Формула за обем на пресечена пирамида. Пирамида
Пирамида. Пресечена пирамида
Пирамидае полиедър, едно от чиито лица е многоъгълник ( база ), а всички останали лица са триъгълници с общ връх ( странични лица ) (фиг. 15). Пирамидата се нарича правилно , ако основата му е правилен многоъгълник и върхът на пирамидата е проектиран в центъра на основата (фиг. 16). Триъгълна пирамида с равни ръбове се нарича тетраедър .
Странично реброна пирамида е страната на страничното лице, която не принадлежи на основата Височина пирамида е разстоянието от нейния връх до основната равнина. Всички странични ръбове на правилната пирамида са равни помежду си, всички странични лица са равни равнобедрени триъгълници. Височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от върха, се нарича апотема . Диагонален разрез се нарича сечение на пирамида от равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице.
Площ на страничната повърхностпирамида е сумата от площите на всички странични лица. Обща площ се нарича сумата от площите на всички странични лица и основата.
Теореми
1. Ако в една пирамида всички странични ръбове са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжността, описана близо до основата.
2. Ако всички странични ръбове на пирамида имат равни дължини, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжност, описана близо до основата.
3. Ако всички лица в една пирамида са еднакво наклонени спрямо равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжност, вписана в основата.
За да се изчисли обемът на произволна пирамида, правилната формула е:
Където V- сила на звука;
S база– базова площ;
з– височина на пирамидата.
За правилна пирамида следните формули са правилни:
Където стр– основен периметър;
з а– апотема;
з- височина;
S пълен
S страна
S база– базова площ;
V– обем на правилна пирамида.
Пресечена пирамиданарича частта от пирамидата, затворена между основата и режещата равнина, успоредна на основата на пирамидата (фиг. 17). Правилна пресечена пирамида е част от правилна пирамида, затворена между основата и сечаща равнина, успоредна на основата на пирамидата.
Основанияпресечена пирамида - подобни многоъгълници. Странични лица – трапецовидни. Височина на пресечена пирамида е разстоянието между нейните основи. Диагонал пресечена пирамида е сегмент, свързващ нейните върхове, които не лежат на едно и също лице. Диагонален разрез е сечение на пресечена пирамида от равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице.
За пресечена пирамида са валидни следните формули:
(4)
Където С 1 , С 2 – зони на горна и долна основа;
S пълен– обща повърхност;
S страна– площ на страничната повърхност;
з- височина;
V– обем на пресечена пирамида.
За правилна пресечена пирамида формулата е правилна:
Където стр 1 , стр 2 – периметри на основите;
з а– апотема на правилна пресечена пирамида.
Пример 1.В правилната триъгълна пирамида двустенният ъгъл в основата е 60º. Намерете тангенса на ъгъла на наклона на страничния ръб към равнината на основата.
Решение.Да направим чертеж (фиг. 18).
 |
Пирамидата е правилна, което означава, че в основата има равностранен триъгълник и всички странични стени са равни равнобедрени триъгълници. Двустенният ъгъл при основата е ъгълът на наклона на страничната повърхност на пирамидата към равнината на основата. Линейният ъгъл е ъгълът амежду два перпендикуляра: и т.н. Върхът на пирамидата се проектира в центъра на триъгълника (центъра на описаната окръжност и вписаната окръжност на триъгълника ABC). Ъгълът на наклона на страничния ръб (напр С.Б.) е ъгълът между самия ръб и неговата проекция върху равнината на основата. За реброто С.Б.този ъгъл ще бъде ъгълът SBD. За да намерите допирателната, трябва да знаете краката ТАКАИ O.B.. Нека дължината на сегмента BDе равно на 3 А. Точка ОТНОСНОлинейна отсечка BDсе разделя на части: и От намираме ТАКА: 
От намираме: 
Отговор:
Пример 2.Намерете обема на правилна пресечена четириъгълна пирамида, ако диагоналите на основите й са cm и cm, а височината й е 4 cm.
Решение.За да намерим обема на пресечена пирамида, използваме формула (4). За да намерите площта на основите, трябва да намерите страните на основните квадрати, като знаете техните диагонали. Страните на основите са равни съответно на 2 см и 8 см. Това означава площите на основите и Замествайки всички данни във формулата, изчисляваме обема на пресечената пирамида:
Отговор: 112 см 3.
Пример 3.Намерете площта на страничната страна на правилна триъгълна пресечена пирамида, страните на основите на която са 10 cm и 4 cm, а височината на пирамидата е 2 cm.
Решение.Да направим чертеж (фиг. 19).
Страничната страна на тази пирамида е равнобедрен трапец. За да изчислите площта на трапец, трябва да знаете основата и височината. Основите са дадени според състоянието, само височината остава неизвестна. Ще я намерим откъде А 1 дперпендикулярно от точка А 1 на равнината на долната основа, А 1 д– перпендикулярно от А 1 на AC. А 1 д= 2 см, тъй като това е височината на пирамидата. Да намеря DEНека направим допълнителен чертеж, показващ изглед отгоре (фиг. 20). Точка ОТНОСНО– проекция на центровете на горната и долната основа. тъй като (виж Фиг. 20) и От друга страна Добре– радиус, вписан в окръжността и 
ОМ– радиус, вписан в окръжност:
MK = DE.
Според Питагоровата теорема от
Странична лицева зона: 
Отговор:
Пример 4.В основата на пирамидата лежи равнобедрен трапец, чиито основи АИ b (а> b). Всяка странична повърхност образува ъгъл, равен на равнината на основата на пирамидата й. Намерете общата повърхност на пирамидата.
Решение.Да направим чертеж (фиг. 21). Обща повърхност на пирамидата SABCDравна на сумата от площите и площта на трапеца ABCD.
Нека използваме твърдението, че ако всички лица на пирамидата са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът се проектира в центъра на окръжността, вписана в основата. Точка ОТНОСНО– проекция на върха Св основата на пирамидата. Триъгълник SODе ортогоналната проекция на триъгълника CSDкъм равнината на основата. Използвайки теоремата за площта на ортогоналната проекция на равнинна фигура, получаваме:
По същия начин означава 
По този начин проблемът беше намален до намиране на площта на трапеца ABCD. Нека начертаем трапец ABCDотделно (фиг. 22). Точка ОТНОСНО– център на окръжност, вписана в трапец.
Тъй като окръжност може да бъде вписана в трапец, тогава или От Питагоровата теорема имаме
Способността да се изчислява обемът на пространствените фигури е важна при решаването на редица практически задачи в геометрията. Една от най-често срещаните фигури е пирамидата. В тази статия ще разгледаме както пълни, така и пресечени пирамиди.
Пирамидата като триизмерна фигура
Всички знаят за египетските пирамиди, така че имат добра представа за каква фигура ще говорим. Египетските каменни конструкции обаче са само частен случай на огромен клас пирамиди.
Разглежданият геометричен обект в общия случай е многоъгълна основа, всеки връх на която е свързан с определена точка в пространството, която не принадлежи на равнината на основата. Това определение води до фигура, състояща се от един n-ъгълник и n триъгълника.
Всяка пирамида се състои от n+1 лица, 2*n ръба и n+1 върха. Тъй като въпросната фигура е перфектен полиедър, броят на маркираните елементи се подчинява на равенството на Ойлер:
2*n = (n+1) + (n+1) - 2.
Многоъгълникът, разположен в основата, дава името на пирамидата, например триъгълна, петоъгълна и т.н. Набор от пирамиди с различни основи е показан на снимката по-долу.
Точката, в която се срещат n триъгълника от фигура, се нарича връх на пирамидата. Ако от него върху основата се спусне перпендикуляр и той го пресича в геометричния център, тогава такава фигура ще се нарича права линия. Ако това условие не е изпълнено, тогава се получава наклонена пирамида.
Правилна фигура, чиято основа е образувана от равностранен (равноъгълен) n-ъгълник, се нарича правилна.
Формула за обем на пирамида
За да изчислим обема на пирамидата, ще използваме интегрално смятане. За да направим това, ние разделяме фигурата, като нарязваме равнини, успоредни на основата, на безкраен брой тънки слоеве. Фигурата по-долу показва четириъгълна пирамида с височина h и дължина на страната L, в която четириъгълникът маркира тънкия слой на сечението.
Площта на всеки такъв слой може да се изчисли по формулата:
A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .
Тук A 0 е площта на основата, z е стойността на вертикалната координата. Може да се види, че ако z = 0, тогава формулата дава стойността A 0 .
За да получите формулата за обема на пирамида, трябва да изчислите интеграла по цялата височина на фигурата, тоест:
V = ∫ h 0 (A(z)*dz).
Като заместим зависимостта A(z) и изчислим първоизводната, стигаме до израза:
V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.
Получихме формулата за обем на пирамида. За да намерите стойността на V, просто умножете височината на фигурата по площта на основата и след това разделете резултата на три.
Имайте предвид, че полученият израз е валиден за изчисляване на обема на пирамида от всякакъв тип. Тоест, той може да бъде наклонен, а основата му може да бъде произволен n-ъгълник.
и неговия обем
Общата формула за обем, получена в параграфа по-горе, може да бъде прецизирана в случай на пирамида с правилна основа. Площта на такава основа се изчислява по следната формула:
A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).
Тук L е дължината на страната на правилен многоъгълник с n върха. Символът pi е числото pi.
Замествайки израза за A 0 в общата формула, получаваме обема на правилна пирамида:
V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).
Например за триъгълна пирамида тази формула води до следния израз:
V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.
За правилна четириъгълна пирамида формулата за обем приема формата:
V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.
Определянето на обемите на правилните пирамиди изисква познаване на страната на основата им и височината на фигурата.
Пресечена пирамида
Да предположим, че сме взели произволна пирамида и сме отрязали част от страничната й повърхност, съдържаща върха. Останалата фигура се нарича пресечена пирамида. Той вече се състои от две n-ъгълни основи и n трапеца, които ги свързват. Ако режещата равнина е била успоредна на основата на фигурата, тогава се образува пресечена пирамида с подобни успоредни основи. Тоест, дължините на страните на единия от тях могат да бъдат получени чрез умножаване на дължините на другия по определен коефициент k.
Фигурата по-горе показва пресечен правилен. Вижда се, че горната му основа, както и долната, е образувана от правилен шестоъгълник.
Формулата, която може да бъде получена с помощта на интегрално смятане, подобно на горното, е:
V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).
Където A 0 и A 1 са съответно площите на долната (голяма) и горната (малка) основа. Променливата h означава височината на пресечената пирамида.
Обем на Хеопсовата пирамида
Интересно е да се реши задачата за определяне на обема, който най-голямата египетска пирамида съдържа в себе си.
През 1984 г. британските египтолози Марк Ленър и Джон Гудман установяват точните размери на Хеопсовата пирамида. Първоначалната му височина е била 146,50 метра (в момента около 137 метра). Средната дължина на всяка от четирите страни на конструкцията е 230,363 метра. Основата на пирамидата е квадратна с висока точност.
Нека използваме дадените цифри, за да определим обема на този каменен гигант. Тъй като пирамидата е правилна четириъгълна, то за нея е валидна формулата:
Заменяйки числата, получаваме:
V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.
Обемът на Хеопсовата пирамида е почти 2,6 милиона m3. За сравнение отбелязваме, че олимпийският плувен басейн има обем от 2,5 хиляди м 3. Тоест, за да напълните цялата Хеопсова пирамида ще ви трябват повече от 1000 такива басейна!
- 22.09.2014
Принцип на работа. Когато натиснете бутона на първата цифра от кода SA1, тригерът DD1.1 ще се превключи и на входа D на тригера DD1.2 ще се появи високо напрежение. Следователно, когато натиснете следващия кодов бутон SA2, тригерът DD1.2 променя състоянието си и подготвя следващия тригер за превключване. В случай на по-нататъшно правилно набиране, тригерът DD2.2 ще се задейства последен и...
- 03.10.2014
Предлаганото устройство стабилизира напрежение до 24V и ток до 2A със защита от късо съединение. В случай на нестабилно стартиране на стабилизатора трябва да се използва синхронизация от автономен генератор на импулси (фиг. 2. Схемата на стабилизатора е показана на фиг. 1. На VT1 VT2 е монтиран тригер на Schmitt, който управлява мощен регулиращ транзистор VT3. Подробности: VT3 е оборудван с радиатор...
- 20.09.2014
Усилвателят (вижте снимката) е направен по традиционна схема с тръби с автоматично отклоняване: изход - AL5, драйвери - 6G7, кенотрон - AZ1. Диаграмата на един от двата канала на стерео усилвател е показана на фиг. 1. От контрола на силата на звука сигналът се подава към решетката на лампата 6G7, усилва се и от анода на тази лампа през изолационния кондензатор C4 се подава към ...
- 15.11.2017
NE555 е универсален таймер - устройство за формиране (генериране) на единични и повтарящи се импулси със стабилни времеви характеристики. Това е асинхронен RS тригер със специфични входни прагове, точно дефинирани аналогови компаратори и вграден делител на напрежение (прецизен тригер на Шмит с RS тригер). Използва се за изграждане на различни генератори, модулатори, времеви релета, прагови устройства и други...
