Քննությանը կլուծեմ լոգարիթմական հավասարումներ. Լոգարիթմական հավասարումների լուծում

Ի՞նչ է լոգարիթմը:

Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
նյութեր 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր շատ «ոչ շատ ...» են:
Եվ նրանց համար, ովքեր «շատ ...»)

Ի՞նչ է լոգարիթմը: Ինչպե՞ս լուծել լոգարիթմները: Այս հարցերը շփոթեցնում են շատ շրջանավարտների։ Ավանդաբար, լոգարիթմների թեման համարվում է բարդ, անհասկանալի և վախկոտ: Հատկապես լոգարիթմներով հավասարումներ։

Սա բացարձակապես ճիշտ չէ: Բացարձակապես! Չե՞ք հավատում ինձ: Լավ: Այժմ, ընդամենը 10-20 րոպեում դուք.

1. Կհասկանաք ինչ է լոգարիթմը.

2. Սովորեք լուծել էքսպոնենցիալ հավասարումների մի ամբողջ դաս: Նույնիսկ եթե դուք ոչինչ չեք լսել նրանց մասին:

3. Սովորեք հաշվարկել պարզ լոգարիթմներ:

Ընդ որում, դրա համար անհրաժեշտ կլինի իմանալ միայն բազմապատկման աղյուսակը և ինչպես կարելի է թիվը հասցնել ուժի...

Ինձ թվում է, որ դուք կասկածներ ունեք... Դե, լավ, նշեք ժամը։ Գնա՛

Նախ, ձեր գլխում լուծեք այս հավասարումը.

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Եկեք սովորենք - հետաքրքրությամբ!)

Կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

Ինչպես գիտեք, արտահայտությունները հզորություններով բազմապատկելիս դրանց ցուցիչները միշտ գումարվում են (a b *a c = a b+c): Այս մաթեմատիկական օրենքը ստացվել է Արքիմեդի կողմից, իսկ ավելի ուշ՝ 8-րդ դարում, մաթեմատիկոս Վիրասենը ստեղծեց ամբողջ թվերի ցուցիչների աղյուսակը։ Հենց նրանք էլ ծառայեցին լոգարիթմների հետագա հայտնաբերմանը։ Այս ֆունկցիան օգտագործելու օրինակներ կարելի է գտնել գրեթե ամենուր, որտեղ դուք պետք է պարզեցնեք ծանր բազմապատկումը պարզ գումարման միջոցով: Եթե ​​դուք 10 րոպե ծախսեք այս հոդվածը կարդալու համար, մենք ձեզ կբացատրենք, թե ինչ են լոգարիթմները և ինչպես աշխատել դրանց հետ: Պարզ և մատչելի լեզվով։

Սահմանում մաթեմատիկայի մեջ

Լոգարիթմը հետևյալ ձևի արտահայտությունն է՝ log a b=c, այսինքն՝ ցանկացած ոչ բացասական թվի (այսինքն՝ ցանկացած դրական) լոգարիթմը իր «a» հիմքի նկատմամբ համարվում է «c» հզորություն։ », որի վրա պետք է բարձրացնել «a» հիմքը, որպեսզի ի վերջո ստացվի «b» արժեքը: Օրինակներով վերլուծենք լոգարիթմը, ասենք կա արտահայտություն log 2 8. Ինչպե՞ս գտնել պատասխանը: Դա շատ պարզ է, դուք պետք է այնպիսի հզորություն գտնեք, որ 2-ից մինչև պահանջվող հզորությունը ստանաք 8: Ձեր գլխում որոշ հաշվարկներ կատարելուց հետո մենք ստանում ենք 3 թիվը: Եվ դա ճիշտ է, քանի որ 2-ը 3-ի չափով պատասխան է տալիս որպես 8:

Լոգարիթմների տեսակները

Շատ աշակերտների և ուսանողների համար այս թեման բարդ և անհասկանալի է թվում, բայց իրականում լոգարիթմներն այնքան էլ սարսափելի չեն, գլխավորը հասկանալ դրանց ընդհանուր իմաստը և հիշել դրանց հատկությունները և որոշ կանոններ: Լոգարիթմական արտահայտությունների երեք առանձին տեսակ կա.

1. Բնական լոգարիթմ ln a, որտեղ հիմքը Էյլերի թիվն է (e = 2.7):
2. Տասնորդական a, որտեղ հիմքը 10 է:
3. Ցանկացած b թվի լոգարիթմ՝ a>1 հիմքի վրա:

Դրանցից յուրաքանչյուրը լուծվում է ստանդարտ եղանակով, ներառյալ պարզեցումը, կրճատումը և հետագա կրճատումը մեկ լոգարիթմի՝ օգտագործելով լոգարիթմական թեորեմներ: Լոգարիթմների ճիշտ արժեքները ստանալու համար դրանք լուծելիս պետք է հիշել դրանց հատկությունները և գործողությունների հաջորդականությունը:

Կանոններ և որոշ սահմանափակումներ

Մաթեմատիկայի մեջ կան մի քանի կանոն-սահմանափակումներ, որոնք ընդունված են որպես աքսիոմ, այսինքն՝ քննարկման ենթակա չեն և ճշմարտություն են։ Օրինակ, անհնար է թվերը բաժանել զրոյի, ինչպես նաև անհնար է հանել բացասական թվերի զույգ արմատը։ Լոգարիթմներն ունեն նաև իրենց կանոնները, որոնց հետևելով կարող եք հեշտությամբ սովորել աշխատել նույնիսկ երկար և տարողունակ լոգարիթմական արտահայտություններով.

• «a» հիմքը միշտ պետք է լինի զրոյից մեծ և ոչ թե հավասար 1-ի, այլապես արտահայտությունը կկորցնի իր նշանակությունը, քանի որ «1» և «0» ցանկացած աստիճանի միշտ հավասար են իրենց արժեքներին.
• եթե a > 0, ապա a b >0, ստացվում է, որ «c»-ն նույնպես պետք է մեծ լինի զրոյից:

Ինչպե՞ս լուծել լոգարիթմները:

Օրինակ, առաջադրանք է տրված գտնել 10 x = 100 հավասարման պատասխանը: Սա շատ հեշտ է, դուք պետք է ընտրեք հզորություն՝ բարձրացնելով տասը թիվը, որից մենք ստանում ենք 100: Սա, իհարկե, 10 2 = է: 100.

Այժմ եկեք այս արտահայտությունը ներկայացնենք լոգարիթմական տեսքով։ Մենք ստանում ենք log 10 100 = 2: Լոգարիթմները լուծելիս բոլոր գործողությունները գործնականում միանում են՝ գտնելու այն հզորությունը, որին անհրաժեշտ է մուտքագրել լոգարիթմի հիմքը՝ տրված թիվ ստանալու համար:

Անհայտ աստիճանի արժեքը ճշգրիտ որոշելու համար դուք պետք է սովորեք, թե ինչպես աշխատել աստիճանների աղյուսակի հետ: Այն կարծես այսպիսին է.

Ինչպես տեսնում եք, որոշ ցուցիչներ կարելի է ինտուիտիվ կերպով գուշակել, եթե ունեք տեխնիկական միտք և գիտելիքներ բազմապատկման աղյուսակի վերաբերյալ: Այնուամենայնիվ, ավելի մեծ արժեքների համար ձեզ հարկավոր է էլեկտրական սեղան: Այն կարող է օգտագործվել նույնիսկ նրանց կողմից, ովքեր ընդհանրապես ոչինչ չգիտեն բարդ մաթեմատիկական թեմաների մասին: Ձախ սյունակը պարունակում է թվեր (հիմք ա), թվերի վերին շարքը c հզորության արժեքն է, որին բարձրացվում է a թիվը։ Խաչմերուկում բջիջները պարունակում են թվային արժեքներ, որոնք պատասխան են (a c =b): Վերցնենք, օրինակ, 10 թվով հենց առաջին բջիջը և քառակուսի դարձնենք, ստանում ենք 100 արժեքը, որը նշված է մեր երկու բջիջների հատման կետում։ Ամեն ինչ այնքան պարզ է և հեշտ, որ նույնիսկ ամենաիսկական հումանիստը կհասկանա:

Հավասարումներ և անհավասարություններ

Ստացվում է, որ որոշակի պայմաններում ցուցիչը լոգարիթմն է։ Հետևաբար, ցանկացած մաթեմատիկական թվային արտահայտություն կարող է գրվել որպես լոգարիթմական հավասարություն։ Օրինակ, 3 4 =81 կարելի է գրել որպես 81-ի 3-րդ լոգարիթմ, որը հավասար է չորսին (log 3 81 = 4): Բացասական հզորությունների համար կանոնները նույնն են՝ 2 -5 = 1/32 գրում ենք որպես լոգարիթմ, ստանում ենք log 2 (1/32) = -5։ Մաթեմատիկայի ամենահետաքրքիր բաժիններից մեկը «լոգարիթմների» թեման է։ Հավասարումների օրինակներն ու լուծումները կդիտարկենք ստորև՝ դրանց հատկություններն ուսումնասիրելուց անմիջապես հետո։ Հիմա եկեք տեսնենք, թե ինչ տեսք ունեն անհավասարությունները և ինչպես դրանք տարբերել հավասարումներից:

Տրված է հետևյալ արտահայտությունը՝ log 2 (x-1) > 3 - դա լոգարիթմական անհավասարություն է, քանի որ «x» անհայտ արժեքը գտնվում է լոգարիթմական նշանի տակ։ Եվ նաև արտահայտության մեջ համեմատվում են երկու մեծություններ՝ ցանկալի թվի լոգարիթմը երկու հիմքի նկատմամբ մեծ է երեք թվից։

Լոգարիթմական հավասարումների և անհավասարությունների միջև ամենակարևոր տարբերությունն այն է, որ լոգարիթմներով հավասարումները (օրինակ, լոգարիթմը 2 x = √9) պատասխանում ենթադրում են մեկ կամ մի քանի հատուկ թվային արժեքներ, մինչդեռ անհավասարություն լուծելիս երկուսն էլ ընդունելի միջակայք են: արժեքները և կետերը որոշվում են խախտելով այս ֆունկցիան: Որպես հետևանք, պատասխանը առանձին թվերի պարզ բազմություն չէ, ինչպես հավասարման պատասխանում, այլ շարունակական շարք կամ թվերի բազմություն:

Հիմնական թեորեմներ լոգարիթմների մասին

Լոգարիթմի արժեքները գտնելու պարզունակ խնդիրները լուծելիս նրա հատկությունները կարող են հայտնի չլինել: Այնուամենայնիվ, երբ խոսքը վերաբերում է լոգարիթմական հավասարումների կամ անհավասարություններին, առաջին հերթին անհրաժեշտ է հստակ հասկանալ և գործնականում կիրառել լոգարիթմների բոլոր հիմնական հատկությունները։ Մենք ավելի ուշ կանդրադառնանք հավասարումների օրինակներին, նախ եկեք ավելի մանրամասն նայենք յուրաքանչյուր հատկությանը:

1. Հիմնական ինքնությունն այսպիսի տեսք ունի՝ a logaB =B: Այն կիրառվում է միայն այն դեպքում, երբ a-ն մեծ է 0-ից, հավասար չէ մեկին, իսկ B-ն մեծ է զրոյից:
2. Արտադրանքի լոգարիթմը կարող է ներկայացվել հետևյալ բանաձևով. log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2: Այս դեպքում պարտադիր պայմանն է՝ d, s 1 և s 2 > 0; a≠1. Այս լոգարիթմական բանաձևի համար կարող եք ապացույցներ տալ՝ օրինակներով և լուծումներով։ Եկեք log a s 1 = f 1 և log a s 2 = f 2, ապա a f1 = s 1, a f2 = s 2: Մենք ստանում ենք, որ s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (հատկություններ. աստիճաններ ), և այնուհետև ըստ սահմանման. log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ինչը պետք է ապացուցվեր:
3. Քվեորդի լոգարիթմն ունի հետևյալ տեսքը՝ log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2:
4. Բանաձևի տեսքով թեորեմն ունի հետևյալ ձևը՝ log a q b n = n/q log a b.

Այս բանաձևը կոչվում է «լոգարիթմի աստիճանի հատկություն»: Այն նման է սովորական աստիճանների հատկություններին, և դա զարմանալի չէ, քանի որ բոլոր մաթեմատիկան հիմնված է բնական պոստուլատների վրա։ Եկեք նայենք ապացույցին.

Թող log a b = t, ստացվում է t =b: Եթե ​​երկու մասերն էլ բարձրացնենք մ հզորության՝ a tn = b n ;

բայց քանի որ a tn = (a q) nt/q = b n, հետևաբար log a q b n = (n*t)/t, ապա log a q b n = n/q log a b. Թեորեմն ապացուցված է.

Խնդիրների և անհավասարությունների օրինակներ

Լոգարիթմների վրա խնդիրների ամենատարածված տեսակները հավասարումների և անհավասարությունների օրինակներն են: Դրանք հանդիպում են գրեթե բոլոր պրոբլեմային գրքերում, ինչպես նաև մաթեմատիկայի քննությունների պարտադիր մասն են։ Համալսարան ընդունվելու կամ մաթեմատիկայի ընդունելության քննություններ հանձնելու համար պետք է իմանալ, թե ինչպես ճիշտ լուծել նման առաջադրանքները։

Ցավոք, չկա լոգարիթմի անհայտ արժեքը լուծելու և որոշելու մեկ պլան կամ սխեմա, սակայն որոշակի կանոններ կարող են կիրառվել յուրաքանչյուր մաթեմատիկական անհավասարության կամ լոգարիթմական հավասարման համար։ Առաջին հերթին, դուք պետք է պարզեք, թե արդյոք արտահայտությունը կարող է պարզեցվել կամ կրճատվել ընդհանուր ձևի: Դուք կարող եք պարզեցնել երկար լոգարիթմական արտահայտությունները, եթե ճիշտ օգտագործեք դրանց հատկությունները: Եկեք արագ ծանոթանանք նրանց հետ:

Լոգարիթմական հավասարումներ լուծելիս մենք պետք է որոշենք, թե ինչպիսի լոգարիթմ ունենք. օրինակ արտահայտությունը կարող է պարունակել բնական լոգարիթմ կամ տասնորդական:

Ահա օրինակներ ln100, ln1026: Նրանց լուծումը հանգում է նրան, որ նրանք պետք է որոշեն այն հզորությունը, որով 10-րդ բազան համապատասխանաբար հավասար կլինի 100-ի և 1026-ի: Բնական լոգարիթմները լուծելու համար անհրաժեշտ է կիրառել լոգարիթմական նույնականացումներ կամ դրանց հատկությունները: Դիտարկենք տարբեր տեսակի լոգարիթմական խնդիրների լուծման օրինակներ:

Ինչպես օգտագործել լոգարիթմի բանաձևերը. օրինակներով և լուծումներով

Այսպիսով, եկեք նայենք լոգարիթմների վերաբերյալ հիմնական թեորեմների օգտագործման օրինակներին:

1. Արտադրանքի լոգարիթմի հատկությունը կարող է օգտագործվել այնպիսի առաջադրանքներում, որտեղ անհրաժեշտ է b թվի մեծ արժեքը տարրալուծել ավելի պարզ գործոնների։ Օրինակ՝ log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Պատասխանը 9 է։
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - ինչպես տեսնում եք, օգտագործելով լոգարիթմի հզորության չորրորդ հատկությունը, մեզ հաջողվեց լուծել բարդ և անլուծելի թվացող արտահայտությունը։ Պարզապես պետք է գործոնավորել հիմքը և այնուհետև լոգարիթմի նշանից հանել ցուցիչի արժեքները:

Առաջադրանքներ միասնական պետական ​​քննությունից

Լոգարիթմները հաճախ հանդիպում են ընդունելության քննություններին, հատկապես լոգարիթմական բազմաթիվ խնդիրներ միասնական պետական ​​քննության ժամանակ (պետական ​​քննություն բոլոր դպրոցների շրջանավարտների համար): Սովորաբար այս առաջադրանքները առկա են ոչ միայն A մասում (քննության ամենահեշտ թեստային մասը), այլ նաև C մասում (ամենաբարդ և ծավալուն առաջադրանքները): Քննությունը պահանջում է «Բնական լոգարիթմներ» թեմայի ճշգրիտ և կատարյալ իմացություն:

Օրինակներ և խնդիրների լուծումներ վերցված են Պետական ​​միասնական քննության պաշտոնական տարբերակներից։ Տեսնենք, թե ինչպես են լուծվում նման խնդիրները։

Տրված է log 2 (2x-1) = 4. Լուծում:
եկեք վերաշարադրենք արտահայտությունը՝ մի փոքր պարզեցնելով այն log 2 (2x-1) = 2 2, լոգարիթմի սահմանմամբ մենք ստանում ենք, որ 2x-1 = 2 4, հետևաբար 2x = 17; x = 8,5:

• Լավագույնն այն է, որ բոլոր լոգարիթմները կրճատվեն նույն հիմքի վրա, որպեսզի լուծումը ծանր ու շփոթեցնող չլինի:
• Լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող բոլոր արտահայտությունները նշվում են որպես դրական, հետևաբար, երբ լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող արտահայտության ցուցիչը հանվում է որպես բազմապատկիչ, լոգարիթմի տակ մնացած արտահայտությունը պետք է լինի դրական:

Մեզ համար կարևոր է ձեր գաղտնիության պահպանումը: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տվյալները: Խնդրում ենք վերանայել մեր գաղտնիության գործելակերպը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, էլ.փոստի հասցեն և այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Մեր հավաքած անձնական տեղեկությունները մեզ թույլ են տալիս կապ հաստատել ձեզ հետ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և գալիք իրադարձությունների հետ:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից տրամադրվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ ակցիայի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Տեղեկատվության բացահայտում երրորդ անձանց

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքին համապատասխան, դատական ​​կարգով, դատական ​​գործընթացներում և/կամ Ռուսաստանի Դաշնության պետական ​​մարմինների հանրային խնդրանքների կամ խնդրանքների հիման վրա՝ բացահայտել ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային նշանակության այլ նպատակների համար:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան իրավահաջորդ երրորդ կողմին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Հարգելով ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության չափանիշները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան: