Vëllimi i një formule piramidale të cunguar. Piramida
Piramida. Piramida e cunguar
Piramidaështë një poliedron, njëra nga fytyrat e të cilit është një shumëkëndësh ( bazë ), dhe të gjitha fytyrat e tjera janë trekëndësha me një kulm të përbashkët ( fytyrat anësore ) (Fig. 15). Piramida quhet korrekte , nëse baza e saj është një shumëkëndësh i rregullt dhe maja e piramidës është projektuar në qendër të bazës (Fig. 16). Quhet një piramidë trekëndore me të gjitha skajet e barabarta katërkëndësh .
Brinjë anësore e një piramide është ana e faqes anësore që nuk i përket bazës Lartësia piramida është distanca nga maja e saj në rrafshin e bazës. Të gjitha skajet anësore të një piramide të rregullt janë të barabarta me njëra-tjetrën, të gjitha faqet anësore janë trekëndësha të barabartë izoscelorë. Lartësia e faqes anësore të një piramide të rregullt të nxjerrë nga kulmi quhet apotemë . Seksioni diagonal quhet një seksion i një piramide nga një rrafsh që kalon nëpër dy skaje anësore që nuk i përkasin të njëjtës faqe.
Sipërfaqja anësore piramida është shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve anësore. Sipërfaqja totale quhet shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve anësore dhe bazës.
Teorema
1. Nëse në një piramidë të gjitha skajet anësore janë të prirura në mënyrë të barabartë me rrafshin e bazës, atëherë maja e piramidës projektohet në qendër të rrethit të rrethuar pranë bazës.
2. Nëse të gjitha skajet anësore të një piramide kanë gjatësi të barabarta, atëherë maja e piramidës projektohet në qendër të një rrethi të rrethuar pranë bazës.
3. Nëse të gjitha faqet e një piramide janë të prirura në mënyrë të barabartë me rrafshin e bazës, atëherë maja e piramidës projektohet në qendër të një rrethi të gdhendur në bazë.
Për të llogaritur vëllimin e një piramide arbitrare, formula e saktë është:
Ku V- vëllimi;
Baza S- zona e bazës;
H- lartësia e piramidës.
Për një piramidë të rregullt, formulat e mëposhtme janë të sakta:
Ku fq– perimetri i bazës;
h a– apotemë;
H- lartësia;
S plot
Ana S
Baza S- zona e bazës;
V– vëllimi i një piramide të rregullt.
Piramida e cunguar quhet pjesa e piramidës e mbyllur midis bazës dhe një rrafshi prerës paralel me bazën e piramidës (Fig. 17). Piramida e rregullt e cunguar quhet pjesa e një piramide të rregullt e mbyllur midis bazës dhe një rrafshi prerës paralel me bazën e piramidës.
Bazat piramida e cunguar - shumëkëndësha të ngjashëm. Fytyrat anësore – trapezoide. Lartësia e një piramide të cunguar është distanca midis bazave të saj. Diagonale një piramidë e cunguar është një segment që lidh kulmet e saj që nuk shtrihen në të njëjtën faqe. Seksioni diagonal është një seksion i një piramide të cunguar nga një rrafsh që kalon nëpër dy skaje anësore që nuk i përkasin të njëjtës faqe.
Për një piramidë të cunguar janë të vlefshme formulat e mëposhtme:
(4)
Ku S 1 , S 2 – zonat e bazave të sipërme dhe të poshtme;
S plot- sipërfaqja totale;
Ana S- sipërfaqja anësore;
H- lartësia;
V– vëllimi i një piramide të cunguar.
Për një piramidë të rregullt të cunguar, formula është e saktë:
Ku fq 1 , fq 2 – perimetrat e bazave;
h a– apotema e një piramide të rregullt të cunguar.
Shembulli 1. Në një piramidë të rregullt trekëndore, këndi dihedral në bazë është 60º. Gjeni tangjenten e këndit të prirjes së skajit anësor me rrafshin e bazës.
Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 18).
 |
Piramida është e rregullt, që do të thotë se në bazë ka një trekëndësh barabrinjës dhe të gjitha faqet anësore janë trekëndësha të barabartë dykëndësh. Këndi dihedral në bazë është këndi i prirjes së faqes anësore të piramidës ndaj rrafshit të bazës. Këndi linear është këndi a ndërmjet dy pingulave: etj. Maja e piramidës është projektuar në qendër të trekëndëshit (qendra e rrethit dhe rrethi i brendashkruar i trekëndëshit ABC). Këndi i prirjes së skajit anësor (për shembull S.B.) është këndi midis vetë skajit dhe projeksionit të tij në rrafshin e bazës. Për brinjën S.B. ky kënd do të jetë këndi SBD. Për të gjetur tangjenten duhet të njihni këmbët KËSHTU QË Dhe O.B.. Lëreni gjatësinë e segmentit BDështë e barabartë me 3 A. Pika RRETH segmenti i linjës BD ndahet në pjesë: dhe Nga gjejmë KËSHTU QË: 
Nga gjejmë: 
Përgjigje:
Shembulli 2. Gjeni vëllimin e një piramide të rregullt katërkëndore të cunguar nëse diagonalet e bazave të saj janë të barabarta me cm dhe cm, dhe lartësia e saj është 4 cm.
Zgjidhje. Për të gjetur vëllimin e një piramide të cunguar, ne përdorim formulën (4). Për të gjetur sipërfaqen e bazave, duhet të gjeni anët e katrorëve bazë, duke ditur diagonalet e tyre. Anët e bazave janë përkatësisht 2 cm dhe 8 cm. Kjo do të thotë sipërfaqet e bazave dhe duke zëvendësuar të gjitha të dhënat në formulë, ne llogarisim vëllimin e piramidës së cunguar:
Përgjigje: 112 cm 3.
Shembulli 3. Gjeni sipërfaqen e faqes anësore të një piramide të rregullt trekëndore të cunguar, anët e bazave të së cilës janë 10 cm dhe 4 cm, dhe lartësia e piramidës është 2 cm.
Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 19).
Faqja anësore e kësaj piramide është një trapezoid isosceles. Për të llogaritur sipërfaqen e një trapezi, duhet të dini bazën dhe lartësinë. Bazat jepen sipas kushtit, nuk dihet vetem lartesia. Ne do ta gjejmë atë nga A 1 E pingul nga një pikë A 1 në rrafshin e bazës së poshtme, A 1 D– pingul nga A 1 për AC. A 1 E= 2 cm, pasi kjo është lartësia e piramidës. Per te gjetur DE Le të bëjmë një vizatim shtesë që tregon pamjen e sipërme (Fig. 20). Pika RRETH– projeksioni i qendrave të bazave të sipërme dhe të poshtme. pasi (shih Fig. 20) dhe Nga ana tjetër Ne rregull– rrezja e gdhendur në rreth dhe 
OM- rrezja e gdhendur në një rreth:
MK = DE.
Sipas teoremës së Pitagorës nga
Zona anësore e fytyrës: 
Përgjigje:
Shembulli 4. Në bazën e piramidës shtrihet një trapez izoscelular, bazat e të cilit A Dhe b (a> b). Çdo faqe anësore formon një kënd të barabartë me rrafshin e bazës së piramidës j. Gjeni sipërfaqen totale të piramidës.
Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 21). Sipërfaqja totale e piramidës SABCD e barabartë me shumën e sipërfaqeve dhe sipërfaqes së trapezit ABCD.
Le të përdorim pohimin se nëse të gjitha faqet e piramidës janë të prirura në mënyrë të barabartë me rrafshin e bazës, atëherë kulmi projektohet në qendër të rrethit të gdhendur në bazë. Pika RRETH– projeksioni i kulmit S në bazën e piramidës. Trekëndëshi SODështë projeksioni ortogonal i trekëndëshit CSD në rrafshin e bazës. Duke përdorur teoremën mbi sipërfaqen e projeksionit ortogonal të një figure të rrafshët, marrim:
Po kështu do të thotë 
Kështu, problemi u reduktua në gjetjen e zonës së trapezit ABCD. Le të vizatojmë një trapez ABCD veçmas (Fig. 22). Pika RRETH– qendra e një rrethi të gdhendur në një trapez.
Meqenëse një rreth mund të futet në një trapez, atëherë ose nga teorema e Pitagorës kemi
Aftësia për të llogaritur vëllimin e figurave hapësinore është e rëndësishme kur zgjidhni një numër problemesh praktike në gjeometri. Një nga figurat më të zakonshme është piramida. Në këtë artikull do të shqyrtojmë si piramidat e plota ashtu edhe ato të cunguara.
Piramida si një figurë tredimensionale
Të gjithë e dinë për piramidat egjiptiane, kështu që ata kanë një ide të mirë se për çfarë lloj figure do të flasim. Megjithatë, strukturat egjiptiane prej guri janë vetëm një rast i veçantë i një klase të madhe piramidash.
Objekti gjeometrik në shqyrtim në rastin e përgjithshëm është një bazë poligonale, çdo kulm i së cilës lidhet me një pikë të caktuar në hapësirë që nuk i përket rrafshit të bazës. Ky përkufizim çon në një figurë të përbërë nga një n-këndësh dhe n trekëndësha.
Çdo piramidë përbëhet nga n+1 faqe, 2*n skaje dhe n+1 kulme. Meqenëse figura në fjalë është një poliedron i përsosur, numrat e elementeve të shënuar i binden barazisë së Euler-it:
2*n = (n+1) + (n+1) - 2.
Shumëkëndëshi i vendosur në bazë jep emrin e piramidës, për shembull, trekëndësh, pesëkëndësh, etj. Një grup piramidash me baza të ndryshme është paraqitur në foton më poshtë.
Pika në të cilën takohen n trekëndësha të një figure quhet kulm i piramidës. Nëse një pingul ulet prej tij në bazë dhe e kryqëzon atë në qendrën gjeometrike, atëherë një figurë e tillë do të quhet një vijë e drejtë. Nëse ky kusht nuk plotësohet, atëherë ndodh një piramidë e prirur.
Një figurë e drejtë, baza e së cilës formohet nga një kënd barabrinjës (barakëndësh) n quhet i rregullt.
Formula për vëllimin e një piramide
Për të llogaritur vëllimin e piramidës, do të përdorim llogaritjen integrale. Për ta bërë këtë, ne e ndajmë figurën duke prerë aeroplanët paralel me bazën në një numër të pafund shtresash të holla. Figura më poshtë tregon një piramidë katërkëndore me lartësi h dhe gjatësi anësore L, në të cilën katërkëndëshi shënon shtresën e hollë të seksionit.
Sipërfaqja e secilës shtresë të tillë mund të llogaritet duke përdorur formulën:
A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .
Këtu A 0 është zona e bazës, z është vlera e koordinatës vertikale. Mund të shihet se nëse z = 0, atëherë formula jep vlerën A 0 .
Për të marrë formulën për vëllimin e një piramide, duhet të llogarisni integralin në të gjithë lartësinë e figurës, domethënë:
V = ∫ h 0 (A(z)*dz).
Duke zëvendësuar varësinë A(z) dhe duke llogaritur antiderivativin, arrijmë në shprehjen:
V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.
Ne kemi marrë formulën për vëllimin e një piramide. Për të gjetur vlerën e V, mjafton të shumëzoni lartësinë e figurës me sipërfaqen e bazës dhe më pas ndani rezultatin me tre.
Vini re se shprehja që rezulton është e vlefshme për llogaritjen e vëllimit të një piramide të çdo lloji. Kjo do të thotë, mund të jetë i prirur, dhe baza e tij mund të jetë një n-gon arbitrar.
dhe vëllimi i tij
Formula e përgjithshme për vëllimin e marrë në paragrafin e mësipërm mund të rafinohet në rastin e një piramide me bazë të rregullt. Sipërfaqja e një baze të tillë llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme:
A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).
Këtu L është gjatësia anësore e një shumëkëndëshi të rregullt me n kulme. Simboli pi është numri pi.
Duke zëvendësuar shprehjen për A 0 në formulën e përgjithshme, marrim vëllimin e një piramide të rregullt:
V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).
Për shembull, për një piramidë trekëndore, kjo formulë rezulton në shprehjen e mëposhtme:
V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.
Për një piramidë të rregullt katërkëndore, formula e vëllimit merr formën:
V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.
Përcaktimi i vëllimeve të piramidave të rregullta kërkon njohuri për anën e bazës së tyre dhe lartësinë e figurës.
Piramida e cunguar
Le të supozojmë se kemi marrë një piramidë arbitrare dhe kemi prerë një pjesë të sipërfaqes së saj anësore që përmban kulmin. Figura e mbetur quhet një piramidë e cunguar. Ai tashmë përbëhet nga dy baza n-gonale dhe n trapezoide që i lidhin ato. Nëse rrafshi i prerjes ishte paralel me bazën e figurës, atëherë formohet një piramidë e cunguar me baza të ngjashme paralele. Domethënë, gjatësitë e brinjëve të njërës prej tyre mund të merren duke shumëzuar gjatësitë e tjetrës me një koeficient të caktuar k.
Figura e mësipërme tregon një të rregullt të cunguar.Shihet se baza e sipërme e saj, si ajo e poshtme, është e formuar nga një gjashtëkëndësh i rregullt.
Formula që mund të nxirret duke përdorur llogaritjen integrale të ngjashme me atë të mësipërme është:
V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).
Ku A 0 dhe A 1 janë respektivisht zonat e bazave të poshtme (të mëdha) dhe të sipërme (të vogla). Ndryshorja h tregon lartësinë e piramidës së cunguar.
Vëllimi i piramidës së Keopsit
Është interesante të zgjidhet problemi i përcaktimit të vëllimit që përmban brenda vetes piramida më e madhe egjiptiane.
Në vitin 1984, egjiptologët britanikë Mark Lehner dhe Jon Goodman vendosën përmasat e sakta të piramidës së Keopsit. Lartësia e saj fillestare ishte 146.50 metra (aktualisht rreth 137 metra). Gjatësia mesatare e secilës nga katër anët e strukturës ishte 230.363 metra. Baza e piramidës është katrore me saktësi të lartë.
Le të përdorim shifrat e dhëna për të përcaktuar vëllimin e këtij gjiganti prej guri. Meqenëse piramida është katërkëndore e rregullt, atëherë formula është e vlefshme për të:
Duke zëvendësuar numrat, marrim:
V 4 = 1/3*(230.363) 2 *146.5 ≈ 2591444 m 3.
Vëllimi i piramidës së Keopsit është pothuajse 2.6 milion m3. Për krahasim, vërejmë se pishina olimpike ka një vëllim prej 2.5 mijë m 3. Domethënë, për të mbushur të gjithë piramidën e Keopsit do t'ju duhen më shumë se 1000 pishina të tilla!
- 22.09.2014
Parimi i funksionimit. Kur shtypni butonin e shifrës së parë të kodit SA1, këmbëza DD1.1 do të ndërrohet dhe një tension i nivelit të lartë do të shfaqet në hyrjen D të këmbëzës DD1.2. Prandaj, kur shtypni butonin tjetër të kodit SA2, aktivizuesi DD1.2 ndryshon gjendjen e tij dhe përgatit shkasin tjetër për ndërrim. Në rast të numrit të mëtejshëm të saktë, çelësi DD2.2 do të aktivizohet i fundit dhe...
- 03.10.2014
Pajisja e propozuar stabilizon tensionin deri në 24V dhe rrymën deri në 2A me mbrojtje nga qarku i shkurtër. Në rast të fillimit të paqëndrueshëm të stabilizatorit, duhet të përdoret sinkronizimi nga një gjenerator autonom i pulsit (Fig. 2. Qarku i stabilizatorit është paraqitur në Fig. 1. Një këmbëzë Schmitt është montuar në VT1 VT2, i cili kontrollon një transistor të fuqishëm rregullues VT3. Detaje: VT3 është e pajisur me një ftohës...
- 20.09.2014
Përforcuesi (shih foton) është bërë sipas një qarku tradicional me tuba të animit automatik: dalje - AL5, drejtues - 6G7, kenotron - AZ1. Diagrami i njërit prej dy kanaleve të një amplifikuesi stereo është paraqitur në Fig. 1. Nga kontrolli i volumit, sinjali furnizohet në rrjetin e llambës 6G7, i përforcuar, dhe nga anoda e kësaj llambë përmes kondensatorit izolues C4 furnizohet në ...
- 15.11.2017
NE555 është një kohëmatës universal - një pajisje për formimin (gjenerimin) e impulseve të vetme dhe të përsëritura me karakteristika të qëndrueshme kohore. Është një këmbëz asinkron RS me pragje të veçanta të hyrjes, krahasues analogë të përcaktuar saktësisht dhe një ndarës tensioni të integruar (shkallëzues me precizion Schmitt me këmbëzën RS). Përdoret për të ndërtuar gjeneratorë të ndryshëm, modulatorë, reletë kohore, pajisje të pragut dhe të tjera...
