Би шалгалтанд логарифмын тэгшитгэлийг шийдэх болно. Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Логарифм гэж юу вэ?

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
Тусгай хэсгийн 555 дахь материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Логарифм гэж юу вэ? Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ? Эдгээр асуултууд олон төгсөгчдийг төөрөгдүүлдэг. Уламжлал ёсоор бол логарифмын сэдвийг төвөгтэй, ойлгомжгүй, аймшигтай гэж үздэг. Ялангуяа логарифм бүхий тэгшитгэлүүд.

Энэ нь туйлын үнэн биш юм. Мэдээжийн хэрэг! Надад итгэхгүй байна уу? Сайн байна. Одоо 10-20 минутын дотор та:

1. Та ойлгох болно логарифм гэж юу вэ.

2. Бүтэн ангиллын экспоненциал тэгшитгэлийг шийдэж сур. Та тэдний талаар юу ч сонсоогүй байсан ч гэсэн.

3. Энгийн логарифм тооцоолж сур.

Түүгээр ч барахгүй, үүний тулд та зөвхөн үржүүлэх хүснэгт болон тоог хэрхэн хүчирхэг болгох талаар мэдэх хэрэгтэй.

Чамд эргэлзэж байх шиг байна... За за, цагаа тэмдэглээрэй! Яв!

Эхлээд энэ тэгшитгэлийг толгой дээрээ шийд:

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, надад танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

Та бүхний мэдэж байгаагаар илэрхийлэлийг зэрэглэлээр үржүүлэхэд тэдгээрийн илтгэгч нь үргэлж нэмэгддэг (a b *a c = a b+c). Энэхүү математикийн хуулийг Архимед гаргаж авсан бөгөөд хожим 8-р зуунд математикч Вирасен бүхэл тоон үзүүлэлтийн хүснэгтийг бүтээжээ. Тэд л логарифмын цаашдын нээлтэд үйлчилсэн хүмүүс юм. Энэ функцийг ашиглах жишээг энгийн нэмэх замаар үржүүлгийг хялбарчлах шаардлагатай бараг бүх газраас олж болно. Хэрэв та энэ өгүүллийг уншихад 10 минут зарцуулбал бид логарифм гэж юу болох, түүнтэй хэрхэн ажиллах талаар тайлбарлах болно. Энгийн бөгөөд хүртээмжтэй хэлээр.

Математик дахь тодорхойлолт

Логарифм нь дараах хэлбэрийн илэрхийлэл юм: log a b=c, өөрөөр хэлбэл аливаа сөрөг бус тооны (өөрөөр хэлбэл аливаа эерэг) "b"-ийн логарифмыг түүний "a" суурьтай харьцуулсан логарифмыг "c" гэж үзнэ. ” эцэст нь "b" утгыг авахын тулд "a" суурийг өсгөх ёстой. Логарифмд жишээн дээр дүн шинжилгээ хийцгээе, илэрхийлэл байна гэж бодъё лог 2 8. Хариултыг хэрхэн олох вэ? Энэ нь маш энгийн, та 2-оос шаардагдах хүч хүртэл 8-ыг авах хүчийг олох хэрэгтэй. Толгойдоо хэд хэдэн тооцоо хийсний дараа бид 3-ын тоог авна! Энэ нь үнэн, учир нь 2-ыг 3-ын зэрэглэлд 8 гэж хариулах болно.

Логарифмын төрлүүд

Олон сурагч, оюутнуудын хувьд энэ сэдэв нь төвөгтэй, ойлгомжгүй мэт санагддаг, гэхдээ үнэндээ логарифм нь тийм ч аймшигтай биш бөгөөд гол зүйл бол тэдгээрийн ерөнхий утгыг ойлгож, шинж чанар, зарим дүрмийг санах явдал юм. Гурван төрлийн логарифмын илэрхийлэл байдаг:

Натурал логарифм ln a, суурь нь Эйлерийн тоо (e = 2.7).
Аравтын тоо a, суурь нь 10.
a>1 суурьтай дурын b тооны логарифм.

Тэдгээр нь тус бүрийг логарифмын теоремуудыг ашиглан хялбаршуулах, багасгах, дараа нь нэг логарифм болгон бууруулах зэрэг стандарт аргаар шийдэгддэг. Логарифмын зөв утгыг олж авахын тулд тэдгээрийг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийн шинж чанар, үйлдлийн дарааллыг санах хэрэгтэй.

Дүрэм ба зарим хязгаарлалт

Математикийн хувьд аксиом гэж хүлээн зөвшөөрөгдсөн хэд хэдэн дүрэм-хязгаарлалтууд байдаг, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг хэлэлцэх боломжгүй бөгөөд үнэн юм. Жишээлбэл, тоонуудыг тэг болгон хуваах боломжгүй, сөрөг тооны тэгш язгуурыг гаргаж авах боломжгүй юм. Логарифмууд нь өөрийн гэсэн дүрмүүдтэй байдаг бөгөөд үүнийг дагаснаар та урт, багтаамжтай логарифмын илэрхийлэлтэй ч хялбархан ажиллаж сурах боломжтой.

"a" суурь нь үргэлж тэгээс их байх ёстой бөгөөд 1-тэй тэнцүү биш байх ёстой, эс тэгвээс илэрхийлэл утгаа алдах болно, учир нь "1" ба "0" нь ямар ч хэмжээгээр тэдгээрийн утгатай тэнцүү байна;
хэрэв a > 0 бол a b >0 бол "c" нь тэгээс их байх ёстой.

Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ?

Жишээлбэл, 10 x = 100 тэгшитгэлийн хариултыг олох даалгавар өгөгдсөн. Энэ нь маш амархан, та бидний 100 авах аравын тоог өсгөх замаар хүчийг сонгох хэрэгтэй. Энэ нь мэдээжийн хэрэг 10 2 = юм. 100.

Одоо энэ илэрхийлэлийг логарифм хэлбэрээр илэрхийлье. Бид лог 10 100 = 2-ыг авдаг. Логарифмыг шийдвэрлэхдээ өгөгдсөн тоог гаргахын тулд логарифмын суурийг оруулахад шаардлагатай хүчийг олохын тулд бүх үйлдлүүд практикт нийлдэг.

Үл мэдэгдэх зэргийн утгыг үнэн зөв тодорхойлохын тулд та градусын хүснэгттэй хэрхэн ажиллах талаар сурах хэрэгтэй. Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.

Таны харж байгаагаар, хэрэв та үржүүлэх хүснэгтийн талаар техникийн мэдлэгтэй, мэдлэгтэй бол зарим илтгэгчийг зөн совингоор таах боломжтой. Гэсэн хэдий ч илүү том утгуудын хувьд танд цахилгаан ширээ хэрэгтэй болно. Үүнийг математикийн нарийн төвөгтэй сэдвүүдийн талаар огт мэддэггүй хүмүүс ч ашиглаж болно. Зүүн баганад тоонууд (суурь a), тоонуудын дээд эгнээ нь а тоог өсгөсөн c чадлын утга юм. Уулзвар дээрх нүднүүдэд хариулт болох тоон утгуудыг агуулна (a c =b). Жишээлбэл, 10 тоотой хамгийн эхний нүдийг аваад квадрат болгоод бид хоёр нүдний уулзварт заасан 100 утгыг авна. Бүх зүйл маш энгийн бөгөөд хялбар байдаг тул хамгийн жинхэнэ хүмүүнлэгч хүртэл ойлгох болно!

Тэгшитгэл ба тэгш бус байдал

Тодорхой нөхцөлд экспонент нь логарифм болдог. Тиймээс аливаа математикийн тоон илэрхийллийг логарифмын тэгшитгэл гэж бичиж болно. Жишээлбэл, 3 4 =81-ийг 81-ийн суурь 3 логарифм гэж дөрөвтэй тэнцүү (лог 3 81 = 4) бичиж болно. Сөрөг хүчнүүдийн хувьд дүрэм нь адилхан: 2 -5 = 1/32 бид үүнийг логарифм хэлбэрээр бичвэл лог 2 (1/32) = -5 болно. Математикийн хамгийн сонирхолтой хэсгүүдийн нэг бол "логарифм" сэдэв юм. Бид тэдгээрийн шинж чанарыг судалсны дараа доорх тэгшитгэлийн жишээ, шийдлүүдийг авч үзэх болно. Одоо тэгш бус байдал ямар харагддаг, тэдгээрийг тэгшитгэлээс хэрхэн ялгах талаар авч үзье.

Дараах илэрхийлэл өгөгдсөн: log 2 (x-1) > 3 - үл мэдэгдэх "x" утга нь логарифмын тэмдгийн доор байгаа тул энэ нь логарифмын тэгш бус байдал юм. Мөн илэрхийлэлд хоёр хэмжигдэхүүнийг харьцуулсан болно: хоёрыг суурь болгохыг хүссэн тооны логарифм нь гурван тооноос их байна.

Логарифм тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын хоорондох хамгийн чухал ялгаа нь логарифм бүхий тэгшитгэлүүд (жишээлбэл, 2 x = √9 логарифм) хариултанд нэг буюу хэд хэдэн тодорхой тоон утгыг илэрхийлдэг бол тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ хүлээн зөвшөөрөгдөх мужууд хоёулаа байдаг. Энэ функцийг зөрчихөд утгууд ба цэгүүдийг тодорхойлно. Үүний үр дүнд хариулт нь тэгшитгэлийн хариулт шиг бие даасан тоонуудын энгийн багц биш, харин тасралтгүй цуваа эсвэл тооны багц юм.

Логарифмын тухай үндсэн теоремууд

Логарифмын утгыг олох энгийн даалгавруудыг шийдвэрлэхдээ түүний шинж чанарыг мэдэхгүй байж болно. Гэхдээ логарифмын тэгшитгэл буюу тэгш бус байдлын тухай ярихад юуны өмнө логарифмын бүх үндсэн шинж чанарыг тодорхой ойлгож, практикт хэрэглэх шаардлагатай. Бид дараа нь тэгшитгэлийн жишээг авч үзэх болно, эхлээд шинж чанар бүрийг илүү нарийвчлан авч үзье.

Үндсэн таних тэмдэг нь дараах байдалтай харагдана: a logaB =B. Энэ нь зөвхөн a нь 0-ээс их, нэгтэй тэнцүү биш, В нь тэгээс их байх үед л хамаарна.
Бүтээгдэхүүний логарифмыг дараах томъёогоор илэрхийлж болно: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Энэ тохиолдолд заавал байх нөхцөл нь: d, s 1 ба s 2 > 0; a≠1. Та энэ логарифм томъёоны нотолгоог жишээ болон шийдлээр өгч болно. log a s 1 = f 1 ба log a s 2 = f 2, дараа нь a f1 = s 1, a f2 = s 2 гэж бичье. Бид s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 гэдгийг олж авна. градус ), дараа нь тодорхойлолтоор: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, үүнийг батлах шаардлагатай.
Хэсгийн логарифм дараах байдалтай байна: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Томъёо хэлбэртэй теорем нь дараах хэлбэртэй байна: log a q b n = n/q log a b.

Энэ томьёог "логарифмын зэрэглэлийн шинж чанар" гэж нэрлэдэг. Энэ нь ердийн зэрэглэлийн шинж чанаруудтай төстэй бөгөөд бүх математик нь байгалийн постулат дээр суурилдаг тул энэ нь гайхмаар зүйл биш юм. Нотлох баримтыг харцгаая.

Лог a b = t гэж үзье, энэ нь a t =b болно. Хэрэв бид хоёр хэсгийг хоёуланг нь m хүртэл өсгөвөл: a tn = b n ;

гэхдээ a tn = (a q) nt/q = b n тул log a q b n = (n*t)/t, дараа нь log a q b n = n/q log a b. Теорем нь батлагдсан.

Асуудал ба тэгш бус байдлын жишээ

Логарифмын хамгийн түгээмэл төрлийн бодлого бол тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын жишээ юм. Эдгээр нь бараг бүх асуудлын номонд байдаг бөгөөд математикийн шалгалтын заавал байх ёстой хэсэг юм. Их сургуульд элсэх эсвэл математикийн элсэлтийн шалгалт өгөхийн тулд та ийм даалгаврыг хэрхэн зөв шийдвэрлэхээ мэдэх хэрэгтэй.

Харамсалтай нь логарифмын үл мэдэгдэх утгыг шийдвэрлэх, тодорхойлох нэг төлөвлөгөө, схем байхгүй ч математик тэгш бус байдал эсвэл логарифмын тэгшитгэл бүрт тодорхой дүрмийг хэрэглэж болно. Юуны өмнө та илэрхийллийг хялбаршуулж эсвэл ерөнхий хэлбэр болгон бууруулж болох эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэй. Хэрэв та тэдгээрийн шинж чанарыг зөв ашиглавал урт логарифмын илэрхийлэлийг хялбарчилж болно. Тэдэнтэй хурдан танилцацгаая.

Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бид ямар төрлийн логарифм байгааг тодорхойлох ёстой: жишээ илэрхийлэл нь натурал логарифм эсвэл аравтын нэгийг агуулж болно.

Энд ln100, ln1026 жишээнүүд байна. Тэдний шийдэл нь суурь 10 нь 100 ба 1026-тай тэнцүү байх хүчийг тодорхойлох шаардлагатай болдог. Байгалийн логарифмыг шийдэхийн тулд та логарифмын ижилсэл эсвэл тэдгээрийн шинж чанарыг ашиглах хэрэгтэй. Янз бүрийн төрлийн логарифмын асуудлыг шийдвэрлэх жишээг авч үзье.

Логарифмын томьёог хэрхэн ашиглах вэ: жишээ ба шийдэлтэй

Тиймээс, логарифмын талаархи үндсэн теоремуудыг ашиглах жишээг авч үзье.

Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг b тооны том утгыг энгийн хүчин зүйл болгон задлах шаардлагатай ажлуудад ашиглаж болно. Жишээлбэл, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Хариулт нь 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - Таны харж байгаачлан логарифмын чадлын дөрөв дэх шинж чанарыг ашиглан бид ээдрээтэй бөгөөд шийдвэрлэх боломжгүй мэт санагдах илэрхийлэлийг шийдэж чадсан. Та зөвхөн суурийг хүчин зүйлээр тооцож, дараа нь логарифмын тэмдгээс экспонентын утгыг авах хэрэгтэй.

Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавар

Логарифмыг элсэлтийн шалгалтанд ихэвчлэн олдог, ялангуяа Улсын нэгдсэн шалгалтын олон логарифмын асуудлууд (бүх сургуулийн төгсөгчдийн улсын шалгалт). Ерөнхийдөө эдгээр даалгаврууд нь зөвхөн А хэсэгт (шалгалтын хамгийн хялбар туршилтын хэсэг) төдийгүй С хэсэгт (хамгийн төвөгтэй, том даалгавар) байдаг. Шалгалт нь "Байгалийн логарифм" сэдвийн талаар үнэн зөв, төгс мэдлэг шаарддаг.

Асуудлын жишээ, шийдлийг Улсын нэгдсэн шалгалтын албан ёсны хувилбаруудаас авсан болно. Ийм ажлууд хэрхэн шийдэгдэж байгааг харцгаая.

Өгөгдсөн лог 2 (2x-1) = 4. Шийдэл:
лог 2 (2x-1) = 2 2-ыг бага зэрэг хялбарчилж, илэрхийллийг дахин бичье, логарифмын тодорхойлолтоор бид 2x-1 = 2 4, тиймээс 2x = 17 болно; x = 8.5.

Шийдэл нь төвөгтэй, төөрөгдөл биш байхын тулд бүх логарифмуудыг нэг суурь болгон багасгах нь хамгийн сайн арга юм.
Логарифмын тэмдгийн дор байгаа бүх илэрхийлэл нь эерэг гэж тэмдэглэгдсэн тул логарифмын тэмдгийн доор байрлах илэрхийллийн илтгэгчийг үржүүлэгч болгон авах үед логарифмын доор үлдсэн илэрхийлэл эерэг байх ёстой.

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар, эсвэл ОХУ-ын төрийн байгууллагуудын олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийн үндсэн дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.