Mga pagpapahayag ng kapangyarihan (mga ekspresyong may kapangyarihan) at ang kanilang pagbabago. Power na may rational exponent Mga halimbawa sa paksa kapangyarihan na may rational exponent

Guro sa matematika: Nashkenova A.N. Maybalyk secondary school Lesson plan sa paksang "Exponent with a rational exponent"

(algebra, ika-11 baitang)

Layunin ng aralin:

Palawakin at palalimin ang kaalaman ng mga mag-aaral sa mga kapangyarihan ng mga numero; pamilyar sa mga mag-aaral sa konsepto ng degree sa isang rational exponent at ang kanilang mga katangian;

Bumuo ng kaalaman, kasanayan at kakayahan upang makalkula ang mga halaga ng mga expression sa pamamagitan ng paggamit ng mga katangian;

Magpatuloy sa pag-unlad ng mga kasanayan sa pagsusuri, paghahambing, pag-highlight ng pangunahing bagay, tukuyin at ipaliwanag ang mga konsepto;

Upang bumuo ng kakayahang makipagkomunikasyon, ang kakayahang magbigay ng mga dahilan para sa mga aksyon ng isang tao, upang linangin ang kalayaan at pagsusumikap.

Kagamitan: aklat-aralin, handout card, laptop,materyal sa pagtatanghal Power Point ;

Uri ng aralin: isang aral sa pag-aaral at sa panimulang pagsasama-sama ng mga bagong kaalaman.

Plano ng aralin:

1.Org. sandali. - 1 min.

2.Pagganyak ng aralin.-2 minuto

3. Pag-update ng mga pangunahing kaalaman. - 5 minuto.

4.Pag-aaral ng bagong materyal. - 15 minuto.

5. Minuto ng pisikal na edukasyon - 1 min.

6.Pangunahing pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal - 10 minuto

7.Malayang gawain. - 7 min.

8. Takdang-Aralin. - 2 minuto.

9. Pagninilay – 1 min.

10. Buod ng aralin. - 1 min.

Sa panahon ng mga klase

1. Organisasyon sandali

Emosyonal na mood para sa aralin.

Gusto kong magtrabaho, gusto ko

trabaho,
Nais kong tagumpay ka ngayon.
Pagkatapos ng lahat, sa hinaharap ang lahat ay para sa iyo

ay magiging kapaki-pakinabang.
At ito ay magiging mas madali para sa iyo sa hinaharap

pag-aaral(Slide No. 1)

2.Pagganyak ng aralin

Ang mga operasyon ng exponentiation at root extraction, pati na rin ang apat na arithmetic operations, ay lumitaw bilang resulta ng praktikal na pangangailangan. Kaya, kasama ang problema ng pagkalkula ng lugar ng isang parisukat, ang gilidA na kilala, ang kabaligtaran na problema ay nakatagpo: "Anong haba ang dapat magkaroon ng gilid ng isang parisukat upang ang lawak nito ay katumbas ngV. Noong ika-14 at ika-15 na siglo, lumitaw ang mga bangko sa Kanlurang Europa, na nagbigay ng pera bilang interes sa mga prinsipe at mangangalakal, at tinustusan ang malayuang paglalakbay at mga pananakop sa mataas na antas ng interes. Upang mapadali ang mga kalkulasyon ng tambalang interes, nag-compile kami ng mga talahanayan kung saan maaari mong malaman kaagad kung magkano ang kailangan mong bayaran sa pamamagitan ngP taon kung ang halaga ay hiniramA Sa pamamagitan ngR % bawat taon. Ang halagang binayaran ay ipinahayag ng formula: s = a(1 + ) P Minsan ang pera ay hiniram hindi para sa isang buong bilang ng mga taon, ngunit halimbawa, para sa 2 taon 6 na buwan. Kung pagkatapos ng 2.5 taon ang halagaA contact aq , pagkatapos ay sa susunod na 2.5 taon ito ay tataas ng isa paq beses at magiging pantayaq 2 . Pagkatapos ng 5 taon:a=(1 + 5 , kaya lang q 2 = (1 + 5 At ibig sabihin q =

(Slide 2) .

Ito ay kung paano lumitaw ang ideya ng isang degree na may fractional exponent.

3. Pag-update ng mga pangunahing kaalaman.

Mga Tanong:

1.Ano ang ibig sabihin ng entry;A P

2. Ano ang A ?

3. Ano ang P ?

4. A -P =?

5. Isulat ang mga katangian ng isang degree na may integer exponent sa iyong notebook.

6. Anong mga numero ang natural, integer, rational? Iguhit ang mga ito gamit ang Euler circles.(Slide 3)

Mga sagot: 1. Degree na may integer exponent

2. a- base

3. P- exponent

4. A -P =

5. Mga katangian ng isang degree na may integer exponent:

a m *a n = a (m+n) ;

a m : a n = a (m-n) ( sa a Hindi pantay sero );

(a m ) n = a (m*n) ;

(a*b) n = a n *b n ;

(a/b) n = (a n )/(b n ) (sa b hindi katumbas ng zero);

a 1 = a;

a 0 = 1 (kasama ang a hindi katumbas ng zero);

Magiging wasto ang mga katangiang ito para sa anumang numerong a, b at anumang integer na m at n.

6.1,2,3, … - positibong numero – set ng natural na numero –N

0,-1,-2,-3,.. numero O at negatibong numero – isang set ng mga integer -Z

N

Mga bilog ni Euler (slide 4)

4. Pag-aaral ng bagong materyal.

Hayaan. A - ay isang hindi negatibong numero at kailangang itaas sa isang fractional na kapangyarihan . Alam mo ba ang pagkakapantay-pantay (A m ) n = a m n (slide 4) , ibig sabihin. tuntunin para sa pagtataas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan. Sa pagkakapantay-pantay sa itaas ay ipinapalagay natin iyon m = , pagkatapos ay makuha namin: (A ) P = a =a (slide 4)

Mula dito maaari nating tapusin na ito ayA ugat P - ika kapangyarihan ng numeroA , ibig sabihin. A = . kasunod nito (A P ) = P =a (slide 4).

Kaya naman A =(a ) m =(a m ) = m . ( slide 4 ).

Kaya, ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay humahawak:A = m (slide 4)

Kahulugan: antas ng isang di-negatibong numero A na may makatwirang exponent , Saan - irreducible fraction, ang halaga ng nth root ng isang numero ay tinatawag A T .

Samakatuwid, sa pamamagitan ng kahulugan A = m (slide 5)

Tingnan natin ang halimbawa 1 : Isulat ang degree na may rational exponent sa anyo ng nth root:

Lumiko ang iyong tingin sa kanan

Lumiko ang iyong tingin sa kaliwa

Nakatingin sa kisame

Napatingin ang lahat sa unahan.

Minsan - yumuko - ituwid,

Dalawa ─ yumuko - mag-inat,

Tatlo - tatlong palakpak ng iyong mga kamay,

Tatlong tango ng ulo.

Tahimik na umupo ang lima at anim.

At sa kalsada na naman! (slide 9)

6. Pangunahing pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal:

Pahina 51, No. 90, No. 91 – gawin mo mismo sa notebook,

na may tseke sa board

7.Malayang gawain

Opsyon 1

(Slide 10)

Opsyon 1

(Slide 11)

Magsagawa ng independiyenteng gawain na may mutual checking.

Mga sagot:

Opsyon 1

(Slide 12)

Kaya, ngayon sa aralin ay nakilala namin ang konsepto ng isang degree na may isang makatwirang exponent at natutunan na isulat ito sa anyo ng mga ugat, ilapat ang mga pangunahing katangian ng mga degree kapag hinahanap ang mga halaga ng mga numerical expression.8. Takdang-Aralin: No. 92, No. 93 Impormasyon sa takdang-aralin

9. Pagninilay

(Slide 13)

10. Buod ng aralin:

Ano ang mga pagkakatulad at pagkakaiba sa pagitan ng isang degree na may isang integer exponent at isang degree na may isang fractional exponent? (pagkakatulad: lahat ng katangian ng isang degree na may integer exponent ay mayroon ding degree na may rational exponent;

pagkakaiba: degree)

Ilista ang mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga rational exponents

Tapos na ang aralin ngayon,
Hindi ka maaaring maging mas palakaibigan.
Ngunit dapat malaman ng lahat:
Kaalaman, tiyaga, trabaho
Sila ay hahantong sa pag-unlad sa buhay.
Salamat sa aralin! (slide 14)

Ang aralin sa video na "Exponent with a rational exponent" ay naglalaman ng visual na materyal na pang-edukasyon para sa pagtuturo ng isang aralin sa paksang ito. Ang aralin sa video ay naglalaman ng impormasyon tungkol sa konsepto ng isang degree na may rational exponent, mga katangian ng naturang mga degree, pati na rin ang mga halimbawa na naglalarawan sa paggamit ng materyal na pang-edukasyon upang malutas ang mga praktikal na problema. Ang layunin ng araling video na ito ay malinaw at malinaw na ipakita ang materyal na pang-edukasyon, mapadali ang pagbuo at pagsasaulo nito ng mga mag-aaral, at bumuo ng kakayahang lutasin ang mga problema gamit ang mga natutunang konsepto.

Ang pangunahing bentahe ng aralin sa video ay ang kakayahang biswal na magsagawa ng mga pagbabago at kalkulasyon, ang kakayahang gumamit ng mga epekto ng animation upang mapabuti ang kahusayan sa pag-aaral. Ang saliw ng boses ay tumutulong sa pagbuo ng tamang matematikal na pagsasalita, at ginagawang posible na palitan ang paliwanag ng guro, na nagpapalaya sa kanya upang magsagawa ng indibidwal na gawain.

Nagsisimula ang aralin sa video sa pamamagitan ng pagpapakilala ng paksa. Kapag ikinonekta ang pag-aaral ng isang bagong paksa sa naunang pinag-aralan na materyal, iminumungkahi na tandaan na ang n √a ay tinutukoy ng isang 1/n para sa natural na n at positibong a. Ang representasyong n-root na ito ay ipinapakita sa screen. Susunod, iminumungkahi naming isaalang-alang kung ano ang ibig sabihin ng expression na a m/n, kung saan ang a ay isang positibong numero at ang m/n ay isang fraction. Ang kahulugan ng isang degree na may rational exponent bilang isang m/n = n √a m ay ibinigay, na naka-highlight sa frame. Nabanggit na ang n ay maaaring isang natural na numero, at ang m ay maaaring isang integer.

Pagkatapos tukuyin ang isang degree na may rational exponent, ang kahulugan nito ay inihayag sa pamamagitan ng mga halimbawa: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Nagpapakita rin ito ng isang halimbawa kung saan ang isang kapangyarihan na kinakatawan ng isang decimal ay na-convert sa isang fraction na kinakatawan bilang isang ugat: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 at isang halimbawa na may negatibong kapangyarihan: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

Ang kakaiba ng espesyal na kaso kapag ang base ng antas ay zero ay ipinahiwatig nang hiwalay. Nabanggit na ang antas na ito ay may katuturan lamang sa isang positibong fractional exponent. Sa kasong ito, ang halaga nito ay zero: 0 m/n =0.

Ang isa pang tampok ng isang degree na may rational exponent ay nabanggit - na ang isang degree na may fractional exponent ay hindi maaaring isaalang-alang sa isang fractional exponent. Ang mga halimbawa ng maling notasyon ng mga degree ay ibinigay: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Susunod sa aralin sa video, tinatalakay natin ang mga katangian ng isang degree na may rational exponent. Nabanggit na ang mga katangian ng isang degree na may integer exponent ay magiging wasto din para sa isang degree na may rational exponent. Iminumungkahi na alalahanin ang listahan ng mga ari-arian na may bisa din sa kasong ito:

1. Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga base, ang kanilang mga exponents ay nagdaragdag: a p a q =a p+q.
2. Ang dibisyon ng mga degree na may parehong mga base ay binabawasan sa isang degree na may isang ibinigay na base at ang pagkakaiba sa mga exponents: a p:a q =a p-q.
3. Kung itataas natin ang antas sa isang tiyak na kapangyarihan, pagkatapos ay magtatapos tayo sa isang antas na may ibinigay na base at ang produkto ng mga exponents: (a p) q =a pq.

Ang lahat ng mga katangiang ito ay may bisa para sa mga kapangyarihan na may mga rational exponents p, q at positibong base a>0. Gayundin, ang mga pagbabago sa antas kapag nagbubukas ng mga panaklong ay nananatiling totoo:

1. (ab) p =a p b p - pagtaas sa ilang kapangyarihan na may rasyonal na exponent ang produkto ng dalawang numero ay binabawasan sa produkto ng mga numero, na ang bawat isa ay itinaas sa isang ibinigay na kapangyarihan.
2. (a/b) p =a p /b p - ang pagtaas ng isang fraction sa isang kapangyarihan na may rational exponent ay binabawasan sa isang fraction na ang numerator at denominator ay itinaas sa isang ibinigay na kapangyarihan.

Tinatalakay ng video tutorial ang paglutas ng mga halimbawa na gumagamit ng mga itinuturing na katangian ng mga kapangyarihan na may makatwirang exponent. Hinihiling sa iyo ng unang halimbawa na hanapin ang halaga ng isang expression na naglalaman ng mga variable x sa isang fractional power: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Sa kabila ng pagiging kumplikado ng pagpapahayag, gamit ang mga katangian ng mga kapangyarihan, maaari itong malutas nang simple. Ang paglutas ng problema ay nagsisimula sa pagpapasimple ng expression, na gumagamit ng panuntunan ng pagtaas ng kapangyarihan na may rational exponent sa isang kapangyarihan, pati na rin ang pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base. Matapos palitan ang ibinigay na halaga x=8 sa pinasimple na expression x 1/3 +48, ​​​​madaling makuha ang halaga - 50.

Sa pangalawang halimbawa, kailangan mong bawasan ang isang fraction na ang numerator at denominator ay naglalaman ng mga kapangyarihan na may rational exponent. Gamit ang mga katangian ng degree, kinukuha namin mula sa pagkakaiba ang factor x 1/3, na pagkatapos ay nabawasan sa numerator at denominator, at gamit ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat, ang numerator ay factorized, na nagbibigay ng karagdagang mga pagbawas ng magkapareho salik sa numerator at denominator. Ang resulta ng naturang pagbabago ay ang maikling fraction x 1/4 +3.

Ang video lesson na "Exponent with a rational exponent" ay maaaring gamitin sa halip na ipaliwanag ng guro ang isang bagong paksa ng aralin. Ang manwal na ito ay naglalaman din ng sapat na kumpletong impormasyon para sa mag-aaral na makapag-aral nang nakapag-iisa. Ang materyal ay maaari ding maging kapaki-pakinabang para sa distance learning.

Mga expression, conversion ng expression

Mga ekspresyon ng kapangyarihan (mga ekspresyong may kapangyarihan) at ang kanilang pagbabago

Sa artikulong ito ay pag-uusapan natin ang tungkol sa pag-convert ng mga expression na may mga kapangyarihan. Una, tututuon tayo sa mga pagbabagong ginagawa gamit ang anumang uri ng mga expression, kabilang ang mga power expression, gaya ng pagbubukas ng mga panaklong at pagdadala ng mga katulad na termino. At pagkatapos ay susuriin natin ang mga pagbabagong likas na partikular sa mga expression na may mga degree: nagtatrabaho sa base at exponent, gamit ang mga katangian ng mga degree, atbp.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang mga pagpapahayag ng kapangyarihan?

Ang terminong "mga expression ng kapangyarihan" ay halos hindi lumilitaw sa mga aklat-aralin sa matematika ng paaralan, ngunit ito ay madalas na lumilitaw sa mga koleksyon ng mga problema, lalo na ang mga inilaan para sa paghahanda para sa Pinag-isang Estado na Pagsusulit at ang Pinag-isang Estado na Pagsusulit, halimbawa. Matapos suriin ang mga gawain kung saan kinakailangan na magsagawa ng anumang mga aksyon na may mga pagpapahayag ng kapangyarihan, nagiging malinaw na ang mga pagpapahayag ng kapangyarihan ay nauunawaan bilang mga ekspresyong naglalaman ng mga kapangyarihan sa kanilang mga entry. Samakatuwid, maaari mong tanggapin ang sumusunod na kahulugan para sa iyong sarili:

Kahulugan.

Mga pagpapahayag ng kapangyarihan ay mga expression na naglalaman ng mga degree.

Pagbigyan natin mga halimbawa ng pagpapahayag ng kapangyarihan. Bukod dito, ipapakita namin ang mga ito ayon sa kung paano nangyayari ang pagbuo ng mga pananaw mula sa isang antas na may natural na exponent hanggang sa isang degree na may totoong exponent.

Gaya ng nalalaman, ang una ay nakikilala ang kapangyarihan ng isang numero na may natural na exponent sa yugtong ito, ang unang pinakasimpleng pagpapahayag ng kapangyarihan ng uri 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 ay lilitaw −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 atbp.

Maya-maya, pinag-aralan ang kapangyarihan ng isang numero na may integer exponent, na humahantong sa paglitaw ng mga power expression na may negatibong integer na kapangyarihan, tulad ng sumusunod: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

Sa mataas na paaralan ay bumalik sila sa degree. Doon, ipinakilala ang isang degree na may rational exponent, na nagsasangkot ng hitsura ng kaukulang mga expression ng kapangyarihan: , , at iba pa. Panghuli, ang mga degree na may mga hindi makatwirang exponents at mga expression na naglalaman ng mga ito ay isinasaalang-alang: , .

Ang usapin ay hindi limitado sa mga nakalistang power expression: lalo pang pumapasok ang variable sa exponent, at, halimbawa, ang mga sumusunod na expression ay lumabas: 2 x 2 +1 o . At pagkatapos na makilala ang , ang mga expression na may mga kapangyarihan at logarithms ay nagsisimulang lumitaw, halimbawa, x 2·lgx −5·x lgx.

Kaya, tinalakay natin ang tanong kung ano ang kinakatawan ng mga power expression. Susunod ay matututo tayong i-convert ang mga ito.

Ang mga pangunahing uri ng pagbabago ng mga pagpapahayag ng kapangyarihan

Gamit ang mga power expression, maaari mong gawin ang alinman sa mga pangunahing pagbabago sa pagkakakilanlan ng mga expression. Halimbawa, maaari mong buksan ang mga panaklong, palitan ang mga numerical na expression ng kanilang mga halaga, magdagdag ng mga katulad na termino, atbp. Naturally, sa kasong ito, kinakailangan na sundin ang tinatanggap na pamamaraan para sa pagsasagawa ng mga aksyon. Magbigay tayo ng mga halimbawa.

Halimbawa.

Kalkulahin ang halaga ng power expression 2 3 ·(4 2 −12) .

Solusyon.

Ayon sa pagkakasunud-sunod ng pagpapatupad ng mga aksyon, gawin muna ang mga aksyon sa mga bracket. Doon, una, pinapalitan namin ang kapangyarihan 4 2 sa halaga nito na 16 (kung kinakailangan, tingnan), at pangalawa, kinakalkula namin ang pagkakaiba 16−12=4. Meron kami 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Sa resultang expression, pinapalitan namin ang power 2 3 ng value nito na 8, pagkatapos ay kalkulahin namin ang produkto 8·4=32. Ito ang nais na halaga.

Kaya, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Sagot:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Halimbawa.

Pasimplehin ang mga expression na may kapangyarihan 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Solusyon.

Malinaw, ang expression na ito ay naglalaman ng magkatulad na mga termino 3·a 4 ·b −7 at 2·a 4 ·b −7 , at maaari nating ipakita ang mga ito: .

Sagot:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Halimbawa.

Ipahayag ang isang expression na may mga kapangyarihan bilang isang produkto.

Solusyon.

Maaari mong makayanan ang gawain sa pamamagitan ng pagkatawan sa numero 9 bilang isang kapangyarihan ng 3 2 at pagkatapos ay gamitin ang formula para sa pinaikling multiplikasyon - pagkakaiba ng mga parisukat:

Sagot:

Mayroon ding ilang magkakaparehong pagbabagong likas na partikular sa mga pagpapahayag ng kapangyarihan. Susuriin pa natin ang mga ito.

Paggawa gamit ang base at exponent

May mga degree na ang base at/o exponent ay hindi lamang mga numero o variable, ngunit ilang expression. Bilang halimbawa, binibigyan namin ang mga entry (2+0.3·7) 5−3.7 at (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Kapag nagtatrabaho sa gayong mga expression, maaari mong palitan ang parehong expression sa base ng degree at ang expression sa exponent na may magkaparehong expression sa ODZ ng mga variable nito. Sa madaling salita, ayon sa mga alituntuning kilala sa amin, maaari naming hiwalay na ibahin ang anyo ng base ng degree at hiwalay na exponent. Malinaw na bilang isang resulta ng pagbabagong ito, ang isang expression ay makukuha na kapareho ng orihinal.

Ang ganitong mga pagbabago ay nagpapahintulot sa amin na pasimplehin ang mga expression na may mga kapangyarihan o makamit ang iba pang mga layunin na kailangan namin. Halimbawa, sa power expression na binanggit sa itaas (2+0.3 7) 5−3.7, maaari kang magsagawa ng mga operasyon gamit ang mga numero sa base at exponent, na magbibigay-daan sa iyong lumipat sa power 4.1 1.3. At pagkatapos buksan ang mga bracket at dalhin ang mga katulad na termino sa base ng degree (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), nakakakuha tayo ng power expression ng isang mas simpleng anyo a 2·(x+ 1) .

Paggamit ng Degree Properties

Ang isa sa mga pangunahing tool para sa pagbabago ng mga expression na may kapangyarihan ay ang mga pagkakapantay-pantay na sumasalamin sa . Alalahanin natin ang mga pangunahing. Para sa anumang positibong numero a at b at arbitrary real na numero r at s, ang mga sumusunod na katangian ng mga kapangyarihan ay totoo:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Tandaan na para sa natural, integer, at positibong exponent, maaaring hindi masyadong mahigpit ang mga paghihigpit sa mga numerong a at b. Halimbawa, para sa mga natural na bilang na m at n ang pagkakapantay-pantay a m ·a n =a m+n ay totoo hindi lamang para sa positibong a, kundi pati na rin para sa negatibong a, at para sa a=0.

Sa paaralan, ang pangunahing pokus kapag binabago ang mga expression ng kapangyarihan ay ang kakayahang pumili ng naaangkop na pag-aari at ilapat ito nang tama. Sa kasong ito, ang mga base ng mga degree ay karaniwang positibo, na nagpapahintulot sa mga katangian ng mga degree na magamit nang walang mga paghihigpit. Ang parehong naaangkop sa pagbabagong-anyo ng mga expression na naglalaman ng mga variable sa mga base ng mga kapangyarihan - ang saklaw ng mga pinahihintulutang halaga ng mga variable ay kadalasang tulad na ang mga base ay kumukuha lamang ng mga positibong halaga dito, na nagpapahintulot sa iyo na malayang gamitin ang mga katangian ng mga kapangyarihan . Sa pangkalahatan, kailangan mong patuloy na tanungin ang iyong sarili kung posible na gumamit ng anumang pag-aari ng mga degree sa kasong ito, dahil ang hindi tumpak na paggamit ng mga pag-aari ay maaaring humantong sa isang pagpapaliit ng halaga ng edukasyon at iba pang mga problema. Ang mga puntong ito ay tinalakay nang detalyado at may mga halimbawa sa artikulong pagbabago ng mga ekspresyon gamit ang mga katangian ng mga kapangyarihan. Dito ay lilimitahan natin ang ating sarili sa pagsasaalang-alang ng ilang simpleng halimbawa.

Halimbawa.

Ipahayag ang expression na a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 bilang isang kapangyarihan na may base a.

Solusyon.

Una, binabago natin ang pangalawang kadahilanan (a 2) −3 gamit ang pag-aari ng pagtaas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Ang orihinal na expression ng kapangyarihan ay kukuha ng anyong 2.5 ·a −6:a −5.5. Malinaw, nananatili itong gamitin ang mga katangian ng pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, mayroon tayo
a 2.5 ·a −6:a −5.5 =
a 2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

Sagot:

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2.

Ang mga katangian ng mga kapangyarihan kapag nagpapalit ng mga expression ng kapangyarihan ay ginagamit mula kaliwa pakanan at mula kanan pakaliwa.

Halimbawa.

Hanapin ang halaga ng pagpapahayag ng kapangyarihan.

Solusyon.

Ang pagkakapantay-pantay (a·b) r =a r ·b r, inilapat mula sa kanan papuntang kaliwa, ay nagbibigay-daan sa amin na lumipat mula sa orihinal na expression patungo sa isang produkto ng anyo at higit pa. At kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga base, ang mga exponent ay nagdaragdag: .

Posibleng baguhin ang orihinal na expression sa ibang paraan:

Sagot:

.

Halimbawa.

Dahil sa power expression a 1.5 −a 0.5 −6, magpakilala ng bagong variable t=a 0.5.

Solusyon.

Ang degree a 1.5 ay maaaring katawanin bilang isang 0.5 3 at pagkatapos, batay sa pag-aari ng degree sa degree (a r) s =a r s, inilapat mula kanan pakaliwa, ibahin ito sa anyo (a 0.5) 3. kaya, a 1.5 −a 0.5 −6=(a 0.5) 3 −a 0.5 −6. Ngayon ay madaling magpakilala ng bagong variable t=a 0.5, nakukuha natin ang t 3 −t−6.

Sagot:

t 3 −t−6 .

Pag-convert ng mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan

Ang mga power expression ay maaaring maglaman o kumatawan ng mga fraction na may kapangyarihan. Ang alinman sa mga pangunahing pagbabago ng mga fraction na likas sa mga fraction ng anumang uri ay ganap na naaangkop sa mga naturang fraction. Iyon ay, ang mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan ay maaaring bawasan, bawasan sa isang bagong denominator, gumana nang hiwalay sa kanilang numerator at hiwalay sa denominator, atbp. Upang ilarawan ang mga salitang ito, isaalang-alang ang mga solusyon sa ilang halimbawa.

Halimbawa.

Pasimplehin ang pagpapahayag ng kapangyarihan .

Solusyon.

Ang power expression na ito ay isang fraction. Gawin natin ang numerator at denominator nito. Sa numerator binubuksan namin ang mga bracket at pinasimple ang nagresultang expression gamit ang mga katangian ng mga kapangyarihan, at sa denominator ay nagpapakita kami ng mga katulad na termino:

At baguhin din natin ang sign ng denominator sa pamamagitan ng paglalagay ng minus sa harap ng fraction: .

Sagot:

.

Ang pagbabawas ng mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan sa isang bagong denominator ay isinasagawa katulad ng pagbabawas ng mga rational fraction sa isang bagong denominator. Sa kasong ito, ang isang karagdagang kadahilanan ay matatagpuan din at ang numerator at denominator ng fraction ay pinarami nito. Kapag isinasagawa ang aksyon na ito, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala na ang pagbawas sa isang bagong denominator ay maaaring humantong sa isang pagpapaliit ng ODZ. Upang maiwasang mangyari ito, kinakailangan na ang karagdagang kadahilanan ay hindi pumunta sa zero para sa anumang mga halaga ng mga variable mula sa mga variable ng ODZ para sa orihinal na expression.

Halimbawa.

Bawasan ang mga fraction sa isang bagong denominator: a) sa denominator a, b) sa denominator.

Solusyon.

a) Sa kasong ito, medyo madaling malaman kung aling karagdagang multiplier ang tumutulong upang makamit ang ninanais na resulta. Ito ay isang multiplier ng isang 0.3, dahil ang isang 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a. Tandaan na sa hanay ng mga pinahihintulutang halaga ng variable a (ito ang hanay ng lahat ng positibong tunay na numero), ang kapangyarihan ng isang 0.3 ay hindi naglalaho, samakatuwid, may karapatan tayong i-multiply ang numerator at denominator ng isang naibigay na fraction sa pamamagitan ng karagdagang salik na ito:

b) Kung susuriing mabuti ang denominator, makikita mo iyon

at ang pagpaparami ng expression na ito sa ay magbibigay ng kabuuan ng mga cube at , iyon ay, . At ito ang bagong denominator kung saan kailangan nating bawasan ang orihinal na fraction.

Ito ay kung paano kami nakakita ng karagdagang kadahilanan. Sa hanay ng mga pinahihintulutang halaga ng mga variable na x at y, ang expression ay hindi nawawala, samakatuwid, maaari nating i-multiply ang numerator at denominator ng fraction sa pamamagitan nito:

Sagot:

A) , b) .

Wala ring bago sa pagbabawas ng mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan: ang numerator at denominator ay kinakatawan bilang isang bilang ng mga kadahilanan, at ang parehong mga kadahilanan ng numerator at denominator ay nababawasan.

Halimbawa.

Bawasan ang fraction: a) , b).

Solusyon.

a) Una, ang numerator at denominator ay maaaring bawasan ng mga numerong 30 at 45, na katumbas ng 15. Malinaw ding posible na magsagawa ng pagbawas ng x 0.5 +1 at ng . Narito ang mayroon tayo:

b) Sa kasong ito, ang magkaparehong salik sa numerator at denominator ay hindi agad makikita. Upang makuha ang mga ito, kailangan mong magsagawa ng mga paunang pagbabago. Sa kasong ito, binubuo sila sa pag-factor ng denominator gamit ang formula ng pagkakaiba ng mga parisukat:

Sagot:

A)

b) .

Ang pag-convert ng mga fraction sa isang bagong denominator at pagbabawas ng mga fraction ay pangunahing ginagamit upang gawin ang mga bagay na may mga fraction. Ang mga aksyon ay isinasagawa ayon sa mga kilalang tuntunin. Kapag nagdadagdag (nagbabawas) ng mga fraction, ang mga ito ay binabawasan sa isang karaniwang denominator, pagkatapos ay ang mga numerator ay idinagdag (binawas), ngunit ang denominator ay nananatiling pareho. Ang resulta ay isang fraction na ang numerator ay produkto ng mga numerator, at ang denominator ay produkto ng mga denominador. Ang paghahati sa isang fraction ay multiplikasyon sa kabaligtaran nito.

Halimbawa.

Sundin ang mga hakbang .

Solusyon.

Una, ibawas natin ang mga fraction sa panaklong. Upang gawin ito, dinadala namin ang mga ito sa isang karaniwang denominator, na , pagkatapos nito ibawas namin ang mga numerator:

Ngayon pinarami namin ang mga fraction:

Malinaw, ito ay posible na bawasan sa pamamagitan ng isang kapangyarihan ng x 1/2, pagkatapos nito ay mayroon na tayo .

Maaari mo ring gawing simple ang power expression sa denominator sa pamamagitan ng paggamit ng difference ng squares formula: .

Sagot:

Halimbawa.

Pasimplehin ang Power Expression .

Solusyon.

Malinaw, ang fraction na ito ay maaaring bawasan ng (x 2.7 +1) 2, ito ay nagbibigay ng fraction . Malinaw na may ibang kailangang gawin sa mga kapangyarihan ng X. Para magawa ito, ginagawa naming produkto ang resultang fraction. Nagbibigay ito sa amin ng pagkakataong samantalahin ang pag-aari ng paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan: . At sa dulo ng proseso ay lumipat tayo mula sa huling produkto patungo sa fraction.

Sagot:

.

At idagdag din natin na posible, at sa maraming pagkakataon ay kanais-nais, na ilipat ang mga kadahilanan na may negatibong exponent mula sa numerator patungo sa denominator o mula sa denominator patungo sa numerator, na binabago ang tanda ng exponent. Ang ganitong mga pagbabago ay kadalasang nagpapasimple ng mga karagdagang aksyon. Halimbawa, ang isang power expression ay maaaring palitan ng .

Pag-convert ng mga expression na may mga ugat at kapangyarihan

Kadalasan, sa mga expression kung saan kinakailangan ang ilang pagbabago, ang mga ugat na may fractional exponents ay naroroon din kasama ng mga kapangyarihan. Upang mabago ang gayong ekspresyon sa nais na anyo, sa karamihan ng mga kaso ito ay sapat na upang pumunta lamang sa mga ugat o lamang sa mga kapangyarihan. Ngunit dahil ito ay mas maginhawa upang gumana sa mga kapangyarihan, sila ay karaniwang lumipat mula sa mga ugat patungo sa mga kapangyarihan. Gayunpaman, ipinapayong magsagawa ng gayong paglipat kapag ang ODZ ng mga variable para sa orihinal na expression ay nagpapahintulot sa iyo na palitan ang mga ugat ng mga kapangyarihan nang hindi kinakailangang sumangguni sa module o hatiin ang ODZ sa ilang mga pagitan (tinalakay namin ito nang detalyado sa ang paglipat ng artikulo mula sa mga ugat patungo sa mga kapangyarihan at pabalik Pagkatapos makilala ang antas na may makatwirang exponent ay ipinakilala ang isang degree na may hindi makatwiran na exponent, na nagpapahintulot sa amin na pag-usapan ang isang degree na may arbitrary na tunay na exponent Sa yugtong ito, nagsisimula itong maging nag-aral sa paaralan. exponential function, na analytically na ibinigay ng isang kapangyarihan, ang base nito ay isang numero, at ang exponent ay isang variable. Kaya tayo ay nahaharap sa mga expression ng kapangyarihan na naglalaman ng mga numero sa base ng kapangyarihan, at sa exponent - mga expression na may mga variable, at natural na ang pangangailangan ay lumitaw upang maisagawa ang mga pagbabagong-anyo ng naturang mga expression.

Dapat sabihin na ang pagbabagong-anyo ng mga expression ng ipinahiwatig na uri ay karaniwang kailangang isagawa kapag nagresolba mga exponential equation At exponential inequalities, at ang mga conversion na ito ay medyo simple. Sa napakaraming kaso, ang mga ito ay nakabatay sa mga katangian ng antas at nilalayon, sa karamihan, sa pagpapakilala ng bagong variable sa hinaharap. Ang equation ay magpapahintulot sa amin na ipakita ang mga ito 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Una, ang mga kapangyarihan, sa mga exponents na kung saan ay ang kabuuan ng isang tiyak na variable (o expression na may mga variable) at isang numero, ay pinapalitan ng mga produkto. Nalalapat ito sa una at huling termino ng expression sa kaliwang bahagi:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Susunod, ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay ay hinati ng expression 7 2 x, na sa ODZ ng variable x para sa orihinal na equation ay tumatagal lamang ng mga positibong halaga (ito ay isang karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng ganitong uri, hindi kami pinag-uusapan ito ngayon, kaya tumuon sa mga kasunod na pagbabago ng mga expression na may mga kapangyarihan ):

Ngayon ay maaari nating kanselahin ang mga fraction na may mga kapangyarihan, na nagbibigay .

Sa wakas, ang ratio ng mga kapangyarihan na may parehong exponents ay pinalitan ng mga kapangyarihan ng mga relasyon, na nagreresulta sa equation , na katumbas . Ang mga pagbabagong ginawa ay nagpapahintulot sa amin na magpakilala ng isang bagong variable, na binabawasan ang solusyon ng orihinal na exponential equation sa solusyon ng isang quadratic equation

Ang expression na a n (power na may integer exponent) ay tutukuyin sa lahat ng kaso, maliban sa kaso kapag ang a = 0 at n ay mas mababa sa o katumbas ng zero.

Mga katangian ng mga degree

Mga pangunahing katangian ng mga degree na may integer exponent:

a m *a n = a (m+n) ;

a m: a n = a (m-n) (na may a hindi katumbas ng zero);

(a m) n = a (m*n) ;

(a*b) n = a n *b n ;

(a/b) n = (a n)/(b n) (na may b hindi katumbas ng zero);

a 0 = 1 (na may a hindi katumbas ng zero);

Magiging wasto ang mga katangiang ito para sa anumang numerong a, b at anumang integer na m at n. Ito rin ay nagkakahalaga ng pagpuna sa sumusunod na ari-arian:

Kung m>n, pagkatapos ay a m > a n, para sa a>1 at isang m

Maaari nating gawing pangkalahatan ang konsepto ng kapangyarihan ng isang numero sa mga kaso kung saan ang mga rational na numero ay gumaganap bilang exponent. Kasabay nito, nais kong matupad ang lahat ng mga katangian sa itaas, o hindi bababa sa ilan sa mga ito.

Halimbawa, kung ang ari-arian (a m) n = a (m*n) ay nasiyahan, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay mananatili:

(a (m/n)) n = a m .

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay nangangahulugan na ang numerong a (m/n) ay dapat na ika-na ugat ng numerong a m.

Ang kapangyarihan ng ilang numerong a (higit sa zero) na may rational exponent r = (m/n), kung saan ang m ay ilang integer, n ay ilang natural na bilang na mas malaki sa isa, ay ang bilang n√(isang m). Batay sa kahulugan: a (m/n) = n√(a m).

Para sa lahat ng positibong r, ang kapangyarihan ng zero ay matutukoy. Sa pamamagitan ng kahulugan, 0 r = 0. Tandaan din na para sa anumang integer, anumang natural na m at n, at positibo A ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo: a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .

Halimbawa: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12).

Mula sa kahulugan ng isang degree na may rational exponent ito ay direktang sumusunod na para sa anumang positibong a at anumang rational r ang bilang a r ay magiging positibo.

Mga pangunahing katangian ng isang degree na may rational exponent

Para sa anumang mga rational na numero p, q at anumang a>0 at b>0 ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo:

1. (a p)*(a q) = a (p+q) ;

2. (a p):(b q) = a (p-q) ;

3. (a p) q = a (p*q) ;

4. (a*b) p = (a p)*(b p);

5. (a/b) p = (a p)/(b p).

Ang mga katangiang ito ay sumusunod mula sa mga katangian ng mga ugat. Ang lahat ng mga pag-aari na ito ay napatunayan sa katulad na paraan, kaya lilimitahan natin ang ating sarili sa pagpapatunay lamang ng isa sa mga ito, halimbawa, ang una (a p)*(a q) = a (p + q) .

Hayaan ang p = m/n, at q = k/l, kung saan ang n, l ay ilang natural na numero, at m, k ay ilang integer. Pagkatapos ay kailangan mong patunayan na:

(a (m/n))*(a (k/l)) = a ((m/n) + (k/l)) .

Una, dalhin natin ang mga fraction m/n k/l sa isang common denominator. Nakukuha namin ang mga fraction (m*l)/(n*l) at (k*n)/(n*l). Isulat muli natin ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay gamit ang mga notasyong ito at makuha ang:

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ).

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ) = (n*l)√(a (m*l))*(n*l)√(a (k*n)) = (n*l)√((a (m*l))*(a (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m /n)+(k/l)) .

Aralin Blg. 30 (Algebra at pangunahing pagsusuri, ika-11 baitang)

Paksa ng aralin: Degree sa isang rational exponent.

Layunin ng Aralin: 1 . Palawakin ang konsepto ng degree, ibigay ang konsepto ng degree na may rational exponent; ituro kung paano i-convert ang isang degree na may isang rational exponent sa isang ugat at vice versa; kalkulahin ang mga kapangyarihan gamit ang rational exponent.

2. Pag-unlad ng memorya at pag-iisip.

3. Pagbuo ng aktibidad.

"Hayaan ang isang tao na subukang tumawid

mula sa antas ng matematika, at makikita niya,

Na hindi ka makakalayo kung wala sila." M.V. Lomonosov

Sa panahon ng mga klase.

I. Paglalahad ng paksa at layunin ng aralin.

II. Pag-uulit at pagsasama-sama ng materyal na sakop.

1. Pagsusuri ng hindi nalutas na mga halimbawa ng tahanan.

2. Pangangasiwa sa malayang gawain:

Opsyon 1.

1. Lutasin ang equation: √(2x – 1) = 3x – 12

2. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay: √(3x – 2) ≥ 4 – x

Opsyon 2.

1. Lutasin ang equation: 3 – 2x = √(7x + 32)

2. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay: √(3x + 1) ≥ x – 1

III. Pag-aaral ng bagong materyal.

1 . Alalahanin natin ang pagpapalawak ng konsepto ng mga numero: N є Z є Q є R.

Ito ay pinakamahusay na kinakatawan ng diagram sa ibaba:

Natural (N)

Zero

Di-negatibong mga numero

Mga negatibong numero

Mga fractional na numero

Integer (Z)

Hindi makatwiran

Rational (Q)

Mga totoong numero

2. Sa mas mababang mga grado, tinukoy ang konsepto ng kapangyarihan ng isang numero na may integer exponent. a) Tandaan ang kahulugan ng exponent a) na may natural, b) na may negatibong integer, c) na may zero exponent.Bigyang-diin na ang ekspresyong a n makatuwiran para sa lahat ng integer n at anumang mga halaga ng a, maliban sa a=0 at n≤0.

b) Ilista ang mga katangian ng mga degree na may integer exponent.

3. Oral na gawain.

1). Kalkulahin: 1 -5 ; 4 -3 ; (-100 ; (-5) -2 ; (1/2) -4 ; (3/7) -1 .

2). Isulat ito bilang isang kapangyarihan na may negatibong exponent:

1/4 5 ;1/21 3 ; 1/x 7 ; 1/a 9.

3).Ihambing sa yunit: 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .

4 . Ngayon ay kailangan mong maunawaan ang kahulugan ng mga expression 3 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 atbp. Upang gawin ito, kinakailangan na gawing pangkalahatan ang konsepto ng degree sa paraang ang lahat ng nakalistang katangian ng mga degree ay nasiyahan. Isaalang-alang ang pagkakapantay-pantay (a m/n ) n = isang m . Pagkatapos, sa pamamagitan ng kahulugan ng nth root, makatwirang ipagpalagay na a m/n ang magiging ika-1 ugat ng a m . Ang isang kahulugan ng degree na may isang rational exponent ay ibinigay.

5. Isaalang-alang ang mga halimbawa 1 at 2 mula sa aklat-aralin.

6. Gumawa tayo ng ilang mga komento na may kaugnayan sa konsepto ng isang degree na may rational exponent.

Tandaan 1 : Para sa alinmang a>0 at rational number r, ang numerong a r >0

Tandaan 2 : Sa pamamagitan ng pangunahing pag-aari ng mga fraction, ang rational number na m/n ay maaaring isulat bilang mk/nk para sa anumang natural na bilang k. Pagkataposang halaga ng antas ay hindi nakasalalay sa anyo ng pagsulat ng rational na numero, dahil a mk/nk = = nk √a mk = n √a m = a m/n

Tandaan 3: Kapag a Ipaliwanag natin ito sa isang halimbawa. Isaalang-alang ang (-64) 1/3 = 3 √-64 = -4. Sa kabilang banda: 1/3 = 2/6 at pagkatapos ay (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. Nakakakuha tayo ng kontradiksyon.