Četiri načina rješavanja problema traženja udaljenosti između linija koje se sijeku. Udaljenost između dviju linija koje se križaju Udaljenost između linija u prostoru

Među ogromnim brojem stereometrijskih zadataka u udžbenicima geometrije, u raznim zbirkama zadataka i udžbenicima za pripremu za fakultete, problemi nalaženja udaljenosti između linija koje se sijeku iznimno su rijetki. Možda je to zbog skučenosti njihove praktične primjene (u odnosu na školski program, za razliku od “pobjedničkih” zadataka za izračunavanje površina i volumena), ali i složenosti ove teme.

Praksa provođenja Jedinstvenog državnog ispita pokazuje da mnogi studenti čak i ne počinju ispunjavati geometrijske zadatke uključene u ispitni rad. Za uspješno rješavanje geometrijskih zadataka većeg stupnja složenosti potrebno je razviti fleksibilnost mišljenja, sposobnost analize predviđene konfiguracije i izdvajanja dijelova u njoj, čije razmatranje omogućuje pronalaženje načina za rješavanje problema. problem.

Školski tečaj uključuje proučavanje četiri načina rješavanja problema pronalaženja udaljenosti između križnih linija. Izbor metode određen je, prije svega, karakteristikama pojedinog zadatka, mogućnostima koje on pruža za izbor, i, drugo, sposobnostima i karakteristikama "prostornog mišljenja" pojedinog učenika. Svaka od ovih metoda omogućuje vam rješavanje najvažnijeg dijela problema - konstruiranje segmenta okomitog na obje križne linije (za računalni dio problema nije potrebna podjela na metode).

Osnovne metode rješavanja zadataka određivanja udaljenosti križnih pravaca

Određivanje duljine zajedničke okomice dvaju kosih pravaca, tj. segment s krajevima na tim linijama i okomit na svaku od tih linija.

Određivanje udaljenosti od jedne od linija koje se sijeku do ravnine paralelne s njom koja prolazi kroz drugu liniju.

Pronalaženje udaljenosti između dviju paralelnih ravnina koje prolaze kroz zadane pravce koji se sijeku.

Određivanje udaljenosti od točke koja je projekcija jednog od križnih pravaca na ravninu okomitu na nju (tzv. "ekran") do projekcije drugog pravca na istu ravninu.

Pokažimo sve četiri metode pomoću sljedeće najjednostavnije zadatak: "U kocki s rubom A nađi udaljenost između bilo kojeg brida i dijagonale plohe koja ga ne siječe." Odgovor: .

Slika 1

h skr je okomita na ravninu bočne plohe koja sadrži dijagonalu d i okomit je na rub, dakle, h skr i je udaljenost između ruba A i dijagonalno d.

Slika 2

Ravnina A je paralelna s bridom i prolazi zadanom dijagonalom, dakle zadanom h skr nije samo udaljenost od brida do ravnine A, već i udaljenost od brida do zadane dijagonale.

Slika 3

Ravnine A i B su paralelne i prolaze kroz dvije zadane ukrivljene ravnine, pa je udaljenost između tih ravnina jednaka udaljenosti između dviju ukrivljenih pravaca.

Slika 4

Ravnina A je okomita na rub kocke. Kada se projicira na A dijagonale d ova dijagonala skreće na jednu od stranica baze kocke. Ovaj h skr je udaljenost između pravca koji sadrži brid i projekcije dijagonale na ravninu C, dakle između pravca koji sadrži brid i dijagonale.

Zaustavimo se detaljnije o primjeni svake metode za poliedre koji se proučavaju u školi.

Primjena prve metode dosta je ograničena: dobro se koristi samo u nekim zadacima, jer je dosta teško odrediti i opravdati u najjednostavnijim zadacima točan, a u složenim zadacima približan položaj zajedničke okomice dviju sijekućih se zadaća. linije. Osim toga, pri pronalaženju duljine ove okomice u složenim problemima može se naići na nepremostive poteškoće.

Zadatak 1. U pravokutnom paralelopipedu s dimenzijama a, b, h pronaći razmak između bočnog brida i dijagonale baze koja se s njim ne siječe.

Slika 5

Neka AHBD. Kako je A 1 A okomit na ravninu ABCD, onda je A 1 A AH.

AH je okomit na obje linije koje se križaju, stoga je udaljenost između pravaca A 1 A i BD. U pravokutnom trokutu ABD, znajući duljine krakova AB i AD, nalazimo visinu AH koristeći formule za izračunavanje površine pravokutnog trokuta. Odgovor:

Zadatak 2. U pravilnoj 4-kutnoj piramidi s bočnim bridom L i bazne strane a pronađite udaljenost između apoteme i stranice baze koja siječe bočnu plohu koja sadrži apotemu.

Slika 6

SHCD je kao apotem, ADCD je kao ABCD je kvadrat. Dakle, DH je udaljenost između pravaca SH i AD. DH je jednaka polovici stranice CD. Odgovor:

Upotreba ove metode također je ograničena zbog činjenice da ako možete brzo konstruirati (ili pronaći gotovu) ravninu koja prolazi kroz jednu od križnih ravnina i paralelna je s drugom ravnom linijom, onda konstruirajte okomicu iz bilo koje točke drugi pravac na ovu ravninu (unutar poliedra) uzrokuje poteškoće. Međutim, u jednostavnim problemima gdje konstruiranje (ili pronalaženje) navedene okomice ne uzrokuje poteškoće, ova metoda je najbrža i najlakša, a time i dostupna.

Problem 2. Rješavanje gornjeg problema ovom metodom ne uzrokuje posebne poteškoće.

Slika 7

Ravnina EFM je paralelna s pravcem AD, budući da je AD || E.F. Pravac MF leži u ovoj ravnini, pa je udaljenost između pravca AD i ravnine EFM jednaka udaljenosti između pravca AD i pravca MF. Napravimo OHAD. OHEF, OHMO, dakle, OH(EFM), dakle, OH je udaljenost između pravca AD i ravnine EFM, a time i razmak između pravca AD i ravnine MF. Nađi OH iz trokuta AOD.

Zadatak 3. U pravokutnom paralelopipedu s dimenzijama a,b I h pronaći udaljenost između bočnog brida i dijagonale paralelopipeda koja se s njim ne siječe.

Slika 8

Pravac AA 1 je paralelan s ravninom BB 1 D 1 D, B 1 D pripada ovoj ravnini, stoga je udaljenost od AA 1 do ravnine BB 1 D 1 D jednaka udaljenosti između pravaca AA 1 i B 1 D. Nosimo van AHBD. Također, AH B 1 B, dakle AH(BB 1 D 1 D), dakle AHB 1 D, tj. AH je tražena udaljenost. Odredite AH iz pravokutnog trokuta ABD.

Odgovor:

Zadatak 4. U pravilnoj šesterokutnoj prizmi A:F 1 s visinom h i bazne strane a nađi udaljenost između linija:

Slika 9 Slika 10

a) AA 1 i ED 1.

Promotrimo ravninu E 1 EDD 1 . A 1 E 1 EE 1 , A 1 E 1 E 1 D 1 , dakle

A 1 E 1 (E 1 EDD 1). Također A 1 E 1 AA 1 . Dakle, A 1 E 1 je udaljenost od pravca AA 1 do ravnine E 1 EDD 1 . ED 1 (E 1 EDD 1), dakle, AE 1 je udaljenost od pravca AA 1 do pravca ED 1. A 1 E 1 nalazimo iz trokuta F 1 A 1 E 1 pomoću kosinusnog teorema. Odgovor:

b) AF i dijagonala BE 1.

Povucimo ravnu liniju FH iz točke F okomitu na BE. EE 1 FH, FHBE, dakle FH(BEE 1 B 1), dakle FH je udaljenost između pravca AF i (BEE 1 B 1), pa prema tome i razmak između pravca AF i dijagonale BE 1. Odgovor:

METODA III

Upotreba ove metode je izuzetno ograničena, budući da je ravninu paralelnu s jednom od pravaca (metoda II) lakše konstruirati nego dvije paralelne ravnine, međutim, metoda III se može koristiti u prizmama ako pravci koji se sijeku pripadaju paralelnim plohama, kao kao iu slučajevima kada je u poliedru lako konstruirati paralelne presjeke koji sadrže zadane pravce.

Zadatak 4.

Slika 11

a) Ravnine BAA 1 B 1 i DEE 1 D 1 su paralelne jer je AB || ED i AA 1 || EE 1. ED 1 DEE 1 D 1, AA 1 (BAA 1 B 1), dakle, udaljenost između ravnih linija AA 1 i ED 1 jednaka je udaljenosti između ravnina BAA 1 B 1 i DEE 1 D 1. A 1 E 1 AA 1 , A 1 E 1 A 1 B 1 , dakle, A 1 E 1 BAA 1 B 1 . Slično dokazujemo da je A 1 E 1 (DEE 1 D 1). Dakle, A 1 E 1 je udaljenost između ravnina BAA 1 B 1 i DEE 1 D 1, a time i između ravnih linija AA 1 i ED 1. A 1 E 1 nalazimo iz trokuta A 1 F 1 E 1 koji je jednakokračan s kutom A 1 F 1 E 1 jednakim . Odgovor:

Slika 12

b) Udaljenost između AF i dijagonale BE 1 nalazi se na sličan način.

Zadatak 5. U kocki s bridom A pronaći udaljenost između dviju dijagonala koje se ne sijeku dvaju susjednih ploha.

Ovaj problem se u nekim udžbenicima smatra klasičnim, ali je u pravilu njegovo rješenje dano metodom IV, ali je sasvim dostupno rješenju metodom III.

Slika 13

Nešto poteškoća u ovom problemu uzrokuje dokaz okomitosti dijagonale A 1 C na obje paralelne ravnine (AB 1 D 1 || BC 1 D). B 1 CBC 1 i BC 1 A 1 B 1, dakle, pravac BC 1 je okomit na ravninu A 1 B 1 C, pa prema tome, BC 1 A 1 C. Također, A 1 CBD. Prema tome, pravac A 1 C okomit je na ravninu BC 1 D. Računski dio zadatka ne predstavlja posebne poteškoće jer h skr= EF nalazi se kao razlika između dijagonale kocke i visina dviju jednakih pravilnih piramida A 1 AB 1 D 1 i CC 1 BD.

METODA IV.

Ova metoda ima prilično široku primjenu. Za zadatke srednje i povećane težine može se smatrati glavnim. Nema potrebe koristiti je samo kada jedna od prethodne tri metode djeluje lakše i brže, jer u takvim slučajevima metoda IV može samo zakomplicirati rješenje problema, odnosno otežati ga. Ova metoda je vrlo korisna za korištenje u slučaju okomitosti linija koje se sijeku, budući da nema potrebe konstruirati projekciju jedne od linija na "zaslon"

L i osnovna strana a.

Slika 16

U ovom i sličnim problemima, metoda IV dovodi do rješenja brže nego druge metode, budući da je nakon konstruiranja presjeka koji ima ulogu "paravana" okomito na AC (trokut BDM), jasno da više nema potrebe konstruirati projekcija druge ravne linije (BM) na ovaj ekran. DH je tražena udaljenost. DH se nalazi iz trokuta MDB pomoću formule za površinu. Odgovor: .

U ovom članku, na primjeru rješavanja problema C2 iz Jedinstvenog državnog ispita, analizira se metoda pronalaženja pomoću koordinatne metode. Podsjetimo se da su ravne linije nagnute ako ne leže u istoj ravnini. Konkretno, ako jedan pravac leži u ravnini, a drugi pravac siječe tu ravninu u točki koja ne leži na prvom pravcu, tada se takvi pravci sijeku (vidi sliku).

Pronaći udaljenosti između križnih linija potrebno:

1. Nacrtaj ravninu kroz jednu od presječnih pravaca koja je paralelna s drugom sjecicom.
2. Spustite okomicu iz bilo koje točke druge crte na rezultirajuću ravninu. Duljina ove okomice bit će traženi razmak između linija.

Analizirajmo ovaj algoritam detaljnije koristeći primjer rješavanja problema C2 iz Jedinstvenog državnog ispita iz matematike.

Udaljenost između linija u prostoru

Zadatak. U jediničnoj kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 pronaći udaljenost između linija B.A. 1 i D.B. 1 .

Riža. 1. Crtež za zadatak

Riješenje. Kroz sredinu dijagonale kocke D.B. 1 (točka O) nacrtati pravac paralelan s pravcem A 1 B. Točke sjecišta ove linije s rubovima prije Krista I A 1 D 1 označava se u skladu s tim N I M. Ravno MN leži u ravnini MNB 1 i paralelna s pravcem A 1 B, koji ne leži u ovoj ravnini. To znači da ravna linija A 1 B paralelno s ravninom MNB 1 na temelju paralelnosti pravca i ravnine (slika 2).

Riža. 2. Potrebna udaljenost između križnih linija jednaka je udaljenosti od bilo koje točke odabrane linije do prikazane ravnine

Sada tražimo udaljenost od neke točke na liniji A 1 B Gornja traka MNB 1 . Ova će udaljenost, prema definiciji, biti potrebna udaljenost između križnih linija.

Za pronalaženje ove udaljenosti koristit ćemo koordinatnu metodu. Uvedimo pravokutni Kartezijev koordinatni sustav tako da se njegovo ishodište podudara s točkom B, osi x bio usmjeren uz rub B.A., os Y- uz rebro prije Krista, os Z- uz rebro BB 1 (slika 3).

Riža. 3. Odaberemo pravokutni Kartezijev koordinatni sustav kao što je prikazano na slici

Nalaženje jednadžbe ravnine MNB 1 u ovom koordinatnom sustavu. Da bismo to učinili, prvo odredimo koordinate točaka M, N I B 1: Dobivene koordinate zamijenimo u opću jednadžbu ravne linije i dobijemo sljedeći sustav jednadžbi:

Iz druge jednadžbe sustava dobivamo iz treće dobivamo nakon čega iz prve dobivamo Dobivene vrijednosti zamijenimo u opću jednadžbu ravne linije:

Napominjemo da inače avion MNB 1 bi prošao kroz ishodište. Podijelimo obje strane ove jednadžbe s i dobit ćemo:

Udaljenost od točke do ravnine određena je formulom.

UDALJENOST IZMEĐU RAVNICA U PROSTORU Udaljenost između dviju pravaca koje se križaju u prostoru je duljina zajedničke okomice povučene na te pravce. Ako jedan od dva pravca koji se sijeku leži u ravnini, a drugi je paralelan s tom ravninom, tada je udaljenost između tih pravaca jednaka udaljenosti između pravca i ravnine. Ako dva pravca koji se sijeku leže u paralelnim ravninama, tada je udaljenost između tih pravaca jednaka udaljenosti između paralelnih ravnina.

Kocka 1 U jediničnoj kocki A…D 1 pronađite udaljenost između pravaca AA 1 i BC. Odgovor: 1.

Kocka 2 U jediničnoj kocki A…D 1 pronađite udaljenost između pravaca AA 1 i CD. Odgovor: 1.

Kocka 3 U jediničnoj kocki A…D 1 pronađite udaljenost između pravaca AA 1 i B 1 C 1. Odgovor: 1.

Kocka 4 U jediničnoj kocki A…D 1 pronađite udaljenost između pravaca AA 1 i C 1 D 1. Odgovor: 1.

Kocka 5 U jediničnoj kocki A…D 1 pronađite udaljenost između pravaca AA 1 i BC 1. Odgovor: 1.

Kocka 6 U jediničnoj kocki A…D 1 pronađite udaljenost između pravaca AA 1 i B 1 C. Odgovor: 1.

Kocka 7 U jediničnoj kocki A…D 1 pronađite udaljenost između pravaca AA 1 i CD 1. Odgovor: 1.

Kocka 8 U jediničnoj kocki A…D 1 pronađite udaljenost između pravaca AA 1 i DC 1. Odgovor: 1.

Kocka 9 U jediničnoj kocki A…D 1 pronađite udaljenost između pravaca AA 1 i CC 1. Odgovor:

Kocka 10 U jediničnoj kocki A…D 1 pronađite udaljenost između pravaca AA 1 i BD. Riješenje. Neka je O središte BD. Tražena udaljenost je duljina odsječka AO. Jednako je odgovoru:

Kocka 11 U jediničnoj kocki A…D 1 pronađite udaljenost između pravaca AA 1 i B 1 D 1. Odgovor:

Kocka 12 U jediničnoj kocki A…D 1 pronađite udaljenost između pravaca AA 1 i BD 1. Rješenje. Neka su P, Q polovišta AA 1, BD 1. Tražena udaljenost je duljina dužine PQ. Jednako je odgovoru:

Kocka 13 U jediničnoj kocki A...D 1 pronađite udaljenost između pravaca AA 1 i BD 1. Odgovor:

Kocka 14 U jediničnoj kocki A…D 1 odredi udaljenost ravnih linija AB 1 i CD 1. Odgovor: 1.

Kocka 15 U jediničnoj kocki A…D 1 pronađite udaljenost između pravaca AB 1 i BC 1. Rješenje. Traženi razmak jednak je razmaku između paralelnih ravnina AB 1 D 1 i BDC 1. Dijagonala A 1 C je okomita na te ravnine iu sjecištima je podijeljena na tri jednaka dijela. Dakle, tražena udaljenost jednaka je duljini odsječka EF i jednaka je Odgovor:

Kocka 16 U jediničnoj kocki A…D 1 pronađite udaljenost između pravaca AB 1 i A 1 C 1. Rješenje je slično prethodnom. Odgovor:

Kocka 17 U jediničnoj kocki A…D 1 pronađite udaljenost između pravaca AB 1 i BD. Rješenje je slično prethodnom. Odgovor:

Kocka 18 U jediničnoj kocki A…D 1 pronađite udaljenost pomoću ravnih linija AB 1 i BD 1. Rješenje. Dijagonala BD 1 okomita je na ravninu jednakostraničnog trokuta ACB 1 i siječe ga u središtu P njemu upisane kružnice. Tražena udaljenost jednaka je polumjeru OP te kružnice. OP = Odgovor:

Piramida 1 U jediničnom tetraedru ABCD odredite udaljenost između pravaca AD i BC. Riješenje. Tražena udaljenost jednaka je duljini segmenta EF, gdje su E, F središta rubova AD, GF. U trokutu DAG DA = 1, AG = DG = Odgovor: Dakle, EF =

Piramida 2 U pravilnoj piramidi SABCD, čiji su svi bridovi jednaki 1, nađite udaljenost između pravaca AB i CD. Odgovor: 1.

Piramida 3 U pravilnoj piramidi SABCD, čiji su svi bridovi jednaki 1, nađite udaljenost između pravaca SA i BD. Riješenje. Tražena udaljenost jednaka je visini OH trokuta SAO, gdje je O polovište BD. U pravokutnom trokutu SAO imamo: SA = 1, AO = SO = Odgovor: Dakle, OH =

Piramida 4 U pravilnoj piramidi SABCD, čiji su svi bridovi jednaki 1, pronađite udaljenost između pravaca SA i BC. Riješenje. Ravnina SAD je paralelna s pravcem BC. Dakle, tražena udaljenost jednaka je udaljenosti između pravca BC i ravnine SAD. Jednaka je visini EH trokuta SEF, gdje su E, F polovišta bridova BC, AD. U trokutu SEF imamo: EF = 1, SE = SF = Visina SO je Dakle, EH = Odgovor:

Piramida 5 U pravilnoj 6. piramidi SABCDEF, čiji su osnovni bridovi jednaki 1, pronađite udaljenost između pravaca AB i DE. Odgovor:

Piramida 6 U pravilnoj 6. piramidi SABCDEF, čiji su bočni bridovi 2, a osnovni bridovi 1, nađite udaljenost između pravaca SA i BC. Rješenje: Produžite bridove BC i AF dok se ne sijeku u točki G. Zajednička okomica na SA i BC bit će visina AH trokuta ABG. Jednako je odgovoru:

Piramida 7 U pravilnoj 6. piramidi SABCDEF, čiji su bočni bridovi 2, a osnovni bridovi 1, nađite udaljenost između pravaca SA i BF. Rješenje: Tražena udaljenost je visina GH trokuta SAG, gdje je G sjecište BF i AD. U trokutu SAG imamo: SA = 2, AG = 0,5, visina SO je jednaka. Stoga nalazimo GH = Odgovor:

Piramida 8 U pravilnoj 6. piramidi SABCDEF, čiji su bočni bridovi jednaki 2, a osnovni bridovi 1, nađite udaljenost između pravaca SA i CE. Rješenje: Tražena udaljenost je visina GH trokuta SAG, gdje je G sjecište CE i AD. U trokutu SAG imamo: SA = 2, AG = , visina SO je jednaka. Stoga nalazimo GH = Odgovor:

Piramida 9 U pravilnoj 6. piramidi SABCDEF, čiji su bočni bridovi 2, a osnovni bridovi 1, nađite udaljenost između pravaca SA i BD. Rješenje: Pravac BD je paralelan s ravninom SAE. Tražena udaljenost jednaka je udaljenosti između pravca BD i te ravnine i jednaka visini PH trokuta SPQ. U ovom trokutu, visina SO je jednaka, PQ = 1, SP = SQ = Odavde nalazimo PH = Odgovor:

Piramida 10 U pravilnoj 6. piramidi SABCDEF, čiji su bočni bridovi 2, a osnovni bridovi 1, nađite udaljenost između ravnih pravaca SA i BG, gdje je G polovište brida SC. Rješenje: Kroz točku G povučemo pravac paralelan sa SA. Označimo s Q točku njegova presjeka s pravcem AC. Tražena udaljenost jednaka je visini QH pravokutnog trokuta ASQ, u kojem je AS = 2, AQ = , SQ = Odavde nalazimo QH = Odgovor: .

Prizma 1. U pravilnoj trokutastoj prizmi ABCA 1 B 1 C 1 kojoj su svi bridovi jednaki 1, pronađite razmak između pravaca: BC i B 1 C 1. Odgovor: 1.

Prizma 2 U pravilnoj trokutastoj prizmi ABCA 1 B 1 C 1, čiji su svi bridovi jednaki 1, pronađite udaljenost između pravaca: AA 1 i BC. Odgovor:

Prizma 3 U pravilnoj trokutastoj prizmi ABCA 1 B 1 C 1, čiji su svi bridovi jednaki 1, nađite udaljenost između pravaca: AA 1 i BC 1. Odgovor:

Prizma 4. U pravilnoj trokutastoj prizmi ABCA 1 B 1 C 1 kojoj su svi bridovi jednaki 1, pronađite razmak između pravaca: AB i A 1 C 1. Odgovor: 1.

Prizma 5 U pravilnoj trokutastoj prizmi ABCA 1 B 1 C 1, čiji su svi bridovi jednaki 1, pronađite razmak između pravaca: AB i A 1 C. Rješenje: Traženi razmak jednak je razmaku između ravnina pravac AB i ravninu A 1 B 1 C. Označimo D i D 1 je polovište bridova AB i A 1 B 1. U pravokutni trokut CDD 1 iz vrha D povučemo visinu DE. Ovo će biti potrebna udaljenost. Imamo, DD 1 = 1, CD = Odgovor: Dakle, DE = , CD 1 = .

Prizma 6 U pravilnoj trokutastoj prizmi ABCA 1 B 1 C 1, čiji su svi bridovi jednaki 1, pronađite udaljenost između pravaca: AB 1 i BC 1. Rješenje: Izgradimo prizmu na 4-kutnu prizmu. Tražena udaljenost bit će jednaka udaljenosti između paralelnih ravnina AB 1 D 1 i BDC 1. Jednaka je visini OH pravokutnog trokuta AOO 1 u kojem je Odgovor. Ova visina je

Prizma 7 U pravilnoj 6. prizmi A…F 1, čiji su bridovi jednaki 1, pronađite udaljenost između pravaca: AB i A 1 B 1. Odgovor: 1.

Prizma 8 U pravilnoj 6. prizmi A...F 1, čiji su bridovi jednaki 1, pronađite razmak između pravaca: AB i B 1 C 1. Odgovor: 1.

Prizma 9 U pravilnoj 6. prizmi A…F 1, čiji su bridovi jednaki 1, pronađite udaljenost između pravaca: AB i C 1 D 1. Odgovor: 1.

Prizma 10 U pravilnoj 6. prizmi A...F 1, čiji su bridovi jednaki 1, odredite udaljenost između pravaca: AB i DE. Odgovor: .

Prizma 11 U pravilnoj 6. prizmi A…F 1, čiji su bridovi jednaki 1, pronađite udaljenost između pravaca: AB i D 1 E 1. Odgovor: 2.

Prizma 12 U pravilnoj 6. prizmi A...F 1, čiji su bridovi jednaki 1, nađite udaljenost između pravaca: AA 1 i CC 1. Odgovor: .

Prizma 13 U pravilnoj 6. prizmi A...F 1, čiji su bridovi jednaki 1, pronađite razmak između pravaca: AA 1 i DD 1. Odgovor: 2.

Prizma 14 U pravilnoj 6. prizmi A...F 1, čiji su bridovi jednaki 1, pronađite razmak između pravaca: AA 1 i B 1 C 1. Rješenje: Produljite stranice B 1 C 1 i A 1 F 1 do sjecišta u točki G. Trokut A 1 B 1 G jednakostraničan. Njegova visina A 1 H je tražena zajednička okomica. Dužina mu je jednaka. Odgovor: .

Prizma 15 U pravilnoj 6. prizmi A...F 1, čiji su bridovi jednaki 1, pronađite razmak između pravaca: AA 1 i C 1 D 1. Rješenje: Tražena zajednička okomica je isječak A 1 C 1. Duljina mu je jednaka. Odgovor: .

Prizma 16 U pravilnoj 6. prizmi A...F 1, čiji su bridovi jednaki 1, nađite razmak između pravaca: AA 1 i BC 1. Rješenje: Traženi razmak je razmak između paralelnih ravnina ADD 1 a BCC 1. Jednako je. Odgovor: .

Prizma 17. U pravilnoj 6. prizmi A...F 1, čiji su bridovi jednaki 1, pronađite udaljenost između pravaca: AA 1 i CD 1. Rješenje: Tražena zajednička okomica je dužina AC. Dužina mu je jednaka. Odgovor: .

Prizma 18 U pravilnoj 6. prizmi A...F 1, čiji su bridovi jednaki 1, pronađite udaljenost između pravaca: AA 1 i DE 1. Rješenje: Tražena zajednička okomica je isječak A 1 E 1. Dužina mu je jednaka. Odgovor: .

Prizma 19 U pravilnoj 6. prizmi A...F 1, čiji su bridovi jednaki 1, odredite udaljenost između pravaca: AA 1 i BD 1. Rješenje: Tražena zajednička okomica je dužina AB. Njegova duljina je 1. Odgovor: 1.

Prizma 20 U pravilnoj 6. prizmi A...F 1, čiji su bridovi jednaki 1, nađite razmak između pravaca: AA 1 i CE 1. Rješenje: Traženi razmak je razmak između pravaca AA. 1 i ravnina CEE 1. Jednaka je. Odgovor: .

Prizma 21. U pravilnoj 6. prizmi A...F 1, čiji su bridovi jednaki 1, pronađite razmak između pravaca: AA 1 i BE 1. Rješenje: Traženi razmak je razmak između pravaca AA. 1 i ravnina BEE 1. Jednaka je. Odgovor: .

Prizma 22 U pravilnoj 6. prizmi A...F 1, čiji su bridovi jednaki 1, nađite razmak između pravaca: AA 1 i CF 1. Rješenje: Traženi razmak je razmak između pravaca AA. 1 i ravnina CFF 1. Jednaka je. Odgovor: .

Prizma 23 U pravilnoj 6. prizmi A...F 1, čiji su bridovi jednaki 1, nađite kut između pravaca: AB 1 i DE 1. Rješenje: Traženi razmak je razmak između paralelnih ravnina ABB 1 i DEE 1. Razmak između njih je jednak. Odgovor: .

Prizma 24 U pravilnoj 6. prizmi A...F 1, čiji su bridovi jednaki 1, nađite kut između pravaca: AB 1 i CF 1. Rješenje: Traženi razmak je razmak između pravaca AB. 1 i ravnina CFF 1. Jednaka je. Odgovor:

Prizma 25 U pravilnoj 6. prizmi A...F 1, čiji su bridovi jednaki 1, nađite udaljenost između pravaca: AB 1 i BC 1. Rješenje: Neka su O, O 1 središta prizme. lica. Ravnine AB 1 O 1 i BC 1 O su paralelne. Ravnina ACC 1 A 1 okomita je na te ravnine. Traženi razmak d jednak je razmaku između pravaca AG 1 i GC 1. U paralelogramu AGC 1 G 1 vrijedi AG = Odgovor: ; AG 1 = Visina povučena na stranicu AA 1 je 1. Prema tome, d= . .

Prizma 26 U pravilnoj 6. prizmi A...F 1, čiji su bridovi jednaki 1, pronađite udaljenost između pravaca: AB 1 i BD 1. Rješenje: Promotrimo ravninu A 1 B 1 HG, okomitu na BD 1. Ortogonalna projekcija na tu ravninu translira pravac BD 1 u točku H, a pravac AB 1 u pravac GB 1. Stoga je tražena udaljenost d jednaka udaljenosti od točke H do pravca GB 1. U pravokutnom trokutu GHB 1 imamo GH = 1; Odgovor: B 1 H = . Stoga je d = .

Prizma 27 U pravilnoj 6. prizmi A...F 1, čiji su bridovi jednaki 1, pronađite udaljenost između pravaca: AB 1 i BE 1. Rješenje: Promotrimo ravninu A 1 BDE 1, okomitu na AB 1 . Ortogonalna projekcija na ovu ravninu translira pravac AB 1 u točku G i ostavlja pravac BE 1 na mjestu. Dakle, tražena udaljenost d jednaka je udaljenosti GH od točke G do pravca BE 1. U pravokutnom trokutu A 1 BE 1 vrijedi A 1 B = ; A 1 E 1 =. Odgovor: Stoga je d = .

“Udaljenost između križnih linija” - Teorem. Pripremni usmeni zadaci. Odredi udaljenost između pravca MN i ravnine AA1D1D. Odredi udaljenost između pravca B1K i ravnine DD1C1C. OK=OO1?OM/O1M =a/3 (prema Pitagorinom teoremu O1M=3/2?2, OM=1/2?2). Dijagonalna ravnina AA1C1C okomita je na pravac BD. Novi položaji točaka B i N bit će točke pravaca AD i BM najbliže jedna drugoj.

“Lekcija Brzina vremenska udaljenost” - Matematičko zagrijavanje. Svrha lekcije: naučiti učenike rješavati probleme gibanja. Udaljenost. Koliko vremena je potrebno da se hoda 30 km stalnom brzinom od 5 km/h? Odnos između brzine, vremena i udaljenosti. Koliko je ljudi otišlo u grad? Zrakoplov preleti udaljenost od grada A do grada B za 1 sat i 20 minuta.

"Brzina vrijeme udaljenost matematika" - Smanjite zbroj brojeva 5 i 65 za 2 puta. Dunno je otišao na mjesec. Putovanje stranicama knjige bajke. Minute tjelesnog odgoja. Jedan je krenuo u 8, a drugi u 10 sati. Sažimajući. Je li Laura u pravu? -Laura je riješila sljedeći zadatak: “500 km. auto će putovati za 10 sati. Vrijeme. Tipka za odgovor "38" otvara knjigu:

“Dijalog izravnim govorom” - Po čemu se izravni govor razlikuje od dijaloga? Na primjer: L.N. Tolstoj je rekao: "Svi mi trebamo jedni druge na svijetu." Grafika izravnog govora. A: "p." Zadatak 3. Zamijenite izravni govor dijalogom. Na primjer: "P?" - A. "P!" - A. Navedite ispravne dijagrame za sljedeće rečenice. Dijaloška grafika. Kako napisati izravni govor i dijalog?

“Rečenice s izravnim govorom” - Petronije, starorimski pisac. Igra "Pronađi pogrešku" (provjeri). Autorove riječi koje uvode direktni govor: Okrenuo sam se i otišao do kuće oca Gerasima. U posjet mi je došao prijatelj sa sela. Rečenice s izravnim govorom. Kreativni zadatak. U pisanju se izravni govor stavlja u navodnike. Čitati!" - uzviknuo je Konstantin Georgijevič Paustovski.

"Udaljenost i skala" - Model atoma u velikom uvećanju. Na karti s mjerilom udaljenost je 5 cm Ako je mjerilo zadano razlomkom s brojnikom 1, tada. Smanjena maketa vatrogasnog vozila. Algoritam za određivanje udaljenosti na terenu: Uz autocestu, duljina rute je 700 km. Dopuni rečenicu: Udaljenost između dva grada je 400 km.