Об'єм усіченої піраміди формула. Піраміда
піраміда. Усічена піраміда
Пірамідоюназивається багатогранник, одна з граней якого багатокутник ( заснування ), а всі інші грані – трикутники із загальною вершиною ( бічні грані ) (рис. 15). Піраміда називається правильною якщо її основою є правильний багатокутник і вершина піраміди проектується в центр основи (рис. 16). Трикутна піраміда, у якої всі ребра рівні, називається тетраедром .
Боковим ребромпіраміди називається сторона бічної грані, що не належить основи Висотою піраміди називається відстань від її вершини до площини основи. Усі бічні ребра правильної піраміди рівні між собою, всі бічні грані – рівні рівнобедрені трикутники. Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з вершини, називається апофемою . Діагональним перетином називається переріз піраміди площиною, що проходить через два бічні ребра, що не належать одній грані.
Площею бічної поверхніпіраміди називається сума площ усіх бічних граней. Площею повної поверхні називається сума площ усіх бічних граней та підстави.
Теореми
1. Якщо у піраміді всі бічні ребра рівнонахилені до площини основи, то вершина піраміди проектується в центр кола описаного біля основи.
2. Якщо в піраміді всі бічні ребра мають рівні довжини, то вершина піраміди проектується в центр кола описаного біля основи.
3. Якщо в піраміді всі грані рівнонахилені до площини основи, то вершина піраміди проектується в центр кола, вписаного в основу.
Для обчислення обсягу довільної піраміди вірна формула:
де V- Об `єм;
S осн– площа основи;
H- Висота піраміди.
Для правильної піраміди вірні формули:
де p– периметр основи;
h а- Апофема;
H- Висота;
S повний
S бік
S осн– площа основи;
V- Об'єм правильної піраміди.
Усіченою пірамідоюназивається частина піраміди, укладена між основою та січною площиною, паралельною основі піраміди (рис. 17). Правильною усіченою пірамідою називається частина правильної піраміди, укладена між основою та січною площиною, паралельною основі піраміди.
Основизрізаної піраміди – подібні багатокутники. Бічні грані - Трапеції. Висотою усіченої піраміди називається відстань між її основами. Діагоналлю усіченої піраміди називається відрізок, що з'єднує її вершини, що не лежать в одній грані. Діагональним перетином називається переріз усіченої піраміди площиною, що проходить через два бічні ребра, що не належать одній грані.
Для усіченої піраміди справедливі формули:
(4)
де S 1 , S 2 – площі верхньої та нижньої основ;
S повний- Площа повної поверхні;
S бік- Площа бічної поверхні;
H- Висота;
V- Об'єм зрізаної піраміди.
Для правильної усіченої піраміди вірна формула:
де p 1 , p 2 – периметри основ;
h а- Апофема правильної усіченої піраміди.
приклад 1.У правильній трикутній піраміді двогранний кут при підставі дорівнює 60 º. Знайти тангенс кута нахилу бокового ребра до площини основи.
Рішення.Зробимо рисунок (рис. 18).
 |
Піраміда правильна, отже, в основі рівносторонній трикутник і всі бічні грані рівні рівнобедрені трикутники. Двогранний кут при основі – це кут нахилу бічної грані піраміди до площини основи. Лінійним кутом буде кут aміж двома перпендикулярами: і. Вершина піраміди проектується в центрі трикутника (центр описаного кола та вписаного кола в трикутник АВС). Кут нахилу бокового ребра (наприклад SB) – це кут між самим ребром та його проекцією на площину основи. Для ребра SBцим кутом буде кут SBD. Щоб знайти тангенс необхідно знати катети SOі OB. Нехай довжина відрізка BDдорівнює 3 а. Крапкою Провідрізок BDділиться на частини: і З знаходимо SO: 
З знаходимо: 
Відповідь:
приклад 2.Знайти об'єм правильної зрізаної чотирикутної піраміди, якщо діагоналі її основ дорівнюють см і см, а висота 4 см.
Рішення.Для знаходження об'єму зрізаної піраміди скористаємося формулою (4). Щоб знайти площі основ необхідно знайти сторони квадратів-підстав, знаючи їх діагоналі. Сторони підстав рівні відповідно 2 см і 8 см. Значить площі підстав і Підставивши всі дані у формулу, обчислимо обсяг усіченої піраміди:
Відповідь: 112 см 3 .
приклад 3.Знайти площу бічної грані правильної трикутної усіченої піраміди, сторони основ якої дорівнюють 10 см і 4 см, а висота піраміди 2 см.
Рішення.Зробимо рисунок (рис. 19).
Бічна грань цієї піраміди є рівнобокою трапецією. Для обчислення площі трапеції необхідно знати основи та висоту. Підстави дано за умовою, залишається невідомою лише висота. Її знайдемо з де А 1 Еперпендикуляр з точки А 1 на площину нижньої основи, A 1 D- Перпендикуляр з А 1 на АС. А 1 Е= 2 см, оскільки це висота піраміди. Для знаходження DEзробимо додатково малюнок, у якому зобразимо вид зверху (рис. 20). Крапка Про– проекція центрів верхньої та нижньої основ. оскільки (див. рис. 20) і з іншого боку ОК– радіус вписаної в коло та 
ОМ- Радіус вписаної в колі:
MK = DE.
За теоремою Піфагора з
Площа бічної грані: 
Відповідь:
приклад 4.В основі піраміди лежить рівнобока трапеція, основа якої аі b (a> b). Кожна бічна грань утворює з площиною основи піраміди кут рівний j. Знайти площу повної поверхні піраміди.
Рішення.Зробимо рисунок (рис. 21). Площа повної поверхні піраміди SABCDдорівнює сумі площ та площі трапеції ABCD.
Скористаємося твердженням, що й усі грані піраміди рівнонахилені до площині основи, то вершина проектується у центр вписаної основу окружности. Крапка Про- Проекція вершини Sна основу піраміди. Трикутник SODє ортогональною проекцією трикутника CSDна площину основи. За теоремою про площу ортогональної проекції плоскої фігури отримаємо:
Аналогічно і означає 
Таким чином, завдання звелося до знаходження площі трапеції. АВСD. Зобразимо трапецію ABCDокремо (рис.22). Крапка Про- Центр вписаної в трапецію кола.
Так як в трапецію можна вписати коло, то або З по теоремі Піфагора маємо
Вміння обчислювати обсяг просторових постатей є важливим при вирішенні низки практичних завдань з геометрії. Однією з найпоширеніших фігур є піраміда. У статті розглянемо піраміди як повної, і усіченої.
Піраміда як об'ємна фігура
Кожен знає про єгипетські піраміди, тому добре уявляє, про яку фігуру йтиметься. Проте єгипетські кам'яні споруди є лише окремим випадком величезного класу пірамід.
Розглянутий геометричний об'єкт у загальному випадку є багатокутною основою, кожна вершина якого з'єднана з деякою точкою в просторі, що не належить площині основи. Дане визначення призводить до фігури, що складається з одного n-кутника та n трикутників.
Будь-яка піраміда складається з n+1 граней, 2*n ребер та n+1 вершини. Оскільки фігура, що розглядається, є досконалим поліедром, то числа зазначених елементів підпорядковуються рівності Ейлера:
2 * n = (n + 1) + (n + 1) - 2.
Багатокутник, що знаходиться в основі, дає назву піраміди, наприклад, трикутна, п'ятикутна і так далі. Набір пірамід з різними основами наведено на фото нижче.
Крапка, в якій n трикутників фігури з'єднуються, називається вершиною піраміди. Якщо з неї опустити на основу перпендикуляр і він перетне його в геометричному центрі, тоді така фігура називатиметься прямою. Якщо ця умова не виконується, має місце похила піраміда.
Пряма фігура, основа якої утворена рівностороннім (рівнокутним) n-кутником, називається правильною.
Формула об'єму піраміди
Для обчислення обсягу піраміди скористаємося інтегральним обчисленням. Для цього розіб'ємо фігуру паралельними підставі площинами, що січуть, на нескінченну кількість тонких шарів. Малюнок нижче показує чотирикутну піраміду висотою h і довжиною сторони L, у якій чотирикутником відзначений тонкий шар перерізу.
Площу кожного такого шару можна обчислити за такою формулою:
A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .
Тут A 0 – площа основи, z – значення вертикальної координати. Видно, якщо z = 0, то формула дає значення A 0 .
Щоб отримати формулу обсягу піраміди, слід обчислити інтеграл по всій висоті фігури, тобто:
V = ∫ h 0 (A(z) * dz).
Підставляючи залежність A(z) і обчислюючи первісну, приходимо до виразу:
V = -A 0 * (h-z) 3 / (3 * h 2) | h 0 = 1/3 * A 0 * h.
Ми одержали формулу обсягу піраміди. Щоб знайти величину V, достатньо помножити висоту фігури на площу основи, а потім поділити результат на три.
Зауважимо, що отриманий вираз справедливий для обчислення обсягу піраміди довільного типу. Тобто вона може бути похилою, а її підстава є довільним n-кутником.
та її обсяг
Отриману в пункті вище загальну формулу обсягу можна уточнити у разі піраміди з правильною основою. Площа такої підстави обчислюється за такою формулою:
A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).
Тут L є довжиною сторони правильного багатокутника з п вершинами. Символ pi – це число пі.
Підставляючи вираз для A 0 загальну формулу, отримуємо об'єм правильної піраміди:
V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).
Наприклад, для трикутної піраміди ця формула призводить до наступного виразу:
V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.
Для правильної чотирикутної піраміди формула об'єму набуває вигляду:
V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.
Визначення обсягів правильних пірамід вимагає знання сторони їхньої основи та висоти фігури.
Піраміда зрізана
Припустимо, що ми взяли довільну піраміду і відтнули у неї частину бічної поверхні, що містить вершину. Фігура, що залишилася, називається усіченою пірамідою. Вона складається вже з двох n-вугільних основ та n трапецій, які їх з'єднують. Якщо січна площина була паралельна до основи фігури, тоді утворюється зрізана піраміда з паралельними подібними основами. Тобто довжини сторін однієї з них можна одержати, помножуючи довжини іншого деякий коефіцієнт k.
Малюнок вище демонструє усічену правильну Видно, що верхня основа її так само, як і нижня, утворена правильним шестикутником.
Формула яку можна вивести, використовуючи подібне наведене інтегральне числення, має вигляд:
V = 1/3 * h * (A 0 + A 1 + √ (A 0 * A 1)).
Де A 0 і A 1 - площі нижньої (великої) і верхньої (маленької) підстав відповідно. Змінною h позначається висота зрізаної піраміди.
Об'єм піраміди Хеопса
Цікаво вирішити завдання визначення обсягу, який містить у собі найбільша єгипетська піраміда.
У 1984 році британські єгиптологи Марк Легнер (Mark Lehner) та Джон Гудман (Jon Goodman) встановили точні розміри піраміди Хеопса. Її первісна висота дорівнювала 146,50 метра (нині близько 137 метрів). Середня довжина кожної із чотирьох сторін споруди становила 230,363 метра. Основа піраміди з високою точністю є квадратною.
Скористаємося наведеними цифрами визначення обсягу цього кам'яного гіганта. Оскільки піраміда є правильною чотирикутною, тоді для неї справедлива формула:
Підставляємо цифри, отримуємо:
V 4 = 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 м 3 .
Обсяг піраміди Хеопса дорівнює практично 2,6 млн. м 3 . Для порівняння зазначимо, що олімпійський басейн має об'єм 2,5 тис. м3. Тобто для заповнення всієї піраміди Хеопса знадобиться понад 1000 таких басейнів!
- 22.09.2014
Принцип дії. При натисканні кнопки першої цифри коду SA1 тригер DD1.1 перемикається і на вході D тригера DD1.2 з'явиться напруга високого рівня. Тому при натисканні чергової кнопки коду SA2 тригер DD1.2 змінює свій стан і готує перемикання наступний тригер. У разі подальшого правильного набору останнім спрацює тригер DD2.2 і …
- 03.10.2014
Пропонований пристрій стабілізує напругу до 24В та струмом до 2А із захистом від замикання. У разі нестійкого запуску стабілізатора слід застосувати синхронізацію від автономного генератора рис імпульсів. 2 . Схема стабілізатора показано на рис.1. На VT1 VT2 зібрано тригер Шмітта, який керує потужним регулюючим транзистором VT3. Деталі: VT3 забезпечений тепловідведенням.
- 20.09.2014
Підсилювач виконаний за традиційною схемою з автозміщенням на лампах: вихідні – AL5, драйвери – 6Г7, кенотрон – AZ1. Схема одного з двох каналів стереопідсилювача показано на рис.1. З регулятора гучності сигнал надходить на сітку лампи 6Г7, посилюється і з анода цієї лампи через конденсатор C4 подається на …
- 15.11.2017
NE555 - універсальний таймер - пристрій для формування (генерації) одиночних та повторюваних імпульсів зі стабільними часовими характеристиками. Є асинхронним RS-тригером зі специфічними порогами входів, точно заданими аналоговими компараторами і вбудованим дільником напруги (прецизійний тригер Шмітта з RS-тригером). Застосовується для побудови різних генераторів, модуляторів, реле часу, порогових пристроїв та інших …
