Volume rumus piramida terpotong. Piramida
Piramida. Piramida terpotong
Piramida adalah polihedron yang salah satu wajahnya berbentuk poligon ( basis ), dan semua sisi lainnya adalah segitiga dengan titik sudut yang sama ( wajah samping ) (Gbr. 15). Piramida itu disebut benar , jika alasnya berbentuk poligon beraturan dan bagian atas limas diproyeksikan ke tengah alasnya (Gbr. 16). Piramida berbentuk segitiga yang semua rusuknya sama panjang disebut segi empat .
Tulang rusuk samping piramida adalah sisi sisi muka yang tidak termasuk alasnya Tinggi piramida adalah jarak dari puncaknya ke bidang alas. Semua sisi lateral limas beraturan adalah sama besar, semua sisi sisinya adalah segitiga sama kaki yang sama besar. Tinggi sisi sisi limas beraturan yang ditarik dari puncaknya disebut apotema . Bagian diagonal disebut bagian piramida oleh sebuah bidang yang melalui dua sisi lateral yang tidak mempunyai sisi yang sama.
Luas permukaan lateral piramida adalah jumlah luas semua sisi sisinya. Luas permukaan total disebut jumlah luas semua sisi sisi dan alasnya.
Teorema
1. Jika dalam sebuah limas semua sisi lateralnya mempunyai kemiringan yang sama terhadap bidang alasnya, maka puncak limas tersebut diproyeksikan ke pusat lingkaran yang dibatasi di dekat alasnya.
2. Jika semua sisi sisi sebuah limas mempunyai panjang yang sama, maka puncak limas tersebut diproyeksikan ke pusat lingkaran yang dibatasi dekat alasnya.
3. Jika semua muka dalam sebuah limas memiliki kemiringan yang sama terhadap bidang alasnya, maka puncak limas tersebut diproyeksikan ke pusat lingkaran yang terdapat pada alasnya.
Untuk menghitung volume limas sembarang, rumus yang benar adalah:
Di mana V- volume;
basis S– daerah pangkalan;
H– tinggi piramida.
Untuk piramida beraturan, rumus berikut ini benar:
Di mana P– keliling dasar;
ha– apotema;
H- tinggi;
S penuh
sisi S
basis S– daerah pangkalan;
V– volume piramida biasa.
Piramida terpotong disebut bagian piramida yang terletak di antara alas dan bidang potong yang sejajar dengan alas limas (Gbr. 17). Piramida terpotong biasa adalah bagian dari limas beraturan yang diapit di antara alas dan bidang potong yang sejajar dengan alas limas.
Alasan piramida terpotong - poligon serupa. Wajah samping – trapesium. Tinggi piramida terpotong adalah jarak antara alasnya. Diagonal piramida terpotong adalah ruas yang menghubungkan simpul-simpulnya yang tidak terletak pada satu sisi. Bagian diagonal adalah bagian dari piramida yang terpotong oleh sebuah bidang yang melalui dua rusuk lateral yang tidak mempunyai sisi yang sama.
Untuk piramida terpotong rumus berikut ini valid:
(4)
Di mana S 1 , S 2 – area pangkalan atas dan bawah;
S penuh– total luas permukaan;
sisi S– luas permukaan lateral;
H- tinggi;
V– volume piramida terpotong.
Untuk piramida terpotong beraturan, rumusnya benar:
Di mana P 1 , P 2 – keliling alas;
ha– apotema dari piramida terpotong beraturan.
Contoh 1. Pada limas segitiga beraturan, sudut dihedral pada alasnya adalah 60º. Temukan garis singgung sudut kemiringan tepi samping terhadap bidang alasnya.
Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 18).
 |
Piramida beraturan, artinya pada alasnya terdapat segitiga sama sisi dan semua sisi sisinya merupakan segitiga sama kaki yang sama besar. Sudut dihedral pada alasnya adalah sudut kemiringan sisi sisi limas terhadap bidang alasnya. Sudut linier adalah sudut A antara dua garis tegak lurus: dll. Bagian atas piramida diproyeksikan di tengah-tengah segitiga (pusat lingkaran luar dan lingkaran tertulis segitiga ABC). Sudut kemiringan tepi samping (misalnya S.B.) adalah sudut antara tepi itu sendiri dan proyeksinya pada bidang alasnya. Untuk tulang rusuk S.B. sudut ini akan menjadi sudut SBD. Untuk mencari garis singgung, Anda perlu mengetahui kaki-kakinya JADI Dan O.B.. Biarkan panjang segmennya BD sama dengan 3 A. Dot TENTANG segmen garis BD dibagi menjadi beberapa bagian: dan Dari kita temukan JADI: 
Dari kami menemukan: 
Menjawab:
Contoh 2. Hitunglah volume limas segi empat beraturan terpotong jika diagonal-diagonal alasnya adalah cm dan cm, serta tingginya 4 cm.
Larutan. Untuk mencari volume limas terpotong, kita menggunakan rumus (4). Untuk mencari luas alasnya, Anda perlu mencari sisi-sisi persegi alasnya, dengan mengetahui diagonalnya. Panjang sisi alasnya masing-masing sama dengan 2 cm dan 8 cm. Artinya luas alasnya dan dengan memasukkan semua data ke dalam rumus, kita menghitung volume limas yang terpotong:
Menjawab: 112cm3.
Contoh 3. Hitunglah luas sisi sisi piramida terpotong berbentuk segitiga beraturan yang panjang sisi alasnya 10 cm dan 4 cm, dan tinggi limasnya 2 cm.
Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 19).
Sisi samping piramida ini berbentuk trapesium sama kaki. Untuk menghitung luas trapesium, Anda perlu mengetahui alas dan tingginya. Alasnya diberikan sesuai syarat, hanya tingginya yang belum diketahui. Kami akan menemukannya dari mana A 1 E tegak lurus dari suatu titik A 1 pada bidang alas bawah, A 1 D– tegak lurus dari A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, karena ini adalah tinggi limas. Mencari DE Mari kita buat gambar tambahan yang menunjukkan tampilan atas (Gbr. 20). Dot TENTANG– proyeksi pusat alas atas dan bawah. sejak (lihat Gambar 20) dan Di sisi lain OKE– jari-jari tertulis dalam lingkaran dan 
OM– jari-jari tertulis dalam lingkaran:
MK = DE.
Menurut teorema Pythagoras dari
Area wajah samping: 
Menjawab:
Contoh 4. Di dasar piramida terdapat trapesium sama kaki, yang alasnya A Dan B (A> B). Setiap sisi sisinya membentuk sudut yang sama dengan bidang alas limas J. Temukan total luas permukaan piramida.
Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 21). Total luas permukaan piramida SABCD sama dengan jumlah luas dan luas trapesium ABCD.
Mari kita gunakan pernyataan bahwa jika semua permukaan limas memiliki kemiringan yang sama terhadap bidang alasnya, maka titik sudutnya diproyeksikan ke pusat lingkaran yang terdapat di alasnya. Dot TENTANG– proyeksi titik S di dasar piramida. Segi tiga MERUMPUT adalah proyeksi ortogonal segitiga CSD ke bidang pangkalan. Dengan menggunakan teorema luas proyeksi ortogonal bangun datar, kita memperoleh:
Demikian juga artinya 
Jadi, masalahnya direduksi menjadi mencari luas trapesium ABCD. Mari menggambar trapesium ABCD secara terpisah (Gbr. 22). Dot TENTANG– pusat lingkaran pada trapesium.
Karena sebuah lingkaran dapat ditulisi dalam trapesium, maka atau Dari teorema Pythagoras kita punya
Kemampuan menghitung volume bangun ruang penting ketika menyelesaikan sejumlah masalah praktis dalam geometri. Salah satu figur yang paling umum adalah piramida. Pada artikel ini kita akan membahas piramida penuh dan terpotong.
Piramida sebagai sosok tiga dimensi
Semua orang tahu tentang piramida Mesir, jadi mereka punya gambaran bagus tentang sosok seperti apa yang akan kita bicarakan. Namun, struktur batu Mesir hanyalah kasus khusus dari sekelompok besar piramida.
Benda geometri yang ditinjau pada umumnya adalah alas poligonal yang setiap titik sudutnya dihubungkan pada suatu titik tertentu dalam ruang yang tidak termasuk dalam bidang alasnya. Definisi ini mengarah pada bangun datar yang terdiri dari satu n-gon dan n segitiga.
Setiap piramida terdiri dari n+1 sisi, 2*n sisi, dan n+1 simpul. Karena bangun tersebut adalah polihedron sempurna, jumlah elemen yang ditandai mematuhi persamaan Euler:
2*n = (n+1) + (n+1) - 2.
Poligon yang terletak di alasnya memberi nama pada piramida, misalnya segitiga, pentagonal, dan sebagainya. Kumpulan piramida dengan alas berbeda ditunjukkan pada foto di bawah.
Titik pertemuan n segitiga suatu bangun disebut titik puncak limas. Jika sebuah garis tegak lurus diturunkan darinya ke alas dan memotongnya di pusat geometri, maka bangun tersebut disebut garis lurus. Jika kondisi ini tidak terpenuhi, maka terjadilah piramida miring.
Bangun datar yang alasnya dibentuk oleh n-gon sama sisi (segitiga) disebut beraturan.
Rumus volume piramida
Untuk menghitung volume limas, kita akan menggunakan kalkulus integral. Untuk melakukan ini, kita membagi gambar dengan memotong bidang yang sejajar dengan alas menjadi lapisan tipis yang jumlahnya tak terhingga. Gambar di bawah menunjukkan limas segi empat dengan tinggi h dan panjang sisi L, yang segi empatnya menandai lapisan tipis bagian tersebut.
Luas setiap lapisan tersebut dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .
Disini A 0 adalah luas alasnya, z adalah nilai koordinat vertikal. Terlihat jika z = 0, maka rumusnya memberikan nilai A 0 .
Untuk mendapatkan rumus volume limas, Anda harus menghitung integral seluruh tinggi bangun, yaitu:
V = ∫ jam 0 (A(z)*dz).
Mengganti ketergantungan A(z) dan menghitung antiturunan, kita sampai pada ekspresi:
V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| jam 0 = 1/3*A 0 *jam.
Kita telah memperoleh rumus volume limas. Untuk mencari nilai V, cukup kalikan tinggi bangun dengan luas alasnya, lalu bagi hasilnya dengan tiga.
Perhatikan bahwa ekspresi yang dihasilkan valid untuk menghitung volume piramida jenis apa pun. Artinya, ia dapat dimiringkan, dan basisnya dapat berupa n-gon yang berubah-ubah.
dan volumenya
Rumus umum volume yang diperoleh pada paragraf di atas dapat disempurnakan dalam kasus piramida dengan alas beraturan. Luas alas tersebut dihitung menggunakan rumus berikut:
A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).
Di sini L adalah panjang sisi poligon beraturan dengan n titik sudut. Simbol pi adalah angka pi.
Mengganti ekspresi A 0 ke dalam rumus umum, kita memperoleh volume limas beraturan:
V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).
Misalnya, untuk limas segitiga, rumus ini menghasilkan ekspresi berikut:
V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.
Untuk limas segi empat beraturan, rumus volumenya berbentuk:
V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.
Menentukan volume piramida beraturan memerlukan pengetahuan tentang sisi alasnya dan tinggi bangunnya.
Piramida terpotong
Misalkan kita mengambil sebuah piramida sembarang dan memotong bagian permukaan lateralnya yang berisi titik puncak. Sosok yang tersisa disebut piramida terpotong. Sudah terdiri dari dua n alas gonal dan n trapesium yang menghubungkannya. Jika bidang potong sejajar dengan alas gambar, maka terbentuklah limas terpotong dengan alas sejajar serupa. Artinya, panjang salah satu sisi dapat diperoleh dengan mengalikan panjang sisi lainnya dengan koefisien k tertentu.
Gambar di atas menunjukkan bangun datar beraturan terpotong. Terlihat bahwa alas atasnya, seperti halnya alas bawah, dibentuk oleh segi enam beraturan.
Rumus yang dapat diturunkan dengan menggunakan kalkulus integral seperti di atas adalah:
V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).
Dimana A 0 dan A 1 masing-masing adalah luas alas bawah (besar) dan atas (kecil). Variabel h menunjukkan tinggi piramida terpotong.
Volume piramida Cheops
Menarik untuk memecahkan masalah menentukan volume yang terdapat di dalam piramida Mesir terbesar.
Pada tahun 1984, ahli Mesir Kuno asal Inggris Mark Lehner dan Jon Goodman menetapkan dimensi yang tepat dari piramida Cheops. Ketinggian aslinya adalah 146,50 meter (saat ini sekitar 137 meter). Panjang rata-rata keempat sisi bangunan adalah 230.363 meter. Dasar piramida berbentuk persegi dengan presisi tinggi.
Mari kita gunakan angka-angka di bawah ini untuk menentukan volume batu raksasa ini. Karena piramida berbentuk segi empat beraturan, maka rumusnya berlaku:
Mengganti angka-angka tersebut, kita mendapatkan:
V 4 = 1/3*(230.363) 2 *146.5 ≈ 2591444 m 3.
Volume piramida Cheops hampir 2,6 juta m3. Sebagai perbandingan, kami mencatat bahwa kolam renang Olimpiade memiliki volume 2,5 ribu m 3. Artinya, untuk mengisi seluruh piramida Cheops, Anda memerlukan lebih dari 1000 kumpulan seperti itu!
- 22.09.2014
Prinsip operasi. Ketika Anda menekan tombol digit pertama kode SA1, pemicu DD1.1 akan beralih dan tegangan tingkat tinggi akan muncul pada input D pemicu DD1.2. Oleh karena itu, ketika Anda menekan tombol kode SA2 berikutnya, pemicu DD1.2 mengubah statusnya dan menyiapkan pemicu berikutnya untuk peralihan. Jika panggilan lebih lanjut benar, pemicu DD2.2 akan dipicu terakhir, dan...
- 03.10.2014
Perangkat yang diusulkan menstabilkan tegangan hingga 24V dan arus hingga 2A dengan perlindungan hubung singkat. Jika pengaktifan stabilizer tidak stabil, sinkronisasi dari generator pulsa otonom harus digunakan (Gbr. 2). 2. Rangkaian stabilizer ditunjukkan pada Gambar 1. Pemicu Schmitt dipasang pada VT1 VT2, yang mengontrol transistor pengatur kuat VT3. Detail: VT3 dilengkapi dengan heat sink...
- 20.09.2014
Penguat (lihat foto) dibuat sesuai dengan sirkuit tradisional dengan tabung bias otomatis: output - AL5, driver - 6G7, kenotron - AZ1. Diagram salah satu dari dua saluran penguat stereo ditunjukkan pada Gambar 1. Dari kontrol volume, sinyal disuplai ke jaringan lampu 6G7, diperkuat, dan dari anoda lampu ini melalui kapasitor isolasi C4 disuplai ke ...
- 15.11.2017
NE555 adalah pengatur waktu universal - perangkat untuk membentuk (menghasilkan) pulsa tunggal dan berulang dengan karakteristik waktu yang stabil. Ini adalah pemicu RS asinkron dengan ambang masukan tertentu, pembanding analog yang ditentukan secara tepat, dan pembagi tegangan bawaan (pemicu Schmitt presisi dengan pemicu RS). Ini digunakan untuk membangun berbagai generator, modulator, relai waktu, perangkat ambang batas dan...
