Izrazi potencija (izrazi s potencijama) i njihova transformacija. Potencija s racionalnim eksponentom Primjeri na temu potencija s racionalnim eksponentom

Učiteljica matematike: Nashkenova A.N. Srednja škola Maybalyk Plan lekcije na temu "Eksponent s racionalnim eksponentom"

(algebra, 11. razred)

Ciljevi lekcije:

Proširiti i produbiti znanje učenika o potencijama brojeva; upoznavanje učenika s pojmom stupnja s racionalnim eksponentom i njihovim svojstvima;

Razviti znanja, vještine i sposobnosti za izračunavanje vrijednosti izraza pomoću svojstava;

Nastaviti rad na razvijanju sposobnosti analize, usporedbe, isticanja glavnoga, definiranja i objašnjavanja pojmova;

Razvijati komunikativnu sposobnost, sposobnost obrazlaganja svojih postupaka, njegovati samostalnost i marljivost.

Oprema: udžbenik, kartice s materijalima, prijenosno računalo,prezentacijski materijal Power Point ;

Vrsta lekcije: sat proučavanja i početnog učvršćivanja novih znanja.

Plan učenja:

1.Org. trenutak. - 1 minuta.

2.Motivacija za nastavu.-2 minute

3.Obnavljanje temeljnih znanja. - 5 minuta.

4.Učenje novog gradiva. - 15 minuta.

5. Tjelesna minuta - 1 min.

6.Primarna konsolidacija proučavanog materijala - 10 minuta

7.Samostalan rad. - 7 min.

8.Domaća zadaća. - 2 minute.

9. Refleksija – 1 min.

10. Sažetak lekcije. - 1 minuta.

Tijekom nastave

1. Organizacijski trenutak

Emocionalno raspoloženje za lekciju.

Želim raditi, želim

raditi,
Želim vam uspjeh danas.
Uostalom, u budućnosti je sve za vas

dobro će doći.
I bit će vam lakše u budućnosti

studija(Slajd br. 1)

2.Motivacija za nastavu

Operacije potenciranja i vađenja korijena, kao i četiri aritmetičke operacije, nastale su kao rezultat praktične potrebe. Dakle, zajedno s problemom izračuna površine kvadrata, stranicaA što je poznato, naišao je na inverzni problem: “Koju duljinu treba imati stranica kvadrata da bi njegova površina bila jednakaV. U 14. i 15. stoljeću u zapadnoj Europi pojavljuju se banke koje su prinčevima i trgovcima davale novac na kamate te uz visoke kamate financirale daleka putovanja i osvajanja. Kako bismo vam olakšali izračune složenih kamata, sastavili smo tablice iz kojih ste odmah mogli saznati koliko trebate platiti krozP godine ako je iznos posuđenA PoR % godišnje. Plaćeni iznos izražava se formulom: s = a(1 + ) P Ponekad se novac nije posuđivao na cijeli niz godina, nego na primjer na 2 godine i 6 mjeseci. Ako nakon 2,5 godine iznosA kontakt aq , onda će se u sljedeće 2,5 godine povećati za još jedanq puta i postat će jednakiaq 2 . Nakon 5 godina:a=(1 + 5 , Zato q 2 = (1 + 5 I Sredstva q =

(Slajd 2) .

Tako je nastala ideja o stupnju s razlomačkim eksponentom.

3.Obnavljanje temeljnih znanja.

Pitanja:

1.Što znači unos;A P

2. Što je A ?

3. Što je P ?

4. A -P =?

5. Zapiši u bilježnicu svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom.

6.Koji su brojevi prirodni, cijeli, racionalni? Nacrtajte ih pomoću Eulerovih kružnica.(Slajd 3)

odgovori: 1. Stupanj s cjelobrojnim eksponentom

2. A- baza

3. P- eksponent

4. A -P =

5. Svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom:

a m *a n =a (m+n) ;

a m : a n =a (m-n) ( na a Ne jednak nula );

(a m ) n =a (m*n) ;

(a*b) n =a n *b n ;

(a/b) n = (a n )/(b n ) (na b nije jednako nuli);

a 1 = a;

a 0 = 1 (sa a nije jednako nuli);

Ova svojstva će vrijediti za sve brojeve a, b i bilo koje cijele brojeve m i n.

6.1,2,3, … - pozitivni brojevi – skup prirodnih brojeva –N

0,-1,-2,-3,.. broj O i negativni brojevi – skup cijelih brojeva -Z

N

Eulerove kružnice (slajd 4)

4. Učenje novog gradiva.

Neka bude. A - je nenegativan broj i treba ga podići na razlomačku potenciju . Znate li jednakost (A m ) n = a m n (slajd 4) , tj. pravilo za dizanje potencije na potenciju. U gornjoj jednakosti pretpostavljamo da m = , tada dobivamo: (A ) P = a =a (slajd 4)

Iz ovoga možemo zaključiti da jeA korijen P - ta potencija brojaA , tj. A = . slijedi da (A P ) = P =a (slajd 4).

Stoga A =(a ) m =(a m ) = m . ( slajd 4 ).

Dakle, vrijedi jednakost:A = m (slajd 4)

Definicija: stupanj nenegativnog broja A s racionalnim eksponentom , Gdje - nesvodljivi razlomak, zove se vrijednost n-tog korijena broja A T .

Prema tome, po definiciji A = m (slajd 5)

Pogledajmo primjer 1 : Zapišite stupanj s racionalnim eksponentom u obliku n-tog korijena:

Okrenite pogled udesno

Okrenite pogled ulijevo

Pogledao u strop

Svi su gledali naprijed.

Jednom - savijte - ispravite,

Dva ─ savijanje - istezanje,

Tri-tri pljeska rukama,

Tri klimanja glavom.

Pet i šest tiho sjednite.

I opet na putu! (slajd 9)

6. Primarno učvršćivanje proučavanog materijala:

Stranica 51, br. 90, br. 91 – napravite sami u bilježnicu,

uz provjeru na tabli

7.Samostalan rad

opcija 1

(Slajd 10)

opcija 1

(Slajd 11)

Izvoditi samostalan rad uz međusobnu provjeru.

odgovori:

opcija 1

(Slajd 12)

Dakle, danas smo se u lekciji upoznali s konceptom stupnja s racionalnim eksponentom i naučili ga pisati u obliku korijena, primijeniti osnovna svojstva stupnjeva pri pronalaženju vrijednosti numeričkih izraza.8.Domaća zadaća: br.92,br.93 Informacije o domaćoj zadaći

9. Odraz

(Slajd 13)

10. Sažetak lekcije:

Koje su sličnosti i razlike između stupnja s cijelim eksponentom i stupnja s razlomačkim eksponentom? (sličnost: sva svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom vrijede i za stupanj s racionalnim eksponentom;

razlika: stupnjevi)

Navedite svojstva potencija s racionalnim eksponentima

Današnja lekcija je gotova,
Ne možeš biti prijateljskiji.
Ali svi bi trebali znati:
Znanje, upornost, rad
Oni će dovesti do napretka u životu.
Hvala vam na lekciji! (slajd 14)

Video lekcija "Eksponent s racionalnim eksponentom" sadrži vizualni obrazovni materijal za podučavanje lekcije na ovu temu. Video lekcija sadrži informacije o konceptu stupnja s racionalnim eksponentom, svojstvima takvih stupnjeva, kao i primjere koji opisuju korištenje obrazovnog materijala za rješavanje praktičnih problema. Svrha ove video lekcije je jasno i pregledno predstaviti nastavni materijal, olakšati učenicima njegovo razvijanje i pamćenje te razviti sposobnost rješavanja problema pomoću naučenih pojmova.

Glavne prednosti video lekcije su mogućnost vizualnog izvođenja transformacija i izračuna, mogućnost korištenja animacijskih efekata za poboljšanje učinkovitosti učenja. Glasovna pratnja pomaže u razvoju ispravnog matematičkog govora, a također omogućuje zamjenu učiteljevog objašnjenja, oslobađajući ga za obavljanje samostalnog rada.

Video lekcija počinje predstavljanjem teme. Prilikom povezivanja proučavanja nove teme s prethodno proučavanim materijalom, preporučuje se zapamtiti da se n √a inače označava s 1/n za prirodni n i pozitivno a. Ovaj n-korijenski prikaz je prikazan na ekranu. Zatim predlažemo da razmotrimo što znači izraz a m/n, u kojem je a pozitivan broj, a m/n neki razlomak. Dana je definicija stupnja s racionalnim eksponentom kao m/n = n √a m, označena u okviru. Napominje se da n može biti prirodan broj, a m može biti cijeli broj.

Nakon definiranja stupnja s racionalnim eksponentom, njegovo značenje se otkriva kroz primjere: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Također pokazuje primjer u kojem se potencija predstavljena decimalom pretvara u razlomak koji se predstavlja kao korijen: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 i primjer s negativnom potencijom: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

Osobitost posebnog slučaja kada je baza stupnja nula posebno je naznačena. Napominje se da ovaj stupanj ima smisla samo s pozitivnim razlomačkim eksponentom. U ovom slučaju, njegova vrijednost je nula: 0 m/n =0.

Napominje se još jedna značajka stupnja s racionalnim eksponentom - da se stupanj s razlomačkim eksponentom ne može smatrati s razlomačkim eksponentom. Navedeni su primjeri netočnog zapisivanja stupnjeva: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Zatim u video lekciji raspravljamo o svojstvima stupnja s racionalnim eksponentom. Napominje se da će svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom vrijediti i za stupanj s racionalnim eksponentom. Predlaže se podsjetiti na popis svojstava koja također vrijede u ovom slučaju:

1. Pri množenju potencija s istim bazama njihovi se eksponenti zbrajaju: a p a q =a p+q.
2. Podjela stupnjeva s istim bazama svodi se na stupanj sa zadanom bazom i razlikom u eksponentima: a p:a q =a p-q.
3. Podignemo li stupanj na određenu potenciju, tada ćemo dobiti stupanj sa zadanom bazom i umnoškom eksponenata: (a p) q =a pq.

Sva ova svojstva vrijede za potencije s racionalnim eksponentima p, q i pozitivnom bazom a>0. Također, transformacije stupnjeva pri otvaranju zagrada ostaju istinite:

1. (ab) p =a p b p - dizanjem na neku potenciju s racionalnim eksponentom umnožak dvaju brojeva svodi se na umnožak brojeva od kojih je svaki podignut na zadanu potenciju.
2. (a/b) p =a p /b p - dizanje razlomka na potenciju s racionalnim eksponentom svodi se na razlomak čiji su brojnik i nazivnik podignuti na zadanu potenciju.

Video tutorial govori o rješavanju primjera koji koriste razmatrana svojstva potencija s racionalnim eksponentom. Prvi primjer od vas traži da pronađete vrijednost izraza koji sadrži varijable x u razlomku: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Unatoč složenosti izraza, korištenjem svojstava potencije može se riješiti prilično jednostavno. Rješavanje problema počinje pojednostavljivanjem izraza, koji koristi pravilo podizanja potencije s racionalnim eksponentom na potenciju, kao i množenje potencija s istom bazom. Nakon zamjene zadane vrijednosti x=8 u pojednostavljeni izraz x 1/3 +48, ​​lako je dobiti vrijednost - 50.

U drugom primjeru trebate smanjiti razlomak čiji brojnik i nazivnik sadrže potencije s racionalnim eksponentom. Koristeći svojstva stupnja, izdvajamo iz razlike faktor x 1/3, koji se zatim smanjuje u brojniku i nazivniku, a pomoću formule za razliku kvadrata, brojnik se faktorizira, što daje daljnja smanjenja identičnih faktori u brojniku i nazivniku. Rezultat takvih transformacija je kratki razlomak x 1/4 +3.

Video lekcija "Eksponent s racionalnim eksponentom" može se koristiti umjesto da nastavnik objašnjava novu temu lekcije. Ovaj priručnik također sadrži dovoljno potpune podatke za samostalno učenje učenika. Materijal također može biti koristan za učenje na daljinu.

Izrazi, pretvorba izraza

Izrazi potencija (izrazi s potencijama) i njihova transformacija

U ovom ćemo članku govoriti o pretvaranju izraza s potencijama. Prvo ćemo se usredotočiti na transformacije koje se izvode s izrazima bilo koje vrste, uključujući izraze snage, kao što je otvaranje zagrada i donošenje sličnih izraza. Zatim ćemo analizirati transformacije svojstvene posebno izrazima sa stupnjevima: rad s bazom i eksponentom, korištenje svojstava stupnjeva itd.

Navigacija po stranici.

Što su izrazi moći?

Pojam "izrazi snage" praktički se ne pojavljuje u školskim udžbenicima matematike, ali se često pojavljuje u zbirkama zadataka, posebno onih namijenjenih pripremi za Jedinstveni državni ispit i Jedinstveni državni ispit, na primjer. Nakon analize zadataka u kojima je potrebno izvršiti bilo kakve radnje s izrazima za potencije, postaje jasno da se izrazi za potencije podrazumijevaju kao izrazi koji u svojim natuknicama sadrže potencije. Stoga za sebe možete prihvatiti sljedeću definiciju:

Definicija.

Izrazi moći su izrazi koji sadrže potencije.

Dajmo primjeri izraza snage. Štoviše, prikazat ćemo ih prema tome kako se odvija razvoj pogleda na stupanj s prirodnim eksponentom na stupanj s pravim eksponentom.

Kao što je poznato, u ovoj fazi se najprije upoznaje potencija broja s prirodnim eksponentom, prvi najjednostavniji potencijski izrazi tipa 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1); 4, 3 a 2 pojavljuju se −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 itd.

Nešto kasnije proučava se potencija broja s cijelim eksponentom, što dovodi do pojave potencijskih izraza s negativnim cijelim potencijama, poput sljedećih: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

U srednjoj školi vraćaju se na diplome. Tu se uvodi stupanj s racionalnim eksponentom, što za sobom povlači pojavu odgovarajućih izraza za potenciju: , , i tako dalje. Konačno, razmatraju se stupnjevi s iracionalnim eksponentima i izrazi koji ih sadrže: , .

Stvar nije ograničena na navedene izraze potencije: dalje varijabla prodire u eksponent, pa nastaju npr. sljedeći izrazi: 2 x 2 +1 ili . A nakon upoznavanja s , počinju se pojavljivati ​​izrazi s potencijama i logaritmima, npr. x 2·lgx −5·x lgx.

Dakle, bavili smo se pitanjem što izrazi moći predstavljaju. Zatim ćemo ih naučiti pretvoriti.

Glavne vrste transformacija potencijskih izraza

S izrazima snage možete izvesti bilo koju od osnovnih transformacija identiteta izraza. Na primjer, možete otvoriti zagrade, zamijeniti numeričke izraze njihovim vrijednostima, dodati slične pojmove itd. Naravno, u ovom slučaju potrebno je slijediti prihvaćeni postupak za izvođenje radnji. Navedimo primjere.

Primjer.

Izračunajte vrijednost izraza za potenciju 2 3 ·(4 2 −12) .

Riješenje.

Prema redoslijedu izvođenja radnji prvo izvršite radnje u zagradi. Tu, prvo, zamjenjujemo potenciju 4 2 s njegovom vrijednošću 16 (ako je potrebno, vidi), i drugo, izračunavamo razliku 16−12=4. Imamo 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

U dobivenom izrazu potenciju 2 3 zamijenimo njegovom vrijednošću 8, nakon čega izračunamo umnožak 8·4=32. Ovo je željena vrijednost.

Tako, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Odgovor:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Primjer.

Pojednostavite izraze s potencijama 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Riješenje.

Očito, ovaj izraz sadrži slične članove 3·a 4 ·b −7 i 2·a 4 ·b −7 , a možemo ih prikazati: .

Odgovor:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Primjer.

Izrazite izraz s moćima kao proizvod.

Riješenje.

Zadatak možete riješiti tako da broj 9 predstavite kao potenciju broja 3 2, a zatim upotrijebite formulu za skraćeno množenje - razlika kvadrata:

Odgovor:

Također postoji niz identičnih transformacija svojstvenih posebno izrazima moći. Analizirat ćemo ih dalje.

Rad s bazom i eksponentom

Postoje potencije čija baza i/ili eksponent nisu samo brojevi ili varijable, već neki izrazi. Kao primjer dajemo unose (2+0,3·7) 5−3,7 i (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Kada radite s takvim izrazima, možete zamijeniti i izraz u bazi stupnja i izraz u eksponentu s identično jednakim izrazom u ODZ njegovih varijabli. Drugim riječima, prema nama poznatim pravilima, možemo zasebno transformirati bazu stupnja, a posebno eksponent. Jasno je da će se kao rezultat ove transformacije dobiti izraz koji je identično jednak izvornom.

Takve nam transformacije omogućuju pojednostavljenje izraza s moćima ili postizanje drugih ciljeva koji su nam potrebni. Na primjer, u gore spomenutom izrazu za potenciju (2+0,3 7) 5−3,7, možete izvoditi operacije s brojevima u bazi i eksponentu, što će vam omogućiti prijelaz na potenciju 4,1 1,3. I nakon otvaranja zagrada i dovođenja sličnih članova na bazu stupnja (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), dobivamo izraz snage jednostavnijeg oblika a 2·(x+ 1) .

Korištenje svojstava stupnja

Jedan od glavnih alata za transformaciju izraza s potencijama su jednakosti koje odražavaju . Podsjetimo se na one glavne. Za bilo koje pozitivne brojeve a i b i proizvoljne realne brojeve r i s vrijede sljedeća svojstva potencija:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Imajte na umu da za prirodne, cijele i pozitivne eksponente ograničenja za brojeve a i b možda neće biti tako stroga. Na primjer, za prirodne brojeve m i n jednakost a m ·a n =a m+n vrijedi ne samo za pozitivno a, već i za negativno a, te za a=0.

U školi, pri transformaciji izraza moći, glavni fokus je na sposobnosti odabira odgovarajućeg svojstva i njegove pravilne primjene. U tom su slučaju baze stupnjeva obično pozitivne, što omogućuje korištenje svojstava stupnjeva bez ograničenja. Isto vrijedi i za transformaciju izraza koji sadrže varijable u bazama ovlasti - raspon dopuštenih vrijednosti varijabli obično je takav da baze na njemu uzimaju samo pozitivne vrijednosti, što vam omogućuje slobodno korištenje svojstava ovlasti. . Općenito, trebate se stalno pitati je li moguće koristiti bilo koje svojstvo stupnjeva u ovom slučaju, jer netočna uporaba svojstava može dovesti do sužavanja obrazovne vrijednosti i drugih nevolja. O tim točkama raspravlja se detaljno i s primjerima u članku transformacija izraza pomoću svojstava potencije. Ovdje ćemo se ograničiti na razmatranje nekoliko jednostavnih primjera.

Primjer.

Izrazi a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 kao potenciju s bazom a.

Riješenje.

Prvo transformiramo drugi faktor (a 2) −3 koristeći svojstvo podizanja potencije na potenciju: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Izvorni izraz snage će imati oblik a 2,5 ·a −6:a −5,5. Očito, preostaje koristiti svojstva množenja i dijeljenja potencija s istom bazom, koju imamo
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Odgovor:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Svojstva potencija pri transformaciji izraza potencija koriste se i slijeva na desno i s desna na lijevo.

Primjer.

Pronađite vrijednost izraza za potenciju.

Riješenje.

Jednakost (a·b) r =a r ·b r, primijenjena s desna na lijevo, omogućuje nam prijelaz s izvornog izraza na proizvod oblika i dalje. A kada se potencije množe s istim bazama, eksponenti se zbrajaju: .

Bilo je moguće transformirati izvorni izraz na drugi način:

Odgovor:

.

Primjer.

Zadan je izraz snage a 1,5 −a 0,5 −6, uvedite novu varijablu t=a 0,5.

Riješenje.

Stupanj a 1,5 može se predstaviti kao 0,5 3 i zatim, na temelju svojstva stupnja na stupanj (a r) s =a r s, primijenjeno s desna na lijevo, transformirati ga u oblik (a 0,5) 3. Tako, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Sada je lako uvesti novu varijablu t=a 0,5, dobivamo t 3 −t−6.

Odgovor:

t 3 −t−6 .

Pretvaranje razlomaka koji sadrže potencije

Izrazi potencije mogu sadržavati ili predstavljati razlomke s potencijama. Sve osnovne transformacije razlomaka koje su svojstvene razlomcima bilo koje vrste u potpunosti su primjenjive na takve razlomke. To jest, razlomci koji sadrže potencije mogu se reducirati, svesti na novi nazivnik, raditi odvojeno s njihovim brojnikom i zasebno s nazivnikom, itd. Kako bismo ilustrirali ove riječi, razmotrite rješenja nekoliko primjera.

Primjer.

Pojednostavite izraz snage .

Riješenje.

Ovaj izraz snage je razlomak. Radimo s njegovim brojnikom i nazivnikom. U brojniku otvaramo zagrade i pojednostavljujemo dobiveni izraz koristeći svojstva potencija, a u nazivniku prikazujemo slične članove:

I također promijenimo predznak nazivnika stavljanjem minusa ispred razlomka: .

Odgovor:

.

Svođenje razlomaka koji sadrže potencije na novi nazivnik provodi se slično svođenju racionalnih razlomaka na novi nazivnik. U ovom slučaju se također nalazi dodatni faktor i njime se množe brojnik i nazivnik razlomka. Prilikom izvođenja ove radnje, vrijedi zapamtiti da smanjenje na novi nazivnik može dovesti do sužavanja ODZ-a. Da se to ne dogodi, potrebno je da dodatni faktor ne ide na nulu ni za jednu vrijednost varijabli iz ODZ varijabli za izvorni izraz.

Primjer.

Svedi razlomke na novi nazivnik: a) na nazivnik a, b) na nazivnik.

Riješenje.

a) U ovom slučaju vrlo je lako otkriti koji dodatni množitelj pomaže u postizanju željenog rezultata. Ovo je množitelj od 0,3, budući da je 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Imajte na umu da u rasponu dopuštenih vrijednosti varijable a (ovo je skup svih pozitivnih realnih brojeva), snaga a 0,3 ne nestaje, stoga imamo pravo pomnožiti brojnik i nazivnik zadanog razlomak ovim dodatnim faktorom:

b) Ako bolje pogledate nazivnik, ustanovit ćete da

i množenjem ovog izraza s dat će se zbroj kubova i , odnosno . A ovo je novi nazivnik na koji trebamo svesti izvorni razlomak.

Tako smo pronašli dodatni faktor. U rasponu dopuštenih vrijednosti varijabli x i y, izraz ne nestaje, stoga možemo pomnožiti brojnik i nazivnik razlomka s njim:

Odgovor:

A) , b) .

Također nema ništa novo u smanjivanju razlomaka s potencijama: brojnik i nazivnik predstavljeni su kao brojni faktori, a isti faktori brojnika i nazivnika su reducirani.

Primjer.

Smanjite razlomak: a) , b) .

Riješenje.

a) Prvo, brojnik i nazivnik mogu se smanjiti brojevima 30 i 45, što je jednako 15. Također je očito moguće izvesti smanjenje za x 0,5 +1 i za . Evo što imamo:

b) U ovom slučaju identični faktori u brojniku i nazivniku nisu odmah vidljivi. Da biste ih dobili, morat ćete izvršiti preliminarne transformacije. U ovom slučaju, oni se sastoje u rastavljanju nazivnika pomoću formule razlike kvadrata:

Odgovor:

A)

b) .

Pretvaranje razlomaka u novi nazivnik i smanjivanje razlomaka uglavnom se koriste za rad s razlomcima. Radnje se izvode prema poznatim pravilima. Pri zbrajanju (oduzimanju) razlomci se svode na zajednički nazivnik, nakon čega se brojnici zbrajaju (oduzimaju), ali nazivnik ostaje isti. Rezultat je razlomak čiji je brojnik umnožak brojnika, a nazivnik umnožak nazivnika. Dijeljenje razlomkom je množenje njegovim inverzom.

Primjer.

Prati korake .

Riješenje.

Prvo oduzimamo razlomke u zagradama. Da bismo to učinili, dovodimo ih pod zajednički nazivnik, a to je , nakon čega oduzimamo brojnike:

Sada množimo razlomke:

Očito je moguće smanjiti za potenciju x 1/2, nakon čega imamo .

Također možete pojednostaviti izraz snage u nazivniku pomoću formule razlike kvadrata: .

Odgovor:

Primjer.

Pojednostavite Power Expression .

Riješenje.

Očito, ovaj razlomak se može smanjiti za (x 2,7 +1) 2, što daje razlomak . Jasno je da s ovlastima X-a treba učiniti još nešto. Da bismo to učinili, transformiramo dobiveni razlomak u proizvod. To nam daje mogućnost da iskoristimo svojstvo dijeljenja potencija s istim bazama: . I na kraju procesa prelazimo sa zadnjeg proizvoda na razlomak.

Odgovor:

.

Dodajmo i to da je moguće, au mnogim slučajevima i poželjno, faktore s negativnim eksponentima prenijeti iz brojnika u nazivnik ili iz nazivnika u brojnik, mijenjajući predznak eksponenta. Takve transformacije često pojednostavljuju daljnje radnje. Na primjer, izraz snage može se zamijeniti sa .

Pretvaranje izraza s korijenima i potencijama

Često, u izrazima u kojima su potrebne neke transformacije, uz potencije su prisutni i korijeni s razlomačkim eksponentima. Da bi se takav izraz transformirao u željeni oblik, u većini slučajeva dovoljno je ići samo na korijene ili samo na potencije. Ali budući da je prikladnije raditi s moćima, obično se kreću od korijena do moći. Međutim, preporučljivo je provesti takav prijelaz kada vam ODZ varijabli za izvorni izraz omogućuje zamjenu korijena s ovlastima bez potrebe za pozivanjem na modul ili dijeljenjem ODZ-a u nekoliko intervala (o tome smo detaljno raspravljali u članak prijelaz s korijena na potencije i natrag Nakon upoznavanja sa stupnjem s racionalnim eksponentom uvodi se stupanj s iracionalnim eksponentom, što nam omogućuje da govorimo o stupnju s proizvoljnim realnim eksponentom U ovoj fazi počinje biti učio u školi. eksponencijalna funkcija, koji je analitički dan potencijom čija je baza broj, a eksponent varijabla. Dakle, suočeni smo s izrazima potencije koji u bazi potencije sadrže brojeve, au eksponentu - izraze s varijablama, te se prirodno javlja potreba za izvođenjem transformacija takvih izraza.

Treba reći da se transformacija izraza navedenog tipa obično mora izvršiti prilikom rješavanja eksponencijalne jednadžbe I eksponencijalne nejednakosti, a ove pretvorbe su prilično jednostavne. U velikoj većini slučajeva oni se temelje na svojstvima stupnja i uglavnom su usmjereni na uvođenje nove varijable u budućnosti. Jednadžba će nam omogućiti da ih demonstriramo 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Najprije se potencije u čijim eksponentima nalazi zbroj određene varijable (ili izraza s varijablama) i broja zamjenjuju umnošcima. Ovo se odnosi na prvi i zadnji član izraza na lijevoj strani:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Zatim se obje strane jednakosti dijele s izrazom 7 2 x, koji uzima samo pozitivne vrijednosti na ODZ varijable x za izvornu jednadžbu (ovo je standardna tehnika za rješavanje jednadžbi ovog tipa, nismo sada govorimo o tome, stoga se usredotočite na naknadne transformacije izraza s ovlastima ):

Sada možemo poništiti razlomke s potencijama, što daje .

Konačno, omjer potencija s istim eksponentima zamijenjen je potencijama odnosa, što rezultira jednadžbom , što je ekvivalentno . Provedene transformacije omogućuju nam uvođenje nove varijable, koja rješenje izvorne eksponencijalne jednadžbe svodi na rješenje kvadratne jednadžbe

Izraz a n (potencija s cjelobrojnim eksponentom) bit će definiran u svim slučajevima, osim u slučaju kada je a = 0 i n manji ili jednak nuli.

Svojstva stupnjeva

Osnovna svojstva stupnjeva s cjelobrojnim eksponentom:

a m *a n = a (m+n) ;

a m: a n = a (m-n) (sa a nije jednako nuli);

(a m) n = a (m*n) ;

(a*b) n = a n *b n ;

(a/b) n = (a n)/(b n) (sa b nije jednako nuli);

a 0 = 1 (sa a nije jednako nuli);

Ova svojstva će vrijediti za sve brojeve a, b i bilo koje cijele brojeve m i n. Također je vrijedno napomenuti sljedeće svojstvo:

Ako je m>n, tada je a m > a n, za a>1 i a m

Koncept potencije broja možemo generalizirati na slučajeve u kojima racionalni brojevi djeluju kao eksponent. Pritom bih volio da su ispunjena sva navedena svojstva ili barem neka od njih.

Na primjer, ako je svojstvo (a m) n = a (m*n) zadovoljeno, vrijedila bi sljedeća jednakost:

(a (m/n)) n = a m .

Ova jednakost znači da broj a (m/n) mora biti n-ti korijen broja a m.

Potencija nekog broja a (većeg od nule) s racionalnim eksponentom r = (m/n), gdje je m neki cijeli broj, n neki prirodni broj veći od jedan, je broj n√(a m). Na temelju definicije: a (m/n) = n√(a m).

Za sve pozitivne r odredit će se potencija nule. Po definiciji, 0 r = 0. Također primijetite da za bilo koji cijeli broj, svaki prirodni m i n, i pozitivan A vrijedi jednakost: a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .

Na primjer: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12).

Iz definicije stupnja s racionalnim eksponentom izravno slijedi da će za svaki pozitivni a i bilo koji racionalni r broj a r biti pozitivan.

Osnovna svojstva stepena s racionalnim eksponentom

Za sve racionalne brojeve p, q i bilo koje a>0 i b>0 vrijede sljedeće jednakosti:

1. (a p)*(a q) = a (p+q) ;

2. (a p): (b q) = a (p-q) ;

3. (a p) q = a (p*q) ;

4. (a*b) p = (a p)*(b p);

5. (a/b) p = (a p)/(b p).

Ta svojstva slijede iz svojstava korijena. Sva se ova svojstva dokazuju na sličan način, pa ćemo se ograničiti na dokazivanje samo jednog od njih, npr. prvog (a p)*(a q) = a (p + q) .

Neka je p = m/n i q = k/l, gdje su n, l neki prirodni brojevi, a m, k neki cijeli brojevi. Zatim morate dokazati da:

(a (m/n))*(a (k/l)) = a ((m/n) + (k/l)) .

Prvo, dovedimo razlomke m/n k/l na zajednički nazivnik. Dobivamo razlomke (m*l)/(n*l) i (k*n)/(n*l). Prepišimo lijevu stranu jednakosti koristeći ove oznake i dobijemo:

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ).

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ) = (n*l)√(a (m*l))*(n*l)√(a (k*n)) = (n*l)√((a (m*l))*(a (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m /n)+(k/l)) .

Lekcija br. 30 (Algebra i osnove analize, 11. razred)

Tema lekcije: Stupanj s racionalnim eksponentom.

Cilj lekcije: 1 . Proširiti pojam stupnja, dati pojam stupnja s racionalnim eksponentom; naučiti pretvarati stupanj s racionalnim eksponentom u korijen i obrnuto; izračunati potencije s racionalnim eksponentom.

2. Razvoj pamćenja i mišljenja.

3. Formiranje aktivnosti.

“Neka netko pokuša precrtati

iz matematike, i on će vidjeti,

Da nećeš daleko stići bez njih.” M.V. Lomonosov

Tijekom nastave.

I. Izjava teme i svrhe lekcije.

II. Ponavljanje i učvršćivanje pređenog gradiva.

1. Analiza neriješenih domaćih primjera.

2. Nadzor samostalnog rada:

Opcija 1.

1. Riješite jednadžbu: √(2x – 1) = 3x – 12

2. Riješite nejednadžbu: √(3x – 2) ≥ 4 – x

opcija 2.

1. Riješite jednadžbu: 3 – 2x = √(7x + 32)

2. Riješite nejednadžbu: √(3x + 1) ≥ x – 1

III. Učenje novog gradiva.

1 . Prisjetimo se proširenja pojma brojeva: N ê Z ê Q ê R.

To je najbolje prikazano dijagramom u nastavku:

Prirodno (N)

Nula

Nenegativni brojevi

Negativni brojevi

Razlomački brojevi

Cijeli brojevi (Z)

Iracionalno

Racionalno (Q)

Realni brojevi

2. U nižim razredima definiran je pojam potencije broja s cjelobrojnim eksponentom. a) Prisjetite se definicije eksponenta a) s prirodnim, b) s negativnim cijelim brojem, c) s nultim eksponentom.Naglasite da izraz a n ima smisla za sve cijele brojeve n i bilo koje vrijednosti od a, osim a=0 i n≤0.

b) Navedite svojstva stupnjeva s cjelobrojnim eksponentom.

3. Usmeni rad.

1). Izračunaj: 1 -5 ; 4 -3 ; (-100 ; (-5) -2; (1/2) -4; (3/7) -1 .

2). Zapiši to kao potenciju s negativnim eksponentom:

1/4 5 ;1/21 3 ; 1/x 7; 1/a 9.

3).Usporedi s jedinicom: 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .

4 . Sada morate razumjeti značenje izraza 3 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 itd. Za to je potrebno generalizirati pojam stupnja na način da sva navedena svojstva stupnjeva budu zadovoljena. Razmotrite jednakost (a m/n ) n = a m . Tada je, prema definiciji n-tog korijena, razumno pretpostaviti da je a m/n bit će n-ti korijen od a m . Dana je definicija stupnja s racionalnim eksponentom.

5. Razmotrite primjere 1 i 2 iz udžbenika.

6. Napravimo nekoliko komentara vezanih uz pojam stupnja s racionalnim eksponentom.

Napomena 1 : Za bilo koji a>0 i racionalni broj r, broj a r >0

Napomena 2 : Prema osnovnom svojstvu razlomaka, racionalni broj m/n može se napisati kao mk/nk za svaki prirodni broj k. Zatimvrijednost stupnja ne ovisi o obliku zapisa racionalnog broja, budući da je a mk/nk = = nk √a mk = n √a m = a m/n

Napomena 3: Kad Objasnimo to na primjeru. Razmotriti (-64) 1/3 = 3 √-64 = -4. S druge strane: 1/3 = 2/6 i zatim (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. Dobivamo kontradikciju.