Formel für die Beschleunigung bei Kreisbewegungen. Gleichmäßige Bewegung um einen Kreis
Wenn wir die Bewegung eines Punktes entlang eines Kreises beschreiben, charakterisieren wir die Bewegung des Punktes durch den Winkel Δφ , der den Radiusvektor eines Punktes über die Zeit beschreibt Δt. Winkelverschiebung in einem verschwindend kleinen Zeitraum dt bezeichnet durch dφ.
Die Winkelverschiebung ist eine Vektorgröße. Die Richtung des Vektors (oder ) wird durch die Bohrerregel bestimmt: Wenn Sie den Bohrer (Schraube mit Rechtsgewinde) in Richtung der Punktbewegung drehen, bewegt sich der Bohrer in Richtung des Winkelverschiebungsvektors. In Abb. 14 Punkt M bewegt sich im Uhrzeigersinn, wenn man die Bewegungsebene von unten betrachtet. Wenn Sie den Bohrer in diese Richtung drehen, zeigt der Vektor nach oben.
Somit wird die Richtung des Winkelverschiebungsvektors durch die Wahl der positiven Drehrichtung bestimmt. Die positive Drehrichtung wird durch die Rechtsgewindebohrerregel bestimmt. Mit dem gleichen Erfolg könnte man jedoch auch einen Bohrer mit Linksgewinde nehmen. In diesem Fall wäre die Richtung des Winkelverschiebungsvektors entgegengesetzt.
Bei der Betrachtung von Größen wie Geschwindigkeit, Beschleunigung, Verschiebungsvektor stellte sich die Frage nach der Wahl ihrer Richtung nicht: Sie wurde auf natürliche Weise aus der Natur der Größen selbst bestimmt. Solche Vektoren werden polar genannt. Es werden Vektoren genannt, die dem Winkelverschiebungsvektor ähneln axial, oder Pseudovektoren. Die Richtung des Axialvektors wird durch die Wahl der positiven Drehrichtung bestimmt. Außerdem hat der Axialvektor keinen Angriffspunkt. Polarvektoren, die wir bisher betrachtet haben, werden auf einen bewegten Punkt angewendet. Für einen axialen Vektor können Sie nur die Richtung (Achse, Achse - lateinisch) angeben, entlang derer er gerichtet ist. Die Achse, entlang derer der Winkelverschiebungsvektor gerichtet ist, steht senkrecht zur Rotationsebene. Typischerweise wird der Winkelverschiebungsvektor auf einer Achse gezeichnet, die durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft (Abb. 14), obwohl er überall gezeichnet werden kann, auch auf einer Achse, die durch den betreffenden Punkt verläuft.
Im SI-System werden Winkel im Bogenmaß gemessen. Ein Bogenmaß ist ein Winkel, dessen Bogenlänge gleich dem Radius des Kreises ist. Somit beträgt der Gesamtwinkel (360 0) 2π Bogenmaß.
Bewegung eines Punktes auf einem Kreis
Winkelgeschwindigkeit– Vektorgröße, numerisch gleich dem Drehwinkel pro Zeiteinheit. Die Winkelgeschwindigkeit wird üblicherweise mit dem griechischen Buchstaben ω bezeichnet. Per Definition ist die Winkelgeschwindigkeit die Ableitung eines Winkels nach der Zeit:
Die Richtung des Winkelgeschwindigkeitsvektors stimmt mit der Richtung des Winkelverschiebungsvektors überein (Abb. 14). Der Winkelgeschwindigkeitsvektor ist ebenso wie der Winkelverschiebungsvektor ein Axialvektor.
Die Dimension der Winkelgeschwindigkeit ist rad/s.
Eine Drehung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit wird als gleichmäßig bezeichnet, mit ω = φ/t.
Eine gleichmäßige Rotation kann durch die Rotationsperiode T charakterisiert werden, unter der die Zeit verstanden wird, in der der Körper eine Umdrehung macht, also sich um einen Winkel von 2π dreht. Da das Zeitintervall Δt = T dem Drehwinkel Δφ = 2π entspricht, dann
Die Anzahl der Umdrehungen pro Zeiteinheit ν ist offensichtlich gleich:
Der Wert von ν wird in Hertz (Hz) gemessen. Ein Hertz ist eine Umdrehung pro Sekunde oder 2π rad/s.
Die Konzepte der Umdrehungsperiode und der Anzahl der Umdrehungen pro Zeiteinheit können auch für eine ungleichmäßige Rotation beibehalten werden, wobei man unter dem Momentanwert T die Zeit versteht, in der der Körper eine Umdrehung machen würde, wenn er sich gleichmäßig mit einem gegebenen Momentanwert drehen würde der Winkelgeschwindigkeit, und mit ν ist die Anzahl der Umdrehungen gemeint, die ein Körper unter ähnlichen Bedingungen pro Zeiteinheit machen würde.
Ändert sich die Winkelgeschwindigkeit mit der Zeit, spricht man von einer ungleichmäßigen Drehung. Geben Sie in diesem Fall ein Winkelbeschleunigung auf die gleiche Weise wie die lineare Beschleunigung für geradlinige Bewegungen eingeführt wurde. Die Winkelbeschleunigung ist die Änderung der Winkelgeschwindigkeit pro Zeiteinheit, berechnet als Ableitung der Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit oder als zweite Ableitung der Winkelverschiebung nach der Zeit:
Die Winkelbeschleunigung ist ebenso wie die Winkelgeschwindigkeit eine Vektorgröße. Der Winkelbeschleunigungsvektor ist ein Axialvektor, bei beschleunigter Rotation ist er in die gleiche Richtung wie der Winkelgeschwindigkeitsvektor gerichtet (Abb. 14); Bei langsamer Rotation ist der Winkelbeschleunigungsvektor dem Winkelgeschwindigkeitsvektor entgegengesetzt gerichtet.
Bei gleichförmig veränderlicher Drehbewegung treten ähnliche Beziehungen wie die Formeln (10) und (11) auf, die eine gleichförmig veränderliche geradlinige Bewegung beschreiben.
Da die lineare Geschwindigkeit die Richtung gleichmäßig ändert, kann die Kreisbewegung nicht als gleichmäßig bezeichnet werden, sie wird gleichmäßig beschleunigt.
Winkelgeschwindigkeit
Wählen wir einen Punkt auf dem Kreis 1 . Lasst uns einen Radius bilden. In einer Zeiteinheit bewegt sich der Punkt zum Punkt 2 . Der Radius beschreibt in diesem Fall den Winkel. Die Winkelgeschwindigkeit ist numerisch gleich dem Drehwinkel des Radius pro Zeiteinheit.
Zeitraum und Häufigkeit
Rotationszeitraum T- Dies ist die Zeit, in der der Körper eine Umdrehung durchführt.
Die Rotationsfrequenz ist die Anzahl der Umdrehungen pro Sekunde.
Häufigkeit und Zeitraum hängen durch die Beziehung zusammen
Zusammenhang mit der Winkelgeschwindigkeit
Lineare Geschwindigkeit
Jeder Punkt auf dem Kreis bewegt sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit. Diese Geschwindigkeit wird als linear bezeichnet. Die Richtung des linearen Geschwindigkeitsvektors stimmt immer mit der Tangente an den Kreis überein. Beispielsweise bewegen sich Funken unter einer Schleifmaschine und wiederholen dabei die Richtung der momentanen Geschwindigkeit.
Stellen Sie sich einen Punkt auf einem Kreis vor, der eine Umdrehung durchführt. Die dafür aufgewendete Zeit ist die Periode T Der Weg, den ein Punkt zurücklegt, ist der Umfang.
Zentripetalbeschleunigung
Bei der Bewegung auf einem Kreis steht der Beschleunigungsvektor immer senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor und ist auf den Mittelpunkt des Kreises gerichtet.
Mit den vorherigen Formeln können wir die folgenden Beziehungen ableiten
Punkte, die auf derselben geraden Linie liegen, die vom Mittelpunkt des Kreises ausgeht (dies könnten beispielsweise Punkte sein, die auf den Speichen eines Rades liegen), haben die gleichen Winkelgeschwindigkeiten, die gleiche Periode und die gleiche Frequenz. Das heißt, sie drehen sich auf die gleiche Weise, jedoch mit unterschiedlichen linearen Geschwindigkeiten. Je weiter ein Punkt vom Zentrum entfernt ist, desto schneller bewegt er sich.
Das Gesetz der Geschwindigkeitsaddition gilt auch für Rotationsbewegungen. Wenn die Bewegung eines Körpers oder Bezugssystems nicht gleichmäßig ist, gilt das Gesetz für Momentangeschwindigkeiten. Beispielsweise ist die Geschwindigkeit einer Person, die am Rand eines rotierenden Karussells entlanggeht, gleich der Vektorsumme der linearen Rotationsgeschwindigkeit des Randes des Karussells und der Geschwindigkeit der Person.
Die Erde nimmt an zwei Hauptrotationsbewegungen teil: täglich (um ihre Achse) und orbital (um die Sonne). Die Rotationsperiode der Erde um die Sonne beträgt 1 Jahr oder 365 Tage. Die Erde dreht sich um ihre Achse von West nach Ost, die Dauer dieser Rotation beträgt 1 Tag oder 24 Stunden. Der Breitengrad ist der Winkel zwischen der Äquatorebene und der Richtung vom Erdmittelpunkt zu einem Punkt auf seiner Oberfläche.
Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz ist die Ursache jeder Beschleunigung die Kraft. Wenn ein sich bewegender Körper eine Zentripetalbeschleunigung erfährt, können die Kräfte, die diese Beschleunigung verursachen, unterschiedlicher Natur sein. Bewegt sich beispielsweise ein Körper an einem daran befestigten Seil im Kreis, so ist die wirkende Kraft die elastische Kraft.
Wenn sich ein auf einer Scheibe liegender Körper mit der Scheibe um seine Achse dreht, dann ist eine solche Kraft die Reibungskraft. Wenn die Kraft aufhört zu wirken, bewegt sich der Körper geradlinig weiter
Betrachten Sie die Bewegung eines Punktes auf einem Kreis von A nach B. Die lineare Geschwindigkeit ist gleich
Kommen wir nun zu einem stationären System, das mit der Erde verbunden ist. Die Gesamtbeschleunigung von Punkt A bleibt sowohl in der Größe als auch in der Richtung gleich, da sich die Beschleunigung beim Übergang von einem Inertialreferenzsystem zu einem anderen nicht ändert. Aus der Sicht eines stationären Beobachters ist die Flugbahn von Punkt A kein Kreis mehr, sondern eine komplexere Kurve (Zykloide), entlang derer sich der Punkt ungleichmäßig bewegt.
Da die lineare Geschwindigkeit die Richtung gleichmäßig ändert, kann die Kreisbewegung nicht als gleichmäßig bezeichnet werden, sie wird gleichmäßig beschleunigt.
Winkelgeschwindigkeit
Wählen wir einen Punkt auf dem Kreis 1 . Lasst uns einen Radius bilden. In einer Zeiteinheit bewegt sich der Punkt zum Punkt 2 . Der Radius beschreibt in diesem Fall den Winkel. Die Winkelgeschwindigkeit ist numerisch gleich dem Drehwinkel des Radius pro Zeiteinheit.
Zeitraum und Häufigkeit
Rotationszeitraum T- Dies ist die Zeit, in der der Körper eine Umdrehung durchführt.
Die Rotationsfrequenz ist die Anzahl der Umdrehungen pro Sekunde.
Häufigkeit und Zeitraum hängen durch die Beziehung zusammen
Zusammenhang mit der Winkelgeschwindigkeit
Lineare Geschwindigkeit
Jeder Punkt auf dem Kreis bewegt sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit. Diese Geschwindigkeit wird als linear bezeichnet. Die Richtung des linearen Geschwindigkeitsvektors stimmt immer mit der Tangente an den Kreis überein. Beispielsweise bewegen sich Funken unter einer Schleifmaschine und wiederholen dabei die Richtung der momentanen Geschwindigkeit.
Stellen Sie sich einen Punkt auf einem Kreis vor, der eine Umdrehung durchführt. Die dafür aufgewendete Zeit ist die Periode T. Der Weg, den ein Punkt zurücklegt, ist der Umfang.
Zentripetalbeschleunigung
Bei der Bewegung auf einem Kreis steht der Beschleunigungsvektor immer senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor und ist auf den Mittelpunkt des Kreises gerichtet.
Mit den vorherigen Formeln können wir die folgenden Beziehungen ableiten
Punkte, die auf derselben geraden Linie liegen, die vom Mittelpunkt des Kreises ausgeht (dies könnten beispielsweise Punkte sein, die auf den Speichen eines Rades liegen), haben die gleichen Winkelgeschwindigkeiten, die gleiche Periode und die gleiche Frequenz. Das heißt, sie drehen sich auf die gleiche Weise, jedoch mit unterschiedlichen linearen Geschwindigkeiten. Je weiter ein Punkt vom Zentrum entfernt ist, desto schneller bewegt er sich.
Das Gesetz der Geschwindigkeitsaddition gilt auch für Rotationsbewegungen. Wenn die Bewegung eines Körpers oder Bezugssystems nicht gleichmäßig ist, gilt das Gesetz für Momentangeschwindigkeiten. Beispielsweise ist die Geschwindigkeit einer Person, die am Rand eines rotierenden Karussells entlanggeht, gleich der Vektorsumme der linearen Rotationsgeschwindigkeit des Randes des Karussells und der Geschwindigkeit der Person.
Die Erde nimmt an zwei Hauptrotationsbewegungen teil: täglich (um ihre Achse) und orbital (um die Sonne). Die Rotationsperiode der Erde um die Sonne beträgt 1 Jahr oder 365 Tage. Die Erde dreht sich um ihre Achse von West nach Ost, die Dauer dieser Rotation beträgt 1 Tag oder 24 Stunden. Der Breitengrad ist der Winkel zwischen der Äquatorebene und der Richtung vom Erdmittelpunkt zu einem Punkt auf seiner Oberfläche.
Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz ist die Ursache jeder Beschleunigung die Kraft. Wenn ein sich bewegender Körper eine Zentripetalbeschleunigung erfährt, können die Kräfte, die diese Beschleunigung verursachen, unterschiedlicher Natur sein. Bewegt sich beispielsweise ein Körper an einem daran befestigten Seil im Kreis, so ist die wirkende Kraft die elastische Kraft.
Wenn sich ein auf einer Scheibe liegender Körper mit der Scheibe um seine Achse dreht, dann ist eine solche Kraft die Reibungskraft. Wenn die Kraft aufhört zu wirken, bewegt sich der Körper geradlinig weiter
Betrachten Sie die Bewegung eines Punktes auf einem Kreis von A nach B. Die lineare Geschwindigkeit ist gleich vA Und vB jeweils. Beschleunigung ist die Geschwindigkeitsänderung pro Zeiteinheit. Finden wir den Unterschied zwischen den Vektoren.
