Apat na paraan upang malutas ang mga problema sa paghahanap ng distansya sa pagitan ng mga intersecting na linya. Distansya sa pagitan ng dalawang linyang tumatawid Distansya sa pagitan ng mga linya sa espasyo

Kabilang sa malaking bilang ng mga stereometric na problema sa mga aklat-aralin sa geometry, sa iba't ibang mga koleksyon ng mga problema, at mga aklat-aralin para sa paghahanda para sa mga unibersidad, ang mga problema sa paghahanap ng distansya sa pagitan ng mga intersecting na linya ay napakabihirang. Marahil ito ay dahil sa parehong makitid ng kanilang praktikal na aplikasyon (na may kaugnayan sa kurikulum ng paaralan, kumpara sa "panalo" na mga problema para sa pagkalkula ng mga lugar at volume), at ang pagiging kumplikado ng paksang ito.

Ang pagsasanay ng pagsasagawa ng Unified State Exam ay nagpapakita na maraming mga mag-aaral ang hindi man lang nagsisimulang kumpletuhin ang mga gawaing geometry na kasama sa papel ng pagsusulit. Upang matiyak ang matagumpay na pagkumpleto ng mga geometric na gawain ng isang mas mataas na antas ng pagiging kumplikado, kinakailangan upang bumuo ng kakayahang umangkop ng pag-iisip, ang kakayahang pag-aralan ang nilalayon na pagsasaayos at ihiwalay ang mga bahagi dito, ang pagsasaalang-alang kung saan pinapayagan ang isa na makahanap ng isang paraan upang malutas ang problema.

Ang kurso sa paaralan ay nagsasangkot ng pag-aaral ng apat na paraan upang malutas ang mga problema sa paghahanap ng distansya sa pagitan ng mga linyang tumatawid. Ang pagpili ng pamamaraan ay tinutukoy, una sa lahat, sa pamamagitan ng mga katangian ng isang partikular na gawain, ang mga pagkakataong ibinibigay nito para sa pagpili, at, pangalawa, sa pamamagitan ng mga kakayahan at katangian ng "spatial na pag-iisip" ng isang partikular na mag-aaral. Ang bawat isa sa mga pamamaraan na ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ang pinakamahalagang bahagi ng problema - ang pagbuo ng isang segment na patayo sa parehong mga linya ng pagtawid (para sa computational na bahagi ng problema, hindi kinakailangan ang paghahati sa mga pamamaraan).

Mga pangunahing pamamaraan ng paglutas ng mga problema sa paghahanap ng distansya sa pagitan ng mga linyang tumatawid

Paghahanap ng haba ng karaniwang patayo ng dalawang skew na linya, i.e. isang segment na may mga dulo sa mga linyang ito at patayo sa bawat isa sa mga linyang ito.

Paghahanap ng distansya mula sa isa sa mga intersecting na linya hanggang sa isang eroplanong parallel dito na dumadaan sa kabilang linya.

Paghahanap ng distansya sa pagitan ng dalawang parallel na eroplano na dumadaan sa mga ibinigay na intersecting na linya.

Paghahanap ng distansya mula sa isang punto na isang projection ng isa sa mga tumatawid na linya papunta sa isang eroplano na patayo dito (ang tinatawag na "screen") sa projection ng isa pang linya papunta sa parehong eroplano.

Ipakita natin ang lahat ng apat na pamamaraan gamit ang sumusunod na pinakasimple gawain: "Sa isang kubo na may gilid A hanapin ang distansya sa pagitan ng alinmang gilid at ang dayagonal ng mukha na hindi sumasalubong dito." Sagot: .

Larawan 1

h skr ay patayo sa eroplano ng gilid na mukha na naglalaman ng dayagonal d at patayo sa gilid, samakatuwid, h skr at ang distansya sa pagitan ng gilid A at dayagonal d.

Figure 2

Ang eroplano A ay parallel sa gilid at dumadaan sa ibinigay na dayagonal, samakatuwid, ibinigay h skr ay hindi lamang ang distansya mula sa gilid hanggang sa eroplano A, kundi pati na rin ang distansya mula sa gilid hanggang sa ibinigay na dayagonal.

Larawan 3

Ang mga eroplano A at B ay magkatulad at dumadaan sa dalawang ibinigay na linya ng skew, samakatuwid, ang distansya sa pagitan ng mga eroplanong ito ay katumbas ng distansya sa pagitan ng dalawang linya ng skew.

Larawan 4

Ang eroplano A ay patayo sa gilid ng kubo. Kapag na-project sa A diagonal d ang dayagonal na ito ay lumiliko sa isa sa mga gilid ng base ng kubo. Ito h skr ay ang distansya sa pagitan ng linya na naglalaman ng gilid at ang projection ng dayagonal papunta sa eroplano C, at samakatuwid sa pagitan ng linya na naglalaman ng gilid at ang dayagonal.

Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang aplikasyon ng bawat pamamaraan para sa polyhedra na pinag-aralan sa paaralan.

Ang paggamit ng unang pamamaraan ay medyo limitado: ito ay mahusay na ginagamit lamang sa ilang mga problema, dahil medyo mahirap matukoy at bigyang-katwiran sa pinakasimpleng mga problema ang eksaktong, at sa mga kumplikadong problema, ang tinatayang lokasyon ng karaniwang patayo ng dalawang intersecting. mga linya. Bilang karagdagan, kapag hinahanap ang haba ng patayo na ito sa mga kumplikadong problema, ang isa ay maaaring makatagpo ng hindi malulutas na mga paghihirap.

Problema 1. Sa isang parihabang parallelepiped na may mga sukat a, b, h hanapin ang distansya sa pagitan ng gilid na gilid at ang dayagonal ng base na hindi sumasalubong dito.

Larawan 5

Hayaan ang AHBD. Dahil ang A 1 A ay patayo sa eroplanong ABCD, pagkatapos ay A 1 A AH.

Ang AH ay patayo sa pareho ng dalawang linyang tumatawid, samakatuwid ang AH ay ang distansya sa pagitan ng mga linya A 1 A at BD? Sa isang kanang tatsulok na ABD, alam ang haba ng mga binti AB at AD, nakita namin ang taas na AH gamit ang mga formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang tamang tatsulok. Sagot:

Problema 2. Sa isang regular na 4-gonal pyramid na may gilid na gilid L at base side a hanapin ang distansya sa pagitan ng apothem at ng gilid ng base na nagsasalubong sa gilid na mukha na naglalaman ng apothem na ito.

Larawan 6

Ang SHCD ay parang apothem, ang ADCD ay parang ABCD ay isang parisukat. Samakatuwid, ang DH ay ang distansya sa pagitan ng mga tuwid na linya SH at AD. Ang DH ay katumbas ng kalahati ng side CD. Sagot:

Ang paggamit ng paraang ito ay limitado rin dahil sa katotohanan na kung mabilis kang makakagawa (o makakahanap ng isang handa na) eroplano na dumadaan sa isa sa mga tumatawid na tuwid na linya at kahanay sa isa pang tuwid na linya, pagkatapos ay gumawa ng isang patayo mula sa anumang punto ng ang pangalawang tuwid na linya sa eroplanong ito (sa loob ng polyhedron) ay nagdudulot ng mga kahirapan. Gayunpaman, sa mga simpleng problema kung saan ang pagtatayo (o paghahanap) ng tinukoy na patayo ay hindi nagdudulot ng mga kahirapan, ang pamamaraang ito ang pinakamabilis at pinakamadali, at samakatuwid ay naa-access.

Problema 2. Ang paglutas sa problema sa itaas gamit ang paraang ito ay hindi nagdudulot ng anumang partikular na paghihirap.

Larawan 7

Ang eroplanong EFM ay parallel sa linyang AD, dahil AD || E.F. Ang Line MF ay nasa eroplanong ito, samakatuwid, ang distansya sa pagitan ng line AD at plane EFM ay katumbas ng distansya sa pagitan ng line AD at line MF. Gawin natin ang OHAD. Ang OHEF, OHMO, samakatuwid, OH(EFM), samakatuwid, ang OH ay ang distansya sa pagitan ng tuwid na linya AD at eroplanong EFM, at samakatuwid ang distansya sa pagitan ng tuwid na linya AD at tuwid na MF. Hanapin ang OH mula sa tatsulok na AOD.

Problema 3. Sa isang parihabang parallelepiped na may mga sukat a,b At h hanapin ang distansya sa pagitan ng gilid ng gilid at ang dayagonal ng parallelepiped na hindi sumasalubong dito.

Larawan 8

Ang linya AA 1 ay kahanay ng eroplanong BB 1 D 1 D, B 1 D ay kabilang sa eroplanong ito, samakatuwid ang distansya mula AA 1 hanggang eroplanong BB 1 D 1 D ay katumbas ng distansya sa pagitan ng mga linyang AA 1 at B 1 D. Dalhin natin palabas ng AHBD. Gayundin, AH B 1 B, samakatuwid AH(BB 1 D 1 D), samakatuwid AHB 1 D, ibig sabihin, AH ang kinakailangang distansya. Hanapin ang AH mula sa right triangle ABD.

Sagot:

Problema 4. Sa isang regular na hexagonal prism A:F 1 na may taas h at base side a hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linya:

Larawan 9 Larawan 10

a) AA 1 at ED 1.

Isaalang-alang ang eroplano E 1 EDD 1 . A 1 E 1 EE 1 , A 1 E 1 E 1 D 1 , samakatuwid

A 1 E 1 (E 1 EDD 1). Gayundin A 1 E 1 AA 1 . Samakatuwid, ang A 1 E 1 ay ang distansya mula sa tuwid na linya AA 1 hanggang sa eroplano E 1 EDD 1 . ED 1 (E 1 EDD 1 Samakatuwid, ang AE 1 ay ang distansya mula sa tuwid na linya AA 1 hanggang sa tuwid na linya ED 1). Nahanap natin ang A 1 E 1 mula sa tatsulok na F 1 A 1 E 1 gamit ang cosine theorem. Sagot:

b) AF at dayagonal BE 1.

Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya FH mula sa punto F patayo sa BE. EE 1 FH, FHBE, samakatuwid FH(BEE 1 B 1), samakatuwid ang FH ay ang distansya sa pagitan ng straight line AF at (BEE 1 B 1), at samakatuwid ang distansya sa pagitan ng straight line AF at diagonal BE 1. Sagot:

PARAAN III

Ang paggamit ng paraang ito ay lubhang limitado, dahil ang isang eroplanong parallel sa isa sa mga linya (paraan II) ay mas madaling gawin kaysa sa dalawang parallel na eroplano, gayunpaman, ang paraan III ay maaaring gamitin sa prisms kung ang mga intersecting na linya ay nabibilang sa parallel na mukha, gaya ng pati na rin sa mga kaso kung saan sa isang polyhedron Madaling bumuo ng mga parallel na seksyon na naglalaman ng mga ibinigay na linya.

Gawain 4.

Larawan 11

a) Ang mga eroplanong BAA 1 B 1 at DEE 1 D 1 ay magkatulad, dahil AB || ED at AA 1 || EE 1. ED 1 DEE 1 D 1, AA 1 (BAA 1 B 1), samakatuwid, ang distansya sa pagitan ng mga tuwid na linya AA 1 at ED 1 ay katumbas ng distansya sa pagitan ng mga eroplano na BAA 1 B 1 at DEE 1 D 1. A 1 E 1 AA 1 , A 1 E 1 A 1 B 1 , samakatuwid, A 1 E 1 BAA 1 B 1 . Pareho nating pinatutunayan na A 1 E 1 (DEE 1 D 1). Kaya, ang A 1 E 1 ay ang distansya sa pagitan ng mga eroplano BAA 1 B 1 at DEE 1 D 1, at samakatuwid ay sa pagitan ng mga tuwid na linya AA 1 at ED 1. Nahanap namin ang A 1 E 1 mula sa tatsulok na A 1 F 1 E 1, na isosceles na may anggulong A 1 F 1 E 1 na katumbas ng . Sagot:

Larawan 12

b) Ang distansya sa pagitan ng AF at dayagonal na BE 1 ay matatagpuan pareho.

Problema 5. Sa isang kubo na may gilid A hanapin ang distansya sa pagitan ng dalawang di-nagsalubong na diagonal ng dalawang magkatabing mukha.

Ang problemang ito ay itinuturing na isang klasiko sa ilang mga aklat-aralin, ngunit, bilang panuntunan, ang solusyon nito ay ibinibigay sa pamamagitan ng paraan IV, ngunit medyo naa-access sa solusyon gamit ang pamamaraan III.

Larawan 13

Ang ilang kahirapan sa problemang ito ay sanhi ng patunay ng perpendicularity ng diagonal A 1 C sa parehong parallel na eroplano (AB 1 D 1 || BC 1 D). B 1 CBC 1 at BC 1 A 1 B 1, samakatuwid, ang linya BC 1 ay patayo sa eroplano A 1 B 1 C, at samakatuwid, BC 1 A 1 C. Gayundin, A 1 CBD. Dahil dito, ang tuwid na linya A 1 C ay patayo sa eroplano BC 1 D. Ang computational na bahagi ng problema ay hindi nagiging sanhi ng anumang mga espesyal na paghihirap, dahil h skr= Ang EF ay matatagpuan bilang pagkakaiba sa pagitan ng dayagonal ng kubo at ang taas ng dalawang magkaparehong regular na pyramids A 1 AB 1 D 1 at CC 1 BD.

PARAAN IV.

Ang pamamaraang ito ay may medyo malawak na aplikasyon. Para sa mga gawain ng daluyan at pagtaas ng kahirapan maaari itong ituring na pangunahing. Hindi na kailangang gamitin lamang ito kapag ang isa sa tatlong naunang pamamaraan ay gumagana nang mas madali at mas mabilis, dahil sa mga ganitong kaso ang paraan IV ay maaari lamang gawing kumplikado ang solusyon ng problema, o gawin itong mahirap na makamit. Ang pamamaraang ito ay lubhang kapaki-pakinabang na gamitin sa kaso ng perpendicularity ng mga intersecting na linya, dahil hindi na kailangang gumawa ng projection ng isa sa mga linya papunta sa "screen"

L at base side a.

Larawan 16

Sa ganito at katulad na mga problema, ang paraan IV ay humahantong sa isang solusyon nang mas mabilis kaysa sa iba pang mga pamamaraan, dahil sa pagkakaroon ng pagbuo ng isang seksyon na gumaganap ng papel ng isang "screen" na patayo sa AC (tatsulok na BDM), malinaw na wala nang karagdagang pangangailangan upang bumuo isang projection ng isa pang tuwid na linya (BM) papunta sa screen na ito. DH ang kinakailangang distansya. Ang DH ay matatagpuan mula sa tatsulok na MDB gamit ang mga formula ng lugar. Sagot: .

Sa artikulong ito, gamit ang halimbawa ng paglutas ng problema C2 mula sa Unified State Examination, sinusuri ang paraan ng paghahanap gamit ang coordinate method. Alalahanin na ang mga tuwid na linya ay liko kung hindi sila nakahiga sa parehong eroplano. Sa partikular, kung ang isang linya ay namamalagi sa isang eroplano, at ang pangalawang linya ay nagsalubong sa eroplanong ito sa isang punto na hindi nakahiga sa unang linya, kung gayon ang mga naturang linya ay nagsasalubong (tingnan ang figure).

Hanapin mga distansya sa pagitan ng mga tumatawid na linya kailangan:

Gumuhit ng isang eroplano sa pamamagitan ng isa sa mga intersecting na linya na parallel sa isa pang intersecting na linya.
Mag-drop ng patayo mula sa anumang punto ng pangalawang linya papunta sa nagresultang eroplano. Ang haba ng patayo na ito ay ang kinakailangang distansya sa pagitan ng mga linya.

Suriin natin ang algorithm na ito nang mas detalyado gamit ang halimbawa ng paglutas ng problema C2 mula sa Unified State Examination sa matematika.

Distansya sa pagitan ng mga linya sa espasyo

Gawain. Sa isang unit cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linya B.A. 1 at D.B. 1 .

kanin. 1. Pagguhit para sa gawain

Solusyon. Sa pamamagitan ng gitna ng dayagonal ng kubo D.B. 1 (punto O) gumuhit ng isang linya na parallel sa linya A 1 B. Mga punto ng intersection ng linyang ito na may mga gilid B.C. At A 1 D 1 ay tinutukoy nang naaayon N At M. Diretso MN nakahiga sa isang eroplano MNB 1 at parallel sa linya A 1 B, na hindi namamalagi sa eroplanong ito. Nangangahulugan ito na ang tuwid na linya A 1 B parallel sa eroplano MNB 1 batay sa parallelism ng isang tuwid na linya at isang eroplano (Larawan 2).

kanin. 2. Ang kinakailangang distansya sa pagitan ng mga tumatawid na linya ay katumbas ng distansya mula sa anumang punto ng napiling linya patungo sa itinatanghal na eroplano

Ngayon hinahanap namin ang distansya mula sa ilang punto sa linya A 1 B sa eroplano MNB 1 . Ang distansyang ito, sa pamamagitan ng kahulugan, ay ang kinakailangang distansya sa pagitan ng mga tawiran na linya.

Para mahanap ang distansyang ito, gagamitin natin ang coordinate method. Ipakilala natin ang isang hugis-parihaba na Cartesian coordinate system upang ang pinagmulan nito ay tumutugma sa punto B, axis. X ay nakadirekta sa gilid B.A., aksis Y- kasama ang tadyang B.C., aksis Z- kasama ang tadyang BB 1 (Larawan 3).

kanin. 3. Pumili kami ng isang hugis-parihaba na Cartesian coordinate system tulad ng ipinapakita sa figure

Paghahanap ng equation ng eroplano MNB 1 sa coordinate system na ito. Upang gawin ito, una naming tinutukoy ang mga coordinate ng mga puntos M, N At B 1: Pinapalitan namin ang mga resultang coordinate sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya at makuha ang sumusunod na sistema ng mga equation:

Mula sa pangalawang equation ng system na nakuha namin mula sa pangatlo nakuha namin pagkatapos kung saan mula sa una ay nakuha namin Palitan ang nakuha na mga halaga sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya:

Tandaan namin na kung hindi man ang eroplano MNB 1 ay dadaan sa pinanggalingan. Hatiin ang magkabilang panig ng equation na ito at makuha natin ang:

Ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano ay tinutukoy ng formula.

DISTANSYA SA PAGITAN NG MGA STRAIGHT SA ESPACE Ang distansya sa pagitan ng dalawang tumatawid na linya sa espasyo ay ang haba ng karaniwang patayo na iginuhit sa mga linyang ito. Kung ang isa sa dalawang intersecting na linya ay nasa isang eroplano, at ang isa ay parallel sa eroplanong ito, kung gayon ang distansya sa pagitan ng mga linyang ito ay katumbas ng distansya sa pagitan ng linya at ng eroplano. Kung ang dalawang intersecting na linya ay nasa magkatulad na mga eroplano, kung gayon ang distansya sa pagitan ng mga linyang ito ay katumbas ng distansya sa pagitan ng magkatulad na mga eroplano.

Cube 1 Sa unit cube A…D 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linyang AA 1 at BC. Sagot: 1.

Cube 2 Sa unit cube A…D 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linyang AA 1 at CD. Sagot: 1.

Cube 3 Sa unit cube A...D 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linya AA 1 at B 1 C 1. Sagot: 1.

Cube 4 Sa unit cube A…D 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linyang AA 1 at C 1 D 1. Sagot: 1.

Cube 5 Sa unit cube A…D 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linyang AA 1 at BC 1. Sagot: 1.

Cube 6 Sa unit cube A…D 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linyang AA 1 at B 1 C. Sagot: 1.

Cube 7 Sa unit cube A…D 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linyang AA 1 at CD 1. Sagot: 1.

Cube 8 Sa unit cube A…D 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linyang AA 1 at DC 1. Sagot: 1.

Cube 9 Sa unit cube A...D 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linyang AA 1 at CC 1. Sagot:

Cube 10 Sa unit cube A…D 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linyang AA 1 at BD. Solusyon. Hayaan ang O ang midpoint ng BD. Ang kinakailangang distansya ay ang haba ng segment na AO. Ito ay katumbas ng Sagot:

Cube 11 Sa unit cube A...D 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linyang AA 1 at B 1 D 1. Sagot:

Cube 12 Sa unit cube A…D 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linyang AA 1 at BD 1. Solusyon. Hayaan ang P, Q ang mga midpoint ng AA 1, BD 1. Ang kinakailangang distansya ay ang haba ng segment na PQ. Ito ay katumbas ng Sagot:

Cube 13 Sa unit cube A…D 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linyang AA 1 at BD 1. Sagot:

Cube 14 Sa unit cube A…D 1, hanapin ang distansya sa pamamagitan ng tuwid na linya AB 1 at CD 1. Sagot: 1.

Cube 15 Sa unit cube A…D 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linyang AB 1 at BC 1. Solusyon. Ang kinakailangang distansya ay katumbas ng distansya sa pagitan ng mga parallel na eroplano AB 1 D 1 at BDC 1. Ang dayagonal A 1 C ay patayo sa mga eroplanong ito at nahahati sa tatlong pantay na bahagi sa mga punto ng intersection. Samakatuwid, ang kinakailangang distansya ay katumbas ng haba ng segment na EF at katumbas ng Sagot:

Cube 16 Sa unit cube A…D 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linya AB 1 at A 1 C 1. Ang solusyon ay katulad ng nauna. Sagot:

Cube 17 Sa unit cube A…D 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linyang AB 1 at BD. Ang solusyon ay katulad ng nauna. Sagot:

Cube 18 Sa unit cube A…D 1, hanapin ang distansya gamit ang mga tuwid na linya AB 1 at BD 1. Solusyon. Diagonal BD 1 ay patayo sa eroplano ng equilateral triangle ACB 1 at intersects ito sa gitna P ng bilog na nakasulat dito. Ang kinakailangang distansya ay katumbas ng radius OP ng bilog na ito. OP = Sagot:

Pyramid 1 Sa unit na tetrahedron ABCD, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linyang AD at BC. Solusyon. Ang kinakailangang distansya ay katumbas ng haba ng segment na EF, kung saan ang E, F ay ang mga midpoint ng mga gilid AD, GF. Sa tatsulok DAG DA = 1, AG = DG = Sagot: Samakatuwid, EF =

Pyramid 2 Sa isang regular na pyramid SABCD, lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linyang AB at CD. Sagot: 1.

Pyramid 3 Sa isang regular na pyramid SABCD, lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linyang SA at BD. Solusyon. Ang kinakailangang distansya ay katumbas ng taas OH ng tatsulok na SAO, kung saan ang O ay ang midpoint ng BD. Sa kanang tatsulok SAO mayroon tayong: SA = 1, AO = SO = Sagot: Samakatuwid, OH =

Pyramid 4 Sa isang regular na pyramid SABCD, lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linyang SA at BC. Solusyon. Ang eroplano SAD ay parallel sa linya BC. Samakatuwid, ang kinakailangang distansya ay katumbas ng distansya sa pagitan ng tuwid na linya BC at eroplano SAD. Ito ay katumbas ng taas EH ng tatsulok na SEF, kung saan ang E, F ay ang mga midpoint ng mga gilid BC, AD. Sa tatsulok na SEF mayroon tayong: EF = 1, SE = SF = Taas SO ay Samakatuwid, EH = Sagot:

Pyramid 5 Sa regular na 6th pyramid SABCDEF, na ang mga base na gilid ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linyang AB at DE. Sagot:

Pyramid 6 Sa regular na 6th pyramid SABCDEF, ang mga gilid na gilid ay 2 at ang mga base na gilid ay 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linyang SA at BC. Solusyon: Palawakin ang mga gilid BC at AF hanggang sa mag-intersect ang mga ito sa punto G. Ang karaniwang patayo sa SA at BC ay ang altitude AH ng tatsulok na ABG. Ito ay katumbas ng Sagot:

Pyramid 7 Sa regular na 6th pyramid SABCDEF, ang mga gilid na gilid ay 2 at ang mga base na gilid ay 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linyang SA at BF. Solusyon: Ang kinakailangang distansya ay ang taas na GH ng tatsulok na SAG, kung saan ang G ay ang intersection point ng BF at AD. Sa tatsulok na SAG mayroon tayo: SA = 2, AG = 0.5, ang taas SO ay katumbas ng GH = Sagot:

Pyramid 8 Sa regular na 6th pyramid SABCDEF, na ang mga gilid ng gilid ay katumbas ng 2 at ang mga base na gilid ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linyang SA at CE. Solusyon: Ang kinakailangang distansya ay ang taas na GH ng tatsulok na SAG, kung saan ang G ay ang intersection point ng CE at AD. Sa tatsulok na SAG mayroon tayo: SA = 2, AG = , taas SO ay pantay-pantay.

Pyramid 9 Sa regular na 6th pyramid SABCDEF, ang mga gilid na gilid ay 2 at ang mga base na gilid ay 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linyang SA at BD. Solusyon: Ang linyang BD ay parallel sa eroplanong SAE. Ang kinakailangang distansya ay katumbas ng distansya sa pagitan ng tuwid na linya BD at ang eroplanong ito at katumbas ng taas PH ng tatsulok na SPQ. Sa tatsulok na ito, ang taas SO ay katumbas ng, PQ = 1, SP = SQ = Mula dito makikita natin ang PH = Sagot:

Pyramid 10 Sa regular na 6th pyramid SABCDEF, ang mga gilid na gilid ay 2 at ang mga base na gilid ay 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga tuwid na linya SA at BG, kung saan ang G ay ang midpoint ng gilid SC. Solusyon: Sa pamamagitan ng punto G gumuhit kami ng isang linya na parallel sa SA. Hayaang tukuyin ng Q ang punto ng intersection nito sa linyang AC. Ang kinakailangang distansya ay katumbas ng taas QH ng tamang tatsulok na ASQ, kung saan AS = 2, AQ = , SQ = Mula dito makikita natin ang QH = Sagot: .

Prism 1 Sa isang regular na triangular prism ABCA 1 B 1 C 1, lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linya: BC at B 1 C 1. Sagot: 1.

Prism 2 Sa isang regular na triangular prism ABCA 1 B 1 C 1, lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linya: AA 1 at BC. Sagot:

Prism 3 Sa isang regular na triangular prism ABCA 1 B 1 C 1, lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linya: AA 1 at BC 1. Sagot:

Prism 4 Sa isang regular na triangular prism ABCA 1 B 1 C 1, lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linya: AB at A 1 C 1. Sagot: 1.

Prism 5 Sa isang regular na triangular na prism ABCA 1 B 1 C 1, lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga tuwid na linya: AB at A 1 C. Solusyon: Ang kinakailangang distansya ay katumbas ng distansya sa pagitan ng tuwid linya AB at ang eroplano A 1 B 1 C. Ipahiwatig natin ang D at ang D 1 ay ang midpoint ng mga gilid AB at A 1 B 1. Sa kanang tatsulok CDD 1 mula sa vertex D iginuhit natin ang taas DE. Ito ang magiging kinakailangang distansya. Mayroon kaming, DD 1 = 1, CD = Sagot: Samakatuwid, DE = , CD 1 = .

Prism 6 Sa isang regular na triangular prism ABCA 1 B 1 C 1, lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linya: AB 1 at BC 1. Solusyon: Buuin natin ang prisma sa isang 4-angled na prism. Ang kinakailangang distansya ay magiging katumbas ng distansya sa pagitan ng parallel planes AB 1 D 1 at BDC 1. Ito ay katumbas ng taas OH ng right triangle AOO 1, kung saan Sagot. Ang taas na ito ay

Prism 7 Sa regular na 6th prism A…F 1, ang mga gilid nito ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linya: AB at A 1 B 1. Sagot: 1.

Prism 8 Sa regular na 6th prism A...F 1, ang mga gilid nito ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linya: AB at B 1 C 1. Sagot: 1.

Prism 9 Sa regular na 6th prism A…F 1, ang mga gilid nito ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linya: AB at C 1 D 1. Sagot: 1.

Prism 10 Sa regular na 6th prism A...F 1, ang mga gilid nito ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linya: AB at DE. Sagot: .

Prism 11 Sa regular na 6th prism A…F 1, ang mga gilid nito ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linya: AB at D 1 E 1. Sagot: 2.

Prism 12 Sa regular na 6th prism A...F 1, ang mga gilid nito ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linya: AA 1 at CC 1. Sagot: .

Prism 13 Sa regular na 6th prism A...F 1, ang mga gilid nito ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linya: AA 1 at DD 1. Sagot: 2.

Prism 14 Sa regular na 6th prism A...F 1, ang mga gilid nito ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linya: AA 1 at B 1 C 1. Solusyon: Palawakin ang mga gilid B 1 C 1 at A 1 F 1 sa intersection sa punto G. Triangle A 1 B 1 G equilateral. Ang taas nito A 1 H ay ang nais na karaniwang patayo. Ang haba nito ay katumbas. Sagot: .

Prism 15 Sa regular na 6th prism A...F 1, ang mga gilid nito ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linya: AA 1 at C 1 D 1. Solusyon: Ang kinakailangang karaniwang perpendicular ay ang segment A 1 C 1. Ang haba nito ay katumbas. Sagot: .

Prism 16 Sa regular na 6th prism A...F 1, ang mga gilid nito ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linya: AA 1 at BC 1. Solusyon: Ang kinakailangang distansya ay ang distansya sa pagitan ng mga parallel na eroplano ADD 1 at BCC 1. Ito ay pantay. Sagot: .

Prism 17 Sa regular na 6th prism A...F 1, ang mga gilid nito ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linya: AA 1 at CD 1. Solusyon: Ang kinakailangang karaniwang perpendikular ay ang segment na AC. Ang haba nito ay katumbas. Sagot: .

Prism 18 Sa regular na 6th prism A...F 1, ang mga gilid nito ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linya: AA 1 at DE 1. Solusyon: Ang kinakailangang karaniwang perpendicular ay ang segment A 1 E 1. Ang haba nito ay katumbas. Sagot: .

Prism 19 Sa regular na 6th prism A...F 1, ang mga gilid nito ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linya: AA 1 at BD 1. Solusyon: Ang kinakailangang karaniwang perpendikular ay ang segment AB. Ang haba nito ay 1. Sagot: 1.

Prism 20 Sa regular na 6th prism A...F 1, ang mga gilid nito ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga tuwid na linya: AA 1 at CE 1. Solusyon: Ang kinakailangang distansya ay ang distansya sa pagitan ng tuwid na linya AA 1 at ang eroplano CEE 1. Ito ay katumbas. Sagot: .

Prism 21 Sa regular na 6th prism A...F 1, ang mga gilid nito ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga tuwid na linya: AA 1 at BE 1. Solusyon: Ang kinakailangang distansya ay ang distansya sa pagitan ng tuwid na linya AA 1 at ang eroplano BEE 1. Ito ay katumbas. Sagot: .

Prism 22 Sa regular na 6th prism A...F 1, ang mga gilid nito ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga tuwid na linya: AA 1 at CF 1. Solusyon: Ang kinakailangang distansya ay ang distansya sa pagitan ng tuwid na linya AA 1 at ang eroplano CFF 1. Ito ay katumbas. Sagot: .

Prism 23 Sa regular na 6th prism A...F 1, ang mga gilid nito ay katumbas ng 1, hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya: AB 1 at DE 1. Solusyon: Ang kinakailangang distansya ay ang distansya sa pagitan ng parallel planes ABB 1 at DEE 1. Ang distansya sa pagitan nila ay pantay. Sagot: .

Prism 24 Sa regular na 6th prism A...F 1, ang mga gilid nito ay katumbas ng 1, hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya: AB 1 at CF 1. Solusyon: Ang kinakailangang distansya ay ang distansya sa pagitan ng tuwid na linya AB 1 at ang eroplano CFF 1. Ito ay katumbas. Sagot:

Prism 25 Sa regular na 6th prism A...F 1, ang mga gilid nito ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga tuwid na linya: AB 1 at BC 1. Solusyon: Hayaan ang O, O 1 ang mga sentro ng prisma mga mukha. Ang mga eroplanong AB 1 O 1 at BC 1 O ay parallel. Ang eroplanong ACC 1 A 1 ay patayo sa mga eroplanong ito. Ang kinakailangang distansya d ay katumbas ng distansya sa pagitan ng mga tuwid na linya AG 1 at GC 1. Sa parallelogram AGC 1 G 1 mayroon tayong AG = Sagot: ; AG 1 = Ang taas na iginuhit sa gilid AA 1 ay 1. Samakatuwid, d= . .

Prism 26 Sa isang regular na 6th prism A...F 1, ang mga gilid nito ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linya: AB 1 at BD 1. Solusyon: Isaalang-alang ang eroplano A 1 B 1 HG, patayo sa BD 1. Ang isang orthogonal projection sa eroplanong ito ay nagsasalin ng linyang BD 1 sa punto H, at linya AB 1 sa linya ng GB 1. Samakatuwid, ang kinakailangang distansya d ay katumbas ng distansya mula sa punto H hanggang linya GB 1. Sa kanang tatsulok GHB 1 mayroon kaming GH = 1; Sagot: B 1 H = . Samakatuwid, d = .

Prism 27 Sa isang regular na 6th prism A...F 1, ang mga gilid nito ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linya: AB 1 at BE 1. Solusyon: Isaalang-alang ang eroplano A 1 BDE 1, patayo sa AB 1 . Samakatuwid, ang kinakailangang distansya d ay katumbas ng distansya ng GH mula sa punto G hanggang sa linya BE 1. Sa isang tamang tatsulok A 1 BE 1 mayroon tayong A 1 B = ; A 1 E 1 =. Sagot: Samakatuwid, d = .

"Ang distansya sa pagitan ng mga tumatawid na linya" - Theorem. Paghahanda sa bibig na mga gawain. Hanapin ang distansya sa pagitan ng tuwid na linya MN at eroplano AA1D1D. Hanapin ang distansya sa pagitan ng tuwid na linya B1K at eroplanong DD1C1C. OK=OO1?OM/O1M =a/3 (ayon sa Pythagorean theorem O1M=3/2?2, OM=1/2?2). Ang diagonal na eroplanong AA1C1C ay patayo sa tuwid na linyang BD. Ang mga bagong posisyon ng mga puntong B at N ay magiging mga punto ng mga linyang AD at BM na pinakamalapit sa isa't isa.

"Distansya ng oras ng Bilis ng Aralin" - Pag-init ng matematika. Layunin ng aralin: turuan ang mga mag-aaral na lutasin ang mga problema sa paggalaw. Distansya. Gaano katagal maglakad ng 30 km sa pare-parehong bilis na 5 km/h? Ang relasyon sa pagitan ng bilis, oras at distansya. Ilang tao ang pumunta sa lungsod? Ang isang eroplano ay lumilipad ng distansya mula sa lungsod A hanggang sa lungsod B sa loob ng 1 oras 20 minuto.

"Speed time distance mathematics" - Bawasan ng 2 beses ang kabuuan ng mga numero 5 at 65. Hindi ko alam na pumunta sa buwan. Isang paglalakbay sa mga pahina ng isang fairy-tale book. Minuto ng pisikal na edukasyon. Alas 8 umalis ang isa at alas 10 naman ang isa. Pagbubuod. Tama ba si Laura? -Nalutas ni Laura ang sumusunod na problema: "500 km. bibiyahe ang sasakyan sa loob ng 10 oras. Oras. Ang susi sa pagsagot na "38" ay nagbubukas ng aklat:

"Direct speech dialogue" - Paano naiiba ang direktang pagsasalita sa dialogue? Halimbawa: Sinabi ni L.N. Tolstoy: "Lahat tayo ay nangangailangan ng isa't isa sa mundo." Direktang speech graphics. A: "p." Gawain 3. Palitan ng diyalogo ang tuwirang pananalita. Halimbawa: "P?" - A. "P!" - A. Ibigay ang tamang diagram para sa mga sumusunod na pangungusap. Dialogue graphics. Paano sumulat ng direktang pagsasalita at diyalogo?

"Mga pangungusap na may direktang pananalita" - Petronius, sinaunang Romanong manunulat. Laro "Hanapin ang error" (suriin). Mga salita ng may-akda na nagpapakilala ng tuwirang pananalita: Tumalikod ako at pumunta sa bahay ni Padre Gerasim. Dumating sa akin ang isang kaibigan mula sa nayon. Mga pangungusap na may direktang pananalita. Malikhaing gawain. Sa pagsulat, ang direktang pananalita ay nakapaloob sa mga panipi. Basahin!” - bulalas ni Konstantin Georgievich Paustovsky.

"Distansya at Scale" - Modelo ng isang atom sa isang mataas na magnification scale. Sa isang mapa na may iskala, ang distansya ay 5 cm Kung ang iskala ay ibinigay ng isang fraction na may numerator 1, kung gayon. Pinababang sukat na modelo ng isang trak ng bumbero. Algorithm para sa paghahanap ng distansya sa lupa: Sa kahabaan ng highway, ang haba ng ruta ay 700 km. Kumpletuhin ang pangungusap: Ang distansya sa pagitan ng dalawang lungsod ay 400 km.