Formula pentru accelerația în mișcare circulară. Mișcare uniformă în jurul unui cerc
Când descriem mișcarea unui punct de-a lungul unui cerc, vom caracteriza mișcarea punctului prin unghi Δφ , care descrie vectorul rază a unui punct în timp Δt. Deplasarea unghiulară într-o perioadă infinitezimală de timp dt notat cu dφ.
Deplasarea unghiulară este o mărime vectorială. Direcția vectorului (sau ) este determinată de regula brațului: dacă rotiți brațul (șurubul cu filet din dreapta) în direcția mișcării punctului, brațul se va deplasa în direcția vectorului de deplasare unghiulară. În fig. 14 punctul M se mișcă în sensul acelor de ceasornic dacă priviți planul de mișcare de jos. Dacă răsuciți brațul în această direcție, vectorul va fi îndreptat în sus.
Astfel, direcția vectorului de deplasare unghiulară este determinată de alegerea direcției pozitive de rotație. Direcția pozitivă de rotație este determinată de regula filetului din dreapta. Totuși, cu același succes s-ar putea lua un gimlet cu fir stânga. În acest caz, direcția vectorului de deplasare unghiulară ar fi opusă.
Când se iau în considerare cantități precum viteza, accelerația, vectorul deplasării, problema alegerii direcției lor nu s-a pus: a fost determinată în mod natural de natura cantităților în sine. Astfel de vectori sunt numiți polari. Se numesc vectori similari vectorului deplasare unghiulara axial, sau pseudovectori. Direcția vectorului axial este determinată prin alegerea direcției pozitive de rotație. În plus, vectorul axial nu are un punct de aplicare. Vectori polari, pe care le-am considerat până acum, sunt aplicate unui punct în mișcare. Pentru un vector axial, puteți indica doar direcția (axă, axă - latină) de-a lungul căreia este îndreptat. Axa de-a lungul căreia este îndreptat vectorul deplasării unghiulare este perpendiculară pe planul de rotație. De obicei, vectorul deplasării unghiulare este desenat pe o axă care trece prin centrul cercului (Fig. 14), deși poate fi desenat oriunde, inclusiv pe o axă care trece prin punctul în cauză.
În sistemul SI, unghiurile sunt măsurate în radiani. Un radian este un unghi a cărui lungime a arcului este egală cu raza cercului. Astfel, unghiul total (360 0) este de 2π radiani.
Mișcarea unui punct într-un cerc
Viteză unghiulară– mărime vectorială, numeric egală cu unghiul de rotație pe unitatea de timp. Viteza unghiulară este de obicei indicată cu litera greacă ω. Prin definiție, viteza unghiulară este derivata unui unghi în raport cu timpul:
Direcția vectorului viteză unghiulară coincide cu direcția vectorului deplasare unghiulară (Fig. 14). Vectorul viteză unghiulară, la fel ca vectorul deplasare unghiulară, este un vector axial.
Dimensiunea vitezei unghiulare este rad/s.
Rotația cu viteză unghiulară constantă se numește uniformă, cu ω = φ/t.
Rotația uniformă poate fi caracterizată prin perioada de rotație T, care este înțeleasă ca timpul în care corpul face o rotație, adică se rotește printr-un unghi de 2π. Deoarece intervalul de timp Δt = T corespunde unghiului de rotație Δφ = 2π, atunci
Numărul de rotații pe unitatea de timp ν este evident egal cu:
Valoarea lui ν este măsurată în herți (Hz). Un hertz este o revoluție pe secundă sau 2π rad/s.
Conceptele de perioadă de revoluție și numărul de rotații pe unitatea de timp pot fi păstrate și pentru rotația neuniformă, înțelegând prin valoarea instantanee T timpul în care corpul ar face o rotație dacă s-ar roti uniform cu o valoare instantanee dată. de viteză unghiulară și prin ν însemnând numărul de rotații pe care un corp le-ar face pe unitatea de timp în condiții similare.
Dacă viteza unghiulară se modifică în timp, atunci rotația se numește neuniformă. In acest caz intra accelerație unghiularăîn același mod în care a fost introdusă accelerația liniară pentru mișcarea rectilinie. Accelerația unghiulară este modificarea vitezei unghiulare pe unitatea de timp, calculată ca derivată a vitezei unghiulare în raport cu timpul sau derivata a doua a deplasării unghiulare în raport cu timpul:
La fel ca viteza unghiulară, accelerația unghiulară este o mărime vectorială. Vectorul accelerație unghiulară este un vector axial, în cazul rotației accelerate este îndreptat în aceeași direcție cu vectorul viteză unghiulară (Fig. 14); în cazul rotației lente, vectorul accelerație unghiulară este direcționat opus vectorului viteză unghiulară.
Cu mișcarea de rotație uniform variabilă, au loc relații similare cu formulele (10) și (11), care descriu mișcarea rectilinie uniform variabilă.
Deoarece viteza liniară își schimbă uniform direcția, mișcarea circulară nu poate fi numită uniformă, este uniform accelerată.
Viteză unghiulară
Să alegem un punct pe cerc 1 . Să construim o rază. Într-o unitate de timp, punctul se va muta în punct 2 . În acest caz, raza descrie unghiul. Viteza unghiulară este numeric egală cu unghiul de rotație al razei pe unitatea de timp.
Perioada și frecvența
Perioada de rotație T- acesta este timpul în care corpul face o singură revoluție.
Frecvența de rotație este numărul de rotații pe secundă.
Frecvența și perioada sunt interdependente de relație
Relația cu viteza unghiulară
Viteza liniară
Fiecare punct de pe cerc se mișcă cu o anumită viteză. Această viteză se numește liniară. Direcția vectorului de viteză liniară coincide întotdeauna cu tangenta la cerc. De exemplu, scânteile de sub o mașină de șlefuit se mișcă, repetând direcția vitezei instantanee.
Luați în considerare un punct dintr-un cerc care face o revoluție, timpul petrecut este perioada T Calea pe care o parcurge un punct este circumferința.
Accelerație centripetă
Când se deplasează într-un cerc, vectorul accelerație este întotdeauna perpendicular pe vectorul viteză, îndreptat spre centrul cercului.
Folosind formulele anterioare, putem deriva următoarele relații
Punctele situate pe aceeași linie dreaptă care emană din centrul cercului (de exemplu, acestea ar putea fi puncte care se află pe spițele unei roți) vor avea aceleași viteze unghiulare, perioadă și frecvență. Adică se vor roti în același mod, dar cu viteze liniare diferite. Cu cât un punct este mai departe de centru, cu atât se va mișca mai repede.
Legea adunării vitezelor este valabilă și pentru mișcarea de rotație. Dacă mișcarea unui corp sau a unui cadru de referință nu este uniformă, atunci legea se aplică vitezelor instantanee. De exemplu, viteza unei persoane care merge de-a lungul marginii unui carusel rotativ este egală cu suma vectorială a vitezei liniare de rotație a marginii caruselului și a vitezei persoanei.
Pământul participă la două mișcări principale de rotație: diurnă (în jurul axei sale) și orbitală (în jurul Soarelui). Perioada de rotație a Pământului în jurul Soarelui este de 1 an sau 365 de zile. Pământul se rotește în jurul axei sale de la vest la est, perioada acestei rotații este de 1 zi sau 24 de ore. Latitudinea este unghiul dintre planul ecuatorului și direcția de la centrul Pământului până la un punct de pe suprafața acestuia.
Conform celei de-a doua legi a lui Newton, cauza oricărei accelerații este forța. Dacă un corp în mișcare experimentează o accelerație centripetă, atunci natura forțelor care provoacă această accelerație poate fi diferită. De exemplu, dacă un corp se mișcă în cerc pe o frânghie legată de el, atunci forța care acționează este forța elastică.
Dacă un corp aflat pe un disc se rotește cu discul în jurul axei sale, atunci o astfel de forță este forța de frecare. Dacă forța își oprește acțiunea, atunci corpul va continua să se miște în linie dreaptă
Considerăm mișcarea unui punct pe un cerc de la A la B. Viteza liniară este egală cu
Acum să trecem la un sistem staționar conectat la pământ. Accelerația totală a punctului A va rămâne aceeași atât ca mărime, cât și ca direcție, deoarece la trecerea de la un sistem de referință inerțial la altul, accelerația nu se modifică. Din punctul de vedere al unui observator staționar, traiectoria punctului A nu mai este un cerc, ci o curbă mai complexă (cicloidă), de-a lungul căreia punctul se mișcă neuniform.
Deoarece viteza liniară își schimbă uniform direcția, mișcarea circulară nu poate fi numită uniformă, este uniform accelerată.
Viteză unghiulară
Să alegem un punct pe cerc 1 . Să construim o rază. Într-o unitate de timp, punctul se va muta în punct 2 . În acest caz, raza descrie unghiul. Viteza unghiulară este numeric egală cu unghiul de rotație al razei pe unitatea de timp.
Perioada și frecvența
Perioada de rotație T- acesta este timpul în care corpul face o singură revoluție.
Frecvența de rotație este numărul de rotații pe secundă.
Frecvența și perioada sunt interdependente de relație
Relația cu viteza unghiulară
Viteza liniară
Fiecare punct de pe cerc se mișcă cu o anumită viteză. Această viteză se numește liniară. Direcția vectorului de viteză liniară coincide întotdeauna cu tangenta la cerc. De exemplu, scânteile de sub o mașină de șlefuit se mișcă, repetând direcția vitezei instantanee.
Luați în considerare un punct dintr-un cerc care face o revoluție, timpul petrecut este perioada T. Calea pe care o parcurge un punct este circumferința.
Accelerație centripetă
Când se deplasează într-un cerc, vectorul accelerație este întotdeauna perpendicular pe vectorul viteză, îndreptat spre centrul cercului.
Folosind formulele anterioare, putem deriva următoarele relații
Punctele situate pe aceeași linie dreaptă care emană din centrul cercului (de exemplu, acestea ar putea fi puncte care se află pe spițele unei roți) vor avea aceleași viteze unghiulare, perioadă și frecvență. Adică se vor roti în același mod, dar cu viteze liniare diferite. Cu cât un punct este mai departe de centru, cu atât se va mișca mai repede.
Legea adunării vitezelor este valabilă și pentru mișcarea de rotație. Dacă mișcarea unui corp sau a unui cadru de referință nu este uniformă, atunci legea se aplică vitezelor instantanee. De exemplu, viteza unei persoane care merge de-a lungul marginii unui carusel rotativ este egală cu suma vectorială a vitezei liniare de rotație a marginii caruselului și a vitezei persoanei.
Pământul participă la două mișcări principale de rotație: diurnă (în jurul axei sale) și orbitală (în jurul Soarelui). Perioada de rotație a Pământului în jurul Soarelui este de 1 an sau 365 de zile. Pământul se rotește în jurul axei sale de la vest la est, perioada acestei rotații este de 1 zi sau 24 de ore. Latitudinea este unghiul dintre planul ecuatorului și direcția de la centrul Pământului până la un punct de pe suprafața acestuia.
Conform celei de-a doua legi a lui Newton, cauza oricărei accelerații este forța. Dacă un corp în mișcare experimentează o accelerație centripetă, atunci natura forțelor care provoacă această accelerație poate fi diferită. De exemplu, dacă un corp se mișcă în cerc pe o frânghie legată de el, atunci forța care acționează este forța elastică.
Dacă un corp aflat pe un disc se rotește cu discul în jurul axei sale, atunci o astfel de forță este forța de frecare. Dacă forța își oprește acțiunea, atunci corpul va continua să se miște în linie dreaptă
Considerăm mișcarea unui punct pe un cerc de la A la B. Viteza liniară este egală cu v AȘi vB respectiv. Accelerația este modificarea vitezei pe unitatea de timp. Să găsim diferența dintre vectori.
