Формула за ускорение при кръгово движение. Равномерно движение около кръг
Когато описваме движението на точка по окръжност, ще характеризираме движението на точката с ъгъла Δφ , който описва радиус вектора на точка във времето Δt. Ъглово преместване за безкрайно малък период от време дтобозначен с dφ.
Ъгловото преместване е векторна величина. Посоката на вектора (или ) се определя от правилото на гимлета: ако завъртите гимлета (винт с дясна резба) в посоката на движение на точката, гимлетът ще се движи в посоката на вектора на ъгловото изместване. На фиг. 14 точка М се движи по посока на часовниковата стрелка, ако погледнете равнината на движение отдолу. Ако завъртите гимлета в тази посока, векторът ще бъде насочен нагоре.
По този начин посоката на вектора на ъгловото изместване се определя от избора на положителната посока на въртене. Положителната посока на въртене се определя от правилото за дясна резба. Със същия успех обаче може да се вземе гимлет с лява резба. В този случай посоката на вектора на ъгловото изместване би била противоположна.
При разглеждането на такива величини като скорост, ускорение, вектор на изместване не възниква въпросът за избора на тяхната посока: тя се определя естествено от естеството на самите величини. Такива вектори се наричат полярни. Наричат се вектори, подобни на вектора на ъгловото преместване аксиален,или псевдовектори. Посоката на аксиалния вектор се определя чрез избора на положителната посока на въртене. Освен това аксиалният вектор няма точка на приложение. Полярни вектори, които разгледахме досега, се прилагат към движеща се точка. За аксиален вектор можете да посочите само посоката (ос, axis - лат.), по която е насочен. Оста, по която е насочен векторът на ъгловото преместване, е перпендикулярна на равнината на въртене. Обикновено векторът на ъгловото изместване се начертава върху ос, минаваща през центъра на окръжността (фиг. 14), въпреки че може да се начертае навсякъде, включително върху ос, минаваща през въпросната точка.
В системата SI ъглите се измерват в радиани. Радианът е ъгъл, чиято дължина на дъгата е равна на радиуса на окръжността. Така общият ъгъл (360 0) е 2π радиана.
Движение на точка в окръжност
Ъглова скорост– векторна величина, числено равна на ъгъла на завъртане за единица време. Ъгловата скорост обикновено се обозначава с гръцката буква ω. По дефиниция ъгловата скорост е производната на ъгъл по отношение на времето:
Посоката на вектора на ъгловата скорост съвпада с посоката на вектора на ъгловото преместване (фиг. 14). Векторът на ъгловата скорост, точно както векторът на ъгловото изместване, е аксиален вектор.
Размерът на ъгловата скорост е rad/s.
Въртенето с постоянна ъглова скорост се нарича равномерно, като ω = φ/t.
Равномерното въртене може да се характеризира с периода на въртене T, който се разбира като времето, през което тялото прави едно завъртане, т.е. се завърта на ъгъл от 2π. Тъй като интервалът от време Δt = T съответства на ъгъла на завъртане Δφ = 2π, тогава
Броят на оборотите за единица време ν очевидно е равен на:
Стойността на ν се измерва в херци (Hz). Един херц е един оборот в секунда или 2π rad/s.
Концепциите за периода на въртене и броя на оборотите за единица време също могат да бъдат запазени за неравномерно въртене, разбирайки под моментната стойност T времето, през което тялото би направило един оборот, ако се върти равномерно с дадена моментна стойност на ъгловата скорост, а чрез ν означава този брой обороти, които едно тяло би направило за единица време при подобни условия.
Ако ъгловата скорост се променя с времето, тогава въртенето се нарича неравномерно. В този случай въведете ъглово ускорениепо същия начин, както линейното ускорение е въведено за праволинейно движение. Ъгловото ускорение е промяната в ъгловата скорост за единица време, изчислена като производната на ъгловата скорост по отношение на времето или втората производна на ъгловото изместване по отношение на времето:
Точно като ъгловата скорост, ъгловото ускорение е векторна величина. Векторът на ъгловото ускорение е аксиален вектор, в случай на ускорено въртене е насочен в същата посока като вектора на ъгловата скорост (фиг. 14); при бавно въртене векторът на ъгловото ускорение е насочен противоположно на вектора на ъгловата скорост.
При равномерно променливото въртеливо движение се осъществяват съотношения, подобни на формулите (10) и (11), които описват равномерно променливото праволинейно движение.
Тъй като линейната скорост равномерно променя посоката си, кръговото движение не може да се нарече равномерно, то е равномерно ускорено.
Ъглова скорост
Нека изберем точка от окръжността 1 . Нека изградим радиус. За единица време точката ще се премести в точка 2 . В този случай радиусът описва ъгъла. Ъгловата скорост е числено равна на ъгъла на завъртане на радиуса за единица време.
Период и честота
Период на въртене T- това е времето, през което тялото прави един оборот.
Честотата на въртене е броят на оборотите в секунда.
Честотата и периодът са взаимосвързани чрез връзката
Връзка с ъгловата скорост
Линейна скорост
Всяка точка от кръга се движи с определена скорост. Тази скорост се нарича линейна. Посоката на вектора на линейната скорост винаги съвпада с допирателната към окръжността.Например, искри изпод шлифовъчна машина се движат, повтаряйки посоката на моментната скорост.
Помислете за точка от окръжност, която прави едно завъртане, изразходваното време е периодът TПътят, който една точка изминава, е обиколката.
Центростремително ускорение
При движение в кръг векторът на ускорението винаги е перпендикулярен на вектора на скоростта, насочен към центъра на кръга.
Използвайки предишните формули, можем да изведем следните зависимости
Точките, лежащи на една и съща права линия, излизаща от центъра на кръга (например, това могат да бъдат точки, които лежат върху спиците на колело), ще имат еднакви ъглови скорости, период и честота. Тоест те ще се въртят по същия начин, но с различни линейни скорости. Колкото по-далеч е една точка от центъра, толкова по-бързо ще се движи.
Законът за събиране на скоростите е валиден и за въртеливото движение. Ако движението на тяло или референтна система не е равномерно, тогава законът се прилага за моментните скорости. Например, скоростта на човек, който върви по ръба на въртяща се въртележка, е равна на векторната сума на линейната скорост на въртене на ръба на въртележката и скоростта на човека.
Земята участва в две основни въртеливи движения: денонощно (около оста си) и орбитално (около Слънцето). Периодът на въртене на Земята около Слънцето е 1 година или 365 дни. Земята се върти около оста си от запад на изток, периодът на това въртене е 1 ден или 24 часа. Географската ширина е ъгълът между равнината на екватора и посоката от центъра на Земята към точка на нейната повърхност.
Според втория закон на Нютон причината за всяко ускорение е силата. Ако движещо се тяло изпитва центростремително ускорение, тогава природата на силите, които причиняват това ускорение, може да бъде различна. Например, ако едно тяло се движи в кръг по въже, вързано за него, тогава действащата сила е еластичната сила.
Ако тяло, лежащо върху диск, се върти с диска около оста си, тогава такава сила е силата на триене. Ако силата спре своето действие, тогава тялото ще продължи да се движи по права линия
Помислете за движението на точка по окръжност от A до B. Линейната скорост е равна на
Сега нека преминем към стационарна система, свързана със земята. Общото ускорение на точка А ще остане същото както по големина, така и по посока, тъй като при преминаване от една инерционна референтна система към друга ускорението не се променя. От гледна точка на неподвижен наблюдател, траекторията на точка А вече не е кръг, а по-сложна крива (циклоида), по която точката се движи неравномерно.
Тъй като линейната скорост равномерно променя посоката си, кръговото движение не може да се нарече равномерно, то е равномерно ускорено.
Ъглова скорост
Нека изберем точка от окръжността 1 . Нека изградим радиус. За единица време точката ще се премести в точка 2 . В този случай радиусът описва ъгъла. Ъгловата скорост е числено равна на ъгъла на завъртане на радиуса за единица време.
Период и честота
Период на въртене T- това е времето, през което тялото прави един оборот.
Честотата на въртене е броят на оборотите в секунда.
Честотата и периодът са взаимосвързани чрез връзката
Връзка с ъгловата скорост
Линейна скорост
Всяка точка от кръга се движи с определена скорост. Тази скорост се нарича линейна. Посоката на вектора на линейната скорост винаги съвпада с допирателната към окръжността.Например, искри изпод шлифовъчна машина се движат, повтаряйки посоката на моментната скорост.
Помислете за точка от окръжност, която прави едно завъртане, изразходваното време е периодът T. Пътят, който една точка изминава, е обиколката.
Центростремително ускорение
При движение в кръг векторът на ускорението винаги е перпендикулярен на вектора на скоростта, насочен към центъра на кръга.
Използвайки предишните формули, можем да изведем следните зависимости
Точките, лежащи на една и съща права линия, излизаща от центъра на кръга (например, това могат да бъдат точки, които лежат върху спиците на колело), ще имат еднакви ъглови скорости, период и честота. Тоест те ще се въртят по същия начин, но с различни линейни скорости. Колкото по-далеч е една точка от центъра, толкова по-бързо ще се движи.
Законът за събиране на скоростите е валиден и за въртеливото движение. Ако движението на тяло или референтна система не е равномерно, тогава законът се прилага за моментните скорости. Например, скоростта на човек, който върви по ръба на въртяща се въртележка, е равна на векторната сума на линейната скорост на въртене на ръба на въртележката и скоростта на човека.
Земята участва в две основни въртеливи движения: денонощно (около оста си) и орбитално (около Слънцето). Периодът на въртене на Земята около Слънцето е 1 година или 365 дни. Земята се върти около оста си от запад на изток, периодът на това въртене е 1 ден или 24 часа. Географската ширина е ъгълът между равнината на екватора и посоката от центъра на Земята към точка на нейната повърхност.
Според втория закон на Нютон причината за всяко ускорение е силата. Ако движещо се тяло изпитва центростремително ускорение, тогава природата на силите, които причиняват това ускорение, може да бъде различна. Например, ако едно тяло се движи в кръг по въже, вързано за него, тогава действащата сила е еластичната сила.
Ако тяло, лежащо върху диск, се върти с диска около оста си, тогава такава сила е силата на триене. Ако силата спре своето действие, тогава тялото ще продължи да се движи по права линия
Помислете за движението на точка по окръжност от A до B. Линейната скорост е равна на v AИ vBсъответно. Ускорението е промяната на скоростта за единица време. Нека намерим разликата между векторите.
