वृत्ताकार गति में त्वरण का सूत्र. एक वृत्त के चारों ओर एकसमान गति

किसी वृत्त के अनुदिश किसी बिंदु की गति का वर्णन करते समय, हम बिंदु की गति को कोण द्वारा चिह्नित करेंगे Δφ , जो समय के साथ एक बिंदु के त्रिज्या वेक्टर का वर्णन करता है Δt. समय की अतिसूक्ष्म अवधि में कोणीय विस्थापन डीटीद्वारा चिह्नित dφ.

कोणीय विस्थापन एक सदिश राशि है. वेक्टर (या) की दिशा गिम्लेट नियम द्वारा निर्धारित की जाती है: यदि आप बिंदु की गति की दिशा में गिम्लेट (दाहिने हाथ के धागे के साथ पेंच) को घुमाते हैं, तो गिम्लेट कोणीय विस्थापन वेक्टर की दिशा में आगे बढ़ेगा। चित्र में. यदि आप नीचे से गति के तल को देखें तो 14 बिंदु M दक्षिणावर्त गति करता है। यदि आप गिलेट को इस दिशा में मोड़ते हैं, तो वेक्टर ऊपर की ओर निर्देशित होगा।

इस प्रकार, कोणीय विस्थापन वेक्टर की दिशा घूर्णन की सकारात्मक दिशा की पसंद से निर्धारित होती है। घूर्णन की सकारात्मक दिशा दाहिने हाथ के थ्रेड गिम्लेट नियम द्वारा निर्धारित की जाती है। हालाँकि, उसी सफलता के साथ कोई भी बाएं हाथ के धागे के साथ एक गिमलेट ले सकता है। इस स्थिति में, कोणीय विस्थापन वेक्टर की दिशा विपरीत होगी।

गति, त्वरण, विस्थापन वेक्टर जैसी मात्राओं पर विचार करते समय, उनकी दिशा चुनने का सवाल ही नहीं उठता था: यह स्वाभाविक रूप से मात्राओं की प्रकृति से ही निर्धारित होता था। ऐसे सदिशों को ध्रुवीय कहा जाता है। कोणीय विस्थापन सदिश के समान सदिश कहलाते हैं अक्षीय,या छद्मवेक्टर. अक्षीय वेक्टर की दिशा घूर्णन की सकारात्मक दिशा चुनकर निर्धारित की जाती है। इसके अलावा, अक्षीय वेक्टर में कोई अनुप्रयोग बिंदु नहीं होता है। ध्रुवीय सदिश, जिस पर हमने अब तक विचार किया है, उसे एक गतिमान बिंदु पर लागू किया जाता है। एक अक्षीय वेक्टर के लिए, आप केवल उस दिशा (अक्ष, अक्ष - लैटिन) को इंगित कर सकते हैं जिसके साथ यह निर्देशित है। वह अक्ष जिसके अनुदिश कोणीय विस्थापन वेक्टर निर्देशित है, घूर्णन तल के लंबवत है। आमतौर पर, कोणीय विस्थापन वेक्टर वृत्त के केंद्र से गुजरने वाली धुरी पर खींचा जाता है (चित्र 14), हालांकि इसे कहीं भी खींचा जा सकता है, जिसमें प्रश्न में बिंदु से गुजरने वाली धुरी भी शामिल है।

एसआई प्रणाली में, कोणों को रेडियन में मापा जाता है। रेडियन एक ऐसा कोण है जिसकी चाप की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है। इस प्रकार, कुल कोण (360 0) 2π रेडियन है।

वृत्त में एक बिंदु की गति

कोणीय वेग– सदिश मात्रा, संख्यात्मक रूप से प्रति इकाई समय में घूर्णन के कोण के बराबर। कोणीय वेग को आमतौर पर ग्रीक अक्षर ω द्वारा दर्शाया जाता है। परिभाषा के अनुसार, कोणीय वेग समय के संबंध में एक कोण का व्युत्पन्न है:

कोणीय वेग वेक्टर की दिशा कोणीय विस्थापन वेक्टर की दिशा से मेल खाती है (चित्र 14)। कोणीय वेग वेक्टर, कोणीय विस्थापन वेक्टर की तरह, एक अक्षीय वेक्टर है।

कोणीय वेग का आयाम rad/s है।

स्थिर कोणीय वेग के साथ घूर्णन को ω = φ/t के साथ एकसमान कहा जाता है।

एकसमान घूर्णन को घूर्णन अवधि टी द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिसे उस समय के रूप में समझा जाता है जिसके दौरान शरीर एक चक्कर लगाता है, यानी 2π के कोण से घूमता है। चूँकि समय अंतराल Δt = T घूर्णन कोण Δφ = 2π से मेल खाता है, तो

प्रति इकाई समय ν क्रांतियों की संख्या स्पष्ट रूप से बराबर है:

ν का मान हर्ट्ज़ (Hz) में मापा जाता है। एक हर्ट्ज़ प्रति सेकंड एक क्रांति या 2π रेड/सेकेंड है।

क्रांति की अवधि की अवधारणाओं और प्रति इकाई समय में क्रांतियों की संख्या को भी गैर-समान घूर्णन के लिए संरक्षित किया जा सकता है, तात्कालिक मूल्य टी द्वारा उस समय को समझना जिसके दौरान शरीर एक क्रांति करेगा यदि यह एक दिए गए तात्कालिक मूल्य के साथ समान रूप से घूमता है कोणीय वेग का, और ν से तात्पर्य वह संख्या क्रांति है जो एक पिंड समान परिस्थितियों में प्रति इकाई समय में करेगा।

यदि कोणीय वेग समय के साथ बदलता है, तो घूर्णन को असमान कहा जाता है। इस मामले में दर्ज करें कोणीय त्वरणउसी तरह जैसे सीधी रेखीय गति के लिए रैखिक त्वरण शुरू किया गया था। कोणीय त्वरण प्रति इकाई समय कोणीय वेग में परिवर्तन है, जिसकी गणना समय के संबंध में कोणीय वेग के व्युत्पन्न या समय के संबंध में कोणीय विस्थापन के दूसरे व्युत्पन्न के रूप में की जाती है:

कोणीय वेग की तरह, कोणीय त्वरण भी एक सदिश राशि है। कोणीय त्वरण वेक्टर एक अक्षीय वेक्टर है, त्वरित घूर्णन के मामले में इसे कोणीय वेग वेक्टर (छवि 14) के समान दिशा में निर्देशित किया जाता है; धीमी गति से घूमने की स्थिति में, कोणीय त्वरण वेक्टर कोणीय वेग वेक्टर के विपरीत दिशा में निर्देशित होता है।

समान रूप से परिवर्तनशील घूर्णी गति के साथ, सूत्र (10) और (11) के समान संबंध होते हैं, जो समान रूप से परिवर्तनशील आयताकार गति का वर्णन करते हैं।

चूँकि रैखिक गति समान रूप से दिशा बदलती है, वृत्तीय गति को एकसमान नहीं कहा जा सकता, यह समान रूप से त्वरित होती है।

कोणीय वेग

आइए वृत्त पर एक बिंदु चुनें 1 . आइए एक दायरा बनाएं. समय की एक इकाई में, बिंदु बिंदु पर चला जाएगा 2 . इस मामले में, त्रिज्या कोण का वर्णन करती है। कोणीय वेग संख्यात्मक रूप से प्रति इकाई समय त्रिज्या के घूर्णन कोण के बराबर है।

अवधि और आवृत्ति

परिभ्रमण काल टी- यह वह समय है जिसके दौरान शरीर एक चक्कर लगाता है।

घूर्णन आवृत्ति प्रति सेकंड क्रांतियों की संख्या है।

आवृत्ति और अवधि परस्पर संबंध से जुड़े हुए हैं

कोणीय वेग से संबंध

रेखीय गति

वृत्त पर प्रत्येक बिंदु एक निश्चित गति से चलता है। इस गति को रैखिक कहा जाता है। रैखिक वेग वेक्टर की दिशा हमेशा वृत्त की स्पर्श रेखा से मेल खाती है।उदाहरण के लिए, पीसने वाली मशीन के नीचे से चिंगारी तात्कालिक गति की दिशा को दोहराते हुए चलती है।

एक वृत्त पर एक बिंदु पर विचार करें जो एक चक्कर लगाता है, व्यतीत किया गया समय अवधि है टीएक बिंदु जिस पथ पर चलता है वह परिधि है।

केन्द्राभिमुख त्वरण

किसी वृत्त में घूमते समय, त्वरण वेक्टर हमेशा वेग वेक्टर के लंबवत होता है, जो वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।

पिछले सूत्रों का उपयोग करके, हम निम्नलिखित संबंध प्राप्त कर सकते हैं

वृत्त के केंद्र से निकलने वाली एक ही सीधी रेखा पर स्थित बिंदुओं (उदाहरण के लिए, ये एक पहिये की तीलियों पर स्थित बिंदु हो सकते हैं) में समान कोणीय वेग, अवधि और आवृत्ति होगी। यानी, वे एक ही तरह से घूमेंगे, लेकिन अलग-अलग रैखिक गति के साथ। एक बिंदु केंद्र से जितना दूर होगा, वह उतनी ही तेजी से आगे बढ़ेगा।

गतियों के योग का नियम घूर्णी गति के लिए भी मान्य है। यदि किसी पिंड या संदर्भ तंत्र की गति एक समान नहीं है, तो कानून तात्कालिक वेगों पर लागू होता है। उदाहरण के लिए, घूमते हिंडोले के किनारे पर चलने वाले व्यक्ति की गति हिंडोले के किनारे के घूमने की रैखिक गति और व्यक्ति की गति के वेक्टर योग के बराबर होती है।

पृथ्वी दो मुख्य घूर्णी गतियों में भाग लेती है: दैनिक (अपनी धुरी के चारों ओर) और कक्षीय (सूर्य के चारों ओर)। सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की परिक्रमा की अवधि 1 वर्ष या 365 दिन है। पृथ्वी अपनी धुरी पर पश्चिम से पूर्व की ओर घूमती है, इस घूर्णन की अवधि 1 दिन या 24 घंटे है। अक्षांश भूमध्य रेखा के तल और पृथ्वी के केंद्र से उसकी सतह पर एक बिंदु तक की दिशा के बीच का कोण है।

न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार किसी भी त्वरण का कारण बल होता है। यदि कोई गतिमान पिंड अभिकेन्द्रीय त्वरण का अनुभव करता है, तो इस त्वरण का कारण बनने वाले बलों की प्रकृति भिन्न हो सकती है। उदाहरण के लिए, यदि कोई वस्तु रस्सी से बंधी हुई एक वृत्त में घूमती है, तो कार्य करने वाला बल लोचदार बल होता है।

यदि डिस्क पर पड़ा कोई पिंड अपनी धुरी के चारों ओर डिस्क के साथ घूमता है, तो ऐसा बल घर्षण बल है। यदि बल अपनी क्रिया बंद कर दे तो पिंड एक सीधी रेखा में चलता रहेगा

A से B तक वृत्त पर एक बिंदु की गति पर विचार करें। रैखिक गति के बराबर है

अब आइए जमीन से जुड़ी एक स्थिर प्रणाली की ओर चलें। बिंदु A का कुल त्वरण परिमाण और दिशा दोनों में समान रहेगा, क्योंकि एक जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली से दूसरे में जाने पर त्वरण नहीं बदलता है। एक स्थिर पर्यवेक्षक के दृष्टिकोण से, बिंदु A का प्रक्षेपवक्र अब एक वृत्त नहीं है, बल्कि एक अधिक जटिल वक्र (चक्रवात) है, जिसके साथ बिंदु असमान रूप से चलता है।

चूँकि रैखिक गति समान रूप से दिशा बदलती है, वृत्तीय गति को एकसमान नहीं कहा जा सकता, यह समान रूप से त्वरित होती है।

कोणीय वेग

आइए वृत्त पर एक बिंदु चुनें 1 . आइए एक दायरा बनाएं. समय की एक इकाई में, बिंदु बिंदु पर चला जाएगा 2 . इस मामले में, त्रिज्या कोण का वर्णन करती है। कोणीय वेग संख्यात्मक रूप से प्रति इकाई समय त्रिज्या के घूर्णन कोण के बराबर है।

अवधि और आवृत्ति

परिभ्रमण काल टी- यह वह समय है जिसके दौरान शरीर एक चक्कर लगाता है।

घूर्णन आवृत्ति प्रति सेकंड क्रांतियों की संख्या है।

आवृत्ति और अवधि परस्पर संबंध से जुड़े हुए हैं

कोणीय वेग से संबंध

रेखीय गति

वृत्त पर प्रत्येक बिंदु एक निश्चित गति से चलता है। इस गति को रैखिक कहा जाता है। रैखिक वेग वेक्टर की दिशा हमेशा वृत्त की स्पर्श रेखा से मेल खाती है।उदाहरण के लिए, पीसने वाली मशीन के नीचे से चिंगारी तात्कालिक गति की दिशा को दोहराते हुए चलती है।

एक वृत्त पर एक बिंदु पर विचार करें जो एक चक्कर लगाता है, व्यतीत किया गया समय अवधि है टी. एक बिंदु जिस पथ पर चलता है वह परिधि है।

केन्द्राभिमुख त्वरण

किसी वृत्त में घूमते समय, त्वरण वेक्टर हमेशा वेग वेक्टर के लंबवत होता है, जो वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।

पिछले सूत्रों का उपयोग करके, हम निम्नलिखित संबंध प्राप्त कर सकते हैं

वृत्त के केंद्र से निकलने वाली एक ही सीधी रेखा पर स्थित बिंदुओं (उदाहरण के लिए, ये एक पहिये की तीलियों पर स्थित बिंदु हो सकते हैं) में समान कोणीय वेग, अवधि और आवृत्ति होगी। यानी, वे एक ही तरह से घूमेंगे, लेकिन अलग-अलग रैखिक गति के साथ। एक बिंदु केंद्र से जितना दूर होगा, वह उतनी ही तेजी से आगे बढ़ेगा।

गतियों के योग का नियम घूर्णी गति के लिए भी मान्य है। यदि किसी पिंड या संदर्भ तंत्र की गति एक समान नहीं है, तो कानून तात्कालिक वेगों पर लागू होता है। उदाहरण के लिए, घूमते हिंडोले के किनारे पर चलने वाले व्यक्ति की गति हिंडोले के किनारे के घूमने की रैखिक गति और व्यक्ति की गति के वेक्टर योग के बराबर होती है।

पृथ्वी दो मुख्य घूर्णी गतियों में भाग लेती है: दैनिक (अपनी धुरी के चारों ओर) और कक्षीय (सूर्य के चारों ओर)। सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की परिक्रमा की अवधि 1 वर्ष या 365 दिन है। पृथ्वी अपनी धुरी पर पश्चिम से पूर्व की ओर घूमती है, इस घूर्णन की अवधि 1 दिन या 24 घंटे है। अक्षांश भूमध्य रेखा के तल और पृथ्वी के केंद्र से उसकी सतह पर एक बिंदु तक की दिशा के बीच का कोण है।

न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार किसी भी त्वरण का कारण बल होता है। यदि कोई गतिमान पिंड अभिकेन्द्रीय त्वरण का अनुभव करता है, तो इस त्वरण का कारण बनने वाले बलों की प्रकृति भिन्न हो सकती है। उदाहरण के लिए, यदि कोई वस्तु रस्सी से बंधी हुई एक वृत्त में घूमती है, तो कार्य करने वाला बल लोचदार बल होता है।

यदि डिस्क पर पड़ा कोई पिंड अपनी धुरी के चारों ओर डिस्क के साथ घूमता है, तो ऐसा बल घर्षण बल है। यदि बल अपनी क्रिया बंद कर दे तो पिंड एक सीधी रेखा में चलता रहेगा

A से B तक वृत्त पर एक बिंदु की गति पर विचार करें। रैखिक गति के बराबर है वी एऔर वी बीक्रमश। त्वरण प्रति इकाई समय में गति में परिवर्तन है। आइए सदिशों के बीच अंतर ज्ञात करें।