Կտրված բուրգի բանաձևի ծավալը. Բուրգ

Բուրգ. Կտրված բուրգ

Բուրգբազմանկյուն է, որի դեմքերից մեկը բազմանկյուն է ( հիմք ), իսկ մնացած բոլոր դեմքերը եռանկյուններ են՝ ընդհանուր գագաթով ( կողմնակի դեմքեր ) (նկ. 15): Բուրգը կոչվում է ճիշտ , եթե նրա հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է, և բուրգի գագաթը նախագծված է հիմքի կենտրոնում (նկ. 16): Եռանկյունաձև բուրգ, որի բոլոր եզրերը հավասար են, կոչվում է քառաեդրոն .

Կողային կողբուրգը կողային երեսի այն կողմն է, որը չի պատկանում հիմքին Բարձրություն բուրգը իր գագաթից մինչև հիմքի հարթության հեռավորությունն է: Կանոնավոր բուրգի բոլոր կողային եզրերը հավասար են միմյանց, բոլոր կողային երեսները հավասար հավասարաչափ եռանկյուններ են: Գծից գծված կանոնավոր բուրգի կողային երեսի բարձրությունը կոչվում է ապոտեմ . Շեղանկյուն հատված կոչվում է բուրգի մի հատված, որն անցնում է միևնույն դեմքին չպատկանող երկու կողային եզրերով։

Կողմնակի մակերեսըբուրգը բոլոր կողային երեսների մակերեսների գումարն է: Ընդհանուր մակերեսը կոչվում է բոլոր կողային երեսների և հիմքի մակերեսների գումարը։

Թեորեմներ

1. Եթե բուրգում բոլոր կողային եզրերը հավասարապես թեքված են դեպի հիմքի հարթությունը, ապա բուրգի գագաթը ցցվում է հիմքի մոտ շրջագծված շրջանագծի կենտրոնի մեջ։

2. Եթե բուրգի բոլոր կողային եզրերն ունեն հավասար երկարություններ, ապա բուրգի գագաթը դուրս է գալիս հիմքի մոտ շրջագծված շրջանագծի կենտրոնում:

3. Եթե բուրգի բոլոր երեսները հավասարապես թեքված են դեպի հիմքի հարթությունը, ապա բուրգի գագաթը ցցվում է հիմքում գծված շրջանագծի կենտրոնի մեջ:

Կամայական բուրգի ծավալը հաշվարկելու համար ճիշտ բանաձևը հետևյալն է.

Որտեղ Վ- ծավալը;

S բազա- բազային տարածք;

Հ- բուրգի բարձրությունը.

Սովորական բուրգի համար ճիշտ են հետևյալ բանաձևերը.

Որտեղ էջ- հիմքի պարագիծը;

հ ա- ապոտեմ;

Հ- բարձրություն;

Ս լիքը

S կողմը

S բազա- բազային տարածք;

Վ- կանոնավոր բուրգի ծավալը:

Կտրված բուրգկոչվում է բուրգի այն մասը, որը պարփակված է հիմքի և բուրգի հիմքին զուգահեռ կտրող հարթության միջև (նկ. 17): Կանոնավոր կտրված բուրգ կոչվում է կանոնավոր բուրգի մաս, որը պարփակված է հիմքի և բուրգի հիմքին զուգահեռ կտրող հարթության միջև։

Հիմքերկտրված բուրգ - նմանատիպ բազմանկյուններ: Կողային դեմքեր - trapezoids. Բարձրություն Կտրված բուրգը նրա հիմքերի միջև եղած հեռավորությունն է: Շեղանկյուն Կտրված բուրգը մի հատված է, որը կապում է նրա գագաթները, որոնք չեն գտնվում նույն դեմքի վրա: Շեղանկյուն հատված Կտրված բուրգի մի հատված է, որն անցնում է միևնույն դեմքին չպատկանող երկու կողային եզրերով:

Կտրված բուրգի համար վավեր են հետևյալ բանաձևերը.

(4)

Որտեղ Ս 1 , Ս 2 – վերին և ստորին հիմքերի տարածքներ.

Ս լիքը- ընդհանուր մակերեսը;

S կողմը- կողային մակերեսը;

Հ- բարձրություն;

Վ- կտրված բուրգի ծավալը:

Սովորական կտրված բուրգի համար բանաձևը ճիշտ է.

Որտեղ էջ 1 , էջ 2 – հիմքերի պարագծերը;

հ ա– կանոնավոր կտրված բուրգի ապոտեմ:

Օրինակ 1.Կանոնավոր եռանկյունաձև բուրգում հիմքի երկանկյուն անկյունը 60º է: Գտե՛ք կողային եզրի թեքության անկյան շոշափողը հիմքի հարթությանը:

Լուծում.Կատարենք գծանկար (նկ. 18):

Բուրգը կանոնավոր է, ինչը նշանակում է, որ հիմքում կա հավասարակողմ եռանկյուն, և բոլոր կողային երեսները հավասարաչափ հավասարաչափ եռանկյուններ են։ Հիմքի երկանկյուն անկյունը բուրգի կողային երեսի թեքության անկյունն է դեպի հիմքի հարթությունը։ Գծային անկյունը անկյունն է աերկու ուղղահայացների միջև և այլն: Բուրգի գագաթը նախագծված է եռանկյան կենտրոնում (շրջանակի կենտրոնը և եռանկյան ներգծված շրջանը ABC) Կողքի եզրի թեքության անկյունը (օրինակ Ս.Բ.) անկյունն է հենց եզրի և դրա ելքի հիմքի հարթության վրա: Կողի համար Ս.Բ.այս անկյունը կլինի անկյունը SBD. Շոշափողը գտնելու համար անհրաժեշտ է իմանալ ոտքերը ԱՅՍՊԵՍԵվ Օ.Բ.. Թող հատվածի երկարությունը ԲԴհավասար է 3 Ա. Կետ ՄԱՍԻՆգծի հատված ԲԴբաժանված է մասերի և From we find ԱՅՍՊԵՍ: Մենք գտնում ենք.

Պատասխան.

Օրինակ 2.Գտե՛ք կանոնավոր կտրված քառանկյուն բուրգի ծավալը, եթե դրա հիմքերի անկյունագծերը հավասար են սմ և սմ, իսկ բարձրությունը՝ 4 սմ։

Լուծում.Կտրված բուրգի ծավալը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը (4): Հիմքերի տարածքը գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել հիմքի քառակուսիների կողմերը՝ իմանալով դրանց անկյունագծերը: Հիմքերի կողմերը համապատասխանաբար հավասար են 2 սմ և 8 սմ: Սա նշանակում է հիմքերի մակերեսները և փոխարինելով բոլոր տվյալները բանաձևի մեջ՝ մենք հաշվարկում ենք կտրված բուրգի ծավալը.

Պատասխան. 112 սմ 3.

Օրինակ 3.Գտե՛ք կանոնավոր եռանկյունաձև կտրված բուրգի կողային երեսի մակերեսը, որի հիմքերի կողմերը 10 սմ և 4 սմ են, իսկ բուրգի բարձրությունը՝ 2 սմ։

Լուծում.Կատարենք գծանկար (նկ. 19):

Այս բուրգի կողային երեսը հավասարաչափ trapezoid է: Trapezoid-ի տարածքը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է իմանալ հիմքը և բարձրությունը: Հիմքերը տրված են ըստ պայմանի, անհայտ է մնում միայն բարձրությունը։ Մենք նրան կգտնենք որտեղից Ա 1 Եուղղահայաց մի կետից Ա 1 ստորին բազայի հարթության վրա, Ա 1 Դ-ից ուղղահայաց Ա 1 հատ AC. Ա 1 Ե= 2 սմ, քանի որ սա բուրգի բարձրությունն է: Գտնել ԴԵԿատարենք լրացուցիչ գծագրություն, որը ցույց է տալիս վերևի տեսքը (նկ. 20): Կետ ՄԱՍԻՆ– վերին և ստորին հիմքերի կենտրոնների պրոյեկցիա: քանի որ (տե՛ս նկ. 20) և Մյուս կողմից լավ– շառավիղը գրված է շրջանագծի մեջ և Օ.Մ- շրջանագծով գրված շառավիղը.

MK = DE.

Պյութագորասի թեորեմի համաձայն

Կողքի դեմքի տարածքը.

Պատասխան.

Օրինակ 4.Բուրգի հիմքում ընկած է հավասարաչափ trapezoid, որի հիմքերը ԱԵվ բ (ա> բ) Յուրաքանչյուր կողմի երեսը կազմում է բուրգի հիմքի հարթությանը հավասար անկյուն ժ. Գտեք բուրգի ընդհանուր մակերեսը:

Լուծում.Եկեք նկարենք (նկ. 21): Բուրգի ընդհանուր մակերեսը SABCDհավասար է տարածքների և տրապիզոնի մակերեսի գումարին Ա Բ Գ Դ.

Եկեք օգտագործենք այն պնդումը, որ եթե բուրգի բոլոր երեսները հավասարապես թեքված են հիմքի հարթության վրա, ապա գագաթը նախագծվում է հիմքում ներգծված շրջանագծի կենտրոնում։ Կետ ՄԱՍԻՆ- գագաթային պրոյեկցիա Սբուրգի հիմքում։ Եռանկյուն SODեռանկյան ուղղանկյուն ելուստն է CSDդեպի բազայի հարթությունը: Օգտագործելով հարթ պատկերի ուղղանկյուն պրոյեկցիայի տարածքի թեորեմը, մենք ստանում ենք.

Նույն կերպ նշանակում է Այսպիսով, խնդիրը կրճատվել է տրապիզոիդի տարածքը գտնելով Ա Բ Գ Դ. Եկեք գծենք trapezoid Ա Բ Գ Դառանձին (նկ. 22): Կետ ՄԱՍԻՆ- շրջանագծի կենտրոնը, որը գրված է trapezoid-ով:

Քանի որ շրջանագիծը կարող է մակագրվել տրապիզոիդում, ապա կամ Պյութագորասի թեորեմից մենք ունենք.

Տարածական պատկերների ծավալը հաշվարկելու ունակությունը կարևոր է երկրաչափության մի շարք գործնական խնդիրներ լուծելիս: Ամենատարածված գործիչներից մեկը բուրգն է: Այս հոդվածում մենք կքննարկենք ինչպես ամբողջական, այնպես էլ կտրված բուրգերը:

Բուրգը որպես եռաչափ պատկեր

Բոլորը գիտեն եգիպտական ​​բուրգերի մասին, ուստի նրանք լավ պատկերացնում են, թե ինչ կերպարի մասին է խոսքը: Այնուամենայնիվ, եգիպտական ​​քարե կառույցները բուրգերի հսկայական դասի միայն հատուկ դեպք են:

Ընդհանուր դեպքում դիտարկվող երկրաչափական օբյեկտը բազմանկյուն հիմք է, որի յուրաքանչյուր գագաթը կապված է տարածության որոշակի կետի հետ, որը չի պատկանում հիմքի հարթությանը։ Այս սահմանումը հանգեցնում է մի գործչի, որը բաղկացած է մեկ n-անկյունից և n եռանկյունից:

Ցանկացած բուրգ բաղկացած է n+1 դեմքերից, 2*n եզրերից և n+1 գագաթներից։ Քանի որ խնդրո առարկա պատկերը կատարյալ բազմանիստ է, նշված տարրերի թիվը ենթարկվում է Էյլերի հավասարությանը.

2*n = (n+1) + (n+1) - 2:

Հիմքում գտնվող բազմանկյունը տալիս է բուրգի անվանումը, օրինակ՝ եռանկյուն, հնգանկյուն և այլն։ Ստորև բերված լուսանկարում ներկայացված է տարբեր հիմքերով բուրգերի հավաքածու:

Այն կետը, որտեղ հանդիպում են n պատկերի եռանկյունները, կոչվում է բուրգի գագաթ: Եթե ​​նրանից ուղղահայացը իջեցվի հիմքի վրա և այն հատի այն երկրաչափական կենտրոնում, ապա այդպիսի գործիչը կկոչվի ուղիղ գիծ: Եթե ​​այս պայմանը չկատարվի, ապա առաջանում է թեք բուրգ։

Ուղղանկյուն գործիչը, որի հիմքը կազմված է հավասարակողմ (հավասարանկյուն) n-անկյունով, կոչվում է կանոնավոր։

Բուրգի ծավալի բանաձև

Բուրգի ծավալը հաշվարկելու համար մենք կօգտագործենք ինտեգրալ հաշվարկ: Դա անելու համար մենք նկարը բաժանում ենք՝ հիմքին զուգահեռ ինքնաթիռները կտրելով անսահման թվով բարակ շերտերի։ Ստորև բերված նկարում ներկայացված է h բարձրությամբ և L կողմի երկարությամբ քառանկյուն բուրգ, որում քառանկյունը նշում է հատվածի բարակ շերտը։

Յուրաքանչյուր նման շերտի տարածքը կարելի է հաշվարկել բանաձևով.

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2:

Այստեղ A 0-ը բազայի տարածքն է, z-ը ուղղահայաց կոորդինատի արժեքն է: Կարելի է տեսնել, որ եթե z = 0, ապա բանաձևը տալիս է A 0 արժեքը:

Բուրգի ծավալի բանաձևը ստանալու համար պետք է հաշվարկել ինտեգրալը պատկերի ամբողջ բարձրության վրա, այսինքն.

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Փոխարինելով A(z) կախվածությունը և հաշվելով հակաածանցյալը՝ հասնում ենք արտահայտությանը.

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3 * A 0 * ժ.

Մենք ստացել ենք բուրգի ծավալի բանաձևը. V-ի արժեքը գտնելու համար պարզապես նկարի բարձրությունը բազմապատկեք հիմքի մակերեսով, այնուհետև արդյունքը բաժանեք երեքի:

Նկատի ունեցեք, որ ստացված արտահայտությունը վավեր է ցանկացած տեսակի բուրգի ծավալը հաշվարկելու համար: Այսինքն, այն կարող է թեքվել, և դրա հիմքը կարող է լինել կամայական n-gon:

և դրա ծավալը

Վերևի պարբերությունում ստացված ծավալի ընդհանուր բանաձևը կարող է ճշգրտվել կանոնավոր հիմք ունեցող բուրգի դեպքում: Նման բազայի տարածքը հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևով.

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n):

Այստեղ L-ն n գագաթներով կանոնավոր բազմանկյան կողմի երկարությունն է: Pi նշանը pi թիվն է:

A 0 արտահայտությունը փոխարինելով ընդհանուր բանաձևով՝ ստանում ենք կանոնավոր բուրգի ծավալը.

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n):

Օրինակ, եռանկյուն բուրգի համար այս բանաձևը տալիս է հետևյալ արտահայտությունը.

V 3 = 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) = √3/12 * L 2 * h.

Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի համար ծավալի բանաձևը ստանում է հետևյալ ձևը.

V 4 = 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) = 1/3 * L 2 * h.

Կանոնավոր բուրգերի ծավալները որոշելը պահանջում է իմանալ դրանց հիմքի կողմը և գործչի բարձրությունը:

Կտրված բուրգ

Ենթադրենք, մենք վերցրել ենք կամայական բուրգ և կտրել դրա կողային մակերեսի մի մասը, որը պարունակում է գագաթը։ Մնացած գործիչը կոչվում է կտրված բուրգ: Այն արդեն բաղկացած է երկու n-gonal հիմքերից և n trapezoids-ից, որոնք միացնում են դրանք: Եթե ​​կտրող հարթությունը զուգահեռ է եղել նկարի հիմքին, ապա նման զուգահեռ հիմքերով ձևավորվում է կտրված բուրգ։ Այսինքն՝ դրանցից մեկի կողմերի երկարությունները կարելի է ստանալ՝ մյուսի երկարությունները բազմապատկելով որոշակի k գործակցով։

Վերևի նկարը ցույց է տալիս կտրված կանոնավորը, երևում է, որ նրա վերին հիմքը, ինչպես և ստորինը, կազմված է կանոնավոր վեցանկյունով։

Բանաձևը, որը կարող է ստացվել վերը նշվածին նման ինտեգրալ հաշվարկի միջոցով, հետևյալն է.

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)):

Որտեղ A 0 և A 1 են համապատասխանաբար ստորին (մեծ) և վերին (փոքր) հիմքերի տարածքները: h փոփոխականը նշանակում է կտրված բուրգի բարձրությունը։

Քեոպսի բուրգի հատորը

Հետաքրքիր է լուծել եգիպտական ​​ամենամեծ բուրգը իր ներսում գտնվող ծավալի որոշման խնդիրը։

1984 թվականին բրիտանացի եգիպտագետներ Մարկ Լեները և Ջոն Գուդմանը սահմանեցին Քեոպսի բուրգի ճշգրիտ չափերը։ Նրա սկզբնական բարձրությունը եղել է 146,50 մետր (ներկայումս մոտ 137 մետր)։ Կառույցի չորս կողմերից յուրաքանչյուրի միջին երկարությունը կազմել է 230,363 մետր։ Բուրգի հիմքը բարձր ճշգրտությամբ քառակուսի է։

Եկեք օգտագործենք տրված թվերը՝ որոշելու այս քարե հսկայի ծավալը։ Քանի որ բուրգը կանոնավոր քառանկյուն է, ապա դրա համար գործում է բանաձևը.

Փոխարինելով թվերը՝ ստանում ենք.

V 4 = 1/3*(230.363) 2 *146.5 ≈ 2591444 մ 3:

Քեոպսի բուրգի ծավալը գրեթե 2,6 մլն մ3 է։ Համեմատության համար նշենք, որ օլիմպիական լողավազանն ունի 2,5 հազար մ 3 ծավալ։ Այսինքն՝ ամբողջ Քեոպսի բուրգը լրացնելու համար ձեզ անհրաժեշտ կլինի ավելի քան 1000 այդպիսի լողավազան։

• 22.09.2014

  Գործողության սկզբունքը. Երբ սեղմում եք SA1 կոդի առաջին նիշի կոճակը, DD1.1 ձգանը կփոխվի, և բարձր մակարդակի լարումը կհայտնվի DD1.2 ձգանի D մուտքի մոտ: Հետևաբար, երբ սեղմում եք հաջորդ SA2 ծածկագրի կոճակը, DD1.2 գործարկիչը փոխում է իր վիճակը և պատրաստում հաջորդ ձգանը՝ անցնելու համար: Հետագա ճիշտ հավաքման դեպքում DD2.2 գործարկիչը կգործարկվի վերջինը, և...

• 03.10.2014

  Առաջարկվող սարքը կայունացնում է լարումը մինչև 24 Վ և հոսանքը մինչև 2 Ա՝ կարճ միացումից պաշտպանությամբ: Կայունացուցիչի անկայուն գործարկման դեպքում պետք է օգտագործվի ինքնավար իմպուլսային գեներատորից համաժամացում (Նկար 10): 2. Կայունացուցիչի սխեման ներկայացված է Նկար 1-ում: VT1 VT2-ի վրա հավաքվում է Schmitt ձգան, որը կառավարում է հզոր կարգավորիչ VT3 տրանզիստորը: Մանրամասները՝ VT3-ը հագեցած է ջերմատախտակով...

• 20.09.2014

  Ուժեղացուցիչը (տես լուսանկարը) պատրաստված է ավանդական սխեմայի համաձայն՝ ավտոմատ կողմնակալող խողովակներով՝ ելք՝ AL5, վարորդներ՝ 6G7, կենոտրոն՝ AZ1։ Ստերեո ուժեղացուցիչի երկու ալիքներից մեկի դիագրամը ներկայացված է Նկար 1-ում: Ձայնի հսկիչից ազդանշանը մատակարարվում է 6G7 լամպի ցանցին, ուժեղացվում է, իսկ այս լամպի անոդից մեկուսացման կոնդենսատոր C4-ի միջոցով մատակարարվում է ...

• 15.11.2017

  NE555-ը ունիվերսալ ժմչփ է՝ սարք կայուն ժամանակային բնութագրերով մեկ և կրկնվող իմպուլսներ ձևավորելու (առաջացնելու համար): Սա ասինխրոն RS ձգան է՝ հատուկ մուտքային շեմերով, ճշգրիտ սահմանված անալոգային համեմատիչներով և ներկառուցված լարման բաժանարարով (ճշգրիտ Schmitt ձգան RS ձգանով): Այն օգտագործվում է տարբեր գեներատորների, մոդուլատորների, ժամանակային ռելեների, շեմային սարքերի և այլ...