प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करने की समस्याओं को हल करने के चार तरीके। दो क्रॉसिंग लाइनों के बीच की दूरी अंतरिक्ष में लाइनों के बीच की दूरी

ज्यामिति की पाठ्यपुस्तकों में, समस्याओं के विभिन्न संग्रहों में, और विश्वविद्यालयों की तैयारी के लिए पाठ्यपुस्तकों में बड़ी संख्या में स्टीरियोमेट्रिक समस्याओं के बीच, प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी खोजने में समस्याएँ अत्यंत दुर्लभ हैं। शायद यह उनके व्यावहारिक अनुप्रयोग की संकीर्णता (स्कूल पाठ्यक्रम के सापेक्ष, क्षेत्रों और मात्राओं की गणना के लिए "जीतने वाली" समस्याओं के विपरीत) और इस विषय की जटिलता दोनों के कारण है।

एकीकृत राज्य परीक्षा आयोजित करने के अभ्यास से पता चलता है कि कई छात्र परीक्षा पेपर में शामिल ज्यामिति कार्यों को पूरा करना भी शुरू नहीं करते हैं। जटिलता के बढ़े हुए स्तर के ज्यामितीय कार्यों के सफल समापन को सुनिश्चित करने के लिए, सोच का लचीलापन विकसित करना, इच्छित विन्यास का विश्लेषण करने और उसमें भागों को अलग करने की क्षमता विकसित करना आवश्यक है, जिस पर विचार करने से किसी को हल करने का रास्ता मिल सकता है। संकट।

स्कूल पाठ्यक्रम में क्रॉसिंग लाइनों के बीच की दूरी खोजने की समस्याओं को हल करने के चार तरीकों का अध्ययन करना शामिल है। विधि का चुनाव, सबसे पहले, किसी विशेष कार्य की विशेषताओं, उसके द्वारा चुनाव के लिए प्रदान किए जाने वाले अवसरों और, दूसरे, किसी विशेष छात्र की "स्थानिक सोच" की क्षमताओं और विशेषताओं से निर्धारित होता है। इनमें से प्रत्येक विधि आपको समस्या के सबसे महत्वपूर्ण भाग को हल करने की अनुमति देती है - दोनों क्रॉसिंग लाइनों के लंबवत एक खंड का निर्माण (समस्या के कम्प्यूटेशनल भाग के लिए, विधियों में विभाजन की आवश्यकता नहीं है)।

क्रॉसिंग लाइनों के बीच की दूरी ज्ञात करने की समस्याओं को हल करने की बुनियादी विधियाँ

दो तिरछी रेखाओं के उभयनिष्ठ लंब की लंबाई ज्ञात करना, अर्थात एक खंड जिसका सिरा इन रेखाओं पर है और इनमें से प्रत्येक रेखा पर लंबवत है।

प्रतिच्छेदी रेखाओं में से एक से दूसरी रेखा से गुजरने वाले उसके समानांतर समतल तक की दूरी ज्ञात करना।

दी गई प्रतिच्छेदी रेखाओं से गुजरने वाले दो समानांतर विमानों के बीच की दूरी ज्ञात करना।

एक बिंदु से दूरी का पता लगाना जो कि एक समतल पर लंबवत रेखाओं में से एक का प्रक्षेपण है (तथाकथित "स्क्रीन") और उसी विमान पर दूसरी रेखा का प्रक्षेपण।

आइए निम्नलिखित सरलतम का उपयोग करके सभी चार विधियों को प्रदर्शित करें काम: "एक किनारे वाले घन में एकिसी भी किनारे और फलक के विकर्ण के बीच की दूरी ज्ञात करें जो इसे प्रतिच्छेद नहीं करता है।" उत्तर:।

चित्र 1

h skr विकर्ण वाले पार्श्व फलक के तल पर लंबवत है डीऔर किनारे पर लंबवत है, इसलिए, एच एस.के.आरऔर किनारे के बीच की दूरी है एऔर विकर्ण डी.

चित्र 2

समतल A किनारे के समानांतर है और दिए गए विकर्ण से होकर गुजरता है, इसलिए, दिया गया है एच एस.के.आरयह न केवल किनारे से समतल A तक की दूरी है, बल्कि किनारे से दिए गए विकर्ण तक की दूरी भी है।

चित्र तीन

विमान ए और बी समानांतर हैं और दो दी गई तिरछी रेखाओं से होकर गुजरते हैं, इसलिए, इन विमानों के बीच की दूरी दो तिरछी रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर है।

चित्र 4

समतल A घन के किनारे पर लंबवत है। जब A विकर्णों पर प्रक्षेपित किया जाता है डीयह विकर्ण घन के आधार की किसी एक भुजा की ओर मुड़ता है। यह एच एस.के.आरकिनारे वाली रेखा और समतल C पर विकर्ण के प्रक्षेपण के बीच की दूरी है, और इसलिए किनारे और विकर्ण वाली रेखा के बीच की दूरी है।

आइए हम स्कूल में अध्ययन किए गए पॉलीहेड्रा के लिए प्रत्येक विधि के अनुप्रयोग पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।

पहली विधि का उपयोग काफी सीमित है: इसका उपयोग केवल कुछ समस्याओं में ही किया जाता है, क्योंकि सबसे सरल समस्याओं में सटीक, और जटिल समस्याओं में, दो प्रतिच्छेदी के सामान्य लंबवत का अनुमानित स्थान निर्धारित करना और उचित ठहराना काफी कठिन है। पंक्तियाँ. इसके अलावा, जटिल समस्याओं में इस लंबवत की लंबाई ज्ञात करते समय, किसी को दुर्गम कठिनाइयों का सामना करना पड़ सकता है।

समस्या 1. आयामों के साथ एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज में ए, बी, एचआधार के पार्श्व किनारे और उस विकर्ण के बीच की दूरी ज्ञात करें जो इसे प्रतिच्छेद नहीं करता है।

चित्र 5

आइए एएचबीडी. चूँकि A 1 A समतल ABCD पर लंबवत है, तो A 1 A AH।

एएच दोनों क्रॉसिंग लाइनों के लंबवत है, इसलिए एएच लाइनों ए 1 ए और बीडी के बीच की दूरी है। एक समकोण त्रिभुज ABD में, पैरों AB और AD की लंबाई जानने के बाद, हम एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्रों का उपयोग करके ऊँचाई AH ज्ञात करते हैं। उत्तर:

समस्या 2. एक पार्श्व किनारे वाले नियमित 4-गोनल पिरामिड में एलऔर आधार पक्ष एएपोथेम और इस एपोथेम वाले पार्श्व फलक को प्रतिच्छेद करने वाले आधार के किनारे के बीच की दूरी ज्ञात करें।

चित्र 6

एसएचसीडी एक एपोथेम की तरह है, एडीसीडी इस तरह है जैसे एबीसीडी एक वर्ग है। इसलिए, डीएच सीधी रेखाओं एसएच और एडी के बीच की दूरी है। डीएच, साइड सीडी के आधे के बराबर है। उत्तर:

इस पद्धति का उपयोग इस तथ्य के कारण भी सीमित है कि यदि आप किसी एक सीधी रेखा को पार करने वाली और दूसरी सीधी रेखा के समानांतर गुजरने वाले विमान का शीघ्रता से निर्माण कर सकते हैं (या एक तैयार-निर्मित विमान पा सकते हैं), तो किसी भी बिंदु से एक लंब का निर्माण करें। इस तल की दूसरी सीधी रेखा (बहुफलक के अंदर) कठिनाइयों का कारण बनती है। हालाँकि, सरल समस्याओं में जहां निर्दिष्ट लंब का निर्माण (या ढूंढना) कठिनाइयों का कारण नहीं बनता है, यह विधि सबसे तेज़ और आसान है, और इसलिए सुलभ है।

समस्या 2. इस विधि से उपरोक्त समस्या का समाधान करने पर कोई विशेष कठिनाई नहीं होती है।

चित्र 7

समतल EFM, रेखा AD के समानांतर है, क्योंकि AD || ई.एफ. रेखा MF इस तल में स्थित है, इसलिए, रेखा AD और समतल EFM के बीच की दूरी रेखा AD और रेखा MF के बीच की दूरी के बराबर है। आइए OHAD करें। OHEF, OHMO, इसलिए, OH(EFM), इसलिए, OH सीधी रेखा AD और समतल EFM के बीच की दूरी है, और इसलिए सीधी रेखा AD और सीधी MF के बीच की दूरी है। त्रिभुज AOD से OH ज्ञात कीजिए।

समस्या 3. आयामों के साथ एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज में ए,बीऔर एचसमांतर चतुर्भुज के पार्श्व किनारे और विकर्ण के बीच की दूरी ज्ञात करें जो इसके साथ प्रतिच्छेद नहीं करता है।

आंकड़ा 8

रेखा AA 1 समतल BB 1 D 1 D के समानांतर है, B 1 D इस तल से संबंधित है, इसलिए AA 1 से समतल BB 1 D 1 D की दूरी रेखा AA 1 और B 1 D के बीच की दूरी के बराबर है। आइए आगे बढ़ते हैं एएचबीडी बाहर. इसके अलावा, एएच बी 1 बी, इसलिए एएच (बीबी 1 डी 1 डी), इसलिए एएचबी 1 डी, यानी एएच आवश्यक दूरी है। समकोण त्रिभुज ABD से AH ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

समस्या 4. एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म में A:F 1 ऊंचाई के साथ एचऔर आधार पक्ष एरेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें:

चित्र 9 चित्र 10

ए) एए 1 और ईडी 1।

समतल E 1 EDD 1 पर विचार करें। ए 1 ई 1 ईई 1, ए 1 ई 1 ई 1 डी 1, इसलिए

ए 1 ई 1 (ई 1 ईडीडी 1)। इसके अलावा ए 1 ई 1 एए 1। इसलिए, A 1 E 1 सीधी रेखा AA 1 से समतल E 1 EDD 1 की दूरी है। ED 1 (E 1 EDD 1)। इसलिए, AE 1 सीधी रेखा AA 1 से सीधी रेखा ED 1 की दूरी है। हम कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके त्रिभुज F 1 A 1 E 1 से A 1 E 1 पाते हैं। उत्तर:

बी) एएफ और विकर्ण बीई 1।

आइए बिंदु F से BE पर लंबवत एक सीधी रेखा FH खींचें। ईई 1 एफएच, एफएचबीई, इसलिए एफएच(बीईई 1 बी 1), इसलिए एफएच सीधी रेखा एएफ और (बीईई 1 बी 1) के बीच की दूरी है, और इसलिए सीधी रेखा एएफ और विकर्ण बीई 1 के बीच की दूरी है। उत्तर:

विधि III

इस विधि का उपयोग बेहद सीमित है, क्योंकि किसी एक रेखा (विधि II) के समानांतर एक विमान का निर्माण दो समानांतर विमानों की तुलना में आसान है, हालांकि, विधि III का उपयोग प्रिज्म में किया जा सकता है यदि प्रतिच्छेदी रेखाएं समानांतर चेहरों से संबंधित हों, जैसे साथ ही ऐसे मामलों में जहां एक बहुफलक में दी गई रेखाओं वाले समानांतर खंड बनाना आसान होता है।

कार्य 4.

चित्र 11

a) समतल BAA 1 B 1 और DEE 1 D 1 समानांतर हैं, क्योंकि AB || ईडी और एए 1 || ईई 1. ED 1 DEE 1 D 1, AA 1 (BAA 1 B 1), इसलिए, सीधी रेखाओं AA 1 और ED 1 के बीच की दूरी समतल BAA 1 B 1 और DEE 1 D 1 के बीच की दूरी के बराबर है। ए 1 ई 1 एए 1, ए 1 ई 1 ए 1 बी 1, इसलिए, ए 1 ई 1 बीएए 1 बी 1। हम इसी प्रकार सिद्ध करते हैं कि A 1 E 1 (DEE 1 D 1)। इस प्रकार, A 1 E 1 समतल BAA 1 B 1 और DEE 1 D 1 के बीच की दूरी है, और इसलिए सीधी रेखाओं AA 1 और ED 1 के बीच की दूरी है। हम त्रिभुज A 1 F 1 E 1 से A 1 E 1 पाते हैं, जो समद्विबाहु कोण A 1 F 1 E 1 के बराबर है। उत्तर:

चित्र 12

बी) एएफ और विकर्ण बीई 1 के बीच की दूरी समान रूप से पाई जाती है।

समस्या 5. एक किनारे वाले घन में एदो आसन्न फलकों के दो अप्रतिच्छेदी विकर्णों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

कुछ पाठ्यपुस्तकों में इस समस्या को क्लासिक माना जाता है, लेकिन, एक नियम के रूप में, इसका समाधान विधि IV द्वारा दिया जाता है, लेकिन विधि III का उपयोग करके समाधान काफी सुलभ है।

चित्र 13

इस समस्या में कुछ कठिनाई दोनों समानांतर विमानों (एबी 1 डी 1 || बीसी 1 डी) के विकर्ण ए 1 सी की लंबवतता के प्रमाण के कारण होती है। बी 1 सीबीसी 1 और बीसी 1 ए 1 बी 1, इसलिए, रेखा बीसी 1 विमान ए 1 बी 1 सी के लंबवत है, और इसलिए, बीसी 1 ए 1 सी। इसके अलावा, ए 1 सीबीडी। नतीजतन, सीधी रेखा ए 1 सी समतल बीसी 1 डी पर लंबवत है। समस्या का कम्प्यूटेशनल भाग कोई विशेष कठिनाई पैदा नहीं करता है, क्योंकि एच एस.के.आर= EF को घन के विकर्ण और दो समान नियमित पिरामिड A 1 AB 1 D 1 और CC 1 BD की ऊंचाई के बीच अंतर के रूप में पाया जाता है।

विधि IV.

इस पद्धति का काफी व्यापक अनुप्रयोग है। मध्यम और बढ़ी हुई कठिनाई वाले कार्यों के लिए इसे मुख्य माना जा सकता है। केवल तभी इसका उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है जब पिछली तीन विधियों में से कोई एक आसान और तेज़ काम करती है, क्योंकि ऐसे मामलों में विधि IV केवल समस्या के समाधान को जटिल बना सकती है, या इसे प्राप्त करना कठिन बना सकती है। प्रतिच्छेदी रेखाओं की लंबवतता के मामले में इस विधि का उपयोग करना बहुत फायदेमंद है, क्योंकि "स्क्रीन" पर किसी एक रेखा का प्रक्षेपण बनाने की आवश्यकता नहीं है।

एल और आधार पक्ष ए.

चित्र 16

इस और इसी तरह की समस्याओं में, विधि IV अन्य विधियों की तुलना में तेजी से समाधान की ओर ले जाती है, क्योंकि एक ऐसे अनुभाग का निर्माण किया गया है जो AC (त्रिकोण BDM) के लंबवत "स्क्रीन" की भूमिका निभाता है, यह स्पष्ट है कि आगे निर्माण करने की कोई आवश्यकता नहीं है इस स्क्रीन पर एक और सीधी रेखा (बीएम) का प्रक्षेपण। डीएच आवश्यक दूरी है. क्षेत्रफल सूत्रों का उपयोग करके त्रिभुज एमडीबी से डीएच पाया जाता है। उत्तर: .

इस आलेख में, एकीकृत राज्य परीक्षा से समस्या C2 को हल करने के उदाहरण का उपयोग करते हुए, समन्वय विधि का उपयोग करके खोजने की विधि का विश्लेषण किया गया है। याद रखें कि सीधी रेखाएँ तिरछी होती हैं यदि वे एक ही तल में न हों। विशेष रूप से, यदि एक रेखा एक तल में स्थित है, और दूसरी रेखा इस तल को ऐसे बिंदु पर काटती है जो पहली रेखा पर नहीं है, तो ऐसी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं (चित्र देखें)।

ढूँढ़ने के लिए क्रॉसिंग लाइनों के बीच की दूरीज़रूरी:

1. प्रतिच्छेदी रेखाओं में से एक के माध्यम से एक समतल खींचिए जो दूसरी प्रतिच्छेदी रेखा के समानांतर हो।
2. परिणामी तल पर दूसरी रेखा के किसी भी बिंदु से एक लंब गिराएँ। इस लम्ब की लंबाई रेखाओं के बीच आवश्यक दूरी होगी।

आइए गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा से समस्या C2 को हल करने के उदाहरण का उपयोग करके इस एल्गोरिदम का अधिक विस्तार से विश्लेषण करें।

अंतरिक्ष में रेखाओं के बीच की दूरी

काम।एक इकाई घन में एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें बी ० ए। 1 और डी.बी. 1 .

चावल। 1. कार्य के लिए आरेखण

समाधान।घन के विकर्ण के मध्य से होकर डी.बी. 1 (बिंदु हे) रेखा के समानांतर एक रेखा खींचें ए 1 बी. किनारों के साथ इस रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु ईसा पूर्वऔर ए 1 डीतदनुसार 1 दर्शाया गया है एनऔर एम. सीधा एम.एन.एक विमान में पड़ा है एमएनबी 1 और रेखा के समानांतर ए 1 बी, जो इस तल में स्थित नहीं है। इसका मतलब है कि सीधी रेखा ए 1 बीविमान के समानांतर एमएनबी 1 एक सीधी रेखा और एक समतल की समानता पर आधारित (चित्र 2)।

चावल। 2. क्रॉसिंग लाइनों के बीच आवश्यक दूरी चयनित रेखा के किसी भी बिंदु से चित्रित विमान तक की दूरी के बराबर है

अब हम रेखा पर किसी बिंदु से दूरी तलाश रहे हैं ए 1 बीशीर्ष लेन एमएनबी 1 . यह दूरी, परिभाषा के अनुसार, क्रॉसिंग लाइनों के बीच आवश्यक दूरी होगी।

इस दूरी को ज्ञात करने के लिए हम निर्देशांक विधि का उपयोग करेंगे। आइए हम एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का परिचय दें ताकि इसका मूल बिंदु बी, अक्ष के साथ मेल खाए एक्सकिनारे की ओर निर्देशित किया गया था बी ० ए।, एक्सिस वाई- पसली के साथ ईसा पूर्व, एक्सिस जेड- पसली के साथ बी बी 1 (चित्र 3)।

चावल। 3. जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, हम एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली चुनते हैं

समतल का समीकरण ज्ञात करना एमएनबीइस समन्वय प्रणाली में 1. ऐसा करने के लिए, हम पहले बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं एम, एनऔर बी 1: हम परिणामी निर्देशांकों को सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं:

सिस्टम के दूसरे समीकरण से हम प्राप्त करते हैं, तीसरे से हम प्राप्त करते हैं जिसके बाद पहले से हम प्राप्त मूल्यों को सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

हम ध्यान दें कि अन्यथा विमान एमएनबी 1 मूल से होकर गुजरेगा। इस समीकरण के दोनों पक्षों को इससे विभाजित करें और हमें प्राप्त होता है:

एक बिंदु से एक समतल तक की दूरी सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है।

अंतरिक्ष में सीधी रेखाओं के बीच की दूरी अंतरिक्ष में दो क्रॉसिंग लाइनों के बीच की दूरी इन रेखाओं पर खींचे गए सामान्य लंबवत की लंबाई है। यदि दो प्रतिच्छेदी रेखाओं में से एक एक तल में स्थित है और दूसरी इस तल के समानांतर है, तो इन रेखाओं के बीच की दूरी रेखा और तल के बीच की दूरी के बराबर होती है। यदि दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ समान्तर तलों में स्थित हों, तो इन रेखाओं के बीच की दूरी समांतर तलों के बीच की दूरी के बराबर होती है।

घन 1 इकाई घन A…D 1 में, रेखाओं AA 1 और BC के बीच की दूरी ज्ञात करें। उत्तर 1।

घन 2 इकाई घन A…D 1 में, रेखाओं AA 1 और CD के बीच की दूरी ज्ञात करें। उत्तर 1।

घन 3 इकाई घन A...D 1 में, रेखाओं AA 1 और B 1 C 1 के बीच की दूरी ज्ञात करें। उत्तर: 1।

घन 4 इकाई घन A…D 1 में, रेखाओं AA 1 और C 1 D 1 के बीच की दूरी ज्ञात करें। उत्तर: 1।

घन 5 इकाई घन ए…डी 1 में, रेखाओं एए 1 और बीसी 1 के बीच की दूरी ज्ञात करें। उत्तर: 1।

घन 6 इकाई घन A…D 1 में, रेखाओं AA 1 और B 1 C के बीच की दूरी ज्ञात करें। उत्तर: 1।

घन 7 इकाई घन A…D 1 में, रेखाओं AA 1 और CD 1 के बीच की दूरी ज्ञात करें। उत्तर: 1।

घन 8 इकाई घन A…D 1 में, रेखाओं AA 1 और DC 1 के बीच की दूरी ज्ञात करें। उत्तर: 1।

घन 9 इकाई घन A...D 1 में, रेखाओं AA 1 और CC 1 के बीच की दूरी ज्ञात करें। उत्तर:

घन 10 इकाई घन A…D 1 में, रेखाओं AA 1 और BD के बीच की दूरी ज्ञात करें। समाधान। माना O, BD का मध्यबिंदु है। आवश्यक दूरी खंड AO की लंबाई है। यह उत्तर के बराबर है:

घन 11 इकाई घन A...D 1 में, रेखाओं AA 1 और B 1 D 1 के बीच की दूरी ज्ञात करें। उत्तर:

घन 12 इकाई घन A...D 1 में, रेखाओं AA 1 और BD 1 के बीच की दूरी ज्ञात करें। समाधान। मान लीजिए P, Q AA 1, BD 1 के मध्यबिंदु हैं। आवश्यक दूरी खंड PQ की लंबाई है। यह उत्तर के बराबर है:

घन 13 इकाई घन A…D 1 में, रेखाओं AA 1 और BD 1 के बीच की दूरी ज्ञात करें। उत्तर:

घन 14 इकाई घन A...D 1 में, सीधी रेखाओं AB 1 और CD 1 द्वारा दूरी ज्ञात करें। उत्तर: 1।

घन 15 इकाई घन A...D 1 में, रेखाओं AB 1 और BC 1 के बीच की दूरी ज्ञात करें। समाधान। आवश्यक दूरी समानांतर विमानों एबी 1 डी 1 और बीडीसी 1 के बीच की दूरी के बराबर है। विकर्ण ए 1 सी इन विमानों के लंबवत है और चौराहे के बिंदुओं पर तीन बराबर भागों में विभाजित है। इसलिए, आवश्यक दूरी खंड EF की लंबाई के बराबर है और उत्तर के बराबर है:

घन 16 इकाई घन A…D 1 में, रेखाओं AB 1 और A 1 C 1 के बीच की दूरी ज्ञात करें। समाधान पिछले वाले के समान है। उत्तर:

घन 17 इकाई घन A…D 1 में, रेखाओं AB 1 और BD के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। समाधान पिछले वाले के समान है. उत्तर:

घन 18 इकाई घन A...D 1 में, सीधी रेखाओं AB 1 और BD 1 का उपयोग करके दूरी ज्ञात करें। समाधान। विकर्ण BD 1 समबाहु त्रिभुज ACB 1 के तल पर लंबवत है और इसे इसमें अंकित वृत्त के केंद्र P पर प्रतिच्छेद करता है। आवश्यक दूरी इस वृत्त की त्रिज्या OP के बराबर है। ओपी = उत्तर:

पिरामिड 1 इकाई चतुष्फलक ABCD में, रेखाओं AD और BC के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। समाधान। आवश्यक दूरी खंड EF की लंबाई के बराबर है, जहां E, F किनारों AD, GF के मध्य बिंदु हैं। त्रिभुज में DAG DA = 1, AG = DG = उत्तर: इसलिए, EF =

पिरामिड 2 एक नियमित पिरामिड SABCD में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं AB और CD के बीच की दूरी ज्ञात करें। उत्तर 1।

पिरामिड 3 एक नियमित पिरामिड SABCD में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं SA और BD के बीच की दूरी ज्ञात करें। समाधान। आवश्यक दूरी त्रिभुज SAO की ऊँचाई OH के बराबर है, जहाँ O BD का मध्यबिंदु है। समकोण त्रिभुज SAO में हमारे पास है: SA = 1, AO = SO = उत्तर: इसलिए, OH =

पिरामिड 4 एक नियमित पिरामिड SABCD में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं SA और BC के बीच की दूरी ज्ञात करें। समाधान। समतल SAD रेखा BC के समानांतर है। इसलिए, आवश्यक दूरी सीधी रेखा BC और समतल SAD के बीच की दूरी के बराबर है। यह त्रिभुज SEF की ऊंचाई EH के बराबर है, जहां E, F किनारों BC, AD के मध्य बिंदु हैं। त्रिभुज SEF में हमारे पास है: EF = 1, SE = SF = ऊंचाई SO है इसलिए, EH = उत्तर:

पिरामिड 5 नियमित 6वें पिरामिड SABCDEF में, जिसका आधार किनारा 1 के बराबर है, रेखाओं AB और DE के बीच की दूरी ज्ञात करें। उत्तर:

पिरामिड 6 नियमित 6वें पिरामिड SABCDEF में, जिसके पार्श्व किनारे 2 हैं और आधार किनारे 1 हैं, रेखाओं SA और BC के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। समाधान: किनारों BC और AF को तब तक बढ़ाएँ जब तक वे बिंदु G पर प्रतिच्छेद न करें। SA और BC पर उभयनिष्ठ लंब त्रिभुज ABG की ऊँचाई AH होगी। यह उत्तर के बराबर है:

पिरामिड 7 नियमित 6वें पिरामिड SABCDEF में, जिसके पार्श्व किनारे 2 हैं और आधार किनारे 1 हैं, रेखाओं SA और BF के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। समाधान: आवश्यक दूरी त्रिभुज SAG की ऊंचाई GH है, जहां G, BF और AD का प्रतिच्छेदन बिंदु है। त्रिभुज SAG में हमारे पास है: SA = 2, AG = 0.5, ऊँचाई SO बराबर है इसलिए हम GH = उत्तर पाते हैं।

पिरामिड 8 नियमित 6वें पिरामिड SABCDEF में, जिसके पार्श्व किनारे 2 के बराबर हैं और जिनके आधार किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं SA और CE के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। समाधान: आवश्यक दूरी त्रिभुज SAG की ऊंचाई GH है, जहां G, CE और AD का प्रतिच्छेदन बिंदु है। त्रिभुज SAG में हमारे पास है: SA = 2, AG =, ऊंचाई SO बराबर है इसलिए हमें GH = उत्तर मिलता है।

पिरामिड 9 नियमित 6वें पिरामिड SABCDEF में, जिसके पार्श्व किनारे 2 हैं और आधार किनारे 1 हैं, रेखाओं SA और BD के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। समाधान: रेखा BD समतल SAE के समानांतर है। आवश्यक दूरी सीधी रेखा BD और इस तल के बीच की दूरी के बराबर है और त्रिभुज SPQ की ऊँचाई PH के बराबर है। इस त्रिभुज में, ऊँचाई SO बराबर है, PQ = 1, SP = SQ = यहाँ से हमें PH = उत्तर मिलता है:

पिरामिड 10 नियमित 6वें पिरामिड SABCDEF में, जिसके पार्श्व किनारे 2 हैं और आधार किनारे 1 हैं, सीधी रेखाओं SA और BG के बीच की दूरी ज्ञात करें, जहाँ G किनारे SC का मध्यबिंदु है। समाधान: बिंदु G से होकर हम SA के समानांतर एक रेखा खींचते हैं। मान लीजिए Q, रेखा AC के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु को दर्शाता है। आवश्यक दूरी समकोण त्रिभुज ASQ की ऊंचाई QH के बराबर है, जिसमें AS = 2, AQ =, SQ = यहां से हमें QH = उत्तर मिलता है:।

प्रिज्म 1 एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म एबीसीए 1 बी 1 सी 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: बीसी और बी 1 सी 1। उत्तर: 1।

प्रिज्म 2 एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म एबीसीए 1 बी 1 सी 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: एए 1 और बीसी। उत्तर:

प्रिज्म 3 एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म एबीसीए 1 बी 1 सी 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: एए 1 और बीसी 1। उत्तर:

प्रिज्म 4 एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म एबीसीए 1 बी 1 सी 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: एबी और ए 1 सी 1। उत्तर: 1।

प्रिज्म 5 एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म ABCA 1 B 1 C 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, सीधी रेखाओं AB और A 1 C के बीच की दूरी ज्ञात करें। समाधान: आवश्यक दूरी सीधी रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर है रेखा AB और समतल A 1 B 1 C. आइए हम D को निरूपित करें और D 1 किनारों AB और A 1 B 1 का मध्यबिंदु है। समकोण त्रिभुज CDD 1 में शीर्ष D से हम ऊँचाई DE खींचते हैं। यह आवश्यक दूरी होगी. हमारे पास, डीडी 1 = 1, सीडी = उत्तर: इसलिए, डीई =, सीडी 1 =।

प्रिज्म 6 एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म एबीसीए 1 बी 1 सी 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: एबी 1 और बीसी 1। समाधान: आइए प्रिज्म को 4-कोण वाले प्रिज्म का निर्माण करें। आवश्यक दूरी समानांतर समतल AB 1 D 1 और BDC 1 के बीच की दूरी के बराबर होगी। यह समकोण त्रिभुज AOO 1 की ऊंचाई OH के बराबर है, जिसमें उत्तर है। ये ऊंचाई है

प्रिज्म 7 नियमित 6वें प्रिज्म ए...एफ 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: एबी और ए 1 बी 1। उत्तर: 1।

प्रिज्म 8 नियमित 6वें प्रिज्म ए...एफ 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: एबी और बी 1 सी 1। उत्तर: 1।

प्रिज्म 9 नियमित 6वें प्रिज्म ए…एफ 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: एबी और सी 1 डी 1। उत्तर: 1।

प्रिज्म 10 नियमित 6वें प्रिज्म ए...एफ 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: एबी और डीई। उत्तर: ।

प्रिज्म 11 नियमित 6वें प्रिज्म ए…एफ 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: एबी और डी 1 ई 1। उत्तर: 2।

प्रिज्म 12 नियमित 6वें प्रिज्म ए...एफ 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: एए 1 और सीसी 1। उत्तर:।

प्रिज्म 13 नियमित 6वें प्रिज्म ए...एफ 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: एए 1 और डीडी 1। उत्तर: 2।

प्रिज्म 14 नियमित 6वें प्रिज्म ए...एफ 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: एए 1 और बी 1 सी 1। समाधान: भुजाओं बी 1 सी 1 और ए 1 का विस्तार करें बिंदु G पर प्रतिच्छेदन F 1 से। त्रिभुज A 1 B 1 G समबाहु है। इसकी ऊँचाई A 1 H वांछित उभयनिष्ठ लम्ब है। इसकी लंबाई बराबर होती है. उत्तर: ।

प्रिज्म 15 नियमित 6वें प्रिज्म ए...एफ 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: एए 1 और सी 1 डी 1। समाधान: आवश्यक सामान्य लंबवत खंड ए 1 सी है 1. इसकी लंबाई बराबर होती है. उत्तर: ।

प्रिज्म 16 नियमित 6वें प्रिज्म ए...एफ 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: एए 1 और बीसी 1। समाधान: आवश्यक दूरी समानांतर विमानों के बीच की दूरी है जोड़ें 1 और बीसीसी 1. यह बराबर है. उत्तर: ।

प्रिज्म 17 नियमित 6वें प्रिज्म ए...एफ 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: एए 1 और सीडी 1। समाधान: आवश्यक सामान्य लंबवत खंड एसी है। इसकी लंबाई बराबर होती है. उत्तर: ।

प्रिज्म 18 नियमित 6वें प्रिज्म ए...एफ 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: एए 1 और डीई 1। समाधान: आवश्यक सामान्य लंबवत खंड ए 1 ई 1 है। इसकी लंबाई बराबर होती है. उत्तर: ।

प्रिज्म 19 नियमित 6वें प्रिज्म ए...एफ 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: एए 1 और बीडी 1। समाधान: आवश्यक सामान्य लंबवत खंड एबी है। इसकी लम्बाई 1 है। उत्तर: 1.

प्रिज्म 20 नियमित 6वें प्रिज्म ए...एफ 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, सीधी रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: एए 1 और सीई 1। समाधान: आवश्यक दूरी सीधी रेखा एए के बीच की दूरी है 1 और समतल CEE 1. यह बराबर है। उत्तर: ।

प्रिज्म 21 नियमित 6वें प्रिज्म ए...एफ 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, सीधी रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: एए 1 और बीई 1। समाधान: आवश्यक दूरी सीधी रेखा एए के बीच की दूरी है 1 और समतल BEE 1. यह बराबर है। उत्तर: ।

प्रिज्म 22 नियमित 6वें प्रिज्म ए...एफ 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, सीधी रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: एए 1 और सीएफ 1। समाधान: आवश्यक दूरी सीधी रेखा एए के बीच की दूरी है 1 और समतल CFF 1. यह बराबर है। उत्तर: ।

प्रिज्म 23 नियमित 6वें प्रिज्म ए...एफ 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करें: एबी 1 और डीई 1। समाधान: आवश्यक दूरी समानांतर विमानों एबीबी 1 और के बीच की दूरी है डीईई 1. उनके बीच की दूरी बराबर है। उत्तर: ।

प्रिज्म 24 नियमित 6वें प्रिज्म ए...एफ 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, सीधी रेखाओं एबी 1 और सीएफ 1 के बीच का कोण ज्ञात करें। समाधान: आवश्यक दूरी सीधी रेखा एबी के बीच की दूरी है 1 और समतल CFF 1. यह बराबर है। उत्तर:

प्रिज्म 25 नियमित 6वें प्रिज्म ए...एफ 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, सीधी रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: एबी 1 और बीसी 1। समाधान: मान लीजिए ओ, ओ 1 प्रिज्म के केंद्र हैं चेहरे के। समतल AB 1 O 1 और BC 1 O समानांतर हैं। समतल ACC 1 A 1 इन समतलों के लंबवत है। आवश्यक दूरी d सीधी रेखाओं AG 1 और GC 1 के बीच की दूरी के बराबर है। समांतर चतुर्भुज AGC 1 G 1 में हमारे पास AG = उत्तर है: ; एजी 1 = भुजा एए 1 पर खींची गई ऊंचाई 1 है। इसलिए, डी=। .

प्रिज्म 26 एक नियमित छठे प्रिज्म ए...एफ 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: एबी 1 और बीडी 1। समाधान: बीडी के लंबवत विमान ए 1 बी 1 एचजी पर विचार करें। 1. इस तल पर एक ओर्थोगोनल प्रक्षेपण रेखा BD 1 को बिंदु H और रेखा AB 1 को रेखा GB 1 में परिवर्तित करता है। इसलिए, आवश्यक दूरी d बिंदु H से रेखा GB 1 की दूरी के बराबर है। समकोण त्रिभुज GHB में 1 हमारे पास GH = 1 है; उत्तर: बी 1 एच = . इसलिए, डी = .

प्रिज्म 27 एक नियमित छठे प्रिज्म ए...एफ 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: एबी 1 और बीई 1। समाधान: एबी 1 के लंबवत विमान ए 1 बीडीई 1 पर विचार करें। इस तल पर ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण रेखा AB 1 को बिंदु G पर अनुवादित करता है, और रेखा BE 1 को उसके स्थान पर छोड़ देता है। इसलिए, आवश्यक दूरी d, बिंदु G से रेखा BE 1 तक की दूरी GH के बराबर है। एक समकोण त्रिभुज A 1 BE 1 में हमारे पास A 1 B = है; ए 1 ई 1 =. उत्तर: इसलिए, d = .

"क्रॉसिंग लाइनों के बीच की दूरी" - प्रमेय। प्रारंभिक मौखिक कार्य. सीधी रेखा MN और समतल AA1D1D के बीच की दूरी ज्ञात करें। सीधी रेखा B1K और समतल DD1C1C के बीच की दूरी ज्ञात करें। OK=OO1?OM/O1M =a/3 (पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार O1M=3/2?2, OM=1/2?2)। विकर्ण तल AA1C1C सीधी रेखा BD पर लंबवत है। बिंदु B और N की नई स्थिति AD और BM रेखाओं के बिंदु एक दूसरे के निकटतम होंगे।

"पाठ गति समय दूरी" - गणितीय वार्म-अप। पाठ का उद्देश्य: छात्रों को गति समस्याओं को हल करना सिखाना। दूरी। 5 किमी/घंटा की स्थिर गति से 30 किमी चलने में कितना समय लगेगा? गति, समय और दूरी के बीच संबंध. कितने लोग शहर गए? एक हवाई जहाज शहर A से शहर B तक की दूरी 1 घंटा 20 मिनट में तय करता है।

"गति समय दूरी गणित" - संख्या 5 और 65 के योग को 2 गुना कम करें। पता नहीं चांद पर गया. एक परी-कथा पुस्तक के पन्नों के माध्यम से एक यात्रा। शारीरिक शिक्षा मिनट. एक 8 बजे निकला और दूसरा 10 बजे. संक्षेपण। क्या लौरा सही है? -लौरा ने निम्नलिखित समस्या हल की: “500 किमी. कार 10 घंटे में यात्रा करेगी. समय। उत्तर कुंजी "38" पुस्तक खोलती है:

"प्रत्यक्ष भाषण संवाद" - प्रत्यक्ष भाषण संवाद से किस प्रकार भिन्न है? उदाहरण के लिए: एल.एन. टॉल्स्टॉय ने कहा: "दुनिया में हम सभी को एक-दूसरे की ज़रूरत है।" प्रत्यक्ष भाषण ग्राफिक्स. ए: "पी।" कार्य 3. सीधे भाषण को संवाद से बदलें। उदाहरण के लिए: "पी?" - एक। "पी!" - एक। निम्नलिखित वाक्यों के लिए सही चित्र प्रदान करें। संवाद ग्राफिक्स. सीधा भाषण और संवाद कैसे लिखें?

"प्रत्यक्ष भाषण वाले वाक्य" - पेट्रोनियस, प्राचीन रोमन लेखक। खेल "त्रुटि खोजें" (जाँचें)। प्रत्यक्ष भाषण का परिचय देते लेखक के शब्द: मैं घूमा और फादर गेरासिम के घर गया। गाँव का एक मित्र मुझसे मिलने आया। प्रत्यक्ष भाषण वाले वाक्य. रचनात्मक कार्य. लिखित रूप में, प्रत्यक्ष भाषण उद्धरण चिह्नों में संलग्न होता है। पढ़ना!" - कॉन्स्टेंटिन जॉर्जिविच पौस्टोव्स्की ने कहा।

"दूरी और पैमाना" - उच्च आवर्धन पैमाने में एक परमाणु का मॉडल। एक पैमाने वाले मानचित्र पर, दूरी 5 सेमी है यदि पैमाने को अंश 1 के साथ एक अंश द्वारा दिया गया है। फायर ट्रक का छोटा स्केल मॉडल। जमीन पर दूरी ज्ञात करने के लिए एल्गोरिदम: राजमार्ग के साथ, मार्ग की लंबाई 700 किमी है। वाक्य पूरा करें: दोनों शहरों के बीच की दूरी 400 किमी है।