Unë do të zgjidh ekuacione logaritmike në provim. Zgjidhja e ekuacioneve logaritmike

Çfarë është një logaritëm?

Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")

Çfarë është një logaritëm? Si të zgjidhni logaritmet? Këto pyetje ngatërrojnë shumë maturantë. Tradicionalisht, tema e logaritmeve konsiderohet komplekse, e pakuptueshme dhe e frikshme. Sidomos ekuacionet me logaritme.

Kjo nuk është absolutisht e vërtetë. Absolutisht! Nuk më besoni? Mirë. Tani, në vetëm 10-20 minuta ju:

1. Do të kuptoni çfarë është një logaritëm.

2. Mësoni të zgjidhni një klasë të tërë ekuacionesh eksponenciale. Edhe nëse nuk keni dëgjuar asgjë për ta.

3. Mësoni të llogaritni logaritme të thjeshta.

Për më tepër, për këtë do t'ju duhet vetëm të dini tabelën e shumëzimit dhe si të ngrini një numër në një fuqi ...

Më duket se keni dyshime... Epo, mirë, shënoni kohën! Shkoni!

Së pari, zgjidhni këtë ekuacion në kokën tuaj:

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Siç e dini, kur shumëzohen shprehjet me fuqi, eksponentët e tyre gjithmonë mblidhen (a b *a c = a b+c). Ky ligj matematik u nxor nga Arkimedi, dhe më vonë, në shekullin e 8-të, matematikani Virasen krijoi një tabelë të eksponentëve të numrave të plotë. Ishin ata që shërbyen për zbulimin e mëtejshëm të logaritmeve. Shembuj të përdorimit të këtij funksioni mund të gjenden pothuajse kudo ku duhet të thjeshtoni shumëzimin e rëndë me mbledhje të thjeshtë. Nëse kaloni 10 minuta duke lexuar këtë artikull, ne do t'ju shpjegojmë se çfarë janë logaritmet dhe si të punoni me to. Në një gjuhë të thjeshtë dhe të arritshme.

Përkufizimi në matematikë

Një logaritëm është një shprehje e formës së mëposhtme: log a b=c, d.m.th., logaritmi i çdo numri jonegativ (d.m.th., çdo pozitiv) "b" në bazën e tij "a" konsiderohet të jetë fuqia "c. ” në të cilën baza “a” duhet të ngrihet për të marrë në fund vlerën “b”. Le të analizojmë logaritmin duke përdorur shembuj, le të themi se ekziston një shprehje log 2 8. Si të gjejmë përgjigjen? Është shumë e thjeshtë, ju duhet të gjeni një fuqi të tillë që nga 2 në fuqinë e kërkuar të merrni 8. Pasi të keni bërë disa llogaritje në kokën tuaj, marrim numrin 3! Dhe kjo është e vërtetë, sepse 2 në fuqinë e 3 jep përgjigjen si 8.

Llojet e logaritmeve

Për shumë nxënës dhe studentë, kjo temë duket e ndërlikuar dhe e pakuptueshme, por në fakt logaritmet nuk janë aq të frikshme, gjëja kryesore është të kuptoni kuptimin e tyre të përgjithshëm dhe të mbani mend vetitë e tyre dhe disa rregulla. Ekzistojnë tre lloje të veçanta të shprehjeve logaritmike:

Logaritmi natyror ln a, ku baza është numri i Euler-it (e = 2.7).
Dhjetor a, ku baza është 10.
Logaritmi i çdo numri b në bazën a>1.

Secila prej tyre zgjidhet në një mënyrë standarde, duke përfshirë thjeshtimin, reduktimin dhe reduktimin pasues në një logaritëm të vetëm duke përdorur teorema logaritmike. Për të marrë vlerat e sakta të logaritmeve, duhet të mbani mend vetitë e tyre dhe sekuencën e veprimeve gjatë zgjidhjes së tyre.

Rregulla dhe disa kufizime

Në matematikë ka disa rregulla-kufizime që pranohen si aksiomë, pra nuk janë objekt diskutimi dhe janë të vërteta. Për shembull, është e pamundur të ndash numrat me zero, dhe është gjithashtu e pamundur të nxjerrësh rrënjën çift të numrave negativë. Logaritmet gjithashtu kanë rregullat e tyre, duke ndjekur të cilat lehtë mund të mësoni të punoni edhe me shprehje logaritmike të gjata dhe të mëdha:

Baza "a" duhet të jetë gjithmonë më e madhe se zero dhe jo e barabartë me 1, përndryshe shprehja do të humbasë kuptimin e saj, sepse "1" dhe "0" në çdo shkallë janë gjithmonë të barabarta me vlerat e tyre;
nëse a > 0, atëherë a b >0, rezulton se edhe “c” duhet të jetë më e madhe se zero.

Si të zgjidhni logaritmet?

Për shembull, jepet detyra për të gjetur përgjigjen e ekuacionit 10 x = 100. Kjo është shumë e lehtë, ju duhet të zgjidhni një fuqi duke ngritur numrin dhjetë në të cilin marrim 100. Kjo, natyrisht, është 10 2 = 100.

Tani le ta paraqesim këtë shprehje në formë logaritmike. Marrim log 10 100 = 2. Kur zgjidhim logaritme, të gjitha veprimet praktikisht konvergojnë për të gjetur fuqinë në të cilën është e nevojshme të futet baza e logaritmit për të marrë një numër të caktuar.

Për të përcaktuar me saktësi vlerën e një shkalle të panjohur, duhet të mësoni se si të punoni me një tabelë gradash. Duket kështu:

Siç mund ta shihni, disa eksponentë mund të merren me mend në mënyrë intuitive nëse keni një mendje teknike dhe njohuri për tabelën e shumëzimit. Sidoqoftë, për vlera më të mëdha do t'ju duhet një tavolinë energjie. Mund të përdoret edhe nga ata që nuk dinë asgjë për tema komplekse matematikore. Kolona e majtë përmban numra (baza a), rreshti i sipërm i numrave është vlera e fuqisë c në të cilën është ngritur numri a. Në kryqëzim, qelizat përmbajnë vlerat e numrave që janë përgjigja (a c =b). Le të marrim, për shembull, qelizën e parë me numrin 10 dhe ta katrorojmë atë, marrim vlerën 100, e cila tregohet në kryqëzimin e dy qelizave tona. Gjithçka është aq e thjeshtë dhe e lehtë sa që edhe humanisti më i vërtetë do ta kuptojë!

Ekuacionet dhe pabarazitë

Rezulton se në kushte të caktuara eksponenti është logaritmi. Prandaj, çdo shprehje numerike matematikore mund të shkruhet si barazi logaritmike. Për shembull, 3 4 = 81 mund të shkruhet si logaritmi bazë 3 i 81 i barabartë me katër (log 3 81 = 4). Për fuqitë negative rregullat janë të njëjta: 2 -5 = 1/32 e shkruajmë si logaritëm, marrim log 2 (1/32) = -5. Një nga seksionet më tërheqëse të matematikës është tema e "logaritmeve". Ne do të shikojmë shembujt dhe zgjidhjet e ekuacioneve më poshtë, menjëherë pasi të studiojmë vetitë e tyre. Tani le të shohim se si duken pabarazitë dhe si t'i dallojmë ato nga ekuacionet.

Është dhënë shprehja e mëposhtme: log 2 (x-1) > 3 - është një pabarazi logaritmike, pasi vlera e panjohur "x" është nën shenjën logaritmike. Dhe gjithashtu në shprehjen krahasohen dy madhësi: logaritmi i numrit të dëshiruar me bazën dy është më i madh se numri tre.

Dallimi më i rëndësishëm midis ekuacioneve logaritmike dhe pabarazive është se ekuacionet me logaritme (për shembull, logaritmi 2 x = √9) nënkuptojnë një ose më shumë vlera numerike specifike në përgjigje, ndërsa kur zgjidhet një pabarazi, të dy diapazoni i pranueshëm vlerat dhe pikat përcaktohen duke thyer këtë funksion. Si pasojë, përgjigja nuk është një grup i thjeshtë numrash individualë, si në përgjigjen e një ekuacioni, por një seri e vazhdueshme ose grup numrash.

Teorema themelore rreth logaritmeve

Kur zgjidhni detyra primitive për gjetjen e vlerave të logaritmit, vetitë e tij mund të mos dihen. Megjithatë, kur bëhet fjalë për ekuacionet logaritmike ose pabarazitë, para së gjithash, është e nevojshme të kuptohen qartë dhe të zbatohen në praktikë të gjitha vetitë themelore të logaritmeve. Ne do t'i shikojmë shembujt e ekuacioneve më vonë; së pari le të shohim më në detaje secilën pronë.

Identiteti kryesor duket si ky: a logaB =B. Zbatohet vetëm kur a është më e madhe se 0, jo e barabartë me një, dhe B është më e madhe se zero.
Logaritmi i produktit mund të paraqitet në formulën e mëposhtme: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Në këtë rast, kushti i detyrueshëm është: d, s 1 dhe s 2 > 0; a≠1. Ju mund të jepni një provë për këtë formulë logaritmike, me shembuj dhe zgjidhje. Le të log a s 1 = f 1 dhe log a s 2 = f 2, pastaj a f1 = s 1, a f2 = s 2. Marrim se s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (vetitë e gradë ), dhe më pas sipas përkufizimit: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, që është ajo që duhej vërtetuar.
Logaritmi i herësit duket kështu: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Teorema në formën e një formule merr formën e mëposhtme: log a q b n = n/q log a b.

Kjo formulë quhet "vetia e shkallës së logaritmit". Ajo i ngjan vetive të shkallëve të zakonshme dhe nuk është për t'u habitur, sepse e gjithë matematika bazohet në postulate natyrore. Le të shohim provën.

Le të log a b = t, rezulton një t =b. Nëse i ngremë të dyja pjesët në fuqinë m: a tn = b n ;

por meqenëse a tn = (a q) nt/q = b n, prandaj log a q b n = (n*t)/t, atëherë log a q b n = n/q log a b. Teorema është vërtetuar.

Shembuj problemesh dhe pabarazish

Llojet më të zakonshme të problemeve në logaritme janë shembuj të ekuacioneve dhe pabarazive. Ato gjenden pothuajse në të gjitha librat me probleme, si dhe janë pjesë e detyrueshme e provimeve të matematikës. Për të hyrë në një universitet ose për të kaluar provimet pranuese në matematikë, duhet të dini se si t'i zgjidhni saktë detyra të tilla.

Fatkeqësisht, nuk ka asnjë plan ose skemë të vetme për zgjidhjen dhe përcaktimin e vlerës së panjohur të logaritmit, por disa rregulla mund të zbatohen për çdo pabarazi matematikore ose ekuacion logaritmik. Para së gjithash, duhet të zbuloni nëse shprehja mund të thjeshtohet ose reduktohet në një formë të përgjithshme. Ju mund të thjeshtoni shprehjet e gjata logaritmike nëse përdorni saktë vetitë e tyre. Le t'i njohim shpejt.

Kur zgjidhim ekuacione logaritmike, duhet të përcaktojmë se çfarë lloj logaritmi kemi: një shprehje shembull mund të përmbajë një logaritëm natyror ose një dhjetor.

Këtu janë shembuj ln100, ln1026. Zgjidhja e tyre zbret në faktin se ata duhet të përcaktojnë fuqinë në të cilën baza 10 do të jetë e barabartë me 100 dhe 1026, përkatësisht. Për të zgjidhur logaritmet natyrore, duhet të aplikoni identitete logaritmike ose vetitë e tyre. Le të shohim shembuj të zgjidhjes së problemeve logaritmike të llojeve të ndryshme.

Si të përdorni formulat e logaritmit: me shembuj dhe zgjidhje

Pra, le të shohim shembuj të përdorimit të teoremave bazë rreth logaritmeve.

Vetia e logaritmit të një produkti mund të përdoret në detyra ku është e nevojshme të zbërthehet një vlerë e madhe e numrit b në faktorë më të thjeshtë. Për shembull, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Përgjigja është 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - siç mund ta shihni, duke përdorur vetinë e katërt të fuqisë së logaritmit, arritëm të zgjidhim një shprehje në dukje komplekse dhe të pazgjidhshme. Thjesht duhet të faktorizoni bazën dhe më pas të hiqni vlerat e eksponentit nga shenja e logaritmit.

Detyra nga Provimi i Unifikuar i Shtetit

Logaritmet gjenden shpesh në provimet pranuese, veçanërisht shumë probleme logaritmike në Provimin e Unifikuar të Shtetit (provim shtetëror për të gjithë maturantët). Në mënyrë tipike, këto detyra janë të pranishme jo vetëm në pjesën A (pjesa më e lehtë testuese e provimit), por edhe në pjesën C (detyrat më komplekse dhe më voluminoze). Provimi kërkon njohuri të sakta dhe të përsosura të temës “Logaritmet natyrore”.

Shembujt dhe zgjidhjet e problemeve janë marrë nga versionet zyrtare të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Le të shohim se si zgjidhen detyra të tilla.

Jepet log 2 (2x-1) = 4. Zgjidhje:
le ta rishkruajmë shprehjen, duke e thjeshtuar pak log 2 (2x-1) = 2 2, me përcaktimin e logaritmit marrim se 2x-1 = 2 4, pra 2x = 17; x = 8,5.

Është mirë që të reduktohen të gjitha logaritmet në të njëjtën bazë në mënyrë që zgjidhja të mos jetë e rëndë dhe konfuze.
Të gjitha shprehjet nën shenjën e logaritmit tregohen si pozitive, prandaj, kur eksponenti i një shprehjeje që është nën shenjën e logaritmit dhe si bazë e saj nxirret si shumëzues, shprehja e mbetur nën logaritëm duhet të jetë pozitive.

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga organet qeveritare në Federatën Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.