Таслагдсан пирамидын томъёоны эзэлхүүн. Пирамид
Пирамид. Таслагдсан пирамид
Пирамидолон өнцөгт, нэг нүүр нь олон өнцөгт ( суурь ), бусад бүх нүүр нь нийтлэг оройтой гурвалжин ( хажуугийн нүүрнүүд ) (Зураг 15). Пирамид гэж нэрлэдэг зөв , хэрэв түүний суурь нь ердийн олон өнцөгт бөгөөд пирамидын орой нь суурийн төв рүү чиглэсэн байвал (Зураг 16). Бүх ирмэгүүд нь тэнцүү гурвалжин пирамид гэж нэрлэгддэг тетраэдр .
Хажуугийн хавиргаПирамидын хажуугийн нүүр нь сууринд хамаарахгүй тал юм Өндөр пирамид нь түүний оройноос суурийн хавтгай хүртэлх зай юм. Ердийн пирамидын бүх хажуугийн ирмэгүүд нь хоорондоо тэнцүү, хажуугийн бүх нүүр нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Оройноос зурсан ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн өндрийг гэнэ апотем . Диагональ хэсэг нэг нүүрэнд хамаарахгүй хоёр хажуугийн ирмэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайгаар пирамидын зүсэлт гэж нэрлэдэг.
Хажуугийн гадаргуугийн талбайпирамид нь бүх хажуугийн нүүрний талбайн нийлбэр юм. Нийт гадаргуугийн талбай бүх хажуугийн нүүр ба суурийн талбайн нийлбэр гэж нэрлэдэг.
Теоремууд
1. Хэрэв пирамидын бүх хажуугийн ирмэгүүд нь суурийн хавтгайд адилхан налуу байвал пирамидын дээд хэсэг нь суурийн ойролцоо хүрээлэгдсэн тойргийн төв рүү чиглэсэн байна.
2. Хэрэв пирамидын бүх хажуугийн ирмэгүүд ижил урттай бол пирамидын орой нь суурийн ойролцоо хүрээлэгдсэн тойргийн төв рүү чиглэсэн байна.
3. Хэрэв пирамидын бүх нүүр нь суурийн хавтгайд тэгш налуу байвал пирамидын орой нь сууринд сийлсэн тойргийн төв рүү тусна.
Дурын пирамидын эзлэхүүнийг тооцоолохын тулд зөв томьёо нь:
Хаана В- эзлэхүүн;
S суурь- суурь талбай;
Х- пирамидын өндөр.
Энгийн пирамидын хувьд дараах томъёолол зөв байна.
Хаана х- суурийн периметр;
h a- үг хэллэг;
Х- өндөр;
S дүүрэн
S тал
S суурь- суурь талбай;
В- ердийн пирамидын эзэлхүүн.
Таслагдсан пирамидПирамидын суурь ба пирамидын суурьтай параллель огтлох хавтгай хоёрын хооронд хаагдсан хэсгийг гэж нэрлэдэг (Зураг 17). Тогтмол таслагдсан пирамид энгийн пирамидын суурь ба пирамидын суурьтай параллель огтлох хавтгайн хооронд бэхлэгдсэн хэсгийг гэнэ.
Үндэслэлтаслагдсан пирамид - ижил төстэй олон өнцөгтүүд. Хажуугийн нүүр - трапецууд. Өндөр Таслагдсан пирамидын хэмжээ нь түүний суурийн хоорондох зай юм. Диагональ Таслагдсан пирамид нь нэг нүүрэн дээр байрладаггүй оройг нь холбосон сегмент юм. Диагональ хэсэг нь нэг нүүрэнд хамаарахгүй хоёр хажуугийн ирмэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайгаар таслагдсан пирамидын хэсэг юм.
Таслагдсан пирамидын хувьд дараах томъёонууд хүчинтэй байна.
(4)
Хаана С 1 , С 2 - дээд ба доод суурийн хэсгүүд;
S дүүрэн- нийт гадаргуугийн талбай;
S тал- хажуугийн гадаргуугийн талбай;
Х- өндөр;
В– таслагдсан пирамидын эзэлхүүн.
Энгийн тайрсан пирамидын хувьд томъёо зөв байна:
Хаана х 1 , х 2 - суурийн периметр;
h a– ердийн тайрсан пирамидын үг.
Жишээ 1.Ердийн гурвалжин пирамид дээр суурийн хоёр талт өнцөг нь 60º байна. Суурийн хавтгайд хажуугийн ирмэгийн налуу өнцгийн тангенсыг ол.
Шийдэл.Зураг зурцгаая (Зураг 18).
 |
Пирамид нь тогтмол бөгөөд энэ нь суурь дээр тэгш талт гурвалжин, бүх хажуугийн нүүр нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин байна гэсэн үг юм. Суурийн хоёр өнцөгт өнцөг нь пирамидын хажуугийн гадаргуугийн суурийн хавтгайд налуугийн өнцөг юм. Шугаман өнцөг нь өнцөг юм ахоёр перпендикулярын хооронд: гэх мэт. Пирамидын дээд хэсэг нь гурвалжны төвд (тойрог ба гурвалжны бичээстэй тойрог) төвлөрсөн байна. ABC). Хажуугийн ирмэгийн налуу өнцөг (жишээлбэл С.Б.) нь ирмэг ба түүний суурийн хавтгай дээрх проекцын хоорондох өнцөг юм. Хавирганы хувьд С.Б.энэ өнцөг нь өнцөг болно SBD. Шүргэгчийг олохын тулд та хөлийг мэдэх хэрэгтэй SOТэгээд О.Б.. Сегментийн уртыг үзье Б.Д 3-тай тэнцүү А. Цэг ТУХАЙшугамын сегмент Б.Дгэсэн хэсгүүдэд хуваагдана: мөн From we find SO: 
Бидний олж мэдсэнээр: 
Хариулт:
Жишээ 2.Суурийн диагональ нь см ба см-тэй тэнцүү, өндөр нь 4 см бол ердийн таслагдсан дөрвөлжин пирамидын эзлэхүүнийг ол.
Шийдэл.Таслагдсан пирамидын эзэлхүүнийг олохын тулд бид (4) томъёог ашиглана. Суурийн талбайг олохын тулд тэдгээрийн диагональуудыг мэдэхийн тулд суурийн квадратуудын талыг олох хэрэгтэй. Суурийн талууд нь 2 см ба 8 см-тэй тэнцүү байна. Энэ нь суурийн талбайг илэрхийлнэ гэсэн үг бөгөөд бүх өгөгдлийг томъёонд орлуулж, бид таслагдсан пирамидын эзэлхүүнийг тооцоолно.
Хариулт: 112 см 3.
Жишээ 3.Суурийн талууд нь 10 см ба 4 см, пирамидын өндөр нь 2 см байх энгийн гурвалжин тайрсан пирамидын хажуугийн нүүрний талбайг ол.
Шийдэл.Зураг зурцгаая (Зураг 19).
Энэ пирамидын хажуугийн нүүр нь хоёр талт трапец юм. Трапецын талбайг тооцоолохын тулд та суурь ба өндрийг мэдэх хэрэгтэй. Суурь нь нөхцөл байдлын дагуу өгөгдсөн бөгөөд зөвхөн өндөр нь тодорхойгүй хэвээр байна. Бид түүнийг хаанаас олох болно А 1 Эцэгээс перпендикуляр А 1 доод суурийн хавтгай дээр, А 1 Д-аас перпендикуляр А 1 тутамд АС. А 1 Э= 2 см, учир нь энэ нь пирамидын өндөр юм. Олох Д.ЭДээд талын үзэмжийг харуулсан нэмэлт зургийг хийцгээе (Зураг 20). Цэг ТУХАЙ– дээд ба доод суурийн төвүүдийн проекц. оноос хойш (20-р зургийг үз) болон Нөгөө талаас БОЛЖ БАЙНА УУ– тойрог дотор бичээстэй радиус ба 
ОМ- тойрог дотор бичсэн радиус:
MK = DE.
-аас Пифагорын теоремын дагуу
Хажуугийн нүүрний хэсэг: 
Хариулт:
Жишээ 4.Пирамидын ёроолд суурь нь тэгш өнцөгт трапец байдаг АТэгээд б (а> б). Хажуугийн нүүр бүр нь пирамидын суурийн хавтгайтай тэнцүү өнцөг үүсгэдэг j. Пирамидын нийт гадаргуугийн талбайг ол.
Шийдэл.Зураг зурцгаая (Зураг 21). Пирамидын нийт гадаргуугийн талбай SABCDтрапецын талбай ба талбайн нийлбэртэй тэнцүү A B C D.
Хэрэв пирамидын бүх нүүр нь суурийн хавтгайд тэгш налуу байвал орой нь сууринд сийлсэн тойргийн төв рүү чиглэнэ гэсэн мэдэгдлийг ашиглая. Цэг ТУХАЙ– оройн проекц Спирамидын ёроолд. Гурвалжин SODгурвалжны ортогональ проекц юм CSDсуурийн хавтгайд. Хавтгай дүрсийн ортогональ проекцын талбайн теоремыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.
Үүнтэй адил гэсэн үг 
Тиймээс трапецын талбайг олоход асуудал багассан A B C D. Трапецийг зурцгаая A B C Dтусад нь (Зураг 22). Цэг ТУХАЙ– трапец хэлбэрээр бичсэн тойргийн төв.
Тойрог трапец хэлбэрээр бичиж болох тул Пифагорын теоремоос бид
Орон зайн тоон хэмжээг тооцоолох чадвар нь геометрийн хэд хэдэн практик асуудлыг шийдвэрлэхэд чухал ач холбогдолтой юм. Хамгийн түгээмэл дүрсүүдийн нэг бол пирамид юм. Энэ нийтлэлд бид бүрэн болон таслагдсан пирамидуудыг авч үзэх болно.
Пирамид нь гурван хэмжээст дүрс юм
Египетийн пирамидуудын талаар хүн бүр мэддэг тул бид ямар дүрийн тухай ярихыг сайн мэддэг. Гэсэн хэдий ч Египетийн чулуун байгууламжууд нь пирамидын асар том ангийн зөвхөн онцгой тохиолдол юм.
Ерөнхий тохиолдолд авч үзэх геометрийн объект нь олон өнцөгт суурь бөгөөд орой бүр нь суурийн хавтгайд хамаарахгүй орон зайн тодорхой цэгтэй холбогдсон байдаг. Энэ тодорхойлолт нь нэг n-gon ба n гурвалжнуудаас бүрдэх дүрс рүү хөтөлдөг.
Аливаа пирамид нь n+1 нүүр, 2*n ирмэг, n+1 оройноос бүрдэнэ. Энэ зураг нь төгс олон өнцөгт тул тэмдэглэсэн элементүүдийн тоо Эйлерийн тэгшитгэлд захирагдана.
2*n = (n+1) + (n+1) - 2.
Суурь дээр байрлах олон өнцөгт нь пирамидын нэрийг өгдөг, жишээлбэл, гурвалжин, таван өнцөгт гэх мэт. Өөр өөр суурьтай пирамидын багцыг доорх зурагт үзүүлэв.
Зургийн n гурвалжин нийлэх цэгийг пирамидын орой гэнэ. Хэрэв перпендикулярыг суурь дээр буулгаж, геометрийн төвөөр огтолж байвал ийм дүрсийг шулуун шугам гэж нэрлэнэ. Хэрэв энэ нөхцөл хангагдаагүй бол налуу пирамид үүсдэг.
Суурь нь тэгш талт (тэнцүү өнцөгт) n-гоноор үүсгэгдсэн зөв дүрсийг тогтмол гэж нэрлэдэг.
Пирамидын эзэлхүүний томъёо
Пирамидын эзэлхүүнийг тооцоолохын тулд бид интеграл тооцооллыг ашиглана. Үүнийг хийхийн тулд бид суурьтай параллель хавтгайг огтолж, хязгааргүй тооны нимгэн давхаргад хуваана. Доорх зурагт дөрвөлжин пирамидыг h өндөр, хажуугийн урт нь L харуулсан бөгөөд дөрвөлжин нь хэсгийн нимгэн давхаргыг тэмдэглэнэ.
Ийм давхарга бүрийн талбайг дараах томъёогоор тооцоолж болно.
A(z) = A 0 *(h-z) 2 / ц 2 .
Энд A 0 нь суурийн талбай, z нь босоо координатын утга юм. Хэрэв z = 0 бол томъёо нь A 0 утгыг өгдөг болохыг харж болно.
Пирамидын эзэлхүүний томъёог олж авахын тулд та зургийн бүх өндрийн интегралыг тооцоолох хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл:
V = ∫ h 0 (A(z)*dz).
A(z) хамаарлыг орлуулж, эсрэг деривативыг тооцоолоход бид дараах илэрхийлэлд хүрнэ.
V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.
Бид пирамидын эзэлхүүний томъёог олж авсан. V-ийн утгыг олохын тулд зургийн өндрийг суурийн талбайгаар үржүүлээд үр дүнг гурваар хуваана.
Үүссэн илэрхийлэл нь ямар ч төрлийн пирамидын эзлэхүүнийг тооцоолоход хүчинтэй гэдгийг анхаарна уу. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь налуу байж болох бөгөөд түүний суурь нь дурын n-gon байж болно.
ба түүний хэмжээ
Дээрх догол мөрөнд олж авсан эзлэхүүний ерөнхий томъёог ердийн суурьтай пирамидын хувьд боловсронгуй болгож болно. Ийм суурийн талбайг дараахь томъёогоор тооцоолно.
A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).
Энд L нь n оройтой жирийн олон өнцөгтийн хажуугийн урт юм. Пи тэмдэг нь pi тоо юм.
Ерөнхий томъёонд A 0-ийн илэрхийлэлийг орлуулснаар бид ердийн пирамидын эзэлхүүнийг олж авна.
V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).
Жишээлбэл, гурвалжин пирамидын хувьд энэ томьёо нь дараах илэрхийлэлд хүргэдэг.
V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.
Ердийн дөрвөлжин пирамидын хувьд эзлэхүүний томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.
V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *цаг.
Ердийн пирамидын эзлэхүүнийг тодорхойлохын тулд тэдгээрийн суурийн тал ба зургийн өндрийг мэдэх шаардлагатай.
Таслагдсан пирамид
Бид дурын пирамид авч, түүний хажуугийн гадаргуугийн оройг агуулсан хэсгийг таслав гэж бодъё. Үлдсэн дүрсийг таслагдсан пирамид гэж нэрлэдэг. Энэ нь аль хэдийн хоёр n өнцөгт суурь ба тэдгээрийг холбосон n трапецуудаас бүрддэг. Хэрэв огтлох хавтгай нь зургийн суурьтай параллель байсан бол ижил төстэй параллель суурьтай таслагдсан пирамид үүснэ. Өөрөөр хэлбэл, тэдгээрийн аль нэгнийх нь талуудын уртыг нөгөөгийн уртыг тодорхой k коэффициентээр үржүүлэх замаар олж авч болно.
Дээрх зурагт тайрсан жирийн нэгийг харуулж байна.Түүний дээд суурь нь доод талынх шиг ердийн зургаан өнцөгт хэлбэртэй байгааг харж болно.
Дээрхтэй төстэй интеграл тооцоолол ашиглан гаргаж болох томъёо нь:
V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).
Энд A 0 ба A 1 нь доод (том) ба дээд (жижиг) суурийн талбайнууд юм. Хувьсагч h нь таслагдсан пирамидын өндрийг илэрхийлнэ.
Хеопс пирамидын эзэлхүүн
Египетийн хамгийн том пирамид дотор нь агуулагдах эзэлхүүнийг тодорхойлох асуудлыг шийдэх нь сонирхолтой юм.
1984 онд Британийн египет судлаач Марк Лехнер, Жон Гудман нар Хеопс пирамидын яг нарийн хэмжээг тогтоожээ. Түүний анхны өндөр нь 146.50 метр (одоогоор 137 метр) байв. Бүтцийн дөрвөн тал тус бүрийн дундаж урт 230.363 метр байв. Пирамидын суурь нь өндөр нарийвчлалтай дөрвөлжин хэлбэртэй.
Өгөгдсөн тоонуудыг ашиглан энэхүү аварга том чулууны эзэлхүүнийг тодорхойлъё. Пирамид нь ердийн дөрвөлжин хэлбэртэй тул түүний хувьд томъёо хүчинтэй байна.
Тоонуудыг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
V 4 = 1/3*(230.363) 2 *146.5 ≈ 2591444 м 3.
Хеопс пирамидын хэмжээ бараг 2.6 сая м3. Харьцуулбал, Олимпийн усан сан нь 2.5 мянган м 3 эзэлхүүнтэй гэдгийг бид тэмдэглэж байна. Өөрөөр хэлбэл, Cheops пирамидыг бүхэлд нь дүүргэхийн тулд танд 1000 гаруй ийм усан сан хэрэгтэй болно!
- 22.09.2014
Үйл ажиллагааны зарчим. SA1 кодын эхний цифрийн товчлуурыг дарахад DD1.1 триггер солигдох ба DD1.2 триггерийн D оролт дээр өндөр түвшний хүчдэл гарч ирнэ. Иймд дараагийн SA2 кодын товчлуурыг дарахад DD1.2 триггер төлөвөө өөрчилж, дараагийн триггерийг солиход бэлтгэнэ. Цаашид зөв залгах тохиолдолд DD2.2 гох хамгийн сүүлд асах бөгөөд...
- 03.10.2014
Санал болгож буй төхөөрөмж нь богино залгааны хамгаалалттай 24V хүртэл хүчдэл ба 2А хүртэл гүйдлийг тогтворжуулдаг. Тогтворжуулагчийг тогтворгүй асаах тохиолдолд автономит импульсийн генераторын синхрончлолыг ашиглах шаардлагатай (Зураг 1). 2. Тогтворжуулагчийн хэлхээг 1-р зурагт үзүүлэв. Schmitt гохыг VT1 VT2 дээр угсарсан бөгөөд энэ нь хүчирхэг зохицуулагч VT3 транзисторыг хянадаг. Дэлгэрэнгүй: VT3 нь дулаан шингээгчээр тоноглогдсон...
- 20.09.2014
Өсгөгч (зураг харна уу) нь автомат шугам хоолой бүхий уламжлалт хэлхээний дагуу хийгдсэн: гаралт - AL5, драйверууд - 6G7, кенотрон - AZ1. Стерео өсгөгчийн хоёр сувгийн аль нэгнийх нь диаграммыг 1-р зурагт үзүүлэв. Эзлэхүүний хяналтаас дохиог 6G7 чийдэнгийн сүлжээнд өгч, олшруулж, энэ чийдэнгийн анодоос C4 тусгаарлах конденсатороор дамжуулж ...
- 15.11.2017
NE555 бол бүх нийтийн таймер юм - тогтвортой цагийн шинж чанартай дан болон давтагдах импульс үүсгэх (үүсгэх) төхөөрөмж. Энэ нь тодорхой оролтын босго, нарийн тодорхойлсон аналог харьцуулагч, суурилуулсан хүчдэл хуваагч (RS триггертэй нарийвчлалтай Шмитт триггер) бүхий асинхрон RS триггер юм. Энэ нь янз бүрийн генератор, модулятор, цагийн реле, босго төхөөрөмж болон бусад...
