Kesik piramit formülünün hacmi. Piramit

Piramit. Kesilmiş piramit

Piramit yüzlerinden biri çokgen olan bir çokyüzlüdür ( temel ) ve diğer tüm yüzler ortak bir köşe noktasına sahip üçgenlerdir ( yan yüzler ) (Şek. 15). Piramit denir doğru tabanı düzenli bir çokgen ise ve piramidin tepesi tabanın ortasına doğru çıkıntı yapıyorsa (Şekil 16). Tüm kenarları eşit olan üçgen piramit denir dörtyüzlü .

Yan kaburga Bir piramidin yan yüzünün tabana ait olmayan tarafı Yükseklik piramit, tepesinden taban düzlemine kadar olan mesafedir. Düzenli bir piramidin tüm yan kenarları birbirine eşittir, tüm yan yüzler eşit ikizkenar üçgenlerdir. Düzgün bir piramidin tepe noktasından çizilen yan yüzünün yüksekliğine ne denir? özlü söz . Çapraz bölüm Aynı yüze ait olmayan iki yan kenardan geçen düzleme piramidin kesiti denir.

Yan yüzey alanı piramit tüm yan yüzlerin alanlarının toplamıdır. Toplam yüzey alanı tüm yan yüzlerin ve tabanın alanlarının toplamına denir.

Teoremler

1. Bir piramitte tüm yan kenarlar taban düzlemine eşit olarak eğimliyse, piramidin tepesi tabanın yakınında çevrelenen dairenin merkezine yansıtılır.

2. Bir piramidin tüm yan kenarları eşit uzunluklara sahipse, piramidin tepesi, tabanın yakınında çevrelenen bir dairenin merkezine yansıtılır.

3. Bir piramidin tüm yüzleri taban düzlemine eşit eğimliyse, piramidin tepesi tabanda yazılı bir dairenin merkezine yansıtılır.

Rastgele bir piramidin hacmini hesaplamak için doğru formül şöyledir:

Nerede V- hacim;

S tabanı– üs alanı;

H– piramidin yüksekliği.

Düzenli bir piramit için aşağıdaki formüller doğrudur:

Nerede P– taban çevresi;

ha bir– özlü söz;

H- yükseklik;

S dolu

S tarafı

S tabanı– üs alanı;

V– düzenli bir piramidin hacmi.

Kesilmiş piramit piramidin taban ile piramidin tabanına paralel bir kesme düzlemi arasında kalan kısmına denir (Şekil 17). Düzenli kesik piramit Düzenli bir piramidin taban ile piramidin tabanına paralel kesme düzlemi arasında kalan kısmına denir.

Sebepler kesik piramit - benzer çokgenler. Yan yüzler – yamuklar. Yükseklik Kesik bir piramidin tabanları arasındaki mesafedir. Diyagonal kesik bir piramit, aynı yüzde yer almayan köşelerini birleştiren bir bölümdür. Çapraz bölüm kesik piramidin aynı yüze ait olmayan iki yan kenardan geçen bir düzlemle kesitidir.

Kesik bir piramit için aşağıdaki formüller geçerlidir:

(4)

Nerede S 1 , S 2 – üst ve alt tabanların alanları;

S dolu- toplam yüzey alanı;

S tarafı– yan yüzey alanı;

H- yükseklik;

V– kesik bir piramidin hacmi.

Düzenli bir kesik piramit için formül doğrudur:

Nerede P 1 , P 2 – tabanların çevreleri;

ha bir– düzenli kesik piramidin özeti.

Örnek 1. Düzenli bir üçgen piramitte tabandaki dihedral açı 60°'dir. Yan kenarın eğim açısının taban düzlemine teğetini bulun.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 18).

Piramit düzenlidir, yani tabanda bir eşkenar üçgen vardır ve tüm yan yüzler eşit ikizkenar üçgenlerdir. Tabandaki dihedral açı, piramidin yan yüzünün taban düzlemine eğim açısıdır. Doğrusal açı açıdır A iki dik arasında: vb. Piramidin tepesi üçgenin merkezine (çevrel dairenin merkezi ve üçgenin yazılı dairesi) yansıtılır. ABC). Yan kenarın eğim açısı (örneğin S.B.) kenarın kendisi ile taban düzlemine izdüşümü arasındaki açıdır. Kaburga için S.B. bu açı açı olacak SBD. Teğeti bulmak için bacakları bilmeniz gerekir BU YÜZDEN Ve O.B.. Segmentin uzunluğuna izin verin BD 3'e eşittir A. Nokta HAKKINDAçizgi segmenti BD parçalara ayrılmıştır: ve Bulduğumuz yerden BU YÜZDEN: Şunu buluyoruz:

Cevap:

Örnek 2. Tabanlarının köşegenleri cm ve cm'ye eşit ve yüksekliği 4 cm ise düzgün kesik dörtgen piramidin hacmini bulun.

Çözüm. Kesik bir piramidin hacmini bulmak için formül (4)'ü kullanırız. Tabanların alanını bulmak için taban karelerinin köşegenlerini bilerek kenarlarını bulmanız gerekir. Tabanların kenarları sırasıyla 2 cm ve 8 cm'ye eşittir. Bu, tabanların alanları anlamına gelir ve tüm verileri formülde yerine koyarak kesik piramidin hacmini hesaplarız:

Cevap: 112 cm3.

Örnek 3. Taban kenarları 10 cm ve 4 cm, piramidin yüksekliği 2 cm olan düzgün üçgen kesik piramidin yan yüzünün alanını bulun.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 19).

Bu piramidin yan yüzü ikizkenar yamuktur. Bir yamuğun alanını hesaplamak için tabanını ve yüksekliğini bilmeniz gerekir. Tabanlar duruma göre verilir, sadece yüksekliği bilinmez. Onu nereden bulacağız A 1 e bir noktadan dik A 1 alt taban düzleminde, A 1 D– itibaren dik A başına 1 AC. A 1 e= 2 cm, çünkü bu piramidin yüksekliğidir. Bulmak AlmanyaÜstten görünümü gösteren ek bir çizim yapalım (Şek. 20). Nokta HAKKINDA– üst ve alt tabanların merkezlerinin projeksiyonu. o zamandan beri (bkz. Şekil 20) ve Öte yandan TAMAM– dairenin içine yazılan yarıçap ve OM– bir daire içine yazılan yarıçap:

MK = DE.

Pisagor teoremine göre

Yan yüz alanı:

Cevap:

Örnek 4. Piramidin tabanında ikizkenar bir yamuk bulunur; tabanları A Ve B (A> B). Her bir yan yüz, piramidin taban düzlemine eşit bir açı oluşturur J. Piramidin toplam yüzey alanını bulun.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 21). Piramidin toplam yüzey alanı SABCD alanların toplamına ve yamuğun alanına eşit ABCD.

Piramidin tüm yüzleri taban düzlemine eşit derecede eğimliyse, tepe noktasının tabanda yazılı dairenin merkezine yansıtılacağı ifadesini kullanalım. Nokta HAKKINDA– köşe projeksiyonu S piramidin tabanında. Üçgen SODüçgenin dik izdüşümüdür CSD tabanın düzlemine. Düzlemsel bir şeklin ortogonal izdüşümü alanına ilişkin teoremi kullanarak şunu elde ederiz:

Aynı şekilde şu anlama gelir Böylece sorun yamuğun alanını bulmaya indirgendi ABCD. Bir yamuk çizelim ABCD ayrı ayrı (Şek. 22). Nokta HAKKINDA- yamuk içine yazılmış bir dairenin merkezi.

Bir daire yamuk içine yazılabildiğinden, o zaman veya Pisagor teoreminden elimizdeki

Uzamsal şekillerin hacmini hesaplama yeteneği, geometrideki bir takım pratik problemleri çözerken önemlidir. En yaygın figürlerden biri piramittir. Bu yazıda hem tam hem de kesik piramitleri ele alacağız.

Üç boyutlu bir figür olarak piramit

Herkes Mısır piramitlerini biliyor, bu yüzden nasıl bir figürden bahsedeceğimiz konusunda iyi bir fikirleri var. Ancak Mısır'ın taş yapıları büyük bir piramit sınıfının yalnızca özel bir örneğidir.

Genel durumda ele alınan geometrik nesne, her bir tepe noktası, taban düzlemine ait olmayan uzayda belirli bir noktaya bağlanan çokgen bir tabandır. Bu tanım, bir n-gon ve n üçgenden oluşan bir şekle yol açar.

Herhangi bir piramit n+1 yüz, 2*n kenar ve n+1 köşeden oluşur. Söz konusu şekil mükemmel bir çokyüzlü olduğundan, işaretli elemanların sayısı Euler eşitliğine uymaktadır:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Tabanda bulunan çokgen piramidin adını verir; örneğin üçgen, beşgen vb. Aşağıdaki fotoğrafta farklı tabanlara sahip bir dizi piramit gösterilmektedir.

Bir şeklin n tane üçgeninin birleştiği noktaya piramidin tepe noktası denir. Tabana dik olarak indirilirse ve geometrik merkezde kesişirse, böyle bir şekle düz çizgi adı verilecektir. Bu koşul karşılanmazsa eğimli piramit oluşur.

Tabanı eşkenar (eşkenar) bir n-gon tarafından oluşturulan dik şekle düzgün denir.

Bir piramidin hacmi için formül

Piramidin hacmini hesaplamak için integral hesabını kullanacağız. Bunu yapmak için, tabana paralel düzlemleri sonsuz sayıda ince katmana keserek şekli bölüyoruz. Aşağıdaki şekil, kesitin ince tabakasının bir dörtgenle işaretlendiği, yüksekliği h ve kenar uzunluğu L olan dörtgen bir piramidi göstermektedir.

Bu tür katmanların her birinin alanı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Burada A 0 tabanın alanı, z ise dikey koordinatın değeridir. z = 0 ise formülün A 0 değerini verdiği görülmektedir.

Bir piramidin hacminin formülünü elde etmek için şeklin tüm yüksekliği boyunca integrali hesaplamanız gerekir:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

A(z) bağımlılığını yerine koyarak ve antiderivatifi hesaplayarak şu ifadeye ulaşırız:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.

Piramidin hacminin formülünü elde ettik. V değerini bulmak için şeklin yüksekliğini taban alanıyla çarpmanız ve ardından sonucu üçe bölmeniz yeterlidir.

Ortaya çıkan ifadenin herhangi bir türdeki piramidin hacmini hesaplamak için geçerli olduğunu unutmayın. Yani eğimli olabilir ve tabanı isteğe bağlı bir n-gon olabilir.

ve hacmi

Yukarıdaki paragrafta elde edilen genel hacim formülü, düzenli tabanlı bir piramit durumunda daha iyi hale getirilebilir. Böyle bir bazın alanı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Burada L, n köşeli düzgün bir çokgenin kenar uzunluğudur. Pi sembolü pi sayısıdır.

A 0 ifadesini genel formülde değiştirerek normal bir piramidin hacmini elde ederiz:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Örneğin üçgen bir piramit için bu formül aşağıdaki ifadeyle sonuçlanır:

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.

Düzenli bir dörtgen piramit için hacim formülü şu şekli alır:

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.

Düzenli piramitlerin hacimlerini belirlemek, tabanlarının yanı ve şeklin yüksekliği hakkında bilgi sahibi olmayı gerektirir.

Kesilmiş piramit

Diyelim ki rastgele bir piramit aldık ve yan yüzeyinin tepe noktasını içeren kısmını kestik. Geriye kalan şekle kesik piramit denir. Zaten iki n-genel taban ve bunları birbirine bağlayan n yamuktan oluşuyor. Kesme düzlemi şeklin tabanına paralel ise, benzer paralel tabanlara sahip kesik bir piramit oluşur. Yani bir tarafın kenar uzunlukları diğerinin uzunluklarının belirli bir k katsayısı ile çarpılmasıyla elde edilebilir.

Yukarıdaki şekil kesik bir düzgün olanı göstermektedir. Alt tabanı gibi üst tabanının da düzgün bir altıgenden oluştuğu görülmektedir.

Yukarıdakine benzer integral hesabı kullanılarak elde edilebilecek formül şöyledir:

V = 1/3*sa*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

A 0 ve A 1 sırasıyla alt (büyük) ve üst (küçük) tabanların alanlarıdır. h değişkeni kesik piramidin yüksekliğini belirtir.

Keops piramidinin hacmi

En büyük Mısır piramidinin kendi içinde içerdiği hacmi belirleme problemini çözmek ilginçtir.

1984 yılında İngiliz Mısırbilimciler Mark Lehner ve Jon Goodman, Keops piramidinin kesin boyutlarını belirlediler. Orijinal yüksekliği 146,50 metredir (şu anda yaklaşık 137 metre). Yapının dört tarafının her birinin ortalama uzunluğu 230.363 metredir. Piramidin tabanı yüksek hassasiyetle kare şeklindedir.

Bu taş devin hacmini bulmak için verilen rakamları kullanalım. Piramit düzenli dörtgen olduğundan formül onun için geçerlidir:

Sayıları yerine koyarsak şunu elde ederiz:

V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m3.

Cheops piramidinin hacmi neredeyse 2,6 milyon m3'tür. Karşılaştırma için olimpik yüzme havuzunun 2,5 bin m3 hacme sahip olduğunu not ediyoruz. Yani, Cheops piramidinin tamamını doldurmak için bu tür 1000'den fazla havuza ihtiyacınız olacak!

22.09.2014
Çalışma prensibi. SA1 kodunun ilk hanesindeki butona bastığınızda DD1.1 tetikleyici devreye girecek ve DD1.2 tetikleyicinin D girişinde yüksek seviyeli bir voltaj görünecektir. Dolayısıyla bir sonraki SA2 kod butonuna bastığınızda, DD1.2 tetikleyicisi durumunu değiştirir ve bir sonraki tetikleyiciyi geçişe hazırlar. Daha fazla doğru arama yapılması durumunda, en son DD2.2 tetikleyicisi tetiklenecek ve...
03.10.2014
Önerilen cihaz, kısa devre korumasıyla voltajı 24V'a ve akımı 2A'ya kadar dengeler. Stabilizatörün dengesiz başlatılması durumunda, otonom bir puls üretecinden senkronizasyon kullanılmalıdır (Şekil 1). 2. Stabilizatör devresi Şekil 1'de gösterilmektedir. Güçlü bir düzenleme transistörü VT3'ü kontrol eden VT1 VT2'ye bir Schmitt tetikleyici monte edilmiştir. Ayrıntılar: VT3 bir ısı emiciyle donatılmıştır...
20.09.2014
Amplifikatör (fotoğrafa bakın), otomatik öngerilim tüplerine sahip geleneksel bir devreye göre yapılmıştır: çıkış - AL5, sürücüler - 6G7, kenotron - AZ1. Bir stereo amplifikatörün iki kanalından birinin diyagramı Şekil 1'de gösterilmektedir. Ses seviyesi kontrolünden, sinyal 6G7 lambanın ızgarasına beslenir, güçlendirilir ve bu lambanın anodundan izolasyon kapasitörü C4 aracılığıyla ...
15.11.2017
NE555 evrensel bir zamanlayıcıdır - sabit zaman özelliklerine sahip tek ve tekrarlanan darbeler oluşturmak (üretmek) için bir cihazdır. Belirli giriş eşiklerine, kesin olarak tanımlanmış analog karşılaştırıcılara ve yerleşik bir voltaj bölücüye (RS tetikleyicili hassas Schmitt tetikleyici) sahip asenkron bir RS tetikleyicisidir. Çeşitli jeneratörler, modülatörler, zaman röleleri, eşik cihazları ve diğerlerini oluşturmak için kullanılır...