فرمول شتاب در حرکت دایره ای حرکت یکنواخت در اطراف یک دایره

هنگام توصیف حرکت یک نقطه در امتداد یک دایره، حرکت نقطه را با زاویه مشخص می کنیم Δφ ، که بردار شعاع یک نقطه را در طول زمان توصیف می کند Δt. جابجایی زاویه ای در بازه زمانی بینهایت کوچک dtنشان داده شده با dφ.

جابجایی زاویه ای یک کمیت برداری است. جهت بردار (یا ) با قاعده گیملت تعیین می شود: اگر گیملت (پیچ با نخ سمت راست) را در جهت حرکت نقطه بچرخانید، گیملت در جهت بردار جابجایی زاویه ای حرکت می کند. در شکل اگر از پایین به صفحه حرکت نگاه کنید، نقطه 14 M در جهت عقربه های ساعت حرکت می کند. اگر گیملت را در این جهت بچرخانید، بردار به سمت بالا هدایت می شود.

بنابراین، جهت بردار جابجایی زاویه ای با انتخاب جهت مثبت چرخش تعیین می شود. جهت مثبت چرخش توسط قاعده گیملت نخ سمت راست تعیین می شود. با این حال، با همان موفقیت می‌توان یک گیملت با نخ سمت چپ گرفت. در این حالت جهت بردار جابجایی زاویه ای مخالف خواهد بود.

هنگام در نظر گرفتن مقادیری مانند سرعت، شتاب، بردار جابجایی، مسئله انتخاب جهت آنها مطرح نشد: به طور طبیعی از ماهیت خود کمیت ها مشخص شد. چنین بردارهایی قطبی نامیده می شوند. بردارهای مشابه بردار جابجایی زاویه ای نامیده می شوند محوری،یا شبه بردارها. جهت بردار محوری با انتخاب جهت مثبت چرخش تعیین می شود. علاوه بر این، بردار محوری نقطه کاربرد ندارد. بردارهای قطبیکه تا اینجا در نظر گرفتیم برای یک نقطه متحرک اعمال می شود. برای یک بردار محوری، فقط می توانید جهت (محور، محور - لاتین) را که در امتداد آن هدایت می شود، نشان دهید. محوری که بردار جابجایی زاویه ای در امتداد آن قرار دارد بر صفحه چرخش عمود است. به طور معمول، بردار جابجایی زاویه ای بر روی محوری که از مرکز دایره می گذرد ترسیم می شود (شکل 14)، اگرچه می توان آن را در هر جایی ترسیم کرد، از جمله روی محوری که از نقطه مورد نظر می گذرد.

در سیستم SI، زاویه ها بر حسب رادیان اندازه گیری می شوند. رادیان زاویه ای است که طول قوس آن برابر با شعاع دایره است. بنابراین، زاویه کل (360 0) 2π رادیان است.

حرکت یک نقطه در یک دایره

سرعت زاویهای- کمیت برداری، عددی برابر با زاویه چرخش در واحد زمان. سرعت زاویه ای معمولا با حرف یونانی ω نشان داده می شود. طبق تعریف، سرعت زاویه ای مشتق یک زاویه نسبت به زمان است:

جهت بردار سرعت زاویه ای با جهت بردار جابجایی زاویه ای منطبق است (شکل 14). بردار سرعت زاویه ای، درست مانند بردار جابجایی زاویه ای، یک بردار محوری است.

بعد سرعت زاویه ای راد بر ثانیه است.

چرخش با سرعت زاویه ای ثابت را یکنواخت می گویند، با ω = φ/t.

چرخش یکنواخت را می توان با دوره چرخش T مشخص کرد، که به عنوان زمانی درک می شود که در طی آن بدن یک چرخش می کند، یعنی در یک زاویه 2π می چرخد. از آنجایی که فاصله زمانی Δt = T مربوط به زاویه چرخش Δφ = 2π است، پس

تعداد دور در واحد زمان ν به وضوح برابر است با:

مقدار ν بر حسب هرتز (Hz) اندازه گیری می شود. یک هرتز یک دور در ثانیه یا 2π راد بر ثانیه است.

مفاهیم دوره چرخش و تعداد دور در واحد زمان را می توان برای چرخش غیر یکنواخت نیز حفظ کرد، با درک مقدار لحظه ای T زمانی که در طی آن بدن اگر به طور یکنواخت با مقدار لحظه ای معین بچرخد یک دور انجام می دهد. سرعت زاویه ای و ν به معنای تعداد دورهایی است که یک جسم در واحد زمان در شرایط مشابه انجام می دهد.

اگر سرعت زاویه ای با زمان تغییر کند، چرخش ناهموار نامیده می شود. در این صورت وارد کنید شتاب زاویه ایهمانطور که شتاب خطی برای حرکت مستقیم معرفی شد. شتاب زاویه ای تغییر در سرعت زاویه ای در واحد زمان است که به عنوان مشتق سرعت زاویه ای نسبت به زمان یا مشتق دوم جابجایی زاویه ای نسبت به زمان محاسبه می شود:

درست مانند سرعت زاویه ای، شتاب زاویه ای یک کمیت برداری است. بردار شتاب زاویه ای یک بردار محوری است، در مورد چرخش شتاب دار در همان جهت بردار سرعت زاویه ای هدایت می شود (شکل 14). در مورد چرخش آهسته، بردار شتاب زاویه ای مخالف بردار سرعت زاویه ای است.

با حرکت چرخشی متغیر یکنواخت، روابطی مشابه فرمول های (10) و (11) که حرکت مستطیل متغیر یکنواخت را توصیف می کنند، رخ می دهد.

از آنجایی که سرعت خطی به طور یکنواخت تغییر جهت می دهد، حرکت دایره ای را نمی توان یکنواخت نامید، به طور یکنواخت شتاب می گیرد.

سرعت زاویهای

بیایید یک نقطه از دایره را انتخاب کنیم 1 . بیایید یک شعاع بسازیم. در یک واحد زمان، نقطه به نقطه دیگر منتقل می شود 2 . در این مورد، شعاع زاویه را توصیف می کند. سرعت زاویه ای از نظر عددی برابر با زاویه چرخش شعاع در واحد زمان است.

دوره و فرکانس

دوره چرخش تی- این زمانی است که بدن یک چرخش می کند.

فرکانس چرخش تعداد دور در ثانیه است.

فرکانس و دوره با رابطه به هم مرتبط هستند

رابطه با سرعت زاویه ای

سرعت خطی

هر نقطه روی دایره با سرعت مشخصی حرکت می کند. به این سرعت خطی می گویند. جهت بردار سرعت خطی همیشه با مماس بر دایره منطبق است.به عنوان مثال، جرقه های زیر یک ماشین سنگ زنی حرکت می کند و جهت سرعت آنی را تکرار می کند.

نقطه ای از دایره را در نظر بگیرید که یک چرخش می کند، زمان صرف شده دوره است تیمسیری که یک نقطه طی می کند، محیط است.

شتاب مرکزگرا

هنگام حرکت در یک دایره، بردار شتاب همیشه عمود بر بردار سرعت است و به سمت مرکز دایره هدایت می شود.

با استفاده از فرمول های قبلی می توانیم روابط زیر را استخراج کنیم

نقاطی که روی یک خط مستقیم قرار دارند که از مرکز دایره بیرون می‌آیند (مثلاً، می‌توانند نقاطی باشند که روی پره‌های یک چرخ قرار دارند) سرعت، دوره و فرکانس زاویه‌ای یکسانی خواهند داشت. یعنی چرخش یکسانی دارند اما با سرعت های خطی متفاوت. هر چه یک نقطه از مرکز دورتر باشد، سریعتر حرکت می کند.

قانون جمع سرعت برای حرکت چرخشی نیز معتبر است. اگر حرکت جسم یا چارچوب مرجع یکنواخت نباشد، قانون در مورد سرعت های لحظه ای اعمال می شود. به عنوان مثال، سرعت شخصی که در امتداد لبه چرخ فلک دوار راه می‌رود برابر است با مجموع بردار سرعت خطی چرخش لبه چرخ فلک و سرعت فرد.

زمین در دو حرکت چرخشی اصلی شرکت می کند: روزانه (حول محور خود) و مداری (به دور خورشید). دوره چرخش زمین به دور خورشید 1 سال یا 365 روز است. زمین حول محور خود از غرب به شرق می چرخد ​​که مدت این چرخش 1 روز یا 24 ساعت است. عرض جغرافیایی زاویه بین صفحه استوا و جهت از مرکز زمین تا نقطه ای از سطح آن است.

طبق قانون دوم نیوتن، علت هر شتاب، نیرو است. اگر جسم متحرک شتاب مرکزگرا را تجربه کند، آنگاه ماهیت نیروهایی که باعث این شتاب می شوند ممکن است متفاوت باشد. به عنوان مثال، اگر جسمی به صورت دایره ای روی طنابی که به آن بسته شده است حرکت کند، آنگاه نیروی عمل کننده نیروی کشسان است.

اگر جسمی که روی دیسک قرار دارد با دیسک حول محور خود بچرخد، چنین نیرویی نیروی اصطکاک است. اگر نیرو عمل خود را متوقف کند، بدن در یک خط مستقیم به حرکت خود ادامه می دهد

حرکت یک نقطه روی یک دایره از A به B را در نظر بگیرید. سرعت خطی برابر است با

حالا بیایید به یک سیستم ثابت متصل به زمین برویم. شتاب کل نقطه A هم از نظر بزرگی و هم جهت یکسان باقی می ماند، زیرا هنگام حرکت از یک سیستم مرجع اینرسی به سیستم مرجع اینرسی دیگر، شتاب تغییر نمی کند. از دیدگاه یک ناظر ثابت، مسیر نقطه A دیگر یک دایره نیست، بلکه یک منحنی پیچیده تر (سیکلوئید) است که در طول آن نقطه به طور ناهموار حرکت می کند.

از آنجایی که سرعت خطی به طور یکنواخت تغییر جهت می دهد، حرکت دایره ای را نمی توان یکنواخت نامید، به طور یکنواخت شتاب می گیرد.

سرعت زاویهای

بیایید یک نقطه از دایره را انتخاب کنیم 1 . بیایید یک شعاع بسازیم. در یک واحد زمان، نقطه به نقطه دیگر منتقل می شود 2 . در این مورد، شعاع زاویه را توصیف می کند. سرعت زاویه ای از نظر عددی برابر با زاویه چرخش شعاع در واحد زمان است.

دوره و فرکانس

دوره چرخش تی- این زمانی است که بدن یک چرخش می کند.

فرکانس چرخش تعداد دور در ثانیه است.

فرکانس و دوره با رابطه به هم مرتبط هستند

رابطه با سرعت زاویه ای

سرعت خطی

هر نقطه روی دایره با سرعت مشخصی حرکت می کند. به این سرعت خطی می گویند. جهت بردار سرعت خطی همیشه با مماس بر دایره منطبق است.به عنوان مثال، جرقه های زیر یک ماشین سنگ زنی حرکت می کند و جهت سرعت آنی را تکرار می کند.

نقطه ای از دایره را در نظر بگیرید که یک چرخش می کند، زمان صرف شده دوره است تی. مسیری که یک نقطه طی می کند، محیط است.

شتاب مرکزگرا

هنگام حرکت در یک دایره، بردار شتاب همیشه عمود بر بردار سرعت است و به سمت مرکز دایره هدایت می شود.

با استفاده از فرمول های قبلی می توانیم روابط زیر را استخراج کنیم

نقاطی که روی یک خط مستقیم قرار دارند که از مرکز دایره بیرون می‌آیند (مثلاً، می‌توانند نقاطی باشند که روی پره‌های یک چرخ قرار دارند) سرعت، دوره و فرکانس زاویه‌ای یکسانی خواهند داشت. یعنی چرخش یکسانی دارند اما با سرعت های خطی متفاوت. هر چه یک نقطه از مرکز دورتر باشد، سریعتر حرکت می کند.

قانون جمع سرعت برای حرکت چرخشی نیز معتبر است. اگر حرکت جسم یا چارچوب مرجع یکنواخت نباشد، قانون در مورد سرعت های لحظه ای اعمال می شود. به عنوان مثال، سرعت شخصی که در امتداد لبه چرخ فلک دوار راه می‌رود برابر است با مجموع بردار سرعت خطی چرخش لبه چرخ فلک و سرعت فرد.

زمین در دو حرکت چرخشی اصلی شرکت می کند: روزانه (حول محور خود) و مداری (به دور خورشید). دوره چرخش زمین به دور خورشید 1 سال یا 365 روز است. زمین حول محور خود از غرب به شرق می چرخد ​​که مدت این چرخش 1 روز یا 24 ساعت است. عرض جغرافیایی زاویه بین صفحه استوا و جهت از مرکز زمین تا نقطه ای از سطح آن است.

طبق قانون دوم نیوتن، علت هر شتاب، نیرو است. اگر جسم متحرک شتاب مرکزگرا را تجربه کند، آنگاه ماهیت نیروهایی که باعث این شتاب می شوند ممکن است متفاوت باشد. به عنوان مثال، اگر جسمی به صورت دایره ای روی طنابی که به آن بسته شده است حرکت کند، آنگاه نیروی عمل کننده نیروی کشسان است.

اگر جسمی که روی دیسک قرار دارد با دیسک حول محور خود بچرخد، چنین نیرویی نیروی اصطکاک است. اگر نیرو عمل خود را متوقف کند، بدن در یک خط مستقیم به حرکت خود ادامه می دهد

حرکت یک نقطه روی یک دایره از A به B را در نظر بگیرید. سرعت خطی برابر است با v Aو v Bبه ترتیب. شتاب تغییر سرعت در واحد زمان است. بیایید تفاوت بین بردارها را پیدا کنیم.