Дължината на дъгата е ограничена от хордата. Геометрия на кръга

Формулата за намиране на дължината на дъга от окръжност е доста проста и много често при важни изпити като Единния държавен изпит има проблеми, които не могат да бъдат решени без нейното използване. Също така е необходимо да го знаете, за да преминете международни стандартизирани тестове, като SAT и други.

Каква е дължината на дъгата на окръжност?

Формулата изглежда така:

l = πrα / 180°

Какъв е всеки елемент от формулата:

• π - числото Pi (постоянна стойност, равна на ≈ 3,14);
• r е радиусът на дадена окръжност;
• α е големината на ъгъла, под който се намира дъгата (централна, невписана).

Както можете да видите, за да се реши задачата, r и α трябва да присъстват в условието. Без тези две величини е невъзможно да се намери дължината на дъгата.

Как се получава тази формула и защо изглежда така?

Всичко става изключително лесно. Ще стане много по-ясно, ако поставите 360° в знаменателя и добавите две в числителя отпред. Можете също α не го оставяйте в дробта, извадете го и го напишете със знака за умножение. Това е напълно възможно, тъй като този елемент е в числителя. Тогава общият изглед ще изглежда така:

l = (2πr / 360°) × α

Само за удобство съкратихме 2 и 360°. И сега, ако се вгледате внимателно, можете да видите една много позната формула за дължината на цялата окръжност, а именно - 2πr.Целият кръг се състои от 360°, така че разделяме получената мярка на 360 части. След това умножаваме по числото α, тоест за броя на „парчетата от пая“, които ни трябват. Но всеки знае със сигурност, че едно число (т.е. дължината на целия кръг) не може да бъде разделено на степен. Какво да направите в този случай? Обикновено, като правило, степента се свива със степента на централния ъгъл, т.е α. След това остават само цифри и накрая се получава крайният отговор.

Това може да обясни защо дължината на дъгата на окръжност се намира по този начин и има тази форма.

Пример за проблем със средна сложност, използващ тази формула

Условие: Има кръг с радиус 10 сантиметра. Градусната мярка на централен ъгъл е 90°. Намерете дължината на кръговата дъга, образувана от този ъгъл.

Решение: l = 10π × 90° / 180° = 10π × 1 / 2=5π

Отговор: l = 5π

Възможно е също така вместо градусна мярка да бъде дадена радианова мярка за ъгъл. В никакъв случай не трябва да се страхувате, защото този път задачата стана много по-лесна. За да преобразувате радианова мярка в градусна мярка, трябва да умножите това число по 180° / π. Това означава, че сега можем да заместим α следната комбинация: m × 180° / π. Където m е стойността в радиан. И след това 180 и числото π се редуцират и се получава напълно опростена формула, която изглежда така:

• m - радианова мярка за ъгъл;
• r е радиусът на дадена окръжност.

Колко добре помните всички имена, свързани с кръга? За всеки случай нека ви напомним - разгледайте снимките - опреснете знанията си.

първо - Центърът на окръжност е точка, от която разстоянията от всички точки на окръжността са еднакви.

второ - радиус - отсечка, свързваща центъра и точка от окръжността.

Има много радиуси (колкото са точките на окръжността), но Всички радиуси имат еднаква дължина.

Понякога за кратко радиусточно го наричат дължина на сегмента„центърът е точка от окръжността“, а не самият сегмент.

И ето какво се случва ако свържете две точки в окръжност? Също сегмент?

И така, този сегмент се нарича "акорд".

Точно както в случая с радиуса, диаметърът често е дължината на сегмент, свързващ две точки от окръжност и минаващ през центъра. Между другото, как са свързани диаметърът и радиусът? Гледай внимателно. Разбира се, радиусът е равен на половината от диаметъра.

Освен акорди има и секущи.

Помните ли най-простото?

Централният ъгъл е ъгълът между два радиуса.

А сега - вписаният ъгъл

Вписан ъгъл - ъгълът между две хорди, които се пресичат в точка на окръжност.

В този случай те казват, че вписаният ъгъл почива на дъга (или на хорда).

Погледни снимката:

Измервания на дъги и ъгли.

Обиколка. Дъгите и ъглите се измерват в градуси и радиани. Първо, за степените. За ъглите няма проблеми - трябва да се научите да измервате дъгата в градуси.

Градусната мярка (размерът на дъгата) е стойността (в градуси) на съответния централен ъгъл

Какво означава тук думата „подходящо“? Да погледнем внимателно:

Виждате ли две дъги и два централни ъгъла? Е, по-голямата дъга съответства на по-голям ъгъл (и е добре, че е по-голям), а по-малката дъга съответства на по-малък ъгъл.

И така, ние се съгласихме: дъгата съдържа същия брой градуси като съответния централен ъгъл.

А сега за страшното - за радианите!

Що за звяр е този "радиан"?

Представете си това: Радианите са начин за измерване на ъгли... в радиуси!

Ъгъл от радиани е централен ъгъл, чиято дължина на дъгата е равна на радиуса на окръжността.

Тогава възниква въпросът - колко радиана има в прав ъгъл?

С други думи: колко радиуса се „побират“ в половин кръг? Или по друг начин: колко пъти дължината на половин окръжност е по-голяма от радиуса?

Учените задават този въпрос още в Древна Гърция.

И така, след дълго търсене, те откриха, че съотношението на обиколката към радиуса не иска да бъде изразено в „човешки“ числа като и т.н.

И дори не е възможно да изразите това отношение чрез корените. Тоест, оказва се, че не може да се каже, че половин кръг е пъти или пъти по-голям от радиуса! Можете ли да си представите колко невероятно беше хората да открият това за първи път?! За съотношението на дължината на половин кръг към радиуса „нормалните“ числа не бяха достатъчни. Трябваше да въведа писмо.

И така, - това е число, изразяващо отношението на дължината на полукръга към радиуса.

Сега можем да отговорим на въпроса: колко радиана има в прав ъгъл? Съдържа радиани. Точно защото половината окръжност е в пъти по-голяма от радиуса.

Древни (и не толкова) хора през вековете (!) се опита да изчисли по-точно това мистериозно число, да го изрази по-добре (поне приблизително) чрез „обикновени“ числа. А сега сме невероятно мързеливи - два знака след напрегнат ден са ни достатъчни, свикнали сме

Помислете за това, това означава например, че дължината на окръжност с радиус единица е приблизително равна, но тази точна дължина е просто невъзможно да се запише с „човешко“ число - имате нужда от буква. И тогава тази обиколка ще бъде равна. И, разбира се, обиколката на радиуса е равна.

Да се ​​върнем към радианите.

Вече разбрахме, че прав ъгъл съдържа радиани.

Какво имаме:

Това означава, че се радвам, тоест радвам се. По същия начин се получава плоча с най-популярните ъгли.

Връзката между стойностите на вписаните и централните ъгли.

Има един удивителен факт:

Вписаният ъгъл е половината от размера на съответния централен ъгъл.

Вижте как изглежда това твърдение на снимката. „Съответен” централен ъгъл е този, чиито краища съвпадат с краищата на вписания ъгъл, а върхът е в центъра. И в същото време „съответният“ централен ъгъл трябва да „гледа“ на същата хорда () като вписания ъгъл.

защо е така Нека първо разгледаме един прост случай. Нека един от акордите минава през центъра. Понякога се случва така, нали?

какво става тук? Нека помислим. Той е равнобедрен - все пак и - радиуси. И така, (обозначи ги).

Сега нека да разгледаме. Това е външният ъгъл за! Припомняме, че външен ъгъл е равен на сумата от два вътрешни ъгъла, които не са съседни на него, и напишете:

Това е! Неочакван ефект. Но има и централен ъгъл за вписаните.

Това означава, че за този случай са доказали, че централният ъгъл е два пъти по-голям от вписания ъгъл. Но това е болезнено специален случай: не е ли вярно, че акордът не винаги минава направо през центъра? Но няма страшно, сега този конкретен случай ще ни помогне много. Вижте: втори случай: нека центърът е вътре.

Нека направим това: начертайте диаметъра. И тогава... виждаме две снимки, които вече бяха анализирани в първия случай. Следователно вече имаме това

Това означава (на чертежа, а)

Е, това оставя последния случай: центърът е извън ъгъла.

Правим същото: начертайте диаметъра през точката. Всичко е същото, но вместо сбор има разлика.

Това е всичко!

Нека сега формираме две основни и много важни следствия от твърдението, че вписаният ъгъл е половината от централния ъгъл.

Следствие 1

Всички вписани ъгли, базирани на една дъга, са равни един на друг.

Ние илюстрираме:

Има безброй вписани ъгли, базирани на една и съща дъга (имаме тази дъга), те може да изглеждат напълно различни, но всички имат един и същ централен ъгъл (), което означава, че всички тези вписани ъгли са равни помежду си.

Следствие 2

Ъгълът, сключен от диаметъра, е прав ъгъл.

Вижте: кой ъгъл е централен?

Разбира се,. Но той е равен! Е, следователно (както и много повече вписани ъгли, лежащи върху) и е равно.

Ъгъл между две хорди и секущи

Но какво ще стане, ако ъгълът, който ни интересува, НЕ е вписан и НЕ централен, а например така:

или като това?

Възможно ли е някак си да го изразя чрез някакви централни ъгли? Оказва се, че е възможно. Вижте: интересуваме се.

а) (като външен ъгъл за). Но - вписан, почива върху дъгата -. - вписан, лежи върху дъгата - .

За красотата казват:

Ъгълът между акордите е равен на половината от сумата на ъгловите стойности на дъгите, затворени в този ъгъл.

Те пишат това за краткост, но разбира се, когато използвате тази формула, трябва да имате предвид централните ъгли

б) А сега – „навън”! Как да бъдем? Да, почти същото! Само сега (отново прилагаме свойството на външния ъгъл за). Това е сега.

А това означава... Нека внесем красота и краткост в бележките и формулировката:

Ъгълът между секантите е равен на половината от разликата в ъгловите стойности на дъгите, затворени в този ъгъл.

Е, сега сте въоръжени с всички основни знания за ъглите, свързани с окръжност. Давай напред, приеми предизвикателствата!

ОКРУГ И ВСТЪПЕН ЪГЪЛ. СРЕДНО НИВО

Дори петгодишно дете знае какво е кръг, нали? Математиците, както винаги, имат неясно определение по този въпрос, но ние няма да го даваме (вижте), а по-скоро нека си припомним как се наричат ​​точките, линиите и ъглите, свързани с кръг.

Важни условия

Първо:

Второ:

Има и друг приет израз: „хордата свива дъгата“. Тук на фигурата, например, хордата обхваща дъгата. И ако акорд внезапно премине през центъра, тогава той има специално име: „диаметър“.

Между другото, как са свързани диаметърът и радиусът? Гледай внимателно. Разбира се,

И сега - имената за ъглите.

Естествено, нали? Страните на ъгъла се простират от центъра - което означава, че ъгълът е централен.

Тук понякога възникват трудности. Обърни внимание - НИКАКЪВ ъгъл не е вписан в кръг,но само този, чийто връх „седи“ върху самата окръжност.

Нека видим разликата в снимките:

Друг начин казват:

Тук има един труден момент. Какъв е „съответният“ или „собственият“ централен ъгъл? Само ъгъл с върха в центъра на окръжността и краищата в краищата на дъгата? Не със сигурност по този начин. Вижте чертежа.

Един от тях обаче дори не прилича на ъгъл - по-голям е. Но триъгълникът не може да има повече ъгли, но кръгът може! И така: по-малката дъга AB съответства на по-малък ъгъл (оранжев), а по-голямата дъга съответства на по-голям. Просто така, нали?

Връзката между големините на вписания и централен ъгъл

Запомнете това много важно твърдение:

В учебниците обичат да пишат същия факт така:

Не е ли вярно, че формулировката е по-проста с централен ъгъл?

Но все пак нека намерим съответствие между двете формулировки и в същото време се научим да намираме в чертежите „съответния“ централен ъгъл и дъгата, върху която „почива“ вписаният ъгъл.

Вижте: ето кръг и вписан ъгъл:

Къде е неговият „съответстващ“ централен ъгъл?

Да погледнем отново:

Какво е правилото?

Но! В този случай е важно вписаните и централните ъгли да „гледат“ към дъгата от едната страна. Например:

Колкото и да е странно, синьо! Защото дъгата е дълга, по-дълга от половината кръг! Така че никога не се обърквайте!

Какво следствие може да се изведе от „половинността“ на вписания ъгъл?

Но, например:

Ъгъл, сложен от диаметъра

Забелязахте ли вече, че математиците обичат да говорят за едно и също нещо с различни думи? Защо им е нужно това? Виждате ли, езикът на математиката, макар и формален, е жив и затова, както в обикновения език, всеки път, когато искате да го кажете по начин, който е по-удобен. Е, вече видяхме какво означава „ъгъл лежи върху дъга“. И представете си, същата картина се нарича „ъгъл лежи върху хорда“. на какво? Да, разбира се, на този, който затяга тази дъга!

Кога е по-удобно да разчитате на акорд, отколкото на дъга?

Е, по-специално, когато тази хорда е диаметър.

Има едно изненадващо просто, красиво и полезно твърдение за такава ситуация!

Вижте: ето кръгът, диаметърът и ъгълът, който лежи върху него.

ОКРУГ И ВСТЪПЕН ЪГЪЛ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

1. Основни понятия.

3. Измерване на дъги и ъгли.

Ъгъл от радиани е централен ъгъл, чиято дължина на дъгата е равна на радиуса на окръжността.

Това е число, което изразява отношението на дължината на полукръг към неговия радиус.

Обиколката на радиуса е равна на.

4. Връзката между стойностите на вписаните и централните ъгли.

Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако прочетете до края, значи сте в тези 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това... това е просто супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешно полагане на Единния държавен изпит, за постъпване в колеж на бюджет и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само едно ще кажа...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на Единния държавен изпит и в крайна сметка сте... по-щастливи?

СПЕЧЕЛЕТЕ СИ РЪКАТА КАТО РЕШАВАТЕ ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

Няма да ви искат теория по време на изпита.

Ще имаш нужда решавайте проблеми срещу времето.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да имате време.

Това е като в спорта - трябва да го повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекцията, където пожелаете, задължително с решения, подробен анализи решавайте, решавайте, решавайте!

Можете да използвате нашите задачи (по желание) и ние, разбира се, ги препоръчваме.

За да се справите по-добре с нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

как? Има две възможности:

1. Отключете всички скрити задачи в тази статия -
2. Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на учебника - Купете учебник - 499 рубли

Да, имаме 99 такива статии в нашия учебник и веднага се отваря достъп до всички задачи и всички скрити текстове в тях.

Осигурен е достъп до всички скрити задачи за ЦЕЛИЯ живот на сайта.

В заключение...

Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте до теорията.

„Разбрах“ и „Мога да реша“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.

Намерете проблеми и ги решете!

Първоначално изглежда така:

Фигура 463.1. а) съществуваща дъга, б) определяне на дължината и височината на хордата на сегмента.

Така, когато има дъга, можем да свържем краищата й и да получим хорда с дължина L. В средата на хордата можем да начертаем линия, перпендикулярна на хордата и по този начин да получим височината на сегмента H. Сега, знаейки, дължината на хордата и височината на сегмента, можем първо да определим централния ъгъл α, т.е. ъгълът между радиусите, изтеглени от началото и края на сегмента (не е показано на фигура 463.1), и след това радиуса на окръжността.

Решението на такъв проблем беше обсъдено подробно в статията „Изчисляване на дъгова преграда“, така че тук ще дам само основните формули:

tg( а/4) = 2N/L (278.1.2)

А/4 = арктан( 2H/L)

Р = з/(1 - cos( а/2)) (278.1.3)

Както можете да видите, от математическа гледна точка няма проблеми с определянето на радиуса на окръжност. Този метод ви позволява да определите стойността на радиуса на дъгата с всякаква възможна точност. Това е основното предимство на този метод.

Сега нека поговорим за недостатъците.

Проблемът с този метод дори не е, че трябва да запомните формули от училищен курс по геометрия, успешно забравени преди много години - за да си припомните формулите - има интернет. А ето и калкулатор с функции arctg, arcsin и др. Не всеки потребител го има. И въпреки че този проблем може да бъде успешно решен и чрез Интернет, не бива да забравяме, че решаваме доста приложен проблем. Тези. Не винаги е необходимо да се определи радиусът на окръжност с точност от 0,0001 mm; точност от 1 mm може да бъде напълно приемлива.

Освен това, за да намерите центъра на кръга, трябва да удължите височината на сегмента и да начертаете разстояние на тази права линия, равно на радиуса. Тъй като на практика имаме работа с неидеални измервателни уреди, към това трябва да добавим и възможната грешка при маркиране, оказва се, че колкото по-малка е височината на сегмента спрямо дължината на хордата, толкова по-голяма грешка може да възникне при определяне на центъра на дъгата.

Отново не бива да забравяме, че не разглеждаме идеален случай, т.е. Това е, което веднага нарекохме кривата дъга. В действителност това може да е крива, описана от доста сложна математическа зависимост. Следователно радиусът и центърът на окръжността, намерени по този начин, може да не съвпадат с действителния център.

В тази връзка искам да предложа друг метод за определяне на радиуса на окръжност, който аз самият често използвам, тъй като този метод за определяне на радиуса на окръжност е много по-бърз и лесен, въпреки че точността е много по-малка.

Втори метод за определяне на радиуса на дъгата (метод на последователни приближения)

Така че нека продължим да разглеждаме настоящата ситуация.

Тъй като все още трябва да намерим центъра на окръжността, за начало ще начертаем поне две дъги с произволен радиус от точките, съответстващи на началото и края на дъгата. През пресечната точка на тези дъги ще има права линия, върху която се намира центърът на желания кръг.

Сега трябва да свържете пресечната точка на дъгите със средата на хордата. Но ако от посочените точки начертаем не една дъга, а две, то тази права линия ще минава през пресечната точка на тези дъги и тогава изобщо не е необходимо да търсим средата на хордата.

Ако разстоянието от пресечната точка на дъгите до началото или края на въпросната дъга е по-голямо от разстоянието от пресечната точка на дъгите до точката, съответстваща на височината на сегмента, тогава центърът на въпросната дъга е разположени по-ниско на правата линия, прекарана през пресечната точка на дъгите и средната точка на хордата. Ако е по-малко, тогава желаният център на дъгата е по-висок на правата линия.

Въз основа на това се взема следващата точка на правата линия, която вероятно съответства на центъра на дъгата, и се правят същите измервания от нея. След това се приема следващата точка и измерванията се повтарят. С всяка нова точка разликата в измерванията ще става все по-малка.

Това е всичко. Въпреки толкова дълго и сложно описание, 1-2 минути са достатъчни, за да се определи радиуса на дъгата по този начин с точност до 1 mm.

На теория изглежда така:

Фигура 463.2. Определяне на центъра на дъгата по метода на последователните приближения.

Но на практика става нещо подобно:

Снимка 463.1. Маркиране на детайли със сложни форми с различни радиуси.

Тук само ще добавя, че понякога трябва да намерите и начертаете няколко радиуса, защото има толкова много объркани неща във снимката.

Първо, нека разберем разликата между кръг и кръг. За да видите тази разлика, достатъчно е да разгледате какво представляват и двете фигури. Това са безкраен брой точки на равнината, разположени на еднакво разстояние от една централна точка. Но ако кръгът се състои и от вътрешно пространство, тогава той не принадлежи на кръга. Оказва се, че окръжността е както окръжност, която я ограничава (circle(r)), така и безброй точки, които са вътре в окръжността.

За всяка точка L, лежаща на окръжността, важи равенството OL=R. (Дължината на отсечката OL е равна на радиуса на окръжността).

Отсечка, която свързва две точки от окръжност, е негова акорд.

Хорда, минаваща директно през центъра на окръжност, е диаметъртози кръг (D). Диаметърът може да се изчисли по формулата: D=2R

Обиколкаизчислява се по формулата: C=2\pi R

Площ на кръг: S=\pi R^(2)

Дъга от кръгсе нарича тази част от него, която се намира между двете му точки. Тези две точки определят две дъги на окръжност. Хордата CD обхваща две дъги: CMD и CLD. Еднаквите хорди обхващат равни дъги.

Централен ъгълЪгъл, който лежи между два радиуса, се нарича.

Дължината на дъгатаможе да се намери с помощта на формулата:

1. Използване на степенна мярка: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Използване на радианова мярка: CD = \alpha R

Диаметърът, който е перпендикулярен на хордата, разделя хордата и свитите от нея дъги наполовина.

Ако хордите AB и CD на окръжността се пресичат в точка N, то произведенията на отсечките на хордите, разделени от точка N, са равни една на друга.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Допирателна към окръжност

Допирателна към окръжностОбичайно е да се нарича права линия, която има една обща точка с кръг.

Ако една права има две общи точки, тя се нарича секуща.

Ако начертаете радиуса към допирателната, той ще бъде перпендикулярен на допирателната към окръжността.

Нека начертаем две допирателни от тази точка към нашата окръжност. Оказва се, че допирателните сегменти ще бъдат равни един на друг, а центърът на окръжността ще бъде разположен върху ъглополовящата на ъгъла с върха в тази точка.

AC = CB

Сега нека начертаем допирателна и секанс към окръжността от нашата точка. Получаваме, че квадратът на дължината на допирателната отсечка ще бъде равен на произведението на цялата секуща отсечка и външната му част.

AC^(2) = CD \cdot BC

Можем да заключим: произведението на цяла отсечка от първия секанс и неговата външна част е равно на произведението от цяла отсечка от втория секанс и неговата външна част.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Ъгли в кръг

Градусните мерки на централния ъгъл и дъгата, върху която той лежи, са равни.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Вписан ъгъле ъгъл, чийто връх е върху окръжност и чиито страни съдържат хорди.

Можете да го изчислите, като знаете размера на дъгата, тъй като той е равен на половината от тази дъга.

\ъгъл AOB = 2 \ъгъл ADB

Въз основа на диаметър, вписан ъгъл, прав ъгъл.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Вписаните ъгли, които обхващат една и съща дъга, са еднакви.

Вписаните ъгли, лежащи върху една хорда, са еднакви или сумата им е равна на 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\ъгъл ADB = \ъгъл AEB = \ъгъл AFB

На същата окръжност са върховете на триъгълници с еднакви ъгли и дадена основа.

Ъгъл с връх вътре в окръжността и разположен между две хорди е идентичен на половината от сумата от ъгловите стойности на дъгите на окръжността, които се съдържат в дадения и вертикалния ъгъл.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Ъгъл с връх извън окръжността и разположен между две секанти е идентичен на половината от разликата в ъгловите стойности на дъгите на окръжността, които се съдържат вътре в ъгъла.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Вписан кръг

Вписан кръге окръжност, допирателна към страните на многоъгълник.

В точката, където се пресичат ъглополовящите на ъглите на многоъгълник, се намира неговият център.

Окръжност не може да бъде вписана във всеки многоъгълник.

Площта на многоъгълник с вписан кръг се намира по формулата:

S = pr,

p е полупериметърът на многоъгълника,

r е радиусът на вписаната окръжност.

От това следва, че радиусът на вписаната окръжност е равен на:

r = \frac(S)(p)

Сумите от дължините на противоположните страни ще бъдат еднакви, ако окръжността е вписана в изпъкнал четириъгълник. И обратно: окръжност се вписва в изпъкнал четириъгълник, ако сумите от дължините на срещуположните страни са еднакви.

AB + DC = AD + BC

Във всеки от триъгълниците е възможно да се впише кръг. Само един единствен. В точката, където се пресичат ъглополовящите на вътрешните ъгли на фигурата, ще лежи центърът на тази вписана окръжност.

Радиусът на вписаната окръжност се изчислява по формулата:

r = \frac(S)(p),

където p = \frac(a + b + c)(2)

Околна окръжност

Ако окръжност минава през всеки връх на многоъгълник, тогава такава окръжност обикновено се нарича описано за многоъгълник.

В точката на пресичане на перпендикулярните ъглополовящи на страните на тази фигура ще бъде центърът на описаната окръжност.

Радиусът може да се намери, като се изчисли като радиуса на окръжността, описана около триъгълника, определен от всеки 3 върха на многоъгълника.

Съществува следното условие: около четириъгълник може да се опише окръжност само ако сборът от срещуположните му ъгли е равен на 180^( \circ) .

\ъгъл A + \ъгъл C = \ъгъл B + \ъгъл D = 180^ (\circ)

Около всеки триъгълник можете да опишете окръжност и само една. Центърът на такъв кръг ще бъде разположен в точката, където се пресичат перпендикулярните ъглополовящи на страните на триъгълника.

Радиусът на описаната окръжност може да се изчисли по формулите:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c са дължините на страните на триъгълника,

S е площта на триъгълника.

Теорема на Птолемей

И накрая, разгледайте теоремата на Птолемей.

Теоремата на Птолемей гласи, че произведението на диагоналите е идентично на сумата от произведенията на противоположните страни на цикличен четириъгълник.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

• 22.09.2014

  Принцип на действие. Когато натиснете бутона на първата цифра от кода SA1, тригерът DD1.1 ще се превключи и на входа D на тригера DD1.2 ще се появи високо напрежение. Следователно, когато натиснете следващия кодов бутон SA2, тригерът DD1.2 променя състоянието си и подготвя следващия тригер за превключване. В случай на по-нататъшно правилно набиране, тригерът DD2.2 ще се задейства последен и...

• 03.10.2014

  Предлаганото устройство стабилизира напрежение до 24V и ток до 2A със защита от късо съединение. В случай на нестабилно стартиране на стабилизатора трябва да се използва синхронизация от автономен генератор на импулси (фиг. 2. Схемата на стабилизатора е показана на фиг. 1. На VT1 VT2 е монтиран тригер на Schmitt, който управлява мощен регулиращ транзистор VT3. Подробности: VT3 е оборудван с радиатор...

• 20.09.2014

  Усилвателят (вижте снимката) е направен по традиционна схема с тръби с автоматично отклоняване: изход - AL5, драйвери - 6G7, кенотрон - AZ1. Диаграмата на един от двата канала на стерео усилвател е показана на фиг. 1. От контрола на силата на звука сигналът се подава към решетката на лампата 6G7, усилва се и от анода на тази лампа през изолационния кондензатор C4 се подава към ...

• 15.11.2017

  NE555 е универсален таймер - устройство за формиране (генериране) на единични и повтарящи се импулси със стабилни времеви характеристики. Това е асинхронен RS тригер със специфични входни прагове, точно дефинирани аналогови компаратори и вграден делител на напрежение (прецизен тригер на Шмит с RS тригер). Използва се за изграждане на различни генератори, модулатори, времеви релета, прагови устройства и други...