Na skúške budem riešiť logaritmické rovnice. Riešenie logaritmických rovníc

Čo je to logaritmus?

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Čo je to logaritmus? Ako vyriešiť logaritmy? Tieto otázky mätú mnohých absolventov. Tradične sa téma logaritmov považuje za zložitú, nepochopiteľnú a strašidelnú. Najmä rovnice s logaritmami.

Toto absolútne nie je pravda. Absolútne! neveríš mi? Dobre. Teraz, len za 10 - 20 minút:

1. Pochopíš čo je logaritmus.

2. Naučte sa riešiť celú triedu exponenciálnych rovníc. Aj keď ste o nich nič nepočuli.

3. Naučte sa počítať jednoduché logaritmy.

Navyše na to budete potrebovať iba poznať tabuľku násobenia a ako zvýšiť číslo na mocninu...

Mám pocit, že máš pochybnosti... No dobre, poznačte si čas! Choď!

Najprv si v hlave vyriešte túto rovnicu:

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Ako viete, pri násobení výrazov mocninami sa ich exponenty vždy sčítajú (a b *a c = a b+c). Tento matematický zákon odvodil Archimedes a neskôr, v 8. storočí, vytvoril matematik Virasen tabuľku celočíselných exponentov. Boli to oni, ktorí slúžili na ďalšie objavovanie logaritmov. Príklady využitia tejto funkcie nájdete takmer všade tam, kde si potrebujete zjednodušiť ťažkopádne násobenie jednoduchým sčítaním. Ak strávite 10 minút čítaním tohto článku, vysvetlíme vám, čo sú to logaritmy a ako s nimi pracovať. Jednoduchým a prístupným jazykom.

Definícia v matematike

Logaritmus je vyjadrením nasledujúceho tvaru: log a b=c, teda logaritmus ľubovoľného nezáporného čísla (teda akéhokoľvek kladného) „b“ k základu „a“ sa považuje za mocninu „c“. “, na ktorú musí byť základ „a“ zvýšený, aby sa nakoniec získala hodnota „b“. Analyzujme logaritmus na príkladoch, povedzme, že existuje výraz log 2 8. Ako nájsť odpoveď? Je to veľmi jednoduché, musíte nájsť výkon tak, aby od 2 po požadovaný výkon dostal 8. Po vykonaní niekoľkých výpočtov v hlave dostaneme číslo 3! A to je pravda, pretože 2 ku 3 dáva odpoveď ako 8.

Typy logaritmov

Pre mnohých žiakov a študentov sa táto téma zdá komplikovaná a nepochopiteľná, ale v skutočnosti logaritmy nie sú také strašidelné, hlavnou vecou je pochopiť ich všeobecný význam a zapamätať si ich vlastnosti a niektoré pravidlá. Existujú tri samostatné typy logaritmických výrazov:

Prirodzený logaritmus ln a, kde základom je Eulerovo číslo (e = 2,7).
Desatinné a, kde základ je 10.
Logaritmus ľubovoľného čísla b na základ a>1.

Každá z nich je riešená štandardným spôsobom, vrátane zjednodušenia, redukcie a následnej redukcie na jeden logaritmus pomocou logaritmických viet. Aby ste získali správne hodnoty logaritmov, mali by ste si pamätať ich vlastnosti a postupnosť akcií pri ich riešení.

Pravidlá a určité obmedzenia

V matematike existuje niekoľko pravidiel-obmedzení, ktoré sú akceptované ako axióma, to znamená, že nie sú predmetom diskusie a sú pravdivé. Napríklad nie je možné deliť čísla nulou a je tiež nemožné extrahovať párnu odmocninu záporných čísel. Logaritmy majú tiež svoje pravidlá, podľa ktorých sa ľahko naučíte pracovať aj s dlhými a objemnými logaritmickými výrazmi:

Základ „a“ musí byť vždy väčší ako nula a nie rovný 1, inak výraz stratí svoj význam, pretože „1“ a „0“ sa v akomkoľvek stupni vždy rovnajú svojim hodnotám;
ak a > 0, potom a b > 0, ukáže sa, že „c“ musí byť tiež väčšie ako nula.

Ako vyriešiť logaritmy?

Úlohou je napríklad nájsť odpoveď na rovnicu 10 x = 100. Je to veľmi jednoduché, treba zvoliť mocninu zvýšením čísla desať, na ktoré sa dostaneme 100. To je samozrejme 10 2 = 100.

Teraz si predstavme tento výraz v logaritmickej forme. Dostaneme log 10 100 = 2. Pri riešení logaritmov sa všetky akcie prakticky zbiehajú, aby našli mocninu, do ktorej je potrebné zadať základ logaritmu, aby sme získali dané číslo.

Ak chcete presne určiť hodnotu neznámeho stupňa, musíte sa naučiť pracovať s tabuľkou stupňov. Vyzerá to takto:

Ako vidíte, niektoré exponenty sa dajú uhádnuť intuitívne, ak máte technické myslenie a znalosti násobilky. Pre väčšie hodnoty však budete potrebovať tabuľku výkonu. Využiť ho môžu aj tí, ktorí o zložitých matematických témach nevedia vôbec nič. Ľavý stĺpec obsahuje čísla (základ a), horný riadok čísel je hodnota mocniny c, na ktorú je číslo a umocnené. Na priesečníku bunky obsahujú číselné hodnoty, ktoré sú odpoveďou (a c = b). Zoberme si napríklad úplne prvú bunku s číslom 10 a odmocnime ju, dostaneme hodnotu 100, ktorá je naznačená na priesečníku našich dvoch buniek. Všetko je také jednoduché a ľahké, že to pochopí aj ten najpravdivejší humanista!

Rovnice a nerovnice

Ukazuje sa, že za určitých podmienok je exponentom logaritmus. Preto akékoľvek matematické numerické výrazy možno zapísať ako logaritmickú rovnosť. Napríklad 3 4 = 81 možno zapísať ako základný 3 logaritmus 81 rovný štyrom (log 3 81 = 4). Pre záporné mocniny sú pravidlá rovnaké: 2 -5 = 1/32 zapíšeme to ako logaritmus, dostaneme log 2 (1/32) = -5. Jednou z najfascinujúcejších častí matematiky je téma „logaritmov“. Na príklady a riešenia rovníc sa pozrieme nižšie, hneď po preštudovaní ich vlastností. Teraz sa pozrime, ako vyzerajú nerovnosti a ako ich odlíšiť od rovníc.

Je uvedený nasledujúci výraz: log 2 (x-1) > 3 - ide o logaritmickú nerovnosť, keďže neznáma hodnota „x“ je pod logaritmickým znamienkom. A tiež vo výraze sa porovnávajú dve veličiny: logaritmus požadovaného čísla so základom dva je väčší ako číslo tri.

Najdôležitejší rozdiel medzi logaritmickými rovnicami a nerovnosťami je v tom, že rovnice s logaritmami (napríklad logaritmus 2 x = √9) zahŕňajú jednu alebo viac konkrétnych číselných hodnôt v odpovedi, zatiaľ čo pri riešení nerovnosti je rozsah prijateľných hodnoty a body sú určené porušovaním tejto funkcie. V dôsledku toho odpoveď nie je jednoduchá množina jednotlivých čísel ako v odpovedi na rovnicu, ale súvislý rad alebo množina čísel.

Základné vety o logaritmoch

Pri riešení primitívnych úloh hľadania hodnôt logaritmu nemusia byť jeho vlastnosti známe. Pokiaľ však ide o logaritmické rovnice alebo nerovnice, v prvom rade je potrebné jasne pochopiť a prakticky aplikovať všetky základné vlastnosti logaritmov. Na príklady rovníc sa pozrieme neskôr, najprv sa pozrime na každú vlastnosť podrobnejšie.

Hlavná identita vyzerá takto: a logaB =B. Platí len vtedy, keď a je väčšie ako 0, nerovná sa jednej a B je väčšie ako nula.
Logaritmus súčinu môže byť vyjadrený v nasledujúcom vzorci: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. V tomto prípade je povinná podmienka: d, s 1 a s 2 > 0; a≠1. Tento logaritmický vzorec môžete dokázať príkladmi a riešením. Nech log a s 1 = f 1 a log a s 2 = f 2, potom a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dostaneme, že s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (vlastnosti stupne ), a potom podľa definície: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, čo bolo potrebné dokázať.
Logaritmus kvocientu vyzerá takto: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Veta vo forme vzorca má tento tvar: log a q b n = n/q log a b.

Tento vzorec sa nazýva „vlastnosť stupňa logaritmu“. Pripomína vlastnosti bežných stupňov a nie je to prekvapujúce, pretože celá matematika je založená na prirodzených postulátoch. Pozrime sa na dôkaz.

Nech log a b = t, ukáže sa a t =b. Ak obe časti zdvihneme na mocninu m: a tn = b n ;

ale keďže a tn = (a q) nt/q = b n, preto log a q b n = (n*t)/t, potom log a q b n = n/q log a b. Veta bola dokázaná.

Príklady problémov a nerovností

Najbežnejšími typmi problémov na logaritmoch sú príklady rovníc a nerovníc. Nachádzajú sa takmer vo všetkých problémových knihách a sú tiež povinnou súčasťou skúšok z matematiky. Ak chcete vstúpiť na univerzitu alebo zložiť prijímacie skúšky z matematiky, musíte vedieť, ako správne riešiť takéto úlohy.

Bohužiaľ neexistuje jednotný plán alebo schéma na riešenie a určenie neznámej hodnoty logaritmu, ale na každú matematickú nerovnosť alebo logaritmickú rovnicu možno použiť určité pravidlá. V prvom rade by ste mali zistiť, či je možné výraz zjednodušiť alebo zredukovať na všeobecnú formu. Dlhé logaritmické výrazy môžete zjednodušiť, ak správne použijete ich vlastnosti. Poďme sa s nimi rýchlo zoznámiť.

Pri riešení logaritmických rovníc musíme určiť, aký typ logaritmu máme: vzorový výraz môže obsahovať prirodzený logaritmus alebo desiatkový.

Tu sú príklady ln100, ln1026. Ich riešenie sa scvrkáva na skutočnosť, že potrebujú určiť výkon, s ktorým bude základňa 10 rovná 100 a 1026. Ak chcete vyriešiť prirodzené logaritmy, musíte použiť logaritmické identity alebo ich vlastnosti. Pozrime sa na príklady riešenia logaritmických problémov rôznych typov.

Ako používať logaritmické vzorce: s príkladmi a riešeniami

Pozrime sa teda na príklady použitia základných teorémov o logaritmoch.

Vlastnosť logaritmu súčinu sa dá využiť v úlohách, kde je potrebné rozložiť veľkú hodnotu čísla b na jednoduchšie faktory. Napríklad log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odpoveď je 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - ako vidíte, pomocou štvrtej vlastnosti logaritmickej mocniny sa nám podarilo vyriešiť zdanlivo zložitý a neriešiteľný výraz. Stačí vypočítať základ a potom odobrať hodnoty exponentov zo znamienka logaritmu.

Úlohy z jednotnej štátnej skúšky

Logaritmy sa často vyskytujú pri prijímacích skúškach, najmä veľa logaritmických problémov pri Jednotnej štátnej skúške (štátna skúška pre všetkých absolventov škôl). Tieto úlohy sa zvyčajne nachádzajú nielen v časti A (najjednoduchšia testovacia časť skúšky), ale aj v časti C (najzložitejšie a najobsiahlejšie úlohy). Skúška vyžaduje presnú a dokonalú znalosť témy „Prirodzené logaritmy“.

Príklady a riešenia problémov sú prevzaté z oficiálnych verzií jednotnej štátnej skúšky. Pozrime sa, ako sa takéto úlohy riešia.

Daný log 2 (2x-1) = 4. Riešenie:
prepíšme výraz, trochu ho zjednodušíme log 2 (2x-1) = 2 2, podľa definície logaritmu dostaneme, že 2x-1 = 2 4, teda 2x = 17; x = 8,5.

Najlepšie je zredukovať všetky logaritmy na rovnaký základ, aby riešenie nebolo ťažkopádne a mätúce.
Všetky výrazy pod logaritmickým znamienkom sú označené ako kladné, preto keď exponent výrazu, ktorý je pod logaritmickým znamienkom a jeho základ sa vyberie ako násobiteľ, výraz zostávajúci pod logaritmom musí byť kladný.

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov na území Ruskej federácie – poskytnúť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.