शक्ति अभिव्यक्तियाँ (शक्तियों के साथ अभिव्यक्तियाँ) एवं उनका परिवर्तन। तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ शक्ति विषय पर उदाहरण तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ शक्ति

गणित शिक्षक: नैश्केनोवा ए.एन. मेबालिक माध्यमिक विद्यालय "तर्कसंगत घातांक के साथ घातांक" विषय पर पाठ योजना

(बीजगणित, 11वीं कक्षा)

पाठ मकसद:

संख्याओं की शक्तियों के बारे में विद्यार्थियों के ज्ञान का विस्तार और गहनता करना; छात्रों को तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ डिग्री की अवधारणा और उनके गुणों से परिचित कराना;

गुणों का उपयोग करके अभिव्यक्तियों के मूल्यों की गणना करने के लिए ज्ञान, कौशल और क्षमता विकसित करना;

विश्लेषण करने, तुलना करने, मुख्य चीज़ को उजागर करने, अवधारणाओं को परिभाषित करने और समझाने के कौशल विकसित करने पर काम जारी रखें;

संचार क्षमता विकसित करना, किसी के कार्यों के लिए कारण बताने की क्षमता, स्वतंत्रता और कड़ी मेहनत विकसित करना।

उपकरण: पाठ्यपुस्तक, हैंडआउट कार्ड, लैपटॉप,प्रस्तुति सामग्रीपावर प्वाइंट ;

पाठ का प्रकार: अध्ययन करने और आरंभ में नए ज्ञान को समेकित करने का एक पाठ।

शिक्षण योजना:

1.संगठन. पल। - 1 मिनट।

2.पाठ प्रेरणा.-दो मिनट

3.बुनियादी ज्ञान को अद्यतन करना। - 5 मिनट।

4. नई सामग्री सीखना. - 15 मिनटों।

5. शारीरिक शिक्षा मिनट - 1 मिनट।

6. अध्ययन की गई सामग्री का प्राथमिक समेकन - 10 मिनट

7.स्वतंत्र कार्य. - 7 मिनट.

8.गृहकार्य। - दो मिनट।

9.प्रतिबिंब - 1 मिनट।

10. पाठ सारांश. - 1 मिनट।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण

पाठ के लिए भावनात्मक मनोदशा.

मैं काम करना चाहता हूं, मेरी इच्छा है

काम,
मैं आज आपकी सफलता की कामना करता हूं।
आख़िरकार, भविष्य में यह सब आपके लिए है

काम आएगा.
और भविष्य में यह आपके लिए आसान हो जाएगा

अध्ययन(स्लाइड नंबर 1)

2.पाठ प्रेरणा

घातांक और मूल निष्कर्षण की संक्रियाएँ, साथ ही चार अंकगणितीय संक्रियाएँ, व्यावहारिक आवश्यकता के परिणामस्वरूप उत्पन्न हुईं। तो, एक वर्ग के क्षेत्रफल की गणना करने की समस्या के साथ-साथ, भुजा भीए जैसा कि ज्ञात है, उलटी समस्या का सामना करना पड़ा: "किसी वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर होने के लिए उसकी भुजा की लंबाई कितनी होनी चाहिए"वी 14वीं और 15वीं शताब्दी में, पश्चिमी यूरोप में बैंक प्रकट हुए, जो राजकुमारों और व्यापारियों को ब्याज पर पैसा देते थे, और लंबी दूरी की यात्रा और विजय को उच्च ब्याज दरों पर वित्तपोषित करते थे। चक्रवृद्धि ब्याज की गणना को सुविधाजनक बनाने के लिए, हमने तालिकाएँ संकलित की हैं जिनसे आप तुरंत पता लगा सकते हैं कि आपको कितना भुगतान करने की आवश्यकता हैपी वर्ष यदि राशि उधार ली गई थीए द्वाराआर % प्रतिवर्ष। भुगतान की गई राशि सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है: एस = ए(1+ ) पी कभी-कभी पैसा पूरे वर्षों के लिए नहीं, बल्कि उदाहरण के लिए, 2 साल 6 महीने के लिए उधार लिया जाता था। यदि 2.5 वर्ष के बाद राशिए संपर्क अक , फिर अगले 2.5 वर्षों में इसमें और वृद्धि होगीक्यू समय और बराबर हो जायेंगेअक 2 . 5 साल बाद:ए=(1 + 5 , इसीलिए क्यू 2 = (1 + 5 और मतलब क्यू =

(स्लाइड 2) .

इस प्रकार भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री का विचार उत्पन्न हुआ।

3.बुनियादी ज्ञान को अद्यतन करना।

प्रशन:

1.प्रविष्टि का क्या अर्थ है;ए पी

2. क्या है ए ?

3. क्या है पी ?

4. ए -पी =?

5.अपनी नोटबुक में पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के गुणों को लिखें।

6.कौन सी संख्याएँ प्राकृतिक, पूर्णांक, परिमेय हैं? यूलर सर्कल का उपयोग करके उन्हें बनाएं।(स्लाइड 3)

उत्तर: 1. पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री

2. ए-आधार

3. पी- प्रतिपादक

4. ए -पी =

5. पूर्णांक घातांक वाली डिग्री के गुण:

ए एम *ए एन =ए (एम+एन) ;

ए एम : ए एन =ए (एम-एन) ( पर ए नहीं बराबर शून्य );

(ए एम ) एन =ए (एम*एन) ;

(ए*बी) एन =ए एन *बी एन ;

(ए/बी) एन = (ए एन )/(बी एन ) (पर बी शून्य के बराबर नहीं);

ए 1 = ए;

ए 0 = 1 (साथ ए शून्य के बराबर नहीं);

ये गुण किसी भी संख्या a, b और किसी भी पूर्णांक m और n के लिए मान्य होंगे।

6.1,2,3,… - धनात्मक संख्याएँ - प्राकृत संख्याओं का समुच्चय -एन

0,-1,-2,-3,.. संख्या O और ऋणात्मक संख्याएँ - पूर्णांकों का एक सेट -जेड

एन

यूलर वृत्त (स्लाइड 4)

4. नई सामग्री का अध्ययन.

रहने दो। ए - यह एक गैर-ऋणात्मक संख्या है और इसे भिन्नात्मक घात तक बढ़ाने की आवश्यकता है . क्या आप समानता जानते हैं (ए एम ) एन = ए एम एन (स्लाइड 4) , अर्थात। किसी शक्ति को शक्ति में बढ़ाने का नियम। उपरोक्त समानता में हम ऐसा मानते हैंएम =, तो हमें मिलता है: (ए ) पी = ए =ए (स्लाइड 4)

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह हैए जड़ पी - संख्या की वें शक्तिए , अर्थात। ए = . यह इस प्रकार है कि (ए पी ) = पी =ए (स्लाइड 4)।

इस तरह ए =(ए ) एम =(ए एम ) = एम . ( स्लाइड 4 ).

इस प्रकार, निम्नलिखित समानता कायम है:ए = एम (स्लाइड 4)

परिभाषा: एक गैर-नकारात्मक संख्या की डिग्री ए एक तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ , कहाँ - अपरिवर्तनीय भिन्न, किसी संख्या के nवें मूल का मान कहलाता है ए टी .

इसलिए, परिभाषा के अनुसार ए = एम (स्लाइड 5)

आइए उदाहरण 1 देखें : घात को तर्कसंगत घातांक के साथ nवें मूल के रूप में लिखें:

अपनी दृष्टि दाहिनी ओर मोड़ें

अपनी दृष्टि बायीं ओर मोड़ें

छत की ओर देखा

सभी ने आगे की ओर देखा।

एक बार - झुकें - सीधा करें,

दो ─ झुकना - खिंचाव,

आपके हाथों की तीन-तीन तालियाँ,

सिर के तीन झटके.

पांच और छह चुपचाप बैठ जाएं.

और फिर से सड़क पर! (स्लाइड 9)

6. अध्ययन की गई सामग्री का प्राथमिक समेकन:

पृष्ठ 51, संख्या 90, संख्या 91 - इसे अपनी नोटबुक में स्वयं करें,

बोर्ड पर चेक के साथ

7.स्वतंत्र कार्य

विकल्प 1

(स्लाइड 10)

विकल्प 1

(स्लाइड 11)

आपसी जांच से स्वतंत्र कार्य करें।

उत्तर:

विकल्प 1

(स्लाइड 12)

तो, आज पाठ में हम एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री की अवधारणा से परिचित हुए और इसे जड़ों के रूप में लिखना सीखा, संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के मूल्यों को खोजने के दौरान डिग्री के मूल गुणों को लागू करना सीखा।8.होमवर्क: नंबर 92, नंबर 93 गृहकार्य की जानकारी

9. प्रतिबिंब

(स्लाइड 13)

10. पाठ सारांश:

पूर्णांक घातांक वाली डिग्री और भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री के बीच समानताएं और अंतर क्या हैं? (समानता: पूर्णांक घातांक वाली डिग्री के सभी गुण तर्कसंगत घातांक वाली डिग्री के लिए भी मान्य होते हैं;

अंतर: डिग्री)

तर्कसंगत घातांक के साथ घातों के गुणों की सूची बनाएं

आज का पाठ ख़त्म हो गया,
आप इससे अधिक मित्रतापूर्ण नहीं हो सकते.
लेकिन हर किसी को पता होना चाहिए:
ज्ञान, दृढ़ता, कार्य
इनसे जीवन में उन्नति होगी।
सबक के लिए धन्यवाद! (स्लाइड 14)

वीडियो पाठ "तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ प्रतिपादक" में इस विषय पर पाठ पढ़ाने के लिए दृश्य शैक्षिक सामग्री शामिल है। वीडियो पाठ में तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ डिग्री की अवधारणा, ऐसी डिग्री के गुणों के साथ-साथ व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए शैक्षिक सामग्री के उपयोग का वर्णन करने वाले उदाहरणों के बारे में जानकारी शामिल है। इस वीडियो पाठ का उद्देश्य शैक्षिक सामग्री को स्पष्ट और स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करना, छात्रों द्वारा इसके विकास और याद रखने की सुविधा प्रदान करना और सीखी गई अवधारणाओं का उपयोग करके समस्याओं को हल करने की क्षमता विकसित करना है।

वीडियो पाठ के मुख्य लाभ दृश्य रूप से परिवर्तन और गणना करने की क्षमता, सीखने की दक्षता में सुधार के लिए एनीमेशन प्रभावों का उपयोग करने की क्षमता हैं। आवाज की संगत सही गणितीय भाषण विकसित करने में मदद करती है, और शिक्षक के स्पष्टीकरण को प्रतिस्थापित करना भी संभव बनाती है, जिससे वह व्यक्तिगत कार्य करने के लिए मुक्त हो जाता है।

वीडियो पाठ की शुरुआत विषय का परिचय देने से होती है। किसी नए विषय के अध्ययन को पहले से अध्ययन की गई सामग्री के साथ जोड़ते समय, यह याद रखने का सुझाव दिया जाता है कि n √a को अन्यथा प्राकृतिक n और सकारात्मक a के लिए 1/n दर्शाया जाता है। यह एन-रूट प्रतिनिधित्व स्क्रीन पर प्रदर्शित होता है। इसके बाद, हम इस बात पर विचार करने का प्रस्ताव करते हैं कि अभिव्यक्ति a m/n का क्या अर्थ है, जिसमें a एक धनात्मक संख्या है, और m/n कुछ अंश है। एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा a m/n = n √a m के रूप में दी गई है, जिसे फ्रेम में हाइलाइट किया गया है। यह ध्यान देने योग्य है कि n एक प्राकृतिक संख्या हो सकती है, और m एक पूर्णांक हो सकता है।

एक डिग्री को तर्कसंगत घातांक के साथ परिभाषित करने के बाद, इसका अर्थ उदाहरणों के माध्यम से पता चलता है: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3। यह एक उदाहरण भी दिखाता है जिसमें दशमलव द्वारा दर्शाई गई शक्ति को मूल के रूप में दर्शाने के लिए भिन्न में परिवर्तित किया जाता है: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 और नकारात्मक शक्ति वाला एक उदाहरण: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

विशेष मामले की विशिष्टता जब डिग्री का आधार शून्य है, अलग से दर्शाया गया है। यह ध्यान दिया गया है कि यह डिग्री केवल सकारात्मक भिन्नात्मक घातांक के साथ ही समझ में आती है। इस स्थिति में, इसका मान शून्य है: 0 m/n =0.

तर्कसंगत घातांक वाली डिग्री की एक और विशेषता नोट की गई है - कि भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री को भिन्नात्मक घातांक के साथ नहीं माना जा सकता है। डिग्रियों के गलत अंकन के उदाहरण दिए गए हैं: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5।

वीडियो पाठ में आगे हम एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री के गुणों पर चर्चा करते हैं। यह ध्यान दिया जाता है कि पूर्णांक घातांक वाली डिग्री के गुण तर्कसंगत घातांक वाली डिग्री के लिए भी मान्य होंगे। उन संपत्तियों की सूची को वापस बुलाने का प्रस्ताव है जो इस मामले में भी मान्य हैं:

1. जब घातों को समान आधारों से गुणा किया जाता है, तो उनके घातांक जुड़ जाते हैं: a p a q = a p+q।
2. समान आधार वाली डिग्री का विभाजन किसी दिए गए आधार और घातांक में अंतर वाली डिग्री तक कम हो जाता है: a p:a q =a p-q।
3. यदि हम डिग्री को एक निश्चित घात तक बढ़ाते हैं, तो हमें एक दिए गए आधार और घातांक के उत्पाद के साथ एक डिग्री मिलती है: (ए पी) क्यू = ए पीक्यू।

ये सभी गुण तर्कसंगत घातांक p, q और सकारात्मक आधार a>0 वाली घातों के लिए मान्य हैं। इसके अलावा, कोष्ठक खोलते समय डिग्री परिवर्तन सत्य रहते हैं:

1. (एबी) पी = ए पी बी पी - तर्कसंगत घातांक के साथ कुछ घात तक बढ़ाने से दो संख्याओं का गुणनफल कम हो जाता है, जिनमें से प्रत्येक को एक निश्चित घात तक बढ़ाया जाता है।
2. (ए/बी) पी =ए पी /बी पी - एक भिन्न को तर्कसंगत घातांक के साथ एक घात तक बढ़ाने पर एक अंश कम हो जाता है जिसके अंश और हर को एक दिए गए घात तक बढ़ाया जाता है।

वीडियो ट्यूटोरियल उन उदाहरणों को हल करने पर चर्चा करता है जो तर्कसंगत घातांक के साथ शक्तियों के सुविचारित गुणों का उपयोग करते हैं। पहला उदाहरण आपसे उस अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करने के लिए कहता है जिसमें आंशिक घात में चर x शामिल है: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1)। अभिव्यक्ति की जटिलता के बावजूद, शक्तियों के गुणों का उपयोग करके इसे काफी सरलता से हल किया जा सकता है। समस्या का समाधान अभिव्यक्ति को सरल बनाने से शुरू होता है, जिसमें एक तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ एक घात को एक घात तक बढ़ाने के नियम का उपयोग किया जाता है, साथ ही समान आधार के साथ घातों को गुणा किया जाता है। दिए गए मान x=8 को सरलीकृत अभिव्यक्ति x 1/3 +48 में प्रतिस्थापित करने के बाद, मान - 50 प्राप्त करना आसान है।

दूसरे उदाहरण में, आपको उस भिन्न को कम करना होगा जिसके अंश और हर में तर्कसंगत घातांक वाली घातें हों। डिग्री के गुणों का उपयोग करके, हम अंतर से कारक x 1/3 निकालते हैं, जिसे फिर अंश और हर में घटाया जाता है, और वर्गों के अंतर के लिए सूत्र का उपयोग करके, अंश को गुणनखंडित किया जाता है, जो समान की और कटौती देता है अंश और हर में गुणनखंड. ऐसे परिवर्तनों का परिणाम लघु अंश x 1/4 +3 है।

शिक्षक द्वारा किसी नए पाठ विषय को समझाने के बजाय वीडियो पाठ "तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ प्रतिपादक" का उपयोग किया जा सकता है। इस मैनुअल में छात्र के लिए स्वतंत्र रूप से अध्ययन करने के लिए पर्याप्त संपूर्ण जानकारी भी शामिल है। यह सामग्री दूरस्थ शिक्षा के लिए भी उपयोगी हो सकती है।

भाव, अभिव्यक्ति रूपांतरण

शक्ति अभिव्यक्तियाँ (शक्तियों के साथ अभिव्यक्तियाँ) एवं उनका परिवर्तन

इस लेख में हम अभिव्यक्ति को शक्तियों से परिवर्तित करने के बारे में बात करेंगे। सबसे पहले, हम उन परिवर्तनों पर ध्यान केंद्रित करेंगे जो किसी भी प्रकार की अभिव्यक्ति के साथ किए जाते हैं, जिसमें शक्ति अभिव्यक्ति भी शामिल है, जैसे कोष्ठक खोलना और समान शब्द लाना। और फिर हम विशेष रूप से डिग्री के साथ अभिव्यक्तियों में निहित परिवर्तनों का विश्लेषण करेंगे: आधार और घातांक के साथ काम करना, डिग्री के गुणों का उपयोग करना आदि।

पेज नेविगेशन.

शक्ति अभिव्यक्ति क्या हैं?

शब्द "पावर एक्सप्रेशन" व्यावहारिक रूप से स्कूली गणित की पाठ्यपुस्तकों में दिखाई नहीं देता है, लेकिन यह अक्सर समस्याओं के संग्रह में दिखाई देता है, विशेष रूप से यूनिफाइड स्टेट परीक्षा और उदाहरण के लिए यूनिफाइड स्टेट परीक्षा की तैयारी के लिए। उन कार्यों का विश्लेषण करने के बाद जिनमें शक्ति अभिव्यक्तियों के साथ कोई कार्य करना आवश्यक है, यह स्पष्ट हो जाता है कि शक्ति अभिव्यक्तियों को उनकी प्रविष्टियों में शक्तियों से युक्त अभिव्यक्तियों के रूप में समझा जाता है। इसलिए, आप अपने लिए निम्नलिखित परिभाषा स्वीकार कर सकते हैं:

परिभाषा।

शक्ति अभिव्यक्तियाँशक्तियाँ युक्त अभिव्यक्तियाँ हैं।

चलो हम देते है शक्ति अभिव्यक्ति के उदाहरण. इसके अलावा, हम उन्हें इस अनुसार प्रस्तुत करेंगे कि प्राकृतिक प्रतिपादक वाली डिग्री से वास्तविक प्रतिपादक वाली डिग्री तक विचारों का विकास कैसे होता है।

जैसा कि ज्ञात है, सबसे पहले व्यक्ति एक प्राकृतिक घातांक के साथ किसी संख्या की घात से परिचित होता है, प्रकार 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) की पहली सरल घात अभिव्यक्तियाँ। 4, 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 आदि दिखाई देते हैं।

थोड़ी देर बाद, पूर्णांक घातांक वाली संख्या की घात का अध्ययन किया जाता है, जिससे नकारात्मक पूर्णांक घात वाली घात अभिव्यक्तियाँ सामने आती हैं, जैसे कि निम्नलिखित: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

हाई स्कूल में वे डिग्री की ओर लौटते हैं। वहां, एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री पेश की जाती है, जो संबंधित शक्ति अभिव्यक्तियों की उपस्थिति पर जोर देती है: , , और इसी तरह। अंत में, अपरिमेय घातांक वाली डिग्रियों और उनसे युक्त अभिव्यक्तियों पर विचार किया जाता है: , .

मामला सूचीबद्ध शक्ति अभिव्यक्तियों तक सीमित नहीं है: आगे चर घातांक में प्रवेश करता है, और, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अभिव्यक्तियाँ उत्पन्न होती हैं: 2 x 2 +1 या . और परिचित होने के बाद, घात और लघुगणक वाले भाव प्रकट होने लगते हैं, उदाहरण के लिए, x 2·lgx −5·x lgx।

इसलिए, हमने इस प्रश्न पर विचार किया है कि अभिव्यक्तियाँ किस शक्ति का प्रतिनिधित्व करती हैं। आगे हम इन्हें परिवर्तित करना सीखेंगे।

शक्ति अभिव्यक्ति के मुख्य प्रकार के परिवर्तन

शक्ति अभिव्यक्तियों के साथ, आप अभिव्यक्तियों के किसी भी बुनियादी पहचान परिवर्तन को निष्पादित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप कोष्ठक खोल सकते हैं, संख्यात्मक अभिव्यक्तियों को उनके मानों से बदल सकते हैं, समान शब्द जोड़ सकते हैं, आदि। स्वाभाविक रूप से, इस मामले में, कार्रवाई करने के लिए स्वीकृत प्रक्रिया का पालन करना आवश्यक है। चलिए उदाहरण देते हैं.

उदाहरण।

घात अभिव्यक्ति 2 3 ·(4 2 −12) के मान की गणना करें।

समाधान।

क्रियाओं के निष्पादन के क्रम के अनुसार सबसे पहले कोष्ठक में क्रियाएँ करें। वहां, सबसे पहले, हम घात 4 2 को इसके मान 16 से बदलते हैं (यदि आवश्यक हो, देखें), और दूसरी बात, हम अंतर 16−12=4 की गणना करते हैं। हमारे पास है 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

परिणामी अभिव्यक्ति में, हम घात 2 3 को उसके मान 8 से प्रतिस्थापित करते हैं, जिसके बाद हम उत्पाद 8·4=32 की गणना करते हैं। यह वांछित मान है.

इसलिए, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

उत्तर:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

उदाहरण।

शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति को सरल बनाएं 3 ए 4 बी −7 −1+2 ए 4 बी −7.

समाधान।

जाहिर है, इस अभिव्यक्ति में समान पद 3·a 4 ·b −7 और 2·a 4 ·b −7 शामिल हैं, और हम उन्हें प्रस्तुत कर सकते हैं:।

उत्तर:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

उदाहरण।

किसी अभिव्यक्ति को उत्पाद के रूप में शक्तियों के साथ व्यक्त करें।

समाधान।

आप संख्या 9 को 3 2 की घात के रूप में निरूपित करके और फिर संक्षिप्त गुणन के लिए सूत्र का उपयोग करके कार्य का सामना कर सकते हैं - वर्गों का अंतर:

उत्तर:

विशेष रूप से शक्ति अभिव्यक्तियों में निहित कई समान परिवर्तन भी हैं। हम उनका आगे विश्लेषण करेंगे.

आधार और प्रतिपादक के साथ कार्य करना

ऐसी शक्तियाँ हैं जिनका आधार और/या प्रतिपादक केवल संख्याएँ या चर नहीं हैं, बल्कि कुछ अभिव्यक्तियाँ हैं। उदाहरण के तौर पर, हम प्रविष्टियाँ (2+0.3·7) 5−3.7 और (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) देते हैं।

ऐसी अभिव्यक्तियों के साथ काम करते समय, आप डिग्री के आधार में अभिव्यक्ति और घातांक में अभिव्यक्ति दोनों को इसके चर के ओडीजेड में एक समान समान अभिव्यक्ति के साथ बदल सकते हैं। दूसरे शब्दों में, हमें ज्ञात नियमों के अनुसार, हम डिग्री के आधार को अलग से और घातांक को अलग से बदल सकते हैं। यह स्पष्ट है कि इस परिवर्तन के परिणामस्वरूप, एक अभिव्यक्ति प्राप्त होगी जो मूल के समान ही होगी।

इस तरह के परिवर्तन हमें शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति को सरल बनाने या हमारे लिए आवश्यक अन्य लक्ष्यों को प्राप्त करने की अनुमति देते हैं। उदाहरण के लिए, ऊपर उल्लिखित घात अभिव्यक्ति (2+0.3 7) 5−3.7 में, आप आधार और घातांक में संख्याओं के साथ संचालन कर सकते हैं, जो आपको घात 4.1 1.3 पर जाने की अनुमति देगा। और कोष्ठक खोलने और समान पदों को घात (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) के आधार पर लाने के बाद, हमें एक सरल रूप a 2·(x+) की शक्ति अभिव्यक्ति प्राप्त होती है 1) .

डिग्री गुणों का उपयोग करना

शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति को बदलने के लिए मुख्य उपकरणों में से एक समानता है जो प्रतिबिंबित करती है। आइए हम मुख्य बातों को याद करें। किसी भी सकारात्मक संख्या ए और बी और मनमानी वास्तविक संख्या आर और एस के लिए, शक्तियों के निम्नलिखित गुण सत्य हैं:

• ए आर·ए एस =ए आर+एस ;
• a r:a s =a r−s ;
• (ए·बी) आर =ए आर ·बी आर ;
• (ए:बी) आर =ए आर:बी आर ;
• (ए आर) एस =ए आर·एस .

ध्यान दें कि प्राकृतिक, पूर्णांक और सकारात्मक घातांक के लिए, संख्या ए और बी पर प्रतिबंध इतना सख्त नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं m और n के लिए समानता a m·a n =a m+n न केवल सकारात्मक a के लिए सत्य है, बल्कि ऋणात्मक a और a=0 के लिए भी सत्य है।

स्कूल में, शक्ति अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करते समय, मुख्य ध्यान उपयुक्त संपत्ति को चुनने और इसे सही ढंग से लागू करने की क्षमता पर होता है। इस मामले में, डिग्री के आधार आमतौर पर सकारात्मक होते हैं, जो डिग्री के गुणों को बिना किसी प्रतिबंध के उपयोग करने की अनुमति देता है। यही बात शक्तियों के आधारों में चर युक्त अभिव्यक्तियों के परिवर्तन पर भी लागू होती है - चर के अनुमेय मूल्यों की सीमा आमतौर पर ऐसी होती है कि आधार उस पर केवल सकारात्मक मान लेते हैं, जो आपको शक्तियों के गुणों का स्वतंत्र रूप से उपयोग करने की अनुमति देता है . सामान्य तौर पर, आपको अपने आप से लगातार यह पूछने की ज़रूरत है कि क्या इस मामले में डिग्री की किसी संपत्ति का उपयोग करना संभव है, क्योंकि संपत्तियों के गलत उपयोग से शैक्षिक मूल्य में कमी और अन्य परेशानियां हो सकती हैं। शक्तियों के गुणों का उपयोग करके अभिव्यक्तियों का परिवर्तन लेख में इन बिंदुओं पर विस्तार से और उदाहरणों के साथ चर्चा की गई है। यहां हम खुद को कुछ सरल उदाहरणों पर विचार करने तक ही सीमित रखेंगे।

उदाहरण।

अभिव्यक्ति a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 को आधार a के साथ एक घात के रूप में व्यक्त करें।

समाधान।

सबसे पहले, हम एक शक्ति को एक शक्ति में बढ़ाने की संपत्ति का उपयोग करके दूसरे कारक (ए 2) -3 को बदलते हैं: (ए 2) −3 =ए 2·(−3) =ए −6. मूल शक्ति अभिव्यक्ति 2.5·a −6:a −5.5 का रूप लेगी। जाहिर है, यह घातों के गुणन और विभाजन के गुणों का उपयोग उसी आधार पर करना बाकी है, जो हमारे पास है
a 2.5 ·a −6:a −5.5 =
ए 2.5−6:ए −5.5 =ए −3.5:ए −5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

उत्तर:

ए 2.5 ·(ए 2) −3:ए −5.5 =ए 2.

शक्ति अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करते समय शक्तियों के गुणों का उपयोग बाएँ से दाएँ और दाएँ से बाएँ दोनों में किया जाता है।

उदाहरण।

घात अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए।

समाधान।

दाएं से बाएं ओर लागू समानता (ए·बी) आर =एआर ·बी आर, हमें मूल अभिव्यक्ति से फॉर्म के उत्पाद तक और आगे बढ़ने की अनुमति देती है। और जब समान आधारों से घातों को गुणा किया जाता है, तो घातांक जुड़ जाते हैं: .

मूल अभिव्यक्ति को दूसरे तरीके से बदलना संभव था:

उत्तर:

.

उदाहरण।

घात अभिव्यक्ति a 1.5 −a 0.5 −6 को देखते हुए, एक नया चर t=a 0.5 प्रस्तुत करें।

समाधान।

डिग्री ए 1.5 को 0.5 3 के रूप में दर्शाया जा सकता है और फिर, डिग्री की संपत्ति के आधार पर डिग्री (ए आर) एस = ए आर एस के आधार पर, दाएं से बाएं तक लागू किया जाता है, इसे फॉर्म (ए 0.5) 3 में बदल दिया जाता है। इस प्रकार, ए 1.5 −ए 0.5 −6=(ए 0.5) 3 −ए 0.5 −6. अब एक नया वेरिएबल t=a 0.5 प्रस्तुत करना आसान है, हमें t 3 −t−6 मिलता है।

उत्तर:

t 3 −t−6 .

घात वाले भिन्नों को परिवर्तित करना

घात अभिव्यक्तियों में घात वाले भिन्न शामिल हो सकते हैं या उनका प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। भिन्नों का कोई भी बुनियादी परिवर्तन जो किसी भी प्रकार के भिन्नों में निहित होता है, ऐसे भिन्नों पर पूरी तरह से लागू होता है। अर्थात्, जिन भिन्नों में घात होते हैं उन्हें कम किया जा सकता है, एक नए हर में घटाया जा सकता है, उनके अंश के साथ अलग से और हर के साथ अलग से काम किया जा सकता है, आदि। इन शब्दों को स्पष्ट करने के लिए, कई उदाहरणों के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

शक्ति अभिव्यक्ति को सरल बनाएं .

समाधान।

यह शक्ति अभिव्यक्ति एक अंश है. आइए इसके अंश और हर के साथ काम करें। अंश में हम कोष्ठक खोलते हैं और घातों के गुणों का उपयोग करके परिणामी अभिव्यक्ति को सरल बनाते हैं, और हर में हम समान पद प्रस्तुत करते हैं:

और आइए भिन्न के सामने ऋण लगाकर हर का चिह्न भी बदलें: .

उत्तर:

.

एक नए हर में घात वाले भिन्नों को कम करना, एक नए हर में परिमेय भिन्नों को कम करने के समान ही किया जाता है। इस स्थिति में, एक अतिरिक्त गुणनखंड भी पाया जाता है और भिन्न के अंश और हर को उससे गुणा किया जाता है। इस क्रिया को करते समय, यह याद रखने योग्य है कि एक नए हर में कमी से ओडीजेड में कमी हो सकती है। ऐसा होने से रोकने के लिए, यह आवश्यक है कि मूल अभिव्यक्ति के लिए ODZ चर से चर के किसी भी मान के लिए अतिरिक्त कारक शून्य पर न जाए।

उदाहरण।

भिन्नों को एक नए हर में घटाएँ: a) हर को a, b) हर को.

समाधान।

ए) इस मामले में, यह पता लगाना काफी आसान है कि कौन सा अतिरिक्त गुणक वांछित परिणाम प्राप्त करने में मदद करता है। यह 0.3 का गुणक है, क्योंकि 0.7·ए 0.3 =ए 0.7+0.3 =ए. ध्यान दें कि चर के अनुमेय मानों की सीमा में (यह सभी सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का सेट है), 0.3 की शक्ति गायब नहीं होती है, इसलिए, हमें दिए गए अंश और हर को गुणा करने का अधिकार है इस अतिरिक्त कारक द्वारा अंश:

बी) हर पर करीब से नज़र डालने पर, आप उसे पाएंगे

और इस व्यंजक को इससे गुणा करने पर घनों और का योग प्राप्त होगा, अर्थात्। और यह नया हर है जिससे हमें मूल भिन्न को कम करने की आवश्यकता है।

इस तरह हमें एक अतिरिक्त कारक मिला। चर x और y के अनुमेय मानों की सीमा में, अभिव्यक्ति गायब नहीं होती है, इसलिए, हम भिन्न के अंश और हर को इससे गुणा कर सकते हैं:

उत्तर:

ए) , बी) .

घात वाले भिन्नों को कम करने में भी कोई नई बात नहीं है: अंश और हर को कई कारकों के रूप में दर्शाया जाता है, और अंश और हर के समान कारकों को कम किया जाता है।

उदाहरण।

अंश कम करें: ए) , बी) ।

समाधान।

a) सबसे पहले, अंश और हर को संख्या 30 और 45 से घटाया जा सकता है, जो 15 के बराबर है। स्पष्ट रूप से x 0.5 +1 और द्वारा कमी करना भी संभव है . यहाँ हमारे पास क्या है:

बी) इस मामले में, अंश और हर में समान कारक तुरंत दिखाई नहीं देते हैं। उन्हें प्राप्त करने के लिए, आपको प्रारंभिक परिवर्तन करने होंगे। इस मामले में, वे वर्गों के अंतर सूत्र का उपयोग करके हर का गुणनखंड करते हैं:

उत्तर:

ए)

बी) .

भिन्नों को नए हर में बदलना और भिन्नों को कम करना मुख्य रूप से भिन्नों के साथ काम करने के लिए उपयोग किया जाता है। क्रियाएँ ज्ञात नियमों के अनुसार की जाती हैं। भिन्नों को जोड़ने (घटाने) पर, उन्हें एक सामान्य हर में घटा दिया जाता है, जिसके बाद अंशों को जोड़ा (घटाया जाता है), लेकिन हर वही रहता है। परिणाम एक भिन्न है जिसका अंश अंशों का गुणनफल है, और हर हरों का गुणनफल है। किसी भिन्न से भाग करना उसके व्युत्क्रम से गुणा करना है।

उदाहरण।

चरणों का पालन करें .

समाधान।

सबसे पहले, हम कोष्ठक में भिन्नों को घटाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम उन्हें एक सामान्य विभाजक पर लाते हैं, जो है , जिसके बाद हम अंशों को घटाते हैं:

अब हम भिन्नों को गुणा करते हैं:

जाहिर है, x 1/2 की शक्ति से कम करना संभव है, जिसके बाद हमारे पास है .

आप वर्गों के अंतर सूत्र का उपयोग करके हर में घात अभिव्यक्ति को सरल भी बना सकते हैं: .

उत्तर:

उदाहरण।

शक्ति अभिव्यक्ति को सरल बनाएं .

समाधान।

जाहिर है, इस भिन्न को (x 2.7 +1) 2 से कम किया जा सकता है, इससे भिन्न प्राप्त होता है . यह स्पष्ट है कि X की शक्तियों के साथ कुछ और करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम परिणामी अंश को एक उत्पाद में बदल देते हैं। इससे हमें समान आधारों पर शक्तियों को विभाजित करने की संपत्ति का लाभ उठाने का अवसर मिलता है: . और प्रक्रिया के अंत में हम अंतिम उत्पाद से भिन्न की ओर बढ़ते हैं।

उत्तर:

.

और आइए हम यह भी जोड़ें कि यह संभव है, और कई मामलों में वांछनीय है, कि घातांक के चिह्न को बदलते हुए, नकारात्मक घातांक वाले कारकों को अंश से हर में या हर से अंश में स्थानांतरित किया जाए। ऐसे परिवर्तन अक्सर आगे की कार्रवाइयों को सरल बनाते हैं। उदाहरण के लिए, एक शक्ति अभिव्यक्ति को द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

भावों को जड़ों और शक्तियों से रूपांतरित करना

प्रायः जिन भावों में कुछ परिवर्तन की आवश्यकता होती है, उनमें घातों के साथ भिन्नात्मक घातांक वाले मूल भी मौजूद रहते हैं। ऐसी अभिव्यक्ति को वांछित रूप में बदलने के लिए अधिकांश मामलों में केवल जड़ों तक या केवल शक्तियों तक जाना ही पर्याप्त होता है। लेकिन चूंकि शक्तियों के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक है, वे आमतौर पर जड़ों से शक्तियों की ओर बढ़ते हैं। हालाँकि, इस तरह के संक्रमण को अंजाम देने की सलाह तब दी जाती है जब मूल अभिव्यक्ति के लिए चर का ODZ आपको मॉड्यूल को संदर्भित करने या ODZ को कई अंतरालों में विभाजित करने की आवश्यकता के बिना जड़ों को शक्तियों से बदलने की अनुमति देता है (हमने इस पर विस्तार से चर्चा की है) लेख जड़ों से शक्तियों और पीठ तक संक्रमण एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री से परिचित होने के बाद एक अपरिमेय घातांक के साथ एक डिग्री पेश की जाती है, जो हमें एक मनमाना वास्तविक घातांक के साथ एक डिग्री के बारे में बात करने की अनुमति देती है, इस स्तर पर, यह होना शुरू होता है स्कूल में पढ़ाई की. घातांक प्रकार्य, जो विश्लेषणात्मक रूप से एक शक्ति द्वारा दिया जाता है, जिसका आधार एक संख्या है, और घातांक एक चर है। इसलिए हमें घात के आधार में संख्याओं से युक्त घात अभिव्यक्तियों का सामना करना पड़ता है, और घातांक में - चर के साथ अभिव्यक्तियाँ, और स्वाभाविक रूप से ऐसी अभिव्यक्तियों के परिवर्तन करने की आवश्यकता उत्पन्न होती है।

यह कहा जाना चाहिए कि संकेतित प्रकार के भावों का परिवर्तन आमतौर पर हल करते समय करना पड़ता है घातीय समीकरणऔर घातीय असमानताएँ, और ये रूपांतरण काफी सरल हैं। अधिकांश मामलों में, वे डिग्री के गुणों पर आधारित होते हैं और अधिकांश भाग के लिए, भविष्य में एक नया चर पेश करने के उद्देश्य से होते हैं। समीकरण हमें उन्हें प्रदर्शित करने की अनुमति देगा 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

सबसे पहले, घात, जिनके घातांक में एक निश्चित चर (या चर के साथ अभिव्यक्ति) और एक संख्या का योग होता है, को उत्पादों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह बाईं ओर अभिव्यक्ति के पहले और अंतिम शब्दों पर लागू होता है:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

इसके बाद, समानता के दोनों पक्षों को अभिव्यक्ति 7 2 x द्वारा विभाजित किया जाता है, जो मूल समीकरण के लिए चर x के ODZ पर केवल सकारात्मक मान लेता है (यह इस प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए एक मानक तकनीक है, हम नहीं हैं) अभी इसके बारे में बात कर रहे हैं, इसलिए शक्तियों के साथ अभिव्यक्तियों के बाद के परिवर्तनों पर ध्यान केंद्रित करें):

अब हम भिन्नों को घातों से रद्द कर सकते हैं, जो देता है .

अंत में, समान घातांक वाली घातों के अनुपात को संबंधों की घातों से बदल दिया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप समीकरण बनता है , जो समतुल्य है . किए गए परिवर्तनों से हमें एक नया चर पेश करने की अनुमति मिलती है, जो मूल घातीय समीकरण के समाधान को द्विघात समीकरण के समाधान तक कम कर देता है।

अभिव्यक्ति a n (एक पूर्णांक घातांक के साथ घात) को सभी मामलों में परिभाषित किया जाएगा, उस मामले को छोड़कर जब a = 0 और n शून्य से कम या उसके बराबर है।

डिग्री के गुण

पूर्णांक घातांक वाली डिग्रियों के मूल गुण:

ए एम *ए एन = ए (एम+एन) ;

ए एम: ए एन = ए (एम-एन) (साथ एशून्य के बराबर नहीं);

(ए एम) एन = ए (एम*एन) ;

(ए*बी) एन = ए एन *बी एन ;

(ए/बी) एन = (ए एन)/(बी एन) (साथ बीशून्य के बराबर नहीं);

ए 0 = 1 (साथ एशून्य के बराबर नहीं);

ये गुण किसी भी संख्या a, b और किसी भी पूर्णांक m और n के लिए मान्य होंगे। यह निम्नलिखित संपत्ति पर भी ध्यान देने योग्य है:

यदि m>n, तो a m > a n, a>1 और a m के लिए

हम किसी संख्या की घात की अवधारणा को उन मामलों में सामान्यीकृत कर सकते हैं जहां तर्कसंगत संख्याएं घातांक के रूप में कार्य करती हैं। साथ ही, मैं चाहूंगा कि उपरोक्त सभी संपत्तियां पूरी हो जाएं, या कम से कम उनमें से कुछ तो पूरी हो जाएं।

उदाहरण के लिए, यदि संपत्ति (ए एम) एन = ए (एम * एन) संतुष्ट थी, तो निम्नलिखित समानता होगी:

(ए (एम/एन)) एन = ए एम।

इस समानता का अर्थ है कि संख्या a (m/n) संख्या a m का nवाँ मूल होना चाहिए।

परिमेय घातांक r = (m/n) के साथ किसी संख्या a (शून्य से बड़ी) की घात, जहाँ m कोई पूर्णांक है, n एक से बड़ी कोई प्राकृतिक संख्या है, वह संख्या है n√(a m). परिभाषा के आधार पर: a (m/n) = n√(a m)।

सभी सकारात्मक r के लिए, शून्य की शक्ति निर्धारित की जाएगी। परिभाषा के अनुसार, 0 r = 0. यह भी ध्यान दें कि किसी भी पूर्णांक के लिए, कोई भी प्राकृतिक m और n, और सकारात्मक एनिम्नलिखित समानता सत्य है: a (m/n) = a ((mk)/(nk)) ।

उदाहरण के लिए: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12)।

एक परिमेय घातांक वाली डिग्री की परिभाषा से यह सीधे तौर पर पता चलता है कि किसी भी सकारात्मक a और किसी परिमेय r के लिए संख्या a r होगी सकारात्मक.

एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री के बुनियादी गुण

किसी भी परिमेय संख्या p, q और किसी a>0 और b>0 के लिए निम्नलिखित समानताएँ सत्य हैं:

1. (ए पी)*(ए क्यू) = ए (पी+क्यू) ;

2. (ए पी):(बी क्यू) = ए (पी-क्यू) ;

3. (ए पी) क्यू = ए (पी * क्यू);

4. (ए*बी) पी = (ए पी)*(बी पी);

5. (ए/बी) पी = (ए पी)/(बी पी)।

ये गुण जड़ों के गुणों से उत्पन्न होते हैं। ये सभी गुण एक समान तरीके से सिद्ध होते हैं, इसलिए हम खुद को उनमें से केवल एक को साबित करने तक ही सीमित रखेंगे, उदाहरण के लिए, पहला (ap)*(a q) = a (p + q) ।

मान लीजिए p = m/n, और q = k/l, जहाँ n, l कुछ प्राकृतिक संख्याएँ हैं, और m, k कुछ पूर्णांक हैं। फिर आपको यह साबित करना होगा:

(ए (एम/एन))*(ए (के/एल)) = ए ((एम/एन) + (के/एल)) .

सबसे पहले, आइए भिन्नों m/n k/l को एक सामान्य हर में लाएँ। हमें भिन्न (m*l)/(n*l) और (k*n)/(n*l) मिलते हैं। आइए इन नोटेशन का उपयोग करके समानता के बाईं ओर को फिर से लिखें और प्राप्त करें:

(ए (एम/एन))*(ए (के/एल)) = (ए ((एम*एल)/(एन*एल)))*(ए ((के*एन)/(एन*एल)) ).

(ए (एम/एन))*(ए (के/एल)) = (ए ((एम*एल)/(एन*एल)))*(ए ((के*एन)/(एन*एल)) ) = (n*l)√(a (m*l))*(n*l)√(a (k*n)) = (n*l)√((a (m*l))*(a (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m /n)+(k/l)) .

पाठ संख्या 30 (बीजगणित और बुनियादी विश्लेषण, 11वीं कक्षा)

पाठ विषय: एक तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ डिग्री.

पाठ का उद्देश्य: 1 . डिग्री की अवधारणा का विस्तार करें, तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री की अवधारणा दें; तर्कसंगत घातांक वाली डिग्री को मूल में बदलना और इसके विपरीत करना सिखाएं; तर्कसंगत घातांक के साथ शक्तियों की गणना करें।

2. स्मृति एवं सोच का विकास।

3. गतिविधि का गठन.

"किसी को बाहर निकलने की कोशिश करने दो

गणित की डिग्री से, और वह देखेगा,

कि आप उनके बिना ज़्यादा दूर तक नहीं पहुंच पाएंगे।''एम.वी. लोमोनोसोव

कक्षाओं के दौरान.

I. पाठ के विषय और उद्देश्य का विवरण।

द्वितीय. कवर की गई सामग्री की पुनरावृत्ति और समेकन.

1. अनसुलझे घरेलू उदाहरणों का विश्लेषण।

2. स्वतंत्र कार्य का पर्यवेक्षण:

विकल्प 1।

1. समीकरण हल करें: √(2x – 1) = 3x – 12

2. असमानता को हल करें: √(3x – 2) ≥ 4 – x

विकल्प 2।

1. समीकरण हल करें: 3 – 2x = √(7x + 32)

2. असमानता को हल करें: √(3x + 1) ≥ x – 1

तृतीय. नई सामग्री सीखना.

1 . आइए संख्याओं की अवधारणा के विस्तार को याद करें: N є Z є Q є R।

इसे नीचे दिए गए चित्र द्वारा सर्वोत्तम रूप से दर्शाया गया है:

प्राकृतिक (एन)

शून्य

गैर-नकारात्मक संख्याएँ

नकारात्मक संख्याएँ

भिन्नात्मक संख्याएँ

पूर्णांक (Z)

तर्कहीन

तर्कसंगत (क्यू)

वास्तविक संख्या

2. निचली कक्षाओं में, पूर्णांक घातांक वाली किसी संख्या की घात की अवधारणा को परिभाषित किया गया था। a) घातांक की परिभाषा याद रखें a) प्राकृतिक के साथ, b) ऋणात्मक पूर्णांक के साथ, c) शून्य घातांक के साथ।इस बात पर जोर दें कि अभिव्यक्ति एएन a=0 और n≤0 को छोड़कर, सभी पूर्णांक n और a के किसी भी मान के लिए समझ में आता है।

बी) पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के गुणों की सूची बनाएं।

3. मौखिक कार्य.

1). गणना करें: 1 -5 ; 4 -3 ; (-100 ; (-5)-2 ; (1/2) -4 ; (3/7)-1 .

2). इसे ऋणात्मक घातांक वाली घात के रूप में लिखें:

1/4 5 ;1/21 3 ; 1/x 7 ; 1/ए 9.

3).इकाई: 12 से तुलना करें-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .

4 . अब आपको अभिव्यक्ति 3 का अर्थ समझने की आवश्यकता है 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 वगैरह। ऐसा करने के लिए, डिग्री की अवधारणा को इस तरह सामान्यीकृत करना आवश्यक है कि डिग्री के सभी सूचीबद्ध गुण संतुष्ट हों। समानता पर विचार करें (एएम/एन ) एन = ए एम . फिर, nवें मूल की परिभाषा के अनुसार, यह मान लेना उचित है कि aएम/एन a का nवाँ मूल होगाएम . तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा दी गई है।

5. पाठ्यपुस्तक से उदाहरण 1 और 2 पर विचार करें।

6. आइए हम तर्कसंगत घातांक वाली डिग्री की अवधारणा से संबंधित कई टिप्पणियाँ करें।

नोट 1 : किसी भी a>0 और परिमेय संख्या r के लिए, संख्या aआर >0

नोट 2 : भिन्नों के मूल गुण के अनुसार, किसी भी प्राकृतिक संख्या k के लिए परिमेय संख्या m/n को mk/nk के रूप में लिखा जा सकता है। तबडिग्री का मान परिमेय संख्या लिखने के प्रकार पर निर्भर नहीं करता,चूँकि a mk/nk = = nk √a mk = n √a m = a m/n

नोट 3: जब एक चलिए इसे एक उदाहरण से समझाते हैं. विचार करें (-64) 1/3 = 3 √-64 = -4. दूसरी ओर: 1/3 = 2/6 और फिर (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. हमें एक विरोधाभास मिलता है.