րոպե

2.Դասի մոտիվացիա.-2 րոպե

3. Հիմնական գիտելիքների թարմացում: - 5 րոպե.

4. Նոր նյութ սովորելը: - 15 րոպե:

5. Ֆիզկուլտուրա րոպե - 1ր.

6.Ուսումնասիրված նյութի առաջնային համախմբում - 10 րոպե

7.Անկախ աշխատանք. - 7 րոպե

8.Տնային աշխատանք. - 2 րոպե:

9. Անդրադարձ – 1ր.

10. Դասի ամփոփում. - 1 րոպե

Դասերի ժամանակ

1. Կազմակերպչական պահ

Զգացմունքային տրամադրություն դասի համար.

Ես ուզում եմ աշխատել, ուզում եմ

աշխատանք,
Մաղթում եմ ձեզ հաջողություն այսօր:
Ի վերջո, ապագայում ամեն ինչ ձեզ համար է

օգտակար կլինի:
Եվ դա ձեզ համար ավելի հեշտ կլինի ապագայում

ուսումնասիրություն(Սլայդ թիվ 1)

2.Դասի մոտիվացիա

Գործնական անհրաժեշտության արդյունքում առաջացել են աստիճանավորման և արմատահանման գործողությունները, ինչպես նաև թվաբանական չորս գործողությունները։ Այսպիսով, քառակուսու մակերեսը հաշվարկելու խնդրին զուգահեռԱ որը հայտնի է, հանդիպեց հակադարձ խնդիրը. «Ի՞նչ երկարություն պետք է ունենա քառակուսու կողմը, որպեսզի նրա մակերեսը հավասար լինի.Վ. 14-15-րդ դարերում Արևմտյան Եվրոպայում հայտնվեցին բանկեր, որոնք տոկոսներով փող էին տալիս իշխաններին և վաճառականներին և բարձր տոկոսներով ֆինանսավորում հեռավոր ճանապարհորդություններն ու նվաճումները։ Բաղադրյալ տոկոսների հաշվարկը հեշտացնելու համար մենք կազմել ենք աղյուսակներ, որոնցից կարող եք անմիջապես պարզել, թե որքան պետք է վճարեքՊ տարիներ, եթե գումարը փոխառված է եղելԱ ԸստR % տարեկան. Վճարված գումարն արտահայտվում է բանաձևով: ս = a (1 + ) Պ Երբեմն գումար են վերցրել ոչ թե ամբողջ թվով տարիներով, այլ օրինակ՝ 2 տարի 6 ամսով։ Եթե ​​2,5 տարի հետո գումարըԱ Կապ ակ , ապա առաջիկա 2,5 տարում այն ​​կավելանա եւս մեկովք անգամ և կդառնա հավասարակ 2 . 5 տարի անց.a=(1 + 5 , Ահա թե ինչու ք 2 = (1 + 5 Եվ Միջոցներ ք =

(Սլայդ 2) .

Այսպես առաջացավ կոտորակային ցուցիչով աստիճանի գաղափարը։

3. Հիմնական գիտելիքների թարմացում:

Հարցեր.

1. Ի՞նչ է նշանակում մուտքը;Ա Պ

2. Ինչ է Ա ?

3. Ինչ է Պ ?

4. Ա -Պ =?

5. Գրեք ձեր նոթատետրում ամբողջ թվով աստիճանի հատկությունները:

6. Ո՞ր թվերն են բնական, ամբողջ թիվ, ռացիոնալ: Նկարեք դրանք՝ օգտագործելով Էյլերի շրջանակները:(Սլայդ 3)

Պատասխանները: 1. Աստիճան ամբողջ թվով չափիչով

2. Ա-հիմք

3. Պ- ցուցիչ

4. Ա -Պ =

5. Ամբողջ թվի ցուցիչով աստիճանի հատկությունները:

ա մ *ա n = ա (m+n) ;

ա մ ա n = ա (m-n) ( ժամը ա Ոչ հավասար զրո );

(ա մ ) n = ա (m*n) ;

(ա*բ) n = ա n *բ n ;

(ա/բ) n = (ա n )/(բ n ) (ժամ բ հավասար չէ զրոյի);

ա 1 = a;

ա 0 = 1 (հետ ա հավասար չէ զրոյի);

Այս հատկությունները վավեր կլինեն ցանկացած a, b և m և n ամբողջ թվերի համար:

6.1,2,3, … - դրական թվեր – բնական թվերի բազմություն –Ն

0,-1,-2,-3,.. թիվ O և բացասական թվեր – ամբողջ թվերի բազմություն.Զ

Ն

Էյլերի շրջանակները (սլայդ 4)

4. Նոր նյութի ուսումնասիրություն.

Թող լինի: Ա - ոչ բացասական թիվ է և պետք է հասցվի կոտորակայինի . Գիտե՞ք հավասարությունը (Ա մ ) n = ա մ n (սլայդ 4) , այսինքն. իշխանությունը իշխանության բարձրացման կանոն. Վերոնշյալ հավասարության մեջ մենք ենթադրում ենք, որ m = , ապա մենք ստանում ենք. (Ա ) Պ = ա =ա (սլայդ 4)

Այստեղից կարելի է եզրակացնել, որ այդպես էԱ արմատ Պ - թվի հզորությունըԱ , այսինքն. Ա = . հետևում է, որ (Ա Պ ) = Պ =ա (սլայդ 4):

Ուստի Ա = (ա ) մ = (ա մ ) = մ . ( սլայդ 4 ).

Այսպիսով, գործում է հետևյալ հավասարությունը.Ա = մ (սլայդ 4)

Սահմանում: ոչ բացասական թվի աստիճան Ա ռացիոնալ ցուցիչով , Որտեղ - անկրճատելի կոտորակ, կոչվում է թվի n-րդ արմատի արժեքը Ա Տ .

Հետեւաբար, ըստ սահմանման Ա = մ (սլայդ 5)

Դիտարկենք օրինակ 1-ը Գրե՛ք աստիճանը ռացիոնալ ցուցիչով n-րդ արմատի տեսքով.

Ձեր հայացքը դարձրեք աջ

Ձեր հայացքը դարձրեք ձախ

Նայեց առաստաղին

Բոլորը նայեցին առաջ։

Մի անգամ - թեքվել - ուղղել,

Երկու ─ թեքվել - ձգվել,

Ձեռքի երեք-երեք ծափ,

Գլխի երեք շարժում.

Հինգն ու վեցը հանգիստ նստում են։

Եվ նորից ճանապարհին: (սլայդ 9)

6.Ուսումնասիրված նյութի առաջնային համախմբում.

Էջ 51, թիվ 90, թիվ 91 – դա արեք ինքներդ ձեր նոթատետրում,

տախտակի վրա չեկով

7.Անկախ աշխատանք

Տարբերակ 1

(Սլայդ 10)

Տարբերակ 1

(Սլայդ 11)

Իրականացնել ինքնուրույն աշխատանք՝ փոխադարձ ստուգումներով։

Պատասխանները:

Տարբերակ 1

(Սլայդ 12)

Այսպիսով, այսօր դասին մենք ծանոթացանք ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի հայեցակարգին և սովորեցինք գրել այն արմատների տեսքով, կիրառել աստիճանների հիմնական հատկությունները թվային արտահայտությունների արժեքները գտնելիս:8.Տնային առաջադրանք՝ թիվ 92, թիվ 93 Տնային աշխատանքների մասին տեղեկատվություն

9. Արտացոլում

(Սլայդ 13)

10. Դասի ամփոփում.

Որո՞նք են նմանություններն ու տարբերությունները ամբողջ թվով ցուցիչ ունեցող աստիճանի և կոտորակային ցուցիչով աստիճանի միջև: (նմանություն. ամբողջ թվով աստիճանի բոլոր հատկությունները նույնպես պահպանվում են ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի համար.

տարբերություն՝ աստիճաններ)

Թվարկե՛ք հզորությունների հատկությունները ռացիոնալ ցուցիչներով

Այսօրվա դասն ավարտվեց,
Դուք չեք կարող ավելի ընկերասեր լինել:
Բայց բոլորը պետք է իմանան.
Գիտելիք, համառություն, աշխատանք
Դրանք կբերեն կյանքում առաջընթացի։
Շնորհակալություն դասի համար։ (սլայդ 14)

«Ռացիոնալ ցուցիչով էքսպոնենտ» տեսադասը պարունակում է տեսողական ուսումնական նյութ այս թեմայով դաս դասավանդելու համար: Տեսադասը պարունակում է տեղեկատվություն ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի հայեցակարգի, նման աստիճանների հատկությունների մասին, ինչպես նաև օրինակներ, որոնք նկարագրում են ուսումնական նյութի օգտագործումը գործնական խնդիրների լուծման համար: Այս տեսադասի նպատակն է հստակ և հստակ ներկայացնել ուսումնական նյութը, հեշտացնել դրա մշակումն ու մտապահումը ուսանողների կողմից, ինչպես նաև զարգացնել սովորած հասկացությունների միջոցով խնդիրներ լուծելու կարողությունը:

Տեսադասի հիմնական առավելություններն են՝ տեսողականորեն փոխակերպումներ և հաշվարկներ կատարելու, ուսուցման արդյունավետությունը բարելավելու համար անիմացիոն էֆեկտներ օգտագործելու ունակությունը: Ձայնի ուղեկցումն օգնում է ճիշտ մաթեմատիկական խոսքի զարգացմանը, ինչպես նաև հնարավորություն է տալիս փոխարինել ուսուցչի բացատրությունը՝ ազատելով նրան անհատական ​​աշխատանք կատարելու համար:

Տեսադասը սկսվում է թեմայի ներկայացմամբ։ Նոր թեմայի ուսումնասիրությունը նախկինում ուսումնասիրված նյութի հետ կապելիս առաջարկվում է հիշել, որ n √a-ն այլ կերպ նշանակվում է 1/n բնական n-ի և դրական a-ի համար: Այս n-root ներկայացումը ցուցադրվում է էկրանին: Հաջորդիվ առաջարկում ենք դիտարկել, թե ինչ է նշանակում a m/n արտահայտությունը, որում a-ն դրական թիվ է, իսկ m/n-ը՝ կոտորակ: Տրված է ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող աստիճանի սահմանումը m/n = n √a m՝ ընդգծված շրջանակում: Նշվում է, որ n-ը կարող է լինել բնական թիվ, իսկ m-ը` ամբողջ թիվ:

Ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանը սահմանելուց հետո դրա իմաստը բացահայտվում է օրինակների միջոցով՝ (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Այն նաև ցույց է տալիս մի օրինակ, որտեղ տասնորդականով ներկայացված հզորությունը վերածվում է կոտորակի, որը պետք է ներկայացվի որպես արմատ. (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 և Բացասական հզորությամբ օրինակ՝ 3 -1/8 = 8 √3 -1:

Առանձին նշվում է հատուկ դեպքի առանձնահատկությունը, երբ աստիճանի հիմքը զրոյական է։ Նշվում է, որ այս աստիճանը իմաստ ունի միայն դրական կոտորակային ցուցանիշով: Այս դեպքում դրա արժեքը զրո է՝ 0 m/n =0:

Նշվում է ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի մեկ այլ առանձնահատկություն՝ այն, որ կոտորակային ցուցիչով աստիճանը չի կարող դիտարկվել կոտորակային ցուցիչով: Բերված են աստիճանների սխալ նշման օրինակներ՝ (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5:

Հաջորդ տեսադասում մենք քննարկում ենք աստիճանի հատկությունները ռացիոնալ ցուցիչով: Նշվում է, որ ամբողջ թվով աստիճանի հատկությունները վավեր կլինեն նաև ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող աստիճանի համար։ Առաջարկվում է հիշել այն գույքերի ցանկը, որոնք գործում են նաև այս դեպքում.

1. Միևնույն հիմքերով հզորությունները բազմապատկելիս դրանց ցուցիչները գումարվում են՝ a p a q =a p+q:
2. Միևնույն հիմքերով աստիճանների բաժանումը կրճատվում է տրված հիմքով և աստիճանների տարբերությամբ՝ a p:a q =a p-q:
3. Եթե ​​աստիճանը բարձրացնենք մինչև որոշակի հզորություն, ապա ստացվում է աստիճան՝ տրված հիմքով և ցուցանիշների արտադրյալով՝ (a p) q =a pq:

Այս բոլոր հատկությունները վավեր են p, q ռացիոնալ ցուցիչներով և a>0 դրական հիմքով հզորությունների համար: Բացի այդ, աստիճանի փոխակերպումները փակագծերը բացելիս մնում են ճշմարիտ.

1. (ab) p =a p b p - ռացիոնալ ցուցիչով ինչ-որ հզորության բարձրացնելով երկու թվերի արտադրյալը կրճատվում է թվերի արտադրյալի, որոնցից յուրաքանչյուրը բարձրացվում է տրված հզորության:
2. (a/b) p =a p /b p - կոտորակը ռացիոնալ ցուցիչով հզորության հասցնելը կրճատվում է կոտորակի, որի համարիչն ու հայտարարը բարձրացվում են տրված հզորության:

Տեսանյութի ձեռնարկում քննարկվում են ռացիոնալ ցուցիչով հզորությունների դիտարկված հատկությունները օգտագործող օրինակների լուծում: Առաջին օրինակը խնդրում է ձեզ գտնել այն արտահայտության արժեքը, որը պարունակում է x փոփոխականներ կոտորակային հզորությամբ՝ (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1): Չնայած արտահայտության բարդությանը, ուժի հատկությունների օգտագործմամբ այն կարելի է լուծել բավականին պարզ: Խնդրի լուծումը սկսվում է արտահայտության պարզեցմամբ, որն օգտագործում է ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող հզորությունը հզորությանը բարձրացնելու կանոնը, ինչպես նաև նույն հիմքով հզորությունները բազմապատկելը։ Տրված x=8 արժեքը x 1/3 +48 պարզեցված արտահայտության մեջ փոխարինելուց հետո հեշտ է ստանալ 50 արժեքը։

Երկրորդ օրինակում պետք է կրճատել այն կոտորակը, որի համարիչը և հայտարարը պարունակում են ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող ուժեր: Օգտագործելով աստիճանի հատկությունները, մենք տարբերությունից հանում ենք x 1/3 գործակիցը, որն այնուհետև կրճատվում է համարիչով և հայտարարով, իսկ քառակուսիների տարբերության բանաձևով, համարիչը գործոնացվում է, ինչը տալիս է նույնականների հետագա կրճատումներ։ համարիչի և հայտարարի գործոնները. Նման փոխակերպումների արդյունքը կարճ կոտորակն է x 1/4 +3։

Ուսուցչի՝ դասի նոր թեմա բացատրելու փոխարեն կարելի է օգտագործել «Ռացիոնալ ցուցիչով ցուցիչ» տեսադասը։ Այս ձեռնարկը պարունակում է նաև բավականաչափ ամբողջական տեղեկատվություն, որպեսզի ուսանողը կարողանա ինքնուրույն ուսումնասիրել: Նյութը կարող է օգտակար լինել նաև հեռավար ուսուցման համար:

Արտահայտություններ, արտահայտությունների փոխակերպում

Ուժային արտահայտություններ (արտահայտություններ ուժերով) և դրանց փոխակերպումը

Այս հոդվածում մենք կխոսենք ուժերով արտահայտությունների փոխակերպման մասին: Նախ, մենք կկենտրոնանանք փոխակերպումների վրա, որոնք կատարվում են ցանկացած տեսակի արտահայտություններով, ներառյալ ուժային արտահայտությունները, ինչպիսիք են փակագծերը բացելը և նմանատիպ տերմինները բերելը: Եվ այնուհետև մենք կվերլուծենք փոխակերպումները, որոնք հատուկ են աստիճաններով արտահայտություններին. աշխատել հիմքի և աստիճանի հետ, օգտագործելով աստիճանների հատկությունները և այլն:

Էջի նավարկություն.

Որո՞նք են ուժի արտահայտությունները:

«Ուժային արտահայտություններ» տերմինը գործնականում չի հանդիպում դպրոցական մաթեմատիկայի դասագրքերում, բայց այն բավականին հաճախ հանդիպում է խնդիրների ժողովածուներում, հատկապես նրանք, որոնք նախատեսված են, օրինակ, միասնական պետական ​​քննությանը և միասնական պետական ​​քննությանը նախապատրաստվելու համար: Այն առաջադրանքները վերլուծելուց հետո, որոնցում անհրաժեշտ է կատարել ցանկացած գործողություններ ուժային արտահայտություններով, պարզ է դառնում, որ ուժային արտահայտությունները հասկացվում են որպես իրենց մուտքերում ուժեր պարունակող արտահայտություններ: Այսպիսով, դուք կարող եք ընդունել հետևյալ սահմանումը ձեզ համար.

Սահմանում.

Ուժի արտահայտություններաստիճաններ պարունակող արտահայտություններ են։

Եկեք տանք ուժային արտահայտությունների օրինակներ. Ավելին, մենք դրանք կներկայացնենք ըստ այն մասին, թե ինչպես է տեղի ունենում տեսակետների զարգացում բնական ցուցիչ ունեցող աստիճանից մինչև իրական ցուցիչ ունեցող աստիճան:

Ինչպես հայտնի է, սկզբում ծանոթանում ենք բնական ցուցիչով թվի հզորությանը, 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) տիպի առաջին ամենապարզ արտահայտություններին. 4, 3 a 2 հայտնվում է −a+a 2, x 3−1, (a 2) 3 և այլն:

Քիչ ավելի ուշ ուսումնասիրվում է ամբողջ թվի ցուցիչ ունեցող թվի հզորությունը, ինչը հանգեցնում է բացասական ամբողջ թվով հզորության արտահայտությունների ի հայտ գալուն, ինչպես հետևյալը. 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2.

Ավագ դպրոցում նրանք վերադառնում են աստիճանների: Այնտեղ ներդրվում է ռացիոնալ ցուցիչով աստիճան, որը ենթադրում է համապատասխան ուժային արտահայտությունների տեսք. , , եւ այլն։ Վերջապես, համարվում են իռացիոնալ ցուցիչներով և դրանք պարունակող արտահայտություններով աստիճաններ.

Հարցը չի սահմանափակվում թվարկված հզորության արտահայտություններով. հետագայում փոփոխականը ներթափանցում է ցուցիչի մեջ և, օրինակ, առաջանում են հետևյալ արտահայտությունները՝ 2 x 2 +1 կամ. . Իսկ ծանոթանալուց հետո սկսում են հայտնվել հզորություններով և լոգարիթմներով արտահայտություններ, օրինակ՝ x 2·lgx −5·x lgx։

Այսպիսով, մենք առնչվել ենք այն հարցին, թե ինչ են ներկայացնում ուժային արտահայտությունները: Հաջորդը մենք կսովորենք վերափոխել դրանք:

Ուժային արտահայտությունների փոխակերպումների հիմնական տեսակները

Ուժային արտահայտություններով դուք կարող եք կատարել արտահայտությունների ինքնության հիմնական փոխակերպումներից որևէ մեկը: Օրինակ՝ կարող եք բացել փակագծերը, թվային արտահայտությունները փոխարինել իրենց արժեքներով, ավելացնել նմանատիպ տերմիններ և այլն։ Բնականաբար, այս դեպքում անհրաժեշտ է պահպանել գործողություններ կատարելու ընդունված կարգը։ Բերենք օրինակներ.

Օրինակ.

Հաշվի՛ր 2 3 ·(4 2 −12) հզորության արտահայտության արժեքը։

Լուծում.

Գործողությունների կատարման կարգի համաձայն՝ նախ կատարեք փակագծերում գտնվող գործողությունները։ Այնտեղ նախ 4 2 հզորությունը փոխարինում ենք իր 16 արժեքով (անհրաժեշտության դեպքում տե՛ս), երկրորդը՝ հաշվում ենք տարբերությունը 16−12=4։ Մենք ունենք 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Ստացված արտահայտության մեջ 2 3 հզորությունը փոխարինում ենք իր 8 արժեքով, որից հետո հաշվում ենք 8·4=32 արտադրյալը։ Սա ցանկալի արժեք է:

Այսպիսով, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Պատասխան.

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Օրինակ.

Պարզեցրեք արտահայտությունները ուժերով 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Լուծում.

Ակնհայտ է, որ այս արտահայտությունը պարունակում է նմանատիպ 3·a 4 ·b −7 և 2·a 4 ·b −7 տերմիններ, և մենք կարող ենք դրանք ներկայացնել.

Պատասխան.

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Օրինակ.

Արտահայտեք արտահայտությունը հզորություններով որպես արտադրանք:

Լուծում.

Դուք կարող եք հաղթահարել առաջադրանքը՝ ներկայացնելով 9 թիվը որպես 3 2-ի ուժ և այնուհետև օգտագործելով կրճատ բազմապատկման բանաձևը՝ քառակուսիների տարբերություն.

Պատասխան.

Կան նաև մի շարք նույնական փոխակերպումներ, որոնք հատուկ են ուժային արտահայտություններին: Մենք դրանք հետագայում կվերլուծենք:

Աշխատում է բազայի և ցուցիչի հետ

Կան աստիճաններ, որոնց հիմքը և/կամ ցուցանիշը պարզապես թվեր կամ փոփոխականներ չեն, այլ որոշ արտահայտություններ։ Որպես օրինակ՝ տալիս ենք (2+0.3·7) 5−3.7 և (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) մուտքերը:

Նման արտահայտությունների հետ աշխատելիս կարող եք և՛ աստիճանի հիմքում դրված արտահայտությունը, և՛ ցուցիչի արտահայտությունը փոխարինել իր փոփոխականների ODZ-ում նույնական հավասար արտահայտությամբ։ Այսինքն, ըստ մեզ հայտնի կանոնների, մենք կարող ենք առանձին վերափոխել աստիճանի հիմքը և առանձին՝ ցուցիչը։ Պարզ է, որ այս փոխակերպման արդյունքում կստացվի մի արտահայտություն, որը նույնականորեն հավասար է սկզբնականին։

Նման փոխակերպումները մեզ թույլ են տալիս պարզեցնել ուժերով արտահայտությունները կամ հասնել մեզ անհրաժեշտ այլ նպատակների: Օրինակ, վերը նշված հզորության արտահայտության մեջ (2+0.3 7) 5−3.7 կարող եք գործողություններ կատարել հիմքում և աստիճանի թվերով, ինչը թույլ կտա անցնել 4.1 հզորությանը 1.3. Իսկ փակագծերը բացելուց և (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) աստիճանի հիմքին համանման տերմիններ բերելուց հետո մենք ստանում ենք ավելի պարզ 2·(x+) ձևի հզորության արտահայտություն: 1) .

Օգտագործելով աստիճանի հատկությունները

Իշխանություններով արտահայտությունները փոխակերպելու հիմնական գործիքներից մեկը հավասարություններն են, որոնք արտացոլում են. Հիշենք հիմնականները. Ցանկացած դրական a և b թվերի և կամայական r և s իրական թվերի համար ճշմարիտ են հզորությունների հետևյալ հատկությունները.

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Նկատի ունեցեք, որ բնական, ամբողջական և դրական ցուցանիշների համար a և b թվերի սահմանափակումները կարող են այդքան էլ խիստ չլինել: Օրինակ՝ m և n բնական թվերի համար a m ·a n =a m+n հավասարությունը ճիշտ է ոչ միայն դրական a-ի, այլ նաև բացասական a-ի և a=0-ի համար:

Դպրոցում ուժային արտահայտությունները փոխակերպելիս հիմնական շեշտը դրվում է համապատասխան հատկությունը ընտրելու և այն ճիշտ կիրառելու ունակության վրա: Այս դեպքում աստիճանների հիմքերը սովորաբար դրական են, ինչը թույլ է տալիս աստիճանների հատկությունները օգտագործել առանց սահմանափակումների։ Նույնը վերաբերում է հզորությունների հիմքերում փոփոխականներ պարունակող արտահայտությունների փոխակերպմանը. փոփոխականների թույլատրելի արժեքների միջակայքը սովորաբար այնպիսին է, որ հիմքերը դրա վրա վերցնում են միայն դրական արժեքներ, ինչը թույլ է տալիս ազատորեն օգտագործել հզորությունների հատկությունները: . Ընդհանրապես, դուք պետք է անընդհատ ինքներդ ձեզ հարցնեք, թե այս դեպքում հնարավո՞ր է աստիճանների որևէ հատկություն օգտագործել, քանի որ հատկությունների ոչ ճշգրիտ օգտագործումը կարող է հանգեցնել կրթական արժեքի նեղացման և այլ անախորժությունների: Այս կետերը մանրամասնորեն և օրինակներով քննարկվում են աստիճանների հատկությունների օգտագործմամբ արտահայտությունների փոխակերպման հոդվածում: Այստեղ մենք կսահմանափակվենք մի քանի պարզ օրինակներով։

Օրինակ.

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 արտահայտությունն արտահայտի՛ր a հիմքով հզորությամբ:

Լուծում.

Նախ, մենք փոխակերպում ենք երկրորդ գործոնը (a 2) −3՝ օգտագործելով հզորությունը հզորության բարձրացման հատկությունը. (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Բնօրինակ հզորության արտահայտությունը կունենա a 2.5 ·a −6:a −5.5 ձև: Ակնհայտ է, որ մնում է օգտագործել նույն հիմքով հզորությունների բազմապատկման և բաժանման հատկությունները, ունենք.
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2:

Պատասխան.

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2.

Ուժերի արտահայտությունները փոխակերպելիս ուժի հատկությունները օգտագործվում են ինչպես ձախից աջ, այնպես էլ աջից ձախ:

Օրինակ.

Գտե՛ք ուժային արտահայտության արժեքը:

Լուծում.

Հավասարությունը (a·b) r =a r ·b r, կիրառված աջից ձախ, թույլ է տալիս սկզբնական արտահայտությունից անցնել ձևի արտադրյալին և ավելին: Եվ նույն հիմքերով հզորությունները բազմապատկելիս ցուցիչները գումարվում են. .

Բնօրինակ արտահայտությունը հնարավոր եղավ փոխակերպել այլ կերպ.

Պատասխան.

.

Օրինակ.

Հաշվի առնելով a 1,5 −a 0,5 −6 հզորության արտահայտությունը, ներմուծեք t=a 0,5 նոր փոփոխական:

Լուծում.

a 1.5 աստիճանը կարող է ներկայացվել որպես 0.5 3 և այնուհետև, ելնելով աստիճանի հատկությունից (a r) s =a r s աստիճանի նկատմամբ, կիրառվել է աջից ձախ, այն վերածել (a 0.5) 3 ձևի: Այսպիսով, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Այժմ հեշտ է ներկայացնել t=a 0,5 նոր փոփոխական, մենք ստանում ենք t 3 −t−6:

Պատասխան.

t 3 −t−6 .

Հզորություններ պարունակող կոտորակների փոխակերպում

Հզոր արտահայտությունները կարող են պարունակել կամ ներկայացնել ուժերով կոտորակներ: Կոտորակների ցանկացած հիմնական փոխակերպում, որը բնորոշ է ցանկացած տեսակի կոտորակներին, լիովին կիրառելի է այդպիսի կոտորակների համար: Այսինքն՝ ուժեր պարունակող կոտորակները կարող են կրճատվել, վերածվել նոր հայտարարի, աշխատել առանձին իրենց համարիչով և առանձին՝ հայտարարի հետ և այլն։ Այս խոսքերը լուսաբանելու համար հաշվի առեք մի քանի օրինակների լուծումներ։

Օրինակ.

Պարզեցնել ուժի արտահայտությունը .

Լուծում.

Այս ուժային արտահայտությունը կոտորակ է: Եկեք աշխատենք նրա համարիչի և հայտարարի հետ։ Համարիչում բացում ենք փակագծերը և պարզեցնում ստացված արտահայտությունը՝ օգտագործելով հզորությունների հատկությունները, իսկ հայտարարում ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ.

Եվ նաև փոխենք հայտարարի նշանը՝ կոտորակի դիմաց մինուս դնելով. .

Պատասխան.

.

Հզորություն պարունակող կոտորակները նոր հայտարարով կրճատելը կատարվում է այնպես, ինչպես ռացիոնալ կոտորակները նոր հայտարարի կրճատելը: Այս դեպքում հայտնաբերվում է նաև լրացուցիչ գործակից և կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկվում են դրանով։ Այս գործողությունը կատարելիս հարկ է հիշել, որ կրճատումը դեպի նոր հայտարար կարող է հանգեցնել VA-ի նեղացման: Որպեսզի դա տեղի չունենա, անհրաժեշտ է, որ լրացուցիչ գործոնը զրոյի չհասնի ODZ փոփոխականների փոփոխականների որևէ արժեքի բնօրինակ արտահայտության համար:

Օրինակ.

Կոտորակները դարձրեք նոր հայտարարի. ա) հայտարարի a, բ) հայտարարին։

Լուծում.

ա) Այս դեպքում բավականին հեշտ է պարզել, թե որ լրացուցիչ բազմապատկիչն է օգնում հասնել ցանկալի արդյունքի: Սա 0.3-ի բազմապատկիչ է, քանի որ 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a: Նկատի ունեցեք, որ a փոփոխականի թույլատրելի արժեքների միջակայքում (սա բոլոր դրական իրական թվերի բազմությունն է), 0.3-ի հզորությունը չի վերանում, հետևաբար, մենք իրավունք ունենք բազմապատկել տրվածի համարիչն ու հայտարարը: կոտորակ այս լրացուցիչ գործակցով.

բ) Ավելի ուշադիր նայելով հայտարարին, դուք կգտնեք, որ

և այս արտահայտությունը բազմապատկելով կստացվի խորանարդների գումարը և, այսինքն. Եվ սա այն նոր հայտարարն է, որին մենք պետք է կրճատենք սկզբնական կոտորակը:

Ահա թե ինչպես մենք գտանք լրացուցիչ գործոն. x և y փոփոխականների թույլատրելի արժեքների միջակայքում արտահայտությունը չի անհետանում, հետևաբար, կոտորակի համարիչն ու հայտարարը կարող ենք բազմապատկել դրանով.

Պատասխան.

Ա) , բ) .

Նորություն չկա նաև հզորություններ պարունակող կոտորակների կրճատման մեջ. համարիչն ու հայտարարը ներկայացված են որպես մի շարք գործոններ, իսկ համարիչի և հայտարարի նույն գործակիցները կրճատվում են։

Օրինակ.

Փոքրացնել կոտորակը. ա) , բ) .

Լուծում.

ա) Նախ՝ համարիչը և հայտարարը կարող են կրճատվել 30 և 45 թվերով, որը հավասար է 15-ի։ Ակնհայտորեն հնարավոր է նաև կրճատում կատարել x 0,5 +1-ով և ըստ . Ահա թե ինչ ունենք.

բ) Այս դեպքում համարիչի և հայտարարի նույնական գործոնները անմիջապես տեսանելի չեն: Դրանք ձեռք բերելու համար դուք պետք է նախնական վերափոխումներ կատարեք: Այս դեպքում դրանք բաղկացած են հայտարարի գործակցումից՝ օգտագործելով քառակուսիների տարբերության բանաձևը.

Պատասխան.

Ա)

բ) .

Կոտորակները նոր հայտարարի վերածելը և կոտորակները կրճատելը հիմնականում օգտագործվում են կոտորակների հետ գործեր կատարելու համար։ Գործողությունները կատարվում են ըստ հայտնի կանոնների. Կոտորակներ գումարելիս (հանելիս) դրանք վերածվում են ընդհանուր հայտարարի, որից հետո համարիչները գումարվում (հանվում են), բայց հայտարարը մնում է նույնը։ Ստացվում է կոտորակ, որի համարիչը համարիչների արտադրյալն է, իսկ հայտարարը՝ հայտարարների արտադրյալը։ Կոտորակի վրա բաժանումը բազմապատկվում է իր հակադարձով:

Օրինակ.

Հետևեք քայլերին .

Լուծում.

Նախ հանում ենք փակագծերում տրված կոտորակները։ Դա անելու համար մենք դրանք բերում ենք ընդհանուր հայտարարի, որն է , որից հետո հանում ենք համարիչները.

Այժմ մենք բազմապատկում ենք կոտորակները.

Ակնհայտորեն հնարավոր է կրճատել x 1/2 հզորությամբ, որից հետո ունենք .

Կարող եք նաև պարզեցնել հզորության արտահայտությունը հայտարարում՝ օգտագործելով քառակուսիների տարբերության բանաձևը. .

Պատասխան.

Օրինակ.

Պարզեցնել ուժային արտահայտությունը .

Լուծում.

Ակնհայտ է, որ այս կոտորակը կարող է կրճատվել (x 2.7 +1) 2-ով, սա տալիս է կոտորակը. . Պարզ է, որ X-ի լիազորություններով այլ բան է պետք անել։ Դա անելու համար մենք ստացված մասնիկը վերածում ենք արտադրանքի: Սա մեզ հնարավորություն է տալիս օգտվելու նույն հիմքերով իշխանությունը բաժանելու հատկությունից. . Իսկ գործընթացի վերջում մենք վերջին արտադրյալից անցնում ենք կոտորակի։

Պատասխան.

.

Եվ հավելենք նաև, որ հնարավոր է և շատ դեպքերում ցանկալի է, որ բացասական ցուցիչներով գործոնները փոխանցել համարիչից հայտարարին կամ հայտարարից համարիչին՝ փոխելով աստիճանի նշանը։ Նման փոխակերպումները հաճախ պարզեցնում են հետագա գործողությունները: Օրինակ, հզորության արտահայտությունը կարող է փոխարինվել .

Արմատներով և ուժերով արտահայտությունների փոխակերպում

Հաճախ այն արտահայտություններում, որոնցում որոշ փոխակերպումներ են պահանջվում, հզորությունների հետ միասին առկա են նաև կոտորակային ցուցիչներով արմատներ։ Նման արտահայտությունը ցանկալի ձևի վերածելու համար շատ դեպքերում բավական է գնալ միայն արմատներին կամ միայն իշխանություններին։ Բայց քանի որ ավելի հարմար է տերությունների հետ աշխատելը, նրանք սովորաբար արմատներից անցնում են ուժեր։ Այնուամենայնիվ, նպատակահարմար է իրականացնել նման անցում, երբ սկզբնական արտահայտության համար փոփոխականների ODZ-ը թույլ է տալիս փոխարինել արմատները հզորություններով՝ առանց մոդուլին հղում կատարելու կամ ODZ-ը մի քանի ընդմիջումների բաժանելու (մենք մանրամասն քննարկել ենք դա Հոդվածի անցում արմատներից դեպի ուժեր և հետադարձ Ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի հետ ծանոթանալուց հետո ներկայացվում է իռացիոնալ ցուցիչով աստիճան, որը թույլ է տալիս խոսել աստիճանի կամայական իրական ցուցիչով սովորել է դպրոցում։ էքսպոնենցիալ ֆունկցիա, որը վերլուծականորեն տրվում է մի հզորությամբ, որի հիմքը թիվ է, իսկ աստիճանը՝ փոփոխական։ Այսպիսով, մենք բախվում ենք հզորության հիմքում թվեր պարունակող, իսկ ցուցիչում՝ փոփոխականներով արտահայտություններ պարունակող, և բնականաբար անհրաժեշտություն է առաջանում կատարել նման արտահայտությունների փոխակերպումներ։

Պետք է ասել, որ նշված տիպի արտահայտությունների վերափոխումը սովորաբար պետք է կատարվի լուծելիս էքսպոնենցիալ հավասարումներԵվ էքսպոնենցիալ անհավասարություններ, և այս փոխարկումները բավականին պարզ են: Դեպքերի ճնշող մեծամասնությունում դրանք հիմնված են աստիճանի հատկությունների վրա և նպատակաուղղված են, մեծ մասամբ, ապագայում նոր փոփոխական ներմուծելուն։ Հավասարումը թույլ կտա մեզ ցույց տալ դրանք 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Նախ՝ այն ուժերը, որոնց ցուցիչներում որոշակի փոփոխականի (կամ փոփոխականներով արտահայտություն) և թվի գումարն է, փոխարինվում են արտադրյալներով։ Սա վերաբերում է ձախ կողմի արտահայտության առաջին և վերջին տերմիններին.
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Հաջորդը, հավասարության երկու կողմերը բաժանվում են 7 2 x արտահայտությամբ, որը սկզբնական հավասարման համար x փոփոխականի ODZ-ի վրա վերցնում է միայն դրական արժեքներ (սա ստանդարտ տեխնիկա է այս տեսակի հավասարումների լուծման համար, մենք չենք. խոսելով դրա մասին հիմա, այնպես որ կենտրոնացեք ուժերով արտահայտությունների հետագա փոխակերպումների վրա):

Այժմ մենք կարող ենք չեղարկել հզորություններով կոտորակները, ինչը տալիս է .

Ի վերջո, միևնույն ցուցիչներով ուժերի հարաբերակցությունը փոխարինվում է հարաբերությունների ուժերով, ինչի արդյունքում ձևավորվում է հավասարում. , որը համարժեք է . Կատարված փոխակերպումները մեզ թույլ են տալիս ներմուծել նոր փոփոխական, որը սկզբնական էքսպոնենցիալ հավասարման լուծումը նվազեցնում է քառակուսի հավասարման լուծման։

a n արտահայտությունը (ուժը ամբողջ թվով ցուցիչով) կսահմանվի բոլոր դեպքերում, բացառությամբ այն դեպքի, երբ a = 0 և n-ը փոքր կամ հավասար է զրոյի:

Աստիճանների հատկությունները

Ամբողջ թվային ցուցիչով աստիճանների հիմնական հատկությունները.

a m *a n = a (m+n) ;

a m: a n = a (m-n) (հետ ահավասար չէ զրոյի);

(a m) n = a (m*n) ;

(a*b) n = a n *b n ;

(a/b) n = (a n)/(b n) (հետ բհավասար չէ զրոյի);

a 0 = 1 (հետ ահավասար չէ զրոյի);

Այս հատկությունները վավեր կլինեն ցանկացած a, b և m և n ամբողջ թվերի համար: Հարկ է նաև նշել հետևյալ հատկությունը.

Եթե ​​m>n, ապա a m > a n, a>1-ի և a m-ի համար

Մենք կարող ենք ընդհանրացնել թվի աստիճանի հայեցակարգը այն դեպքերին, երբ ռացիոնալ թվերը հանդես են գալիս որպես ցուցիչ: Միևնույն ժամանակ, ես կցանկանայի, որ վերը նշված բոլոր հատկությունները կատարվեն կամ գոնե դրանցից մի քանիսը:

Օրինակ, եթե (a m) n = a (m*n) հատկությունը բավարարվի, ապա կգործի հետևյալ հավասարությունը.

(a (m/n)) n = a m .

Այս հավասարությունը նշանակում է, որ a (m/n) թիվը պետք է լինի a m թվի n-րդ արմատը։

Որոշ a (զրոյից մեծ) թվի հզորությունը r = (m/n) ռացիոնալ ցուցիչով, որտեղ m-ը որոշ ամբողջ թիվ է, n-ը մեկից մեծ բնական թիվ է, թիվը n√ (a m). Սահմանման հիման վրա՝ a (m/n) = n√(a m):

Բոլոր դրական r-ի համար կորոշվի զրոյի հզորությունը: Ըստ սահմանման, 0 r = 0: Նկատի ունեցեք նաև, որ ցանկացած ամբողջ թվի համար ցանկացած բնական m և n և դրական Աճշմարիտ է հետևյալ հավասարությունը՝ a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .

Օրինակ՝ 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12):

Ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի սահմանումից ուղղակիորեն հետևում է, որ ցանկացած դրական a-ի և ցանկացած ռացիոնալ r-ի համար a r թիվը կլինի. դրական.

Ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի հիմնական հատկությունները

p, q և a>0 և b>0 ցանկացած ռացիոնալ թվերի համար ճշմարիտ են հետևյալ հավասարումները.

1. (a p)*(a q) = a (p+q) ;

2. (a p):(b q) = a (p-q) ;

3. (a p) q = a (p*q) ;

4. (a*b) p = (a p)*(b p);

5. (a/b) p = (a p)/(b p):

Այս հատկությունները բխում են արմատների հատկություններից։ Այս բոլոր հատկություններն ապացուցված են նմանատիպ եղանակով, ուստի մենք կսահմանափակվենք դրանցից միայն մեկի ապացուցմամբ, օրինակ՝ առաջին (a p)*(a q) = a (p + q) .

Թող p = m/n, և q = k/l, որտեղ n, l-ը որոշ բնական թվեր են, իսկ m, k-ը որոշ ամբողջ թվեր են: Ապա դուք պետք է ապացուցեք, որ.

(a (m/n))*(a (k/l)) = a ((m/n) + (k/l)) .

Նախ m/n k/l կոտորակները բերենք ընդհանուր հայտարարի։ Ստանում ենք (m*l)/(n*l) և (k*n)/(n*l) կոտորակները։ Եկեք վերագրենք հավասարության ձախ կողմը՝ օգտագործելով այս նշումները և ստացենք.

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ):

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ) = (n*l)√(a (m*l))*(n*l)√(a (k*n)) = (n*l)√((a (m*l))*(a (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m) /n)+(k/l)) .

Դաս թիվ 30 (Հանրահաշիվ և հիմնական վերլուծություն, 11-րդ դասարան)

Դասի թեման. Աստիճան ռացիոնալ ցուցիչով:

Դասի նպատակը՝ 1 . Ընդլայնել աստիճան հասկացությունը, տալ աստիճան հասկացությունը ռացիոնալ ցուցիչով; սովորեցնել, թե ինչպես ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանը վերածել արմատի և հակառակը. հաշվարկել հզորությունները ռացիոնալ ցուցիչով.

2. Հիշողության եւ մտածողության զարգացում.

3. Գործունեության ձեւավորում.

«Թող մեկը փորձի խաչ քաշել

մաթեմատիկայի աստիճանից, և նա կտեսնի,

Որ առանց նրանց հեռու չես գնա»։Մ.Վ.Լոմոնոսով

Դասերի ժամանակ.

I. Դասի թեմայի և նպատակի շարադրանք.

II. Ծածկված նյութի կրկնություն և համախմբում.

1. Չլուծված տնային օրինակների վերլուծություն:

2. Անկախ աշխատանքի վերահսկում.

Տարբերակ 1.

1. Լուծե՛ք հավասարումը √(2x – 1) = 3x – 12

2. Լուծե՛ք անհավասարությունը՝ √(3x – 2) ≥ 4 – x

Տարբերակ 2.

1. Լուծե՛ք հավասարումը. 3 – 2x = √(7x + 32)

2. Լուծե՛ք անհավասարությունը՝ √(3x + 1) ≥ x – 1

III. Նոր նյութ սովորելը.

1 . Հիշենք թվեր հասկացության ընդլայնումը` N є Z є Q є R.

Սա լավագույնս ներկայացված է ստորև ներկայացված գծապատկերով.

Բնական (N)

Զրո

Ոչ բացասական թվեր

Բացասական թվեր

Կոտորակային թվեր

Ամբողջ թվեր (Z)

Իռացիոնալ

Ռացիոնալ (Q)

Իրական թվեր

2. Ցածր դասարաններում սահմանվել է ամբողջ թվի ցուցիչով թվի հզորության հասկացությունը։ ա) Հիշեք ա) աստիճանի սահմանումը բնական, բ) բացասական ամբողջ թվով, գ) զրոյական ցուցիչով:Շեշտեք, որ արտահայտությունը ա n իմաստ ունի բոլոր n ամբողջ թվերի և a-ի ցանկացած արժեքների համար, բացառությամբ a=0 և n≤0:

բ) Թվարկե՛ք աստիճանների հատկությունները ամբողջ թվով ցուցիչով:

3. Բանավոր աշխատանք.

1). Հաշվել՝ 1 -5 ; 4 -3; (-100 ; (-5) -2; (1/2) -4; (3/7) -1.

2). Գրեք այն որպես բացասական ցուցիչ ունեցող հզորություն.

1/4 5 ;1/21 3 ; 1/x 7; 1/a 9.

3).Համեմատե՛ք միավորի հետ՝ 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .

4 . Այժմ դուք պետք է հասկանաք 3 արտահայտությունների իմաստը 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 և այլն: Դա անելու համար անհրաժեշտ է ընդհանրացնել աստիճան հասկացությունը այնպես, որ աստիճանների բոլոր թվարկված հատկությունները բավարարվեն։ Դիտարկենք հավասարությունը (ա m/n ) n = a m . Ապա, n-րդ արմատի սահմանմամբ, խելամիտ է ենթադրել, որ ամ/ն կլինի ա-ի n-րդ արմատըմ . Տրված է աստիճանի սահմանում ռացիոնալ ցուցիչով:

5. Դիտարկենք դասագրքի 1-ին և 2-րդ օրինակները:

6. Մի շարք մեկնաբանություններ անենք ռացիոնալ ցուցիչով աստիճան հասկացության հետ կապված։

Ծանոթագրություն 1 Ցանկացած a>0 և ռացիոնալ r թվի համար a թիվը r > 0

Ծանոթագրություն 2 Կոտորակների հիմնական հատկությամբ m/n ռացիոնալ թիվը կարելի է գրել mk/nk ցանկացած k բնական թվի համար: Հետոաստիճանի արժեքը կախված չէ ռացիոնալ թիվը գրելու ձևից,քանի որ a mk/nk = = nk √a mk = n √a m = a m/n

Ծանոթագրություն 3: Երբ ա Սա բացատրենք օրինակով։ Դիտարկենք (-64) 1/3 = 3 √-64 = -4: Մյուս կողմից՝ 1/3 = 2/6 և այնուհետև (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. Ստանում ենք հակասություն.