Ступінні вирази (вирази зі ступенями) та їх перетворення. Ступінь із раціональним показником Приклади на тему ступінь із раціональним показником

Вчитель математики: Нашкенова О.М. Майбалицької середньої школи План-конспект уроку на тему «Ступінь з раціональним показником»

(алгебра, 11 клас)

Цілі уроку:

Розширити та поглибити знання учнів про ступінь числа; ознайомлення учнів із поняттям ступеня з раціональним показником та їх властивостями;

Виробити знання, вміння та навички обчислювати значення виразів шляхом використання властивостей;

Продовжити роботу з розвитку умінь аналізувати, порівнювати, виділяти головне, визначати та пояснювати поняття;

Формувати комунікативні компетентності, уміння аргументувати свої дії, виховувати самостійність, працьовитість.

Обладнання: підручник, роздаткові картки, ноутбук,презентаційний матеріал Power Point ;

Тип уроку: урок вивчення та первинного закріплення нових знань.

План уроку:

1.Орг. момент. - 1 хв.

2. Мотивація уроку.-2 хв

3. Актуалізація опорних знань. - 5 хв.

4.Вивчення нового матеріалу. - 15 хв.

5. Фізкультхвилинка - 1 хв.

6.Первинне закріплення вивченого матеріалу – 10 хв

7. Самостійна робота. - 7 хв.

8. Домашнє завдання. - 2 хв.

9. Рефлексія - 1 хв.

10.Підсумок уроку. - 1 хв.

Хід уроку

1. Організаційний момент

Емоційний настрій під час уроку.

Бажаю працювати, бажаю

працювати,
Бажаю успіхів сьогодні досягти.
Адже у майбутньому все це вам

стане в нагоді.
І легше надалі вам буде

вчитися(Слайд №1)

2.Мотивація уроку

Дії зведення у ступінь та вилучення кореня, як і чотири арифметичні дії, з'явилися в результаті практичної потреби. Так, поряд із завданням обчислення площі квадрата, сторонаа якого відома, зустрічалося обернене завдання: «Яку довжину повинен мати сторона квадрата, щоб його площа дорівнювалав. У 14-15 століттях у Європі з'являються банки, які давали гроші на зростання князям і купцям, фінансували великі відсотки далекі подорожі і завойовницькі походи. Щоб полегшити розрахунки складних відсотків, склали таблиці, за якими відразу можна було дізнатися, яку суму треба сплатити черезп років, якщо було позичено сумуа пор% річних. Сума, що сплачується, виражається формулою: s = а(1 + ) п . Іноді гроші брали в борг ні на ціле число років, а наприклад, на 2 роки 6 місяців. Якщо через 2.5 роки сумаа звернутися до aq , то через наступні 2.5 років вона збільшиться ще вq раз і стане рівноюaq 2 . Через 5 років:а = (1 + 5 , тому q 2 = (1 + 5 і значить q =

(Слайд 2) .

Так виникла ідея ступеня з дрібним показником.

3. Актуалізація опорних знань.

Запитання:

1.Що означає запис;а п

2. Що таке а ?

3. Що таке п ?

4. а -п =?

5. Запишіть у зошиту властивості ступеня з цілим показником.

6. Які числа відносяться до натуральних, цілих, раціональних? Зобразити їх за допомогою кіл Ейлера.(Слайд 3)

Відповіді: 1. Ступінь із цілим показником

2. а-заснування

3. п- показник ступеня

4. а -п =

5. Властивості ступеня з цілим показником:

a m *a n = a (m+n) ;

a m : a n = a (m-n) ( при a не рівному нулю );

(a m ) n = a (m * n) ;

(a*b) n = a n *b n ;

(a/b) n = (a n )/(b n ) (при b не рівному нулю);

a 1 = a;

a 0 = 1 (при a не рівному нулю);

Ці властивості будуть справедливі для будь-яких чисел a, b та будь-яких цілих чисел m і n.

6.1,2,3, …- позитивні числа - безліч натуральні числа -N

0,-1,-2,-3,.. число О і негативні числа - безліч цілі числа -Z

N

Кола Ейлера (слайд 4)

4. Вивчення нового матеріалу.

Нехай. а - невід'ємне число і потрібно звести його в дрібний ступінь . Вам відома рівність (а m ) n = а m n (слайд 4) , тобто. правило зведення ступеня з ступінь. У наведеній рівності припустимо, що m = тоді отримаємо: (а ) п = а =а (слайд 4)

Звідси можна зробити висновок, що єа корінням п - й ступеня від числаа , тобто. а = . з цього виходить що (а п ) = п =а (Слайд 4).

Отже а = (а ) m = (а m ) = m . ( слайд 4 ).

Таким чином, має місце така рівність:а = m (слайд 4)

Визначення: ступенем невід'ємного числа а з раціональним показником , де - нескоротний дріб, називається значення кореня п –го ступеня з числа а т .

Отже, за визначенням а = m (слайд 5)

Розберемо приклад 1 : Напишіть ступінь з раціональним показником у вигляді кореня п-го ступеня:

Відвели свій погляд праворуч,

Відвели свій погляд наліво,

Оглянули стелю,

Подивились усі вперед.

Раз – зігнутися – розігнутися,

Два ─ зігнутися – потягнуться,

Три – у долоні три бавовни,

Головою три кивки.

П'ять і шість тихо сісти.

І знову в дорогу! (слайд 9)

6.Первинне закріплення вивченого матеріалу:

Сторінка 51, № 90, № 91 – виконати у зошиті самостійно,

з перевіркою біля дошки

7. Самостійна робота

Варіант 1

(Слайд 10)

Варіант 1

(Слайд 11)

Виконати самостійну роботу із взаємоперевіркою.

Відповіді:

Варіант 1

(Слайд 12)

Отже, сьогодні на уроці ми познайомилися з поняттям ступеня з раціональним показником та навчилися записувати у вигляді коренів, застосовувати основні властивості ступенів при знаходженні значень числових виразів.8.Домашнє завдання: №92, №93 Інформація про домашнє завдання

9. Рефлексія

(Слайд 13)

10.Підсумок уроку:

У чому схожість та відмінність ступеня з цілим показником та ступеня з дробовим показником? (Подібність: всі властивості ступеня з цілим показником мають місце і для ступеня з раціональним показником;

відмінність: ступеня)

Перерахуйте властивості ступеня з раціональним показником

Урок сьогодні завершено,
Дружніш вас не знайти.
Але кожен має знати:
Пізнання, завзятість, праця
До прогресу у житті приведуть.
Дякую за урок! (слайд 14)

Відеоурок «Ступінь з раціональним показником» містить наочний навчальний матеріал для ведення уроку на цю тему. У відеоуроці міститься інформація про поняття ступеня з раціональним показником, властивості таких ступенів, а також приклади, що описують застосування навчального матеріалу для вирішення практичних завдань. Завдання даного відеоуроку - наочно і зрозуміло уявити навчальний матеріал, полегшити його освоєння та запам'ятовування учнями, формувати вміння вирішувати завдання з використанням вивчених понять.

Основні переваги відеоуроку - можливість проводити наочно перетворення та обчислення, можливість використання анімаційних ефектів для покращення ефективності навчання. Голосовий супровід допомагає розвивати правильну математичну мову, а також дає можливість замінити пояснення вчителя, звільняючи його для індивідуальної роботи.

Відеоурок починається з подання теми. Зв'язуючи вивчення нової теми з раніше вивченим матеріалом, пропонується згадати, що n √a інакше позначається a 1/n для натурального n і позитивного a. Дане уявлення кореня n-ступеня відображається на екрані. Далі пропонується розглянути, що означає вираз a m/n, в якому a - позитивне число, а m/n - деяка дріб. Дається виділене у рамці визначення ступеня з раціональним показником як a m/n = n a m. У цьому зазначено, що може бути натуральним числом, а m - цілим.

Після визначення ступеня з раціональним показником її значення розкривається на прикладах: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Також демонструється приклад, в якому ступінь, представлений десятковим дробом, перетворюється на звичайний дріб, щоб бути представленим у вигляді кореня: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 і приклад із негативним значенням ступеня: 3 -1/8 = 8 √3 -1 .

Окремо вказується особливість окремого випадку, коли основа ступеня - нуль. Зазначено, що цей ступінь має сенс лише з позитивним дробовим показником. І тут її значення дорівнює нулю: 0 m/n =0.

Відзначено ще одну особливість ступеня з раціональним показником - те, що ступінь із дробовим показником неспроможна розглядатися з дробовим показником. Наведено приклади некоректного запису ступеня: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Далі у відеоуроці розглядаються властивості ступеня із раціональним показником. Помічено, що властивості ступеня з цілим показником будуть справедливі і для ступеня з раціональним показником. Пропонується згадати перелік властивостей, які також справедливі у цьому випадку:

1. При множенні ступенів з однаковими основами їх показники складаються: a p a q = a p+q .
2. Розподіл ступенів з однаковими основами зводиться до ступеня з цією основою та різницею показників ступенів: a p:a q =a p-q .
3. Якщо звести ступінь у деякий ступінь, то в результаті отримуємо ступінь з цією основою та добутком показників: (a p) q = a pq.

Всі дані властивості справедливі для ступенів з раціональними показниками p, q і позитивною основою a>0. Також вірними залишаються перетворення ступеня при розкритті дужок:

1. (ab) p = a p b p - зведення до певної міри з раціональним показником добутку двох чисел зводиться до добутку чисел, кожне з яких зведено в дану міру.
2. (a/b) p =a p /b p - зведення у ступінь з раціональним показником дробу зводиться до дробу, чисельник і знаменник якого зведено в даний ступінь.

У відеоуроці розглядається рішення прикладів, у яких використовуються розглянуті властивості ступенів із раціональним показником. У першому прикладі пропонується знайти значення виразу, в якому містяться змінні х в дрібній мірі: (х 1/6 -8) 2 -16х 1/6 (х -1/6 -1). Незважаючи на складність вираження, із застосуванням властивостей ступенів воно вирішується досить просто. Рішення завдання починається зі спрощення виразу, в якому використовується правило зведення ступеня з раціональним показником у ступінь, а також перемноження ступенів з однаковою основою. Після підстановки заданого значення х=8 у спрощений вираз х 1/3+48 легко отримати значення - 50.

У другому прикладі потрібно скоротити дріб, чисельник і знаменник якого міститиме ступеня з раціональним показником. Використовуючи властивості ступеня, виділяємо з різниці множник х 1/3 , який потім скорочується в чисельнику та знаменнику, а використовуючи формулу різниці квадратів, на множники розкладається чисельник, що дає ще скорочення однакових множників у чисельнику та знаменнику. Підсумком таких перетворень стає короткий дріб х 1/4+3.

Відеоурок «Ступінь із раціональним показником» може бути використаний замість пояснення вчителем нової теми уроку. Також цей посібник містить досить повну інформацію для самостійного вивчення учнем. Матеріал може бути корисним і при дистанційному навчанні.

Вирази, перетворення виразів

Ступінні вирази (вирази зі ступенями) та їх перетворення

У цій статті ми поговоримо про перетворення виразів зі ступенями. Спочатку ми зупинимося на перетвореннях, які виконуються з виразами будь-яких видів, у тому числі зі статечними виразами, таких як розкриття дужок, приведення подібних доданків. А далі розберемо перетворення, властиві саме виразам зі ступенями: робота з основою та показником ступеня, використання властивостей ступенів тощо.

Навігація на сторінці.

Що таке статечні вирази?

Термін «статечні висловлювання» практично не зустрічається шкільних підручниках математики, але він часто фігурує у збірниках завдань, особливо призначених для підготовки до ЄДІ та ОДЕ, наприклад, . Після аналізу завдань, у яких потрібно виконати будь-які дії зі статечними виразами, стає зрозуміло, що під статечними виразами розуміють вирази, що містять у своїх записах ступеня. Тому для себе можна прийняти таке визначення:

Визначення.

Ступінні вирази- Це вирази, що містять ступеня.

Наведемо приклади статечних виразів. Причому будемо їх представляти відповідно до того, як відбувається розвиток поглядів на ступінь з натуральним показником до ступеня з дійсним показником.

Як відомо, спочатку відбувається знайомство зі ступенем числа з натуральним показником, на цьому етапі з'являються перші найпростіші статечні вирази типу 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1) 4 , 3·a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 тощо.

Трохи пізніше вивчається ступінь числа з цілим показником, що призводить до появи статечних виразів з негативними ступенями, на кшталт наступних: 3 −2 , , a −2 +2·b −3 +c 2 .

У старших класах знову повертаються до ступенів. Там вводиться ступінь з раціональним показником, що тягне за собою появу відповідних статечних виразів: , , і т.п. Нарешті, розглядаються ступеня з ірраціональними показниками і їх висловлювання: , .

Перерахованими статечними виразами справа не обмежується: далі в показник ступеня проникає змінна, і виникають, наприклад, такі вирази 2 x 2 +1 або . А після знайомства з , починають зустрічатися вирази зі ступенями і логарифмами, наприклад, x 2 lgx −5 x lgx .

Отже, ми розібралися з питанням, що є статечними виразами. Далі вчитимемося перетворювати їх.

Основні види перетворень статечних виразів

Зі статечними виразами можна виконувати будь-які з основних тотожних перетворень виразів. Наприклад, можна розкривати дужки, замінювати числові вирази їх значеннями, наводити подібні доданки тощо. Природно, при цьому варто дотримуватися прийнятого порядку виконання дій. Наведемо приклади.

приклад.

Обчисліть значення статечного виразу 23 · (42-12).

Рішення.

Відповідно до порядку виконання дій спочатку виконуємо дії у дужках. Там, по-перше, замінюємо ступінь 4 2 її значенням 16 (за потреби дивіться ), і по-друге, обчислюємо різницю 16-12=4 . Маємо 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

В отриманому вираженні замінюємо ступінь 2 3 її значенням 8 після чого обчислюємо твір 8 · 4 = 32 . Це і є потрібне значення.

Отже, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Відповідь:

2 3 · (4 2 -12) = 32 .

приклад.

Спростити вирази зі ступенями 3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7.

Рішення.

Вочевидь, що це вираз містить подібні доданки 3·a 4 ·b −7 і 2·a 4 ·b −7 , і ми можемо навести їх: .

Відповідь:

3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7 =5·a 4 ·b −7 −1.

приклад.

Подайте вираз зі ступенями у вигляді твору.

Рішення.

Впоратися з поставленим завданням дозволяє подання числа 9 у вигляді ступеня 3 2 і подальше використання формули скороченого множення різниця квадратів:

Відповідь:

Також існує ряд тотожних перетворень, властивих саме статечним виразам. Далі ми їх розберемо.

Робота з основою та показником ступеня

Зустрічаються ступеня, в основі та/або показнику яких знаходяться не просто числа або змінні, а деякі вирази. Як приклад наведемо записи (2+0,3·7) 5−3,7 та (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Працюючи з подібними виразами можна як вираз у основі ступеня, і вираз у показнику замінити тотожно рівним виразом на ОДЗ його змінних. Іншими словами, ми можемо за відомими нам правилами окремо перетворювати основу ступеня, і окремо – показник. Зрозуміло, що в результаті цього перетворення вийде вираз, що тотожно дорівнює вихідному.

Такі перетворення дозволяють спрощувати вирази зі ступенями або досягати інших потрібних нам цілей. Наприклад, у згаданому вище статечному вираженні (2+0,3·7) 5-3,7 можна виконати дії з числами на підставі та показнику, що дозволить перейти до ступеня 4,1 1,3 . А після розкриття дужок і приведення подібних доданків в підставі ступеня (a · (a + 1) -a 2) 2 · (x + 1) ми отримаємо статечне вираз простішого виду a 2 · (x + 1) .

Використання властивостей ступенів

Один із головних інструментів перетворення виразів зі ступенями – це рівності, що відображають . Нагадаємо основні із них. Для будь-яких позитивних чисел a та b і довільних дійсних чисел r і s справедливі такі властивості ступенів:

• a r as = a r + s;
• a r: as = a r−s;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r = a r: b r;
• (a r) s = a r · s.

Зауважимо, що з натуральних, цілих, і навіть позитивних показниках ступеня обмеження числа a і b може бути менш строгими. Наприклад, для натуральних чисел m і n рівність a m · a n = a m+n вірно як для позитивних a , але й негативних, й у a=0 .

У школі основну увагу при перетворенні статечних виразів зосереджено саме на вмінні вибрати відповідну властивість і правильно її застосувати. При цьому основи ступенів зазвичай позитивні, що дозволяє використовувати властивості ступенів без обмежень. Це саме стосується і перетворення виразів, що містять в підставах ступенів змінні – область допустимих значень змінних зазвичай така, що на ній підстави набувають лише позитивних значень, що дозволяє вільно використовувати властивості ступенів. Взагалі, потрібно постійно ставити питання, а чи можна в даному випадку застосовувати будь-яку властивість ступенів, адже неакуратне використання властивостей може призводити до звуження ОДЗ та інших неприємностей. Детально і на прикладах ці моменти розібрані у статті перетворення виразів з використанням властивостей ступенів. Тут ми обмежимося розглядом кількох простих прикладів.

приклад.

Подайте вираз a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 у вигляді ступеня з основою a .

Рішення.

Спочатку другий множник (a 2) −3 перетворимо за якістю зведення ступеня на ступінь: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Вихідний статечний вираз при цьому набуде вигляду a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Очевидно, залишається скористатися властивостями множення та поділу ступенів з однаковою основою, маємо
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Відповідь:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Властивості ступенів при перетворенні статечних виразів використовуються як зліва направо, так і праворуч наліво.

приклад.

Знайти значення статечного виразу.

Рішення.

Рівність (a b) r = a r b r , застосоване праворуч наліво, дозволяє від вихідного виразу перейти до твору виду і далі . А при множенні ступенів з однаковими основами показники складаються: .

Можна було виконувати перетворення вихідного виразу та інакше:

Відповідь:

.

приклад.

Дано статечний вираз a 1,5 −a 0,5 −6 , введіть нову змінну t=a 0,5 .

Рішення.

Ступінь a 1,5 можна як a 0,5·3 і далі з урахуванням якості ступеня ступеня (a r) s =a r·s , застосованого праворуч наліво, перетворити її до виду (a 0,5) 3 . Таким чином, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Тепер легко ввести нову змінну t=a 0,5 одержуємо t 3 −t−6 .

Відповідь:

t 3 −t−6 .

Перетворення дробів, що містять ступеня

Ступінні вирази можуть містити дроби зі ступенями або являти собою такі дроби. До таких дробів повною мірою застосовні будь-які з основних перетворень дробів, які притаманні дробам будь-якого виду. Тобто, дроби, які містять ступеня, можна скорочувати, приводити до нового знаменника, працювати окремо з їх чисельником та окремо зі знаменником тощо. Для ілюстрації сказаних слів розглянемо розв'язання кількох прикладів.

приклад.

Спростити статечний вираз .

Рішення.

Дане статечне вираз являє собою дріб. Попрацюємо з її чисельником та знаменником. У чисельнику розкриємо дужки і спростимо отриманий після цього вираз, використовуючи властивості ступенів, а в знаменнику наведемо такі складові:

І ще змінимо знак знаменника, помістивши мінус перед дробом: .

Відповідь:

.

Приведення дробів, що містять ступеня, до нового знаменника проводиться аналогічно до приведення до нового знаменника раціональних дробів. При цьому знаходиться додатковий множник і виконується множення на нього чисельника і знаменника дробу. Виконуючи цю дію, варто пам'ятати, що приведення до нового знаменника може спричинити звуження ОДЗ. Щоб цього не відбувалося, потрібно, щоб додатковий множник не звертався в нуль за жодних значень змінних з ОДЗ змінних для вихідного виразу.

приклад.

Наведіть дроби до нового знаменника: а) до знаменника a, б) до знаменника.

Рішення.

а) У цьому випадку досить просто збагнути, який додатковий множник допомагає досягти потрібного результату. Це множник a 0,3, оскільки a 0,7 · 0,3 = a 0,7 +0,3 = a. Зауважимо, що на області допустимих значень змінної a (це є безліч всіх позитивних дійсних чисел) ступінь a 0,3 не звертається в нуль, тому ми маємо право виконати множення чисельника та знаменника заданого дробу на цей додатковий множник:

б) Придивившись уважніше до знаменника, можна виявити, що

і множення цього виразу дасть суму кубів і , тобто, . А це і є новим знаменником, до якого нам потрібно привести вихідний дріб.

Так ми знайшли додатковий множник. На ділянці допустимих значень змінних x і y вираз не звертається в нуль, тому ми можемо помножити на нього чисельник і знаменник дробу:

Відповідь:

а) , б) .

У скороченні дробів, що містять ступеня, також немає нічого нового: чисельник і знаменник представляються у вигляді деякої кількості множників, і скорочуються однакові множники чисельника та знаменника.

приклад.

Скоротіть дріб: а) б) .

Рішення.

а) По-перше, чисельник і знаменник можна скоротити на чисел 30 і 45, який дорівнює 15 . Також, очевидно, можна виконати скорочення на x 0,5+1 та на . Ось що ми маємо:

б) У цьому випадку однакових множників у чисельнику та знаменнику відразу не видно. Щоб отримати їх, доведеться виконати попередні перетворення. У разі вони полягають у розкладанні знаменника на множники по формулі різниці квадратів:

Відповідь:

а)

б) .

Приведення дробів до нового знаменника та скорочення дробів в основному використовується для виконання дій із дробами. Дії виконуються за відомими правилами. При складанні (відніманні) дробів, вони приводяться до спільного знаменника, після чого складаються (віднімаються) чисельники, а знаменник залишається тим самим. У результаті виходить дріб, чисельник якого є твір чисельників, а знаменник – твір знаменників. Розподіл на дріб є множення на дріб, зворотний їй.

приклад.

Виконайте дії .

Рішення.

Спочатку виконуємо віднімання дробів, що знаходяться в дужках. Для цього наводимо їх до спільного знаменника, який є , після чого віднімаємо чисельники:

Тепер множимо дроби:

Очевидно, можливе скорочення на ступінь x 1/2 після якого маємо .

Ще можна спростити статечний вираз у знаменнику, скориставшись формулою різниця квадратів: .

Відповідь:

приклад.

Спростіть статечний вираз .

Рішення.

Очевидно, цей дріб можна скоротити на (x 2,7 +1) 2 , це дає дріб . Зрозуміло, що ще треба щось зробити зі ступенями ікса. Для цього перетворимо отриманий дріб у твір. Це дає можливість скористатися властивістю поділу ступенів з однаковими підставами: . І на закінчення процесу переходимо від останнього твору до дробу.

Відповідь:

.

І ще додамо, що можна і в багатьох випадках бажано множники з негативними показниками ступеня переносити з чисельника в знаменник або з знаменника в чисельник, змінюючи знак показника. Такі перетворення часто спрощують подальші дії. Наприклад, статечне вираз можна замінити на .

Перетворення виразів з корінням та ступенями

Часто у виразах, в яких потрібно провести деякі перетворення, разом зі ступенями з дробовими показниками є і коріння. Щоб перетворити подібний вираз до потрібного вигляду, у більшості випадків достатньо перейти тільки до коріння або лише до ступенів. Але оскільки працювати зі ступенями зручніше, зазвичай переходять від коріння до ступенів. Однак, здійснювати такий перехід доцільно тоді, коли ОДЗ змінних для вихідного виразу дозволяє замінити коріння ступенями без необхідності звертатися до модуля або розбивати ОДЗ на кілька проміжків (це ми докладно розібрали у статті перехід від коренів до ступенів і назад). вводиться ступінь із ірраціональним показником, що дозволяє говорити і про ступінь із довільним дійсним показником. На цьому етапі в школі починає вивчатися. показова функція, Яка аналітично задається ступенем, на основі якої знаходиться число, а в показнику - змінна. Так ми стикаємося зі статечними виразами, що містять числа на підставі ступеня, а в показнику - вирази зі змінними, і природно виникає необхідність виконання перетворень таких виразів.

Слід сказати, що перетворення виразів зазначеного виду зазвичай доводиться виконувати під час вирішення показових рівняньі показових нерівностей, і це перетворення досить прості. У переважній кількості випадків вони базуються на властивостях ступеня і націлені переважно на те, щоб надалі ввести нову змінну. Продемонструвати їх нам дозволить рівняння 5 2·x+1 −3·5 x ·7 x −14·7 2·x−1 =0.

По-перше, ступеня, у показниках яких перебуває сума деякої змінної (або вирази зі змінними) та числа, замінюються творами. Це відноситься до першого і останнього доданків вирази з лівої частини:
5 2·x ·5 1 −3·5 x ·7 x −14·7 2·x ·7 −1 =0,
5·5 2·x −3·5 x ·7 x −2·7 2·x =0.

Далі виконується розподіл обох частин рівності на вираз 7 2·x , яке на ОДЗ змінної x для вихідного рівняння приймає тільки позитивні значення (це стандартний прийом розв'язання рівнянь такого виду, зараз не про нього, так що зосередьте увагу на подальших перетвореннях виразів зі ступенями ):

Тепер скорочуються дроби зі ступенями, що дає .

Нарешті, ставлення ступенів з однаковими показниками замінюється ступенями відносин, що призводить до рівняння , яке рівносильне . Зроблені перетворення дозволяють ввести нову змінну, що зводить рішення початкового показникового рівняння до розв'язання квадратного рівняння

Вираз a n (ступінь з цілим показником) буде визначено у всіх випадках, за винятком випадку, коли a = 0 і при цьому n менше або дорівнює нулю.

Властивості ступенів

Основні властивості ступенів із цілим показником:

a m *a n = a (m+n);

a m: a n = a (m-n) (при aне рівному нулю);

(a m) n = a (m * n);

(a * b) n = a n * b n;

(a/b) n = (a n)/(b n) (при bне рівному нулю);

a 0 = 1 (при aне рівному нулю);

Ці властивості будуть справедливі для будь-яких чисел a, b та будь-яких цілих чисел m і n. Варто відзначити також таку властивість:

Якщо m>n, то a m > a n при a>1 і a m

Можна узагальнити поняття ступеня числа на випадки, коли як показник ступеня виступають раціональні числа. При цьому хотілося б, щоб виконувалися всі вище перелічені властивості або хоча б частина з них.

Наприклад, при виконанні властивості (a m) n = a (m * n) виконувалася б така рівність:

(a (m/n)) n = a m.

Ця рівність означає, що число a (m/n) має бути коренем n-го ступеня з числа a m.

Ступенем деякого числа a (більшого нуля) з раціональним показником r = (m/n), де m - деяке ціле число, n - деяке натуральне число більше одиниці, називається число n√(a m). З визначення: a (m/n) = n√(a m).

Для всіх позитивних r буде визначено ступінь числа нуль. За визначенням 0 r = 0. Зазначимо також, що за будь-якого цілого, будь-яких натуральних m і n, і позитивного аПравильно така рівність: a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .

Наприклад: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12).

З визначення ступеня з раціональним показником безпосередньо випливає той факт, що для будь-якого позитивного а та будь-якого раціонального r число a r буде позитивним.

Основні властивості ступеня з раціональним показником

Для будь-яких раціональних чисел p, q і будь-яких a>0 і b>0 вірні такі рівності:

1. (a p) * (a q) = a (p + q);

2. (a p): (b q) = a (p-q);

3. (a p) q = a (p * q);

4. (a * b) p = (a p) * (b p);

5. (a/b) p = (a p)/(b p).

Дані властивості випливають із властивостей коренів. Всі дані властивості доводяться аналогічним способом, тому обмежимося доказом лише одного з них, наприклад першого (a p) * (a q) = a (p + q) .

Нехай p = m/n, a q = k/l, де n, l – деякі натуральні числа, а m, k – деякі цілі числа. Тоді треба довести, що:

(a (m/n))*(a (k/l)) = a ((m/n) + (k/l)) .

Спочатку наведемо дроби m/n k/l до спільного знаменника. Отримаємо дроби (m*l)/(n*l) та (k*n)/(n*l). Перепишемо ліву частину рівності за допомогою цих позначень і отримаємо:

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ).

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ) = (n*l)√(a (m*l))*(n*l)√(a (k*n)) = (n*l)√((a (m*l))*(a (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m /n) + (k/l)).

Урок №30 (Алгебра та початки аналізу, 11 клас)

Тема урока: Ступінь із раціональним показником.

Мета уроку: 1 . Розширити поняття ступеня, дати поняття ступеня із раціональним показником; навчити перекладати ступінь з раціональним показником у корінь та навпаки; обчислювати міри з раціональним показником.

2. Розвиток пам'яті, мислення.

3. Формування активності.

«Нехай хтось спробує викреслити

з математики ступеня, і він побачить,

Що без них далеко не поїдеш»М.В.Ломоносов

Хід уроку.

I. Повідомлення теми та мети уроку.

ІІ. Повторення та закріплення пройденого матеріалу.

1. Розбір невирішених домашніх прикладів.

2. Контролююча самостійна робота:

Варіант 1.

1. Розв'язати рівняння: √(2х – 1) = 3х – 12

2. Вирішити нерівність: √(3х – 2) ≥ 4 – х

Варіант 2.

1. Розв'язати рівняння: 3 – 2х = √(7х + 32)

2. Вирішити нерівність: √(3х + 1) ≥ х – 1

ІІІ. Вивчення нового матеріалу.

1 . Згадаймо розширення поняття чисел: N є Z є Q є R.

Це краще подати у вигляді наведеної нижче схеми:

Натуральні (N)

Нуль

Невід'ємні числа

Негативні числа

Дробові числа

Цілі числа (Z)

Ірраціональні

Раціональні (Q)

Справжні числа

2. У молодших класах було визначено поняття ступеня числа із цілим показником. а) Згадайте визначення ступеня а) з натуральним; б) з цілим негативним; в) з нульовим показником.Підкреслити, що вираз a n має сенс за всіх цілих n і будь-яких значеннях а, крім а=0 і n≤0.

б) Перерахуйте властивості ступенів із цілим показником.

3 . Усна робота.

1). Обчислити: 1 -5; 4 -3; (-10) 0; (-5) -2; (1/2) -4; (3/7) -1.

2). Запишіть у вигляді ступеня із негативним показником:

1/4 5; 1/21 3; 1/х 7; 1/а 9 .

3).Порівняйте з одиницею: 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .

4 . Тепер необхідно зрозуміти зміст виразів 3 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 і т.д. Для цього треба таким чином узагальнити поняття ступеня, щоб виконувалися всі ці властивості ступенів. Розглянемо рівність (a m/n) n = а m . Тоді за визначенням кореня п-го ступеня розумно вважати, що a m/n буде коренем п-го ступеня з числа a m . Дається визначення ступеня із раціональним показником.

5. Розглянути приклади 1 та 2 з підручника.

6. Зробимо ряд зауважень, пов'язаних із поняттям ступеня з раціональним показником.

Зауваження 1 : Для будь-якого а>0 та раціонального числа r число a r >0

Примітка 2 : За основною властивістю дробів раціональне число m/n можна записати у вигляді mk/nk для будь-якого натурального числа k. Тодізначення ступеня залежить від форми запису раціонального числа,оскільки a mk/nk = = nk √a mk = n √a m = a m/n

Примітка 3: При а Пояснимо це з прикладу. Розглянемо (-64) 1/3 = 3 √-64 = -4. З іншого боку: 1/3 = 2/6 і тоді (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. Отримуємо протиріччя.