Vzorec pre zrýchlenie v kruhovom pohybe. Rovnomerný pohyb po kruhu
Pri popise pohybu bodu po kružnici budeme pohyb bodu charakterizovať uhlom Δφ , ktorý popisuje vektor polomeru bodu v čase Δt. Uhlový posun v nekonečne malom časovom období dt označené dφ.
Uhlové posunutie je vektorová veličina. Smer vektora (alebo ) je určený pravidlom gimletu: ak otočíte gimlet (skrutku s pravým závitom) v smere pohybu bodu, gimlet sa bude pohybovať v smere vektora uhlového posunutia. Na obr. 14 bod M sa pohybuje v smere hodinových ručičiek, ak sa pozriete na rovinu pohybu zdola. Ak otočíte gimlet týmto smerom, vektor bude smerovať nahor.
Smer vektora uhlového posunu je teda určený voľbou kladného smeru otáčania. Kladný smer otáčania je určený pravidlom pravého závitu. S rovnakým úspechom sa však dalo zobrať gimlet s ľavou niťou. V tomto prípade by smer vektora uhlového posunu bol opačný.
Pri zvažovaní takých veličín, ako je rýchlosť, zrýchlenie, vektor posunutia, otázka výberu ich smeru nevznikla: bola určená prirodzene z povahy samotných veličín. Takéto vektory sa nazývajú polárne. Nazývajú sa vektory podobné vektoru uhlového posunutia axiálne, alebo pseudovektory. Smer axiálneho vektora je určený výberom kladného smeru otáčania. Okrem toho axiálny vektor nemá aplikačný bod. Polárne vektory, o ktorých sme doteraz uvažovali, sú aplikované na pohyblivý bod. Pre axiálny vektor môžete uviesť iba smer (os, os - latinka), pozdĺž ktorého je nasmerovaný. Os, pozdĺž ktorej smeruje vektor uhlového posunu, je kolmá na rovinu rotácie. Typicky je vektor uhlového posunu nakreslený na osi prechádzajúcej stredom kruhu (obr. 14), hoci môže byť nakreslený kdekoľvek, vrátane osi prechádzajúcej cez príslušný bod.
V sústave SI sa uhly merajú v radiánoch. Radián je uhol, ktorého dĺžka oblúka sa rovná polomeru kružnice. Celkový uhol (360 0) je teda 2π radiány.
Pohyb bodu v kruhu
Uhlová rýchlosť– vektorová veličina, ktorá sa číselne rovná uhlu natočenia za jednotku času. Uhlová rýchlosť sa zvyčajne označuje gréckym písmenom ω. Podľa definície je uhlová rýchlosť deriváciou uhla vzhľadom na čas:
Smer vektora uhlovej rýchlosti sa zhoduje so smerom vektora uhlového posunutia (obr. 14). Vektor uhlovej rýchlosti, rovnako ako vektor uhlového posunutia, je axiálny vektor.
Rozmer uhlovej rýchlosti je rad/s.
Rotácia s konštantnou uhlovou rýchlosťou sa nazýva rovnomerná, pričom ω = φ/t.
Rovnomernú rotáciu možno charakterizovať rotačnou periódou T, ktorá sa chápe ako čas, počas ktorého teleso vykoná jednu otáčku, t.j. otočí sa o uhol 2π. Keďže časový interval Δt = T zodpovedá uhlu natočenia Δφ = 2π, potom
Počet otáčok za jednotku času ν sa zjavne rovná:
Hodnota ν sa meria v hertzoch (Hz). Jeden hertz je jedna otáčka za sekundu alebo 2π rad/s.
Pojmy perióda otáčania a počet otáčok za jednotku času možno zachovať aj pre nerovnomerné otáčanie, pričom okamžitou hodnotou T rozumieme čas, za ktorý by teleso urobilo jednu otáčku, keby sa otáčalo rovnomerne s danou okamžitou hodnotou. uhlovej rýchlosti a ν znamená počet otáčok, ktoré by teleso vykonalo za jednotku času za podobných podmienok.
Ak sa uhlová rýchlosť mení s časom, potom sa rotácia nazýva nerovnomerná. V tomto prípade zadajte uhlové zrýchlenie rovnakým spôsobom ako bolo zavedené lineárne zrýchlenie pre priamočiary pohyb. Uhlové zrýchlenie je zmena uhlovej rýchlosti za jednotku času, vypočítaná ako derivácia uhlovej rýchlosti vzhľadom na čas alebo druhá derivácia uhlového posunu vzhľadom na čas:
Rovnako ako uhlová rýchlosť, aj uhlové zrýchlenie je vektorová veličina. Vektor uhlového zrýchlenia je axiálny vektor, v prípade zrýchleného otáčania smeruje rovnakým smerom ako vektor uhlovej rýchlosti (obr. 14); v prípade pomalej rotácie je vektor uhlového zrýchlenia nasmerovaný opačne ako vektor uhlovej rýchlosti.
Pri rovnomerne premennom rotačnom pohybe prebiehajú vzťahy podobné vzorcom (10) a (11), ktoré popisujú rovnomerne premenlivý priamočiary pohyb.
Pretože lineárna rýchlosť rovnomerne mení smer, kruhový pohyb nemožno nazvať rovnomerným, je rovnomerne zrýchlený.
Uhlová rýchlosť
Vyberme si bod na kruhu 1 . Postavme polomer. Za jednotku času sa bod presunie do bodu 2 . V tomto prípade polomer opisuje uhol. Uhlová rýchlosť sa číselne rovná uhlu rotácie polomeru za jednotku času.
Obdobie a frekvencia
Obdobie rotácie T- to je čas, počas ktorého telo urobí jednu otáčku.
Frekvencia otáčania je počet otáčok za sekundu.
Frekvencia a obdobie sú vzájomne prepojené vzťahom
Vzťah s uhlovou rýchlosťou
Lineárna rýchlosť
Každý bod na kruhu sa pohybuje určitou rýchlosťou. Táto rýchlosť sa nazýva lineárna. Smer vektora lineárnej rýchlosti sa vždy zhoduje s dotyčnicou ku kružnici. Napríklad iskry spod brúsky sa pohybujú a opakujú smer okamžitej rýchlosti.
Zoberme si bod na kruhu, ktorý robí jednu otáčku, čas strávený je obdobie T Dráha, ktorou bod prechádza, je obvod.
Dostredivé zrýchlenie
Pri pohybe po kružnici je vektor zrýchlenia vždy kolmý na vektor rýchlosti a smeruje k stredu kružnice.
Pomocou predchádzajúcich vzorcov môžeme odvodiť nasledujúce vzťahy
Body ležiace na rovnakej priamke vychádzajúcej zo stredu kruhu (napríklad by to mohli byť body, ktoré ležia na lúčoch kolesa) budú mať rovnaké uhlové rýchlosti, periódu a frekvenciu. To znamená, že sa budú otáčať rovnakým spôsobom, ale s rôznymi lineárnymi rýchlosťami. Čím ďalej je bod od stredu, tým rýchlejšie sa bude pohybovať.
Zákon sčítania rýchlostí platí aj pre rotačný pohyb. Ak pohyb telesa alebo vzťažnej sústavy nie je rovnomerný, potom zákon platí pre okamžité rýchlosti. Napríklad rýchlosť osoby kráčajúcej po okraji otáčajúceho sa kolotoča sa rovná vektorovému súčtu lineárnej rýchlosti otáčania okraja kolotoča a rýchlosti osoby.
Zem sa zúčastňuje dvoch hlavných rotačných pohybov: denného (okolo svojej osi) a orbitálneho (okolo Slnka). Doba rotácie Zeme okolo Slnka je 1 rok alebo 365 dní. Zem sa otáča okolo svojej osi zo západu na východ, doba tejto rotácie je 1 deň alebo 24 hodín. Zemepisná šírka je uhol medzi rovinou rovníka a smerom od stredu Zeme k bodu na jej povrchu.
Podľa druhého Newtonovho zákona je príčinou akéhokoľvek zrýchlenia sila. Ak pohybujúce sa teleso zažíva dostredivé zrýchlenie, potom povaha síl, ktoré toto zrýchlenie spôsobujú, môže byť odlišná. Napríklad, ak sa teleso pohybuje v kruhu na lane, ktoré je k nemu priviazané, potom pôsobiaca sila je elastická sila.
Ak sa teleso ležiace na kotúči otáča s kotúčom okolo svojej osi, tak takáto sila je trecia sila. Ak sila zastaví svoje pôsobenie, telo sa bude ďalej pohybovať v priamom smere
Uvažujme pohyb bodu po kružnici z bodu A do bodu B. Lineárna rýchlosť sa rovná
Teraz prejdime k stacionárnemu systému spojenému so zemou. Celkové zrýchlenie bodu A zostane rovnaké vo veľkosti aj smere, pretože pri pohybe z jedného inerciálneho referenčného systému do druhého sa zrýchlenie nemení. Z pohľadu stacionárneho pozorovateľa trajektória bodu A už nie je kružnica, ale zložitejšia krivka (cykloida), po ktorej sa bod pohybuje nerovnomerne.
Pretože lineárna rýchlosť rovnomerne mení smer, kruhový pohyb nemožno nazvať rovnomerným, je rovnomerne zrýchlený.
Uhlová rýchlosť
Vyberme si bod na kruhu 1 . Postavme polomer. Za jednotku času sa bod presunie do bodu 2 . V tomto prípade polomer opisuje uhol. Uhlová rýchlosť sa číselne rovná uhlu rotácie polomeru za jednotku času.
Obdobie a frekvencia
Obdobie rotácie T- to je čas, počas ktorého telo urobí jednu otáčku.
Frekvencia otáčania je počet otáčok za sekundu.
Frekvencia a obdobie sú vzájomne prepojené vzťahom
Vzťah s uhlovou rýchlosťou
Lineárna rýchlosť
Každý bod na kruhu sa pohybuje určitou rýchlosťou. Táto rýchlosť sa nazýva lineárna. Smer vektora lineárnej rýchlosti sa vždy zhoduje s dotyčnicou ku kružnici. Napríklad iskry spod brúsky sa pohybujú a opakujú smer okamžitej rýchlosti.
Zoberme si bod na kruhu, ktorý robí jednu otáčku, čas strávený je obdobie T. Dráha, ktorou bod prechádza, je obvod.
Dostredivé zrýchlenie
Pri pohybe po kružnici je vektor zrýchlenia vždy kolmý na vektor rýchlosti a smeruje k stredu kružnice.
Pomocou predchádzajúcich vzorcov môžeme odvodiť nasledujúce vzťahy
Body ležiace na rovnakej priamke vychádzajúcej zo stredu kruhu (napríklad by to mohli byť body, ktoré ležia na lúčoch kolesa) budú mať rovnaké uhlové rýchlosti, periódu a frekvenciu. To znamená, že sa budú otáčať rovnakým spôsobom, ale s rôznymi lineárnymi rýchlosťami. Čím ďalej je bod od stredu, tým rýchlejšie sa bude pohybovať.
Zákon sčítania rýchlostí platí aj pre rotačný pohyb. Ak pohyb telesa alebo vzťažnej sústavy nie je rovnomerný, potom zákon platí pre okamžité rýchlosti. Napríklad rýchlosť osoby kráčajúcej po okraji otáčajúceho sa kolotoča sa rovná vektorovému súčtu lineárnej rýchlosti otáčania okraja kolotoča a rýchlosti osoby.
Zem sa zúčastňuje dvoch hlavných rotačných pohybov: denného (okolo svojej osi) a orbitálneho (okolo Slnka). Doba rotácie Zeme okolo Slnka je 1 rok alebo 365 dní. Zem sa otáča okolo svojej osi zo západu na východ, doba tejto rotácie je 1 deň alebo 24 hodín. Zemepisná šírka je uhol medzi rovinou rovníka a smerom od stredu Zeme k bodu na jej povrchu.
Podľa druhého Newtonovho zákona je príčinou akéhokoľvek zrýchlenia sila. Ak pohybujúce sa teleso zažíva dostredivé zrýchlenie, potom povaha síl, ktoré toto zrýchlenie spôsobujú, môže byť odlišná. Napríklad, ak sa teleso pohybuje v kruhu na lane, ktoré je k nemu priviazané, potom pôsobiaca sila je elastická sila.
Ak sa teleso ležiace na kotúči otáča s kotúčom okolo svojej osi, tak takáto sila je trecia sila. Ak sila zastaví svoje pôsobenie, telo sa bude ďalej pohybovať v priamom smere
Uvažujme pohyb bodu po kružnici z bodu A do bodu B. Lineárna rýchlosť sa rovná v A A v B resp. Zrýchlenie je zmena rýchlosti za jednotku času. Poďme nájsť rozdiel medzi vektormi.
