Формула прискорення руху по колу. Рівномірний рух по колу
При описі руху точки по колу ми характеризуватимемо переміщення точки кутом Δφ , який описує радіус-вектор точки за час Δt. Кутове переміщення за нескінченно малий проміжок часу dtпозначається dφ.
Кутове рух – величина векторна. Визначається напрямок вектора (або ) за правилом буравчика: якщо обертати буравчик (гвинт з правостороннім різьбленням) у напрямку руху точки, то буравчик рухатиметься в напрямку вектора кутового зміщення. На рис. 14 точка М рухається за годинниковою стрілкою, якщо дивитися на площину руху знизу. Якщо крутити свердловин у цьому напрямку, то вектор буде спрямований вгору.
Таким чином, напрямок вектора кутового переміщення визначається вибором позитивного напрямку обертання. Позитивний напрямок обертання визначається правилом свердла з правостороннім різьбленням. Проте з таким самим успіхом можна було взяти свердлик з лівостороннім різьбленням. В цьому випадку напрямок вектора кутового зміщення було б протилежним.
При розгляді таких величин, як швидкість, прискорення, вектор зміщення не виникало питання про вибір їхнього напряму: воно визначалося природним чином із самих величин. Такі вектори називаються полярними. Вектори, подібні до вектора кутового переміщення, називаються аксіальними,або псевдовекторами. Напрямок аксіального вектора визначається вибором позитивного напрямку обертання. Крім того, аксіальний вектор не має точки застосування. Полярні вектори, які ми розглядали досі, прикладені до точки, що рухається. Для аксіального вектора можна лише вказати напрямок (вісь, axis – лат.), вздовж якої він спрямований. Вісь, вздовж якої спрямований вектор кутового усунення, перпендикулярна площині обертання. Зазвичай вектор кутового переміщення зображують на осі, що проходить через центр кола (мал. 14), хоча його можна намалювати в будь-якому місці, у тому числі на осі, що проходить через точку, що розглядається.
У системі СІ кути вимірюються у радіанах. Радіан – це такий кут, довжина дуги якого дорівнює радіусу кола. Таким чином, повний кут (360 0) дорівнює 2π радіан.
Рух точки по колу
Кутова швидкість- Векторна величина, чисельно дорівнює куту повороту за одиницю часу. Позначається зазвичай кутова швидкість грецької буквою? За визначенням, кутова швидкість - це похідна кута за часом:
Напрямок вектора кутової швидкості збігається із напрямом вектора кутового переміщення (рис. 14). Вектор кутової швидкості, як і вектор кутового переміщення, є аксіальним вектором.
Розмірність кутової швидкості – рад/с.
Обертання з постійною кутовою швидкістю називається рівномірним, при цьому ω = φ/t.
Рівномірне обертання можна характеризувати періодом звернення Т, під яким розуміють час, протягом якого тіло робить один оберт, т. е. повертається на кут 2π. Оскільки проміжку часу Δt = Т відповідає кут повороту Δφ = 2π, то
Число оборотів в одиницю часу ν, очевидно, дорівнює:
Величина вимірюється в герцах (Гц). Один герц – це один оберт на секунду, або 2π рад/с.
Поняття періоду обігу та числа оборотів в одиницю часу можна зберегти і для нерівномірного обертання, розуміючи під миттєвим значенням T той час, за який тіло зробило б один оборот, якби воно оберталося рівномірно з даним миттєвим значенням кутової швидкості, а під розуміючи то число оборотів, яке робило б тіло за одиницю часу за аналогічних умов.
Якщо кутова швидкість змінюється згодом, то обертання називається нерівномірним. У цьому випадку вводять кутове прискоренняаналогічно тому, як прямолінійного руху вводилося лінійне прискорення. Кутове прискорення – це зміна кутової швидкості за одиницю часу, що обчислюється як похідна кутової швидкості за часом або друга похідна кутового зсуву за часом:
Як і кутова швидкість, кутове прискорення є векторної величиною. Вектор кутового прискорення – аксіальний вектор, у разі прискореного обертання спрямований у той самий бік, як і вектор кутової швидкості (рис. 14); у разі уповільненого обертання вектор кутового прискорення направлений протилежно до вектора кутової швидкості.
При рівнозмінному обертальному русі мають місце співвідношення, аналогічні формулам (10) і (11), що описують рівнозмінний прямолінійний рух.
Так як лінійна швидкість рівномірно змінює напрямок, то рух по колу не можна назвати рівномірним, воно є рівноприскореним.
Кутова швидкість
Виберемо на колі крапку 1 . Збудуємо радіус. За одиницю часу точка переміститься до пункту 2 . У цьому радіус визначає кут. Кутова швидкість чисельно дорівнює куту повороту радіусу за одиницю часу.
Період та частота
Період обертання T- цей час, протягом якого тіло здійснює один оборот.
Частота обертання – це кількість обертів за одну секунду.
Частота та період взаємопов'язані співвідношенням
Зв'язок із кутовою швидкістю
Лінійна швидкість
Кожна точка на колі рухається із деякою швидкістю. Цю швидкість називають лінійною. Напрямок вектора лінійної швидкості завжди збігається з дотичною до кола.Наприклад, іскри з-під точильного верстата рухаються, повторюючи напрямок миттєвої швидкості.
Розглянемо точку на колі, яка здійснює один оборот, час, який витрачено – це є період T.Шлях, який долає точка - це є довжина кола.
Центрошвидке прискорення
При русі коло вектор прискорення завжди перпендикулярний вектору швидкості, спрямований у центр кола.
Використовуючи попередні формули, можна вивести такі співвідношення
Точки, що лежать на одній прямій, що виходить із центру кола (наприклад, це можуть бути точки, які лежать на спиці колеса), матимуть однакові кутові швидкості, період і частоту. Тобто вони обертатимуться однаково, але з різними лінійними швидкостями. Чим далі точка від центру, тим швидше вона рухатиметься.
Закон складання швидкостей справедливий і для обертального руху. Якщо рух тіла чи системи відліку перестав бути рівномірним, то закон застосовується для миттєвих швидкостей. Наприклад, швидкість людини, що йде по краю каруселі, що обертається, дорівнює векторній сумі лінійної швидкості обертання краю каруселі і швидкості руху людини.
Земля бере участь у двох основних обертальних рухах: добовому (навколо своєї осі) та орбітальному (навколо Сонця). Період обертання Землі навколо Сонця становить 1 рік або 365 діб. Навколо своєї осі Земля обертається із заходу Схід, період цього обертання становить 1 добу чи 24 години. Широтою називається кут між площиною екватора та напрямом із центру Землі на точку її поверхні.
Згідно з другим законом Ньютона причиною будь-якого прискорення є сила. Якщо тіло, що рухається, відчуває доцентрове прискорення, то природа сил, дією яких викликано це прискорення, може бути різною. Наприклад, якщо тіло рухається по колу на прив'язаній до нього мотузці, то силою, що діє, є сила пружності.
Якщо тіло, що лежить на диску, обертається разом із диском навколо його осі, то такою силою є сила тертя. Якщо сила припинить свою дію, то далі тіло рухатиметься прямою
Розглянемо переміщення точки на колі з А до В. Лінійна швидкість дорівнює
Тепер перейдемо у нерухому систему, пов'язану із землею. Повне прискорення точки А залишиться тим самим і за модулем, і за напрямом, оскільки при переході від однієї інерційної системи відліку до іншої прискорення не змінюється. З погляду нерухомого спостерігача траєкторія точки А - вже не коло, а складніша крива (циклоїда), вздовж якої точка рухається нерівномірно.
Так як лінійна швидкість рівномірно змінює напрямок, то рух по колу не можна назвати рівномірним, воно є рівноприскореним.
Кутова швидкість
Виберемо на колі крапку 1 . Збудуємо радіус. За одиницю часу точка переміститься до пункту 2 . У цьому радіус визначає кут. Кутова швидкість чисельно дорівнює куту повороту радіусу за одиницю часу.
Період та частота
Період обертання T- цей час, протягом якого тіло здійснює один оборот.
Частота обертання – це кількість обертів за одну секунду.
Частота та період взаємопов'язані співвідношенням
Зв'язок із кутовою швидкістю
Лінійна швидкість
Кожна точка на колі рухається із деякою швидкістю. Цю швидкість називають лінійною. Напрямок вектора лінійної швидкості завжди збігається з дотичною до кола.Наприклад, іскри з-під точильного верстата рухаються, повторюючи напрямок миттєвої швидкості.
Розглянемо точку на колі, яка здійснює один оборот, час, який витрачено – це є період T. Шлях, який долає точка - це є довжина кола.
Центрошвидке прискорення
При русі коло вектор прискорення завжди перпендикулярний вектору швидкості, спрямований у центр кола.
Використовуючи попередні формули, можна вивести такі співвідношення
Точки, що лежать на одній прямій, що виходить із центру кола (наприклад, це можуть бути точки, які лежать на спиці колеса), матимуть однакові кутові швидкості, період і частоту. Тобто вони обертатимуться однаково, але з різними лінійними швидкостями. Чим далі точка від центру, тим швидше вона рухатиметься.
Закон складання швидкостей справедливий і для обертального руху. Якщо рух тіла чи системи відліку перестав бути рівномірним, то закон застосовується для миттєвих швидкостей. Наприклад, швидкість людини, що йде по краю каруселі, що обертається, дорівнює векторній сумі лінійної швидкості обертання краю каруселі і швидкості руху людини.
Земля бере участь у двох основних обертальних рухах: добовому (навколо своєї осі) та орбітальному (навколо Сонця). Період обертання Землі навколо Сонця становить 1 рік або 365 діб. Навколо своєї осі Земля обертається із заходу Схід, період цього обертання становить 1 добу чи 24 години. Широтою називається кут між площиною екватора та напрямом із центру Землі на точку її поверхні.
Згідно з другим законом Ньютона причиною будь-якого прискорення є сила. Якщо тіло, що рухається, відчуває доцентрове прискорення, то природа сил, дією яких викликано це прискорення, може бути різною. Наприклад, якщо тіло рухається по колу на прив'язаній до нього мотузці, то силою, що діє, є сила пружності.
Якщо тіло, що лежить на диску, обертається разом із диском навколо його осі, то такою силою є сила тертя. Якщо сила припинить свою дію, то далі тіло рухатиметься прямою
Розглянемо переміщення точки на колі з А до В. Лінійна швидкість дорівнює v Aі v Bвідповідно. Прискорення – зміна швидкості за одиницю часу. Знайдемо різницю векторів.
