Formula za ubrzanje kružnog gibanja. Jednoliko kretanje po krugu

Kada opisujemo kretanje točke po kružnici, kretanje točke ćemo karakterizirati kutom Δφ , koji opisuje radijus vektor točke tijekom vremena Δt. Kutni pomak u infinitezimalnom vremenskom razdoblju dt označen sa dφ.

Kutni pomak je vektorska veličina. Smjer vektora (ili ) određen je pravilom gimleta: ako gimlet (vijak s desnim navojem) okrenete u smjeru kretanja točke, gimlet će se pomaknuti u smjeru vektora kutnog pomaka. Na sl. 14 Točka M se pomiče u smjeru kazaljke na satu ako ravninu kretanja gledate odozdo. Ako zavrtite gimlet u ovom smjeru, vektor će biti usmjeren prema gore.

Dakle, smjer vektora kutnog pomaka određen je izborom pozitivnog smjera vrtnje. Pozitivan smjer rotacije određen je pravilom gimleta desnog navoja. Međutim, s istim se uspjehom mogao uzeti gimlet s lijevim koncem. U tom bi slučaju smjer vektora kutnog pomaka bio suprotan.

Pri razmatranju takvih veličina kao što su brzina, ubrzanje, vektor pomaka, nije se postavljalo pitanje odabira njihova smjera: to je prirodno određeno iz prirode samih veličina. Takvi se vektori nazivaju polarnim. Vektori slični vektoru kutnog pomaka nazivaju se aksijalno, ili pseudovektori. Smjer aksijalnog vektora određuje se odabirom pozitivnog smjera vrtnje. Osim toga, aksijalni vektor nema točku primjene. Polarni vektori, koje smo do sada razmatrali, primjenjuju se na pokretnu točku. Za aksijalni vektor možete naznačiti samo smjer (os, axis - latinski) po kojem je usmjeren. Os duž koje je usmjeren vektor kutnog pomaka okomita je na ravninu rotacije. Tipično, vektor kutnog pomaka nacrtan je na osi koja prolazi kroz središte kružnice (Sl. 14), iako se može nacrtati bilo gdje, uključujući i na osi koja prolazi kroz predmetnu točku.

U SI sustavu kutovi se mjere u radijanima. Radijan je kut čija je duljina luka jednaka polumjeru kruga. Dakle, ukupni kut (360 0) je 2π radijana.

Gibanje točke po kružnici

Kutna brzina– vektorska veličina, numerički jednaka kutu zakreta u jedinici vremena. Kutna brzina obično se označava grčkim slovom ω. Prema definiciji, kutna brzina je derivacija kuta u odnosu na vrijeme:

Smjer vektora kutne brzine poklapa se sa smjerom vektora kutnog pomaka (slika 14). Vektor kutne brzine, kao i vektor kutnog pomaka, je aksijalni vektor.

Dimenzija kutne brzine je rad/s.

Rotacija s konstantnom kutnom brzinom naziva se ravnomjernom, pri čemu je ω = φ/t.

Jednoliku rotaciju možemo okarakterizirati rotacijskim periodom T, koji se razumijeva kao vrijeme u kojem tijelo napravi jedan krug, tj. zakrene se za kut od 2π. Budući da vremenski interval Δt = T odgovara kutu rotacije Δφ = 2π, tada

Broj okretaja u jedinici vremena ν očito je jednak:

Vrijednost ν se mjeri u hercima (Hz). Jedan herc je jedan okretaj u sekundi ili 2π rad/s.

Koncepti perioda revolucije i broja okretaja u jedinici vremena također se mogu sačuvati za nejednoliku rotaciju, shvaćajući pod trenutnom vrijednošću T vrijeme u kojem bi tijelo napravilo jedan okretaj ako bi se vrtjelo jednoliko sa zadanom trenutnom vrijednošću kutne brzine, a pod ν označava broj okretaja koje bi tijelo napravilo u jedinici vremena pod sličnim uvjetima.

Ako se kutna brzina mijenja s vremenom, tada se rotacija naziva neravnomjernom. U ovom slučaju unesite kutno ubrzanje na isti način kao što je linearno ubrzanje uvedeno za pravocrtno gibanje. Kutno ubrzanje je promjena kutne brzine po jedinici vremena, izračunata kao derivacija kutne brzine u odnosu na vrijeme ili druga derivacija kutnog pomaka u odnosu na vrijeme:

Kao i kutna brzina, kutno ubrzanje je vektorska veličina. Vektor kutne akceleracije je aksijalni vektor, u slučaju ubrzane rotacije usmjeren je u istom smjeru kao i vektor kutne brzine (slika 14); u slučaju spore rotacije vektor kutne akceleracije usmjeren je suprotno od vektora kutne brzine.

Kod jednoliko promjenljivog rotacijskog gibanja ostvaruju se relacije slične formulama (10) i (11), koje opisuju jednoliko promjenljivo pravocrtno gibanje.

Budući da linearna brzina jednoliko mijenja smjer, kružno gibanje se ne može nazvati jednolikim, ono je jednoliko ubrzano.

Kutna brzina

Izaberimo točku na kružnici 1 . Izgradimo radijus. U jedinici vremena, točka će se pomaknuti do točke 2 . U ovom slučaju radijus opisuje kut. Kutna brzina brojčano je jednaka kutu zakreta radijusa u jedinici vremena.

Razdoblje i učestalost

Razdoblje rotacije T- ovo je vrijeme tijekom kojeg tijelo napravi jedan okretaj.

Frekvencija vrtnje je broj okretaja u sekundi.

Frekvencija i period međusobno su povezani odnosom

Odnos s kutnom brzinom

Linearna brzina

Svaka točka na kružnici kreće se određenom brzinom. Ova brzina se naziva linearna. Smjer vektora linearne brzine uvijek se poklapa s tangentom na kružnicu. Na primjer, iskre ispod brusilice kreću se, ponavljajući smjer trenutne brzine.

Razmotrite točku na kružnici koja napravi jedan krug, potrošeno vrijeme je period T Put koji točka prijeđe je opseg.

Centripetalno ubrzanje

Pri kretanju po kružnici vektor ubrzanja uvijek je okomit na vektor brzine, usmjeren prema središtu kružnice.

Koristeći prethodne formule, možemo izvesti sljedeće odnose

Točke koje leže na istoj ravnoj liniji koja izlazi iz središta kruga (na primjer, to mogu biti točke koje leže na žbicama kotača) imat će iste kutne brzine, period i frekvenciju. To jest, rotirati će se na isti način, ali različitim linearnim brzinama. Što je točka dalje od središta, to će se brže kretati.

Zakon zbrajanja brzina vrijedi i za rotacijsko gibanje. Ako gibanje tijela ili referentnog okvira nije jednoliko, tada zakon vrijedi za trenutne brzine. Na primjer, brzina osobe koja hoda uz rub vrtuljka koja se vrti jednaka je vektorskom zbroju linearne brzine vrtnje ruba vrtuljka i brzine osobe.

Zemlja sudjeluje u dva glavna rotacijska kretanja: dnevno (oko svoje osi) i orbitalno (oko Sunca). Period rotacije Zemlje oko Sunca je 1 godina ili 365 dana. Zemlja se okreće oko svoje osi od zapada prema istoku, period te rotacije je 1 dan ili 24 sata. Geografska širina je kut između ravnine ekvatora i pravca od središta Zemlje do točke na njezinoj površini.

Prema drugom Newtonovom zakonu, uzrok svakog ubrzanja je sila. Ako tijelo koje se kreće doživi centripetalno ubrzanje, tada priroda sila koje uzrokuju to ubrzanje može biti drugačija. Na primjer, ako se tijelo giba kružno po užetu koje je za njega vezano, tada je djelovajuća sila elastična sila.

Ako tijelo koje leži na disku rotira s diskom oko svoje osi, tada je takva sila sila trenja. Ako sila prestane djelovati, tada će se tijelo nastaviti kretati pravocrtno

Promotrimo kretanje točke na kružnici od A do B. Linearna brzina jednaka je

Prijeđimo sada na stacionarni sustav povezan sa zemljom. Ukupna akceleracija točke A ostat će ista u veličini i smjeru, budući da se pri prelasku iz jednog inercijalnog referentnog sustava u drugi akceleracija ne mijenja. Sa stajališta promatrača koji miruje, putanja točke A više nije kružnica, već složenija krivulja (cikloida), po kojoj se točka giba neravnomjerno.

Budući da linearna brzina jednoliko mijenja smjer, kružno gibanje se ne može nazvati jednolikim, ono je jednoliko ubrzano.

Kutna brzina

Izaberimo točku na kružnici 1 . Izgradimo radijus. U jedinici vremena, točka će se pomaknuti do točke 2 . U ovom slučaju radijus opisuje kut. Kutna brzina brojčano je jednaka kutu zakreta radijusa u jedinici vremena.

Razdoblje i učestalost

Razdoblje rotacije T- ovo je vrijeme tijekom kojeg tijelo napravi jedan okretaj.

Frekvencija vrtnje je broj okretaja u sekundi.

Frekvencija i period međusobno su povezani odnosom

Odnos s kutnom brzinom

Linearna brzina

Svaka točka na kružnici kreće se određenom brzinom. Ova brzina se naziva linearna. Smjer vektora linearne brzine uvijek se poklapa s tangentom na kružnicu. Na primjer, iskre ispod brusilice kreću se, ponavljajući smjer trenutne brzine.

Razmotrite točku na kružnici koja napravi jedan krug, potrošeno vrijeme je period T. Put koji točka prijeđe je opseg.

Centripetalno ubrzanje

Pri kretanju po kružnici vektor ubrzanja uvijek je okomit na vektor brzine, usmjeren prema središtu kružnice.

Koristeći prethodne formule, možemo izvesti sljedeće odnose

Točke koje leže na istoj ravnoj liniji koja izlazi iz središta kruga (na primjer, to mogu biti točke koje leže na žbicama kotača) imat će iste kutne brzine, period i frekvenciju. To jest, rotirati će se na isti način, ali različitim linearnim brzinama. Što je točka dalje od središta, to će se brže kretati.

Zakon zbrajanja brzina vrijedi i za rotacijsko gibanje. Ako gibanje tijela ili referentnog okvira nije jednoliko, tada zakon vrijedi za trenutne brzine. Na primjer, brzina osobe koja hoda uz rub vrtuljka koja se vrti jednaka je vektorskom zbroju linearne brzine vrtnje ruba vrtuljka i brzine osobe.

Zemlja sudjeluje u dva glavna rotacijska kretanja: dnevno (oko svoje osi) i orbitalno (oko Sunca). Period rotacije Zemlje oko Sunca je 1 godina ili 365 dana. Zemlja se okreće oko svoje osi od zapada prema istoku, period te rotacije je 1 dan ili 24 sata. Geografska širina je kut između ravnine ekvatora i pravca od središta Zemlje do točke na njezinoj površini.

Prema drugom Newtonovom zakonu, uzrok svakog ubrzanja je sila. Ako tijelo koje se kreće doživi centripetalno ubrzanje, tada priroda sila koje uzrokuju to ubrzanje može biti drugačija. Na primjer, ako se tijelo giba kružno po užetu koje je za njega vezano, tada je djelovajuća sila elastična sila.

Ako tijelo koje leži na disku rotira s diskom oko svoje osi, tada je takva sila sila trenja. Ako sila prestane djelovati, tada će se tijelo nastaviti kretati pravocrtno

Promotrimo kretanje točke na kružnici od A do B. Linearna brzina jednaka je v A I vB odnosno. Akceleracija je promjena brzine u jedinici vremena. Nađimo razliku između vektora.