Kesişen çizgiler arasındaki mesafeyi bulma problemlerini çözmenin dört yolu. İki kesişen çizgi arasındaki mesafe Uzaydaki çizgiler arasındaki mesafe

Geometri ders kitaplarında, çeşitli problem koleksiyonlarında ve üniversitelere hazırlık ders kitaplarında yer alan çok sayıda stereometrik problem arasında, kesişen çizgiler arasındaki mesafeyi bulma problemleri oldukça nadirdir. Belki de bu, hem pratik uygulamalarının darlığından (alanları ve hacimleri hesaplamak için problemleri "kazanmak" yerine okul müfredatına göre) hem de bu konunun karmaşıklığından kaynaklanmaktadır.

Birleşik Devlet Sınavını yürütme uygulaması, birçok öğrencinin sınav kağıdında yer alan geometri görevlerini tamamlamaya bile başlamadığını göstermektedir. Artan karmaşıklık düzeyindeki geometrik görevlerin başarılı bir şekilde tamamlanmasını sağlamak için, düşünme esnekliğini, amaçlanan konfigürasyonu analiz etme ve içindeki parçaları izole etme yeteneğini geliştirmek gerekir; bunun dikkate alınması, kişinin sorunu çözmenin bir yolunu bulmasına olanak tanır. sorun.

Okul kursu, kesişen çizgiler arasındaki mesafeyi bulma problemlerini çözmenin dört yolunu incelemeyi içerir. Yöntemin seçimi, her şeyden önce belirli bir görevin özelliklerine, seçim için sağladığı fırsatlara ve ikinci olarak belirli bir öğrencinin "mekansal düşünme" yeteneklerine ve özelliklerine göre belirlenir. Bu yöntemlerin her biri, problemin en önemli kısmını çözmenize izin verir - her iki kesişen çizgiye dik bir bölüm oluşturmak (problemin hesaplamalı kısmı için yöntemlere bölünmeye gerek yoktur).

Geçiş çizgileri arasındaki mesafeyi bulma problemlerini çözmenin temel yöntemleri

İki çarpık çizginin ortak dikme uzunluğunun bulunması; uçları bu çizgiler üzerinde olan ve bu çizgilerin her birine dik olan bir parça.

Kesişen doğrulardan birinden, diğer doğrudan geçen ona paralel bir düzleme olan mesafenin bulunması.

Verilen kesişen doğrulardan geçen iki paralel düzlem arasındaki mesafenin bulunması.

Kesişen çizgilerden birinin kendisine dik bir düzleme ("ekran" adı verilen) izdüşümü olan bir noktadan aynı düzleme başka bir çizginin izdüşümüne olan mesafeyi bulmak.

Aşağıdaki en basit yöntemi kullanarak dört yöntemin tümünü gösterelim. görev: "Kenarlı bir küpün içinde A herhangi bir kenar ile onu kesmeyen yüzün köşegeni arasındaki mesafeyi bulun." Cevap: .

Resim 1

h skr köşegeni içeren yan yüz düzlemine diktir D ve kenara dik olduğundan, sskr ve kenar arasındaki mesafedir A ve çapraz D.

şekil 2

A düzlemi kenara paraleldir ve verilen köşegenden geçer, dolayısıyla verilen sskr sadece kenardan A düzlemine olan mesafe değil, aynı zamanda kenardan verilen köşegene olan mesafedir.

Figür 3

A ve B düzlemleri paraleldir ve verilen iki eğri çizgiden geçer, dolayısıyla bu düzlemler arasındaki mesafe iki eğri çizgi arasındaki mesafeye eşittir.

Şekil 4

A düzlemi küpün kenarına diktir. A köşegenlerine yansıtıldığında D bu köşegen küpün tabanının kenarlarından birine döner. Bu sskr kenarı içeren çizgi ile köşegenin C düzlemindeki izdüşümü arasındaki ve dolayısıyla kenarı içeren çizgi ile köşegen arasındaki mesafedir.

Okulda incelenen çokyüzlüler için her yöntemin uygulanması üzerinde daha ayrıntılı olarak duralım.

İlk yöntemin kullanımı oldukça sınırlıdır: yalnızca bazı problemlerde iyi kullanılır, çünkü en basit problemlerde kesin ve karmaşık problemlerde kesişen iki ortak dikmenin yaklaşık konumunu belirlemek ve doğrulamak oldukça zordur. çizgiler. Ayrıca karmaşık problemlerde bu dikmenin uzunluğunu bulurken aşılmaz zorluklarla karşılaşılabilir.

Problem 1. Boyutları olan dikdörtgen bir paralelyüzde a, b, h tabanın yan kenarı ile onunla kesişmeyen köşegeni arasındaki mesafeyi bulun.

Şekil 5

AHBD'ye izin ver. A 1 A ABCD düzlemine dik olduğundan A 1 A AH olur.

AH her iki kesişen çizgiye de diktir, dolayısıyla AH? A 1 A ve BD çizgileri arasındaki mesafedir. ABD dik üçgeninde, AB ve AD bacaklarının uzunluklarını bilerek, dik üçgenin alanını hesaplamak için formüller kullanarak AH yüksekliğini buluyoruz. Cevap:

Problem 2. Yan kenarı olan normal 4gen piramitte L ve taban tarafı A Apothem ile bu özdeyimin bulunduğu yan yüzeyle kesişen tabanın kenarı arasındaki mesafeyi bulun.

Şekil 6

SHCD bir özdeyiş gibidir, ADCD ise ABCD'nin bir kare olduğu gibidir. Bu nedenle DH, SH ve AD düz çizgileri arasındaki mesafedir. DH, yan CD'nin yarısına eşittir. Cevap:

Bu yöntemin kullanımı aynı zamanda, kesişen düz çizgilerden birinden geçen ve başka bir düz çizgiye paralel olan bir düzlemi hızlı bir şekilde inşa edebilirseniz (veya hazır bir düzlem bulabilirseniz), o zaman herhangi bir noktadan dik bir çizgi oluşturabileceğiniz gerçeğinden dolayı da sınırlıdır. bu düzleme giden ikinci düz çizgi (çok yüzlünün içinde) zorluklara neden olur. Ancak, belirtilen dikmeyi oluşturmanın (veya bulmanın) zorluk yaratmadığı basit problemlerde bu yöntem en hızlı, en kolay ve dolayısıyla erişilebilir olanıdır.

Problem 2. Yukarıdaki problemin bu yöntemle çözülmesi herhangi bir özel zorluğa neden olmaz.

Şekil 7

EFM düzlemi AD || olduğundan beri AD doğrusuna paraleldir. E.F. MF çizgisi bu düzlemde yer alır, dolayısıyla AD çizgisi ile EFM düzlemi arasındaki mesafe, AD çizgisi ile MF çizgisi arasındaki mesafeye eşittir. Hadi OHAD yapalım. OHEF, OHMO, dolayısıyla OH(EFM), dolayısıyla OH, AD düz çizgisi ile EFM düzlemi arasındaki mesafedir ve dolayısıyla AD düz çizgisi ile MF düz çizgisi arasındaki mesafedir. AOD üçgeninden OH'yi bulun.

Problem 3. Boyutları olan dikdörtgen bir paralelyüzde a,b Ve H Paralel borunun yan kenarı ile onunla kesişmeyen köşegeni arasındaki mesafeyi bulun.

Şekil 8

AA 1 doğrusu BB 1 D 1 D düzlemine paraleldir, B 1 D bu düzleme aittir, dolayısıyla AA 1'den BB 1 D 1 D düzlemine olan uzaklık AA 1 ve B 1 D doğruları arasındaki uzaklığa eşittir. AHBD'yi çıkar. Ayrıca AH B 1 B, dolayısıyla AH(BB 1 D 1 D), dolayısıyla AHB 1 D, yani AH gerekli mesafedir. ABD dik üçgeninden AH'yi bulun.

Cevap:

Problem 4. Yüksekliği olan A:F 1 düzgün altıgen prizmada H ve taban tarafı Açizgiler arasındaki mesafeyi bulun:

Şekil 9 Şekil 10

a) AA 1 ve ED 1.

E 1 EDD 1 düzlemini düşünün. A 1 E 1 EE 1 , A 1 E 1 E 1 D 1 , dolayısıyla

A 1 E 1 (E 1 EDD 1). Ayrıca A 1 E 1 AA 1 . Bu nedenle, A 1 E 1, AA 1 düz çizgisi ile E 1 EDD 1 düzlemi arasındaki mesafedir. ED 1 (E 1 EDD 1). Bu nedenle AE 1, AA 1 düz çizgisi ile ED 1 düz çizgisi arasındaki mesafedir. Kosinüs teoremini kullanarak F 1 A 1 E 1 üçgeninden A 1 E 1'i buluyoruz. Cevap:

b) AF ve köşegen BE 1.

F noktasından BE'ye dik bir FH düz çizgisi çizelim. EE 1 FH, FHBE, dolayısıyla FH(BEE 1 B 1), dolayısıyla FH, AF düz çizgisi ile (BEE 1 B 1) arasındaki mesafedir ve dolayısıyla AF düz çizgisi ile BE 1 köşegeni arasındaki mesafedir. Cevap:

YÖNTEM III

Bu yöntemin kullanımı son derece sınırlıdır, çünkü çizgilerden birine paralel bir düzlem (yöntem II) oluşturmak iki paralel düzlemden daha kolaydır, ancak kesişen çizgiler paralel yüzlere aitse, prizmalarda yöntem III kullanılabilir. bir çokyüzlüde verilen çizgileri içeren paralel bölümlerin oluşturulmasının kolay olduğu durumlarda olduğu gibi.

Görev 4.

Şekil 11

a) AB || olduğundan BAA 1 B 1 ve DEE 1 D 1 düzlemleri paraleldir. ED ve AA 1 || EE 1. ED 1 DEE 1 D 1, AA 1 (BAA 1 B 1), bu nedenle AA 1 ve ED 1 düz çizgileri arasındaki mesafe, BAA 1 B 1 ve DEE 1 D 1 düzlemleri arasındaki mesafeye eşittir. A 1 E 1 AA 1 , A 1 E 1 A 1 B 1 , dolayısıyla A 1 E 1 BAA 1 B 1 . Benzer şekilde A 1 E 1 (DEE 1 D 1) olduğunu kanıtlıyoruz. Dolayısıyla A 1 E 1, BAA 1 B 1 ve DEE 1 D 1 düzlemleri arasındaki ve dolayısıyla AA 1 ve ED 1 düz çizgileri arasındaki mesafedir. A 1 F 1 E 1 açısı eşit olan ikizkenar olan A 1 F 1 E 1 üçgeninden A 1 E 1'i buluyoruz. Cevap:

Şekil 12

b) AF ile BE 1 köşegeni arasındaki mesafe de benzer şekilde bulunur.

Problem 5. Kenarı olan bir küpte Aİki bitişik yüzün kesişmeyen iki köşegeni arasındaki mesafeyi bulun.

Bu problem bazı ders kitaplarında klasik bir problem olarak kabul edilir, ancak kural olarak çözümü IV. Yöntemle verilir, ancak III. Yöntem kullanılarak çözüme oldukça ulaşılabilir.

Şekil 13

Bu problemdeki bazı zorluklar, A 1 C köşegeninin her iki paralel düzleme (AB 1 D 1 || BC 1 D) dik olduğunun ispatından kaynaklanmaktadır. B 1 CBC 1 ve BC 1 A 1 B 1, dolayısıyla BC 1 çizgisi A 1 B 1 C ve dolayısıyla BC 1 A 1 C düzlemine diktir. Ayrıca A 1 CBD. Sonuç olarak, A 1 C düz çizgisi BC 1 D düzlemine diktir. Sorunun hesaplama kısmı herhangi bir özel zorluğa neden olmaz, çünkü sskr= EF, küpün köşegeni ile iki özdeş düzenli piramit A 1 AB 1 D 1 ve CC 1 BD'nin yükseklikleri arasındaki fark olarak bulunur.

YÖNTEM IV.

Bu yöntemin oldukça geniş bir uygulaması vardır. Orta ve yüksek zorluktaki görevler için ana görev olarak kabul edilebilir. Yalnızca önceki üç yöntemden birinin daha kolay ve daha hızlı çalıştığı durumlarda kullanılmasına gerek yoktur, çünkü bu gibi durumlarda yöntem IV yalnızca sorunun çözümünü zorlaştırabilir veya elde edilmesini zorlaştırabilir. Bu yöntemin, kesişen çizgilerin dik olması durumunda kullanılması çok faydalıdır, çünkü çizgilerden birinin "ekran" üzerine projeksiyonunu oluşturmaya gerek yoktur.

L ve taban tarafı A.

Şekil 16

Bu ve benzeri problemlerde, Yöntem IV diğer yöntemlere göre daha hızlı çözüme yol açmaktadır, çünkü AC'ye dik bir “ekran” görevi gören bir bölüm (üçgen BDM) oluşturduğundan, daha fazla bir yapıya gerek olmadığı açıktır. başka bir düz çizginin (BM) bu ekrana izdüşümüdür. DH gerekli mesafedir. DH, alan formülleri kullanılarak MDB üçgeninden bulunur. Cevap: .

Bu makalede, Birleşik Devlet Sınavından C2 problemini çözme örneği kullanılarak, koordinat yöntemini kullanarak bulma yöntemi analiz edilmektedir. Aynı düzlemde yer almıyorlarsa düz çizgilerin çarpık olduğunu hatırlayın. Özellikle, bir çizgi bir düzlemde yer alıyorsa ve ikinci çizgi bu düzlemi birinci çizgide olmayan bir noktada kesiyorsa, bu durumda bu çizgiler kesişiyor demektir (şekle bakın).

Bulmak geçiş çizgileri arasındaki mesafeler gerekli:

1. Kesişen çizgilerden birinin içinden geçen, diğer kesişen çizgiye paralel bir düzlem çizin.
2. Ortaya çıkan düzleme ikinci doğrunun herhangi bir noktasından bir dik bırakın. Bu dikmenin uzunluğu çizgiler arasında gerekli mesafe olacaktır.

Matematikte Birleşik Devlet Sınavından C2 problemini çözme örneğini kullanarak bu algoritmayı daha ayrıntılı olarak analiz edelim.

Uzaydaki çizgiler arasındaki mesafe

Görev. Bir birim küpte ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 çizgiler arasındaki mesafeyi bulun B.A. 1 ve D.B. 1 .

Pirinç. 1. Görev için çizim yapmak

Çözüm. Küpün köşegeninin ortasından D.B. 1 puan Ö) çizgiye paralel bir çizgi çizin A 1 B. Bu doğrunun kenarlarla kesişme noktaları M.Ö. Ve A 1 D 1 buna göre gösterilir N Ve M. Dümdüz MN bir uçakta yatıyor MNB 1 ve çizgiye paralel A 1 B, bu düzlemde yer almayan. Bu, düz bir çizgi anlamına gelir A 1 B düzleme paralel MNB 1, düz bir çizgi ile bir düzlemin paralelliğine dayanmaktadır (Şekil 2).

Pirinç. 2. Kesişen çizgiler arasındaki gerekli mesafe, seçilen çizginin herhangi bir noktasından gösterilen düzleme olan mesafeye eşittir.

Şimdi çizgi üzerindeki bir noktaya olan mesafeyi arıyoruz A 1 B uçağa MNB 1. Bu mesafe, tanım gereği, geçiş çizgileri arasında gerekli mesafe olacaktır.

Bu mesafeyi bulmak için koordinat yöntemini kullanacağız. Kökeni ekseni B noktasıyla çakışacak şekilde dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemi tanıtalım. X kenar boyunca yönlendirildi B.A., eksen e- kaburga boyunca M.Ö., eksen Z- kaburga boyunca BB 1 (Şek. 3).

Pirinç. 3. Şekilde gösterildiği gibi dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemi seçiyoruz

Düzlemin denklemini bulma MNB Bu koordinat sisteminde 1. Bunun için öncelikle noktaların koordinatlarını belirliyoruz. M, N Ve B 1: Ortaya çıkan koordinatları düz çizginin genel denkleminde yerine koyarız ve aşağıdaki denklem sistemini elde ederiz:

Sistemin ikinci denkleminden üçüncüsünü elde ederiz ve ardından ilkinden elde ederiz. Elde edilen değerleri düz çizginin genel denkleminde yerine koyarız:

Aksi takdirde uçağın MNB 1 orijinden geçecektir. Bu denklemin her iki tarafını da bölersek şunu elde ederiz:

Bir noktadan düzleme olan mesafe formülle belirlenir.

UZAYDA DOĞRULAR ARASINDAKİ MESAFE Uzayda kesişen iki çizgi arasındaki mesafe, bu çizgilere çizilen ortak dikmenin uzunluğudur. Kesişen iki çizgiden biri bir düzlemde yer alıyorsa ve diğeri bu düzleme paralelse, bu çizgiler arasındaki mesafe, doğru ile düzlem arasındaki mesafeye eşittir. Kesişen iki çizgi paralel düzlemlerde bulunuyorsa, bu çizgiler arasındaki mesafe paralel düzlemler arasındaki mesafeye eşittir.

Küp 1 A…D 1 birim küpünde, AA 1 ve BC doğruları arasındaki mesafeyi bulun. Cevap 1.

Küp 2 A…D 1 birim küpünde, AA 1 ve CD doğruları arasındaki mesafeyi bulun. Cevap 1.

Küp 3 A...D 1 birim küpünde, AA 1 ile B 1 C 1 doğruları arasındaki mesafeyi bulun. Cevap: 1.

Küp 4 A…D 1 birim küpünde, AA 1 ile C 1 D 1 doğruları arasındaki mesafeyi bulun. Cevap: 1.

Küp 5 A…D 1 birim küpünde, AA 1 ve BC 1 doğruları arasındaki mesafeyi bulun. Cevap: 1.

Küp 6 A…D 1 birim küpünde, AA 1 ve B 1 C doğruları arasındaki mesafeyi bulun. Cevap: 1.

Küp 7 A…D 1 birim küpünde, AA 1 ve CD 1 doğruları arasındaki mesafeyi bulun. Cevap: 1.

Küp 8 A…D 1 birim küpünde, AA 1 ve DC 1 doğruları arasındaki mesafeyi bulun. Cevap: 1.

Küp 9 A...D 1 birim küpünde, AA 1 ve CC 1 doğruları arasındaki mesafeyi bulun. Cevap:

Küp 10 A…D 1 birim küpünde, AA 1 ve BD doğruları arasındaki mesafeyi bulun. Çözüm. BD'nin orta noktası O olsun. Gerekli mesafe AO segmentinin uzunluğudur. Cevap şuna eşittir:

Küp 11 A...D 1 birim küpünde, AA 1 ile B 1 D 1 doğruları arasındaki mesafeyi bulun. Cevap:

Küp 12 A…D 1 birim küpünde, AA 1 ve BD 1 doğruları arasındaki mesafeyi bulun. Çözüm. P, Q, AA 1, BD 1'in orta noktaları olsun. Gerekli mesafe PQ segmentinin uzunluğudur. Cevap şuna eşittir:

Küp 13 A…D 1 birim küpünde, AA 1 ve BD 1 doğruları arasındaki mesafeyi bulun. Cevap:

Küp 14 A…D 1 birim küpünde, AB 1 ve CD 1 düz çizgileriyle mesafeyi bulun. Cevap: 1.

Küp 15 A…D 1 birim küpünde AB 1 ve BC 1 doğruları arasındaki mesafeyi bulun. Çözüm. Gerekli mesafe, AB 1 D 1 ve BDC 1 paralel düzlemleri arasındaki mesafeye eşittir. A 1 C köşegeni bu düzlemlere diktir ve kesişme noktalarında üç eşit parçaya bölünmüştür. Bu nedenle gerekli mesafe EF segmentinin uzunluğuna eşittir ve Cevap:

Küp 16 A…D 1 birim küpünde AB 1 ile A 1 C 1 doğruları arasındaki mesafeyi bulun. Çözüm öncekine benzer. Cevap:

Küp 17 A…D 1 birim küpünde AB 1 ve BD doğruları arasındaki mesafeyi bulun. Çözüm öncekine benzer. Cevap:

Küp 18 A…D 1 birim küpünde AB 1 ve BD 1 düz çizgilerini kullanarak mesafeyi bulun. Çözüm. BD 1 köşegeni, ACB 1 eşkenar üçgeninin düzlemine diktir ve onu, içine yazılan dairenin P merkezinde keser. Gerekli mesafe bu dairenin OP yarıçapına eşittir. OP = Cevap:

Piramit 1 ABCD tetrahedron biriminde AD ve BC doğruları arasındaki mesafeyi bulun. Çözüm. Gerekli mesafe EF segmentinin uzunluğuna eşittir; burada E, F, AD, GF kenarlarının orta noktalarıdır. DAG DA = 1 üçgeninde AG = DG = Cevap: Dolayısıyla EF =

Piramit 2 Tüm kenarları 1'e eşit olan SABCD düzgün piramidinde AB ve CD doğruları arasındaki mesafeyi bulun. Cevap 1.

Piramit 3 Tüm kenarları 1'e eşit olan SABCD düzgün piramidinde SA ve BD doğruları arasındaki mesafeyi bulun. Çözüm. Gerekli mesafe SAO üçgeninin OH yüksekliğine eşittir; burada O, BD'nin orta noktasıdır. SAO dik üçgeninde elimizde: SA = 1, AO = SO = Cevap: Bu nedenle OH =

Piramit 4 Tüm kenarları 1'e eşit olan SABCD düzgün piramidinde SA ve BC doğruları arasındaki mesafeyi bulun. Çözüm. SAD düzlemi BC çizgisine paraleldir. Bu nedenle gerekli mesafe BC düz çizgisi ile SAD düzlemi arasındaki mesafeye eşittir. Bu, E, F'nin BC, AD kenarlarının orta noktaları olduğu SEF üçgeninin EH yüksekliğine eşittir. SEF üçgeninde elimizde: EF = 1, SE = SF = Yükseklik SO Dolayısıyla, EH = Cevap:

Piramit 5 Taban kenarları 1'e eşit olan düzgün 6. piramit SABCDEF'de AB ve DE doğruları arasındaki mesafeyi bulun. Cevap:

Piramit 6 Yan kenarları 2, taban kenarları 1 olan düzgün 6. piramit SABCDEF'te SA ve BC doğruları arasındaki mesafeyi bulunuz. Çözüm: BC ve AF kenarlarını G noktasında kesişinceye kadar uzatın. SA ve BC'ye olan ortak dik ABG üçgeninin AH yüksekliği olacaktır. Cevap şuna eşittir:

Piramit 7 Yan kenarları 2, taban kenarları 1 olan düzgün 6. piramit SABCDEF'de SA ve BF doğruları arasındaki mesafeyi bulunuz. Çözüm: Gerekli mesafe SAG üçgeninin GH yüksekliğidir; burada G, BF ve AD'nin kesişme noktasıdır. SAG üçgeninde elimizde: SA = 2, AG = 0,5, SO yüksekliği eşittir, dolayısıyla GH = Cevabını buluruz:

Piramit 8 Yan kenarları 2'ye ve taban kenarları 1'e eşit olan düzgün 6. piramit SABCDEF'de SA ve CE doğruları arasındaki mesafeyi bulun. Çözüm: Gerekli mesafe SAG üçgeninin GH yüksekliğidir; burada G, CE ve AD'nin kesişme noktasıdır. SAG üçgeninde elimizde: SA = 2, AG =, SO yüksekliği eşittir. Dolayısıyla GH = Cevabını buluruz:

Piramit 9 Yan kenarları 2, taban kenarları 1 olan düzgün 6. piramit SABCDEF'de SA ve BD doğruları arasındaki mesafeyi bulunuz. Çözüm: BD doğrusu SAE düzlemine paraleldir. Gerekli mesafe BD düz çizgisi ile bu düzlem arasındaki mesafeye ve SPQ üçgeninin PH yüksekliğine eşittir. Bu üçgende SO yüksekliği eşittir, PQ = 1, SP = SQ = Buradan PH = Cevabını buluruz:

Piramit 10 Yan kenarları 2 ve taban kenarları 1 olan düzgün 6. piramit SABCDEF'de G, SC kenarının orta noktası olmak üzere SA ve BG düz çizgileri arasındaki mesafeyi bulun. Çözüm: G noktasından SA'ya paralel bir çizgi çiziyoruz. Q, AC çizgisiyle kesiştiği noktayı göstersin. Gerekli mesafe ASQ dik üçgeninin QH yüksekliğine eşittir, burada AS = 2, AQ = , SQ = Buradan QH = Cevabını buluruz: .

Prizma 1 Tüm kenarları 1'e eşit olan ABCA 1 B 1 C 1 normal üçgen prizmasında, BC ve B 1 C 1 çizgileri arasındaki mesafeyi bulun. Cevap: 1.

Prizma 2 Tüm kenarları 1'e eşit olan ABCA 1 B 1 C 1 normal üçgen prizmasında, AA 1 ve BC çizgileri arasındaki mesafeyi bulun. Cevap:

Prizma 3 Tüm kenarları 1'e eşit olan ABCA 1 B 1 C 1 normal üçgen prizmasında, AA 1 ve BC 1 çizgileri arasındaki mesafeyi bulun. Cevap:

Prizma 4 Tüm kenarları 1'e eşit olan ABCA 1 B 1 C 1 normal üçgen prizmasında, AB ve A 1 C 1 çizgileri arasındaki mesafeyi bulun. Cevap: 1.

Prizma 5 Tüm kenarları 1'e eşit olan normal bir üçgen prizma ABCA 1 B 1 C 1'de, düz çizgiler arasındaki mesafeyi bulun: AB ve A 1 C. Çözüm: Gerekli mesafe, düz çizgiler arasındaki mesafeye eşittir. AB doğrusu ve A 1 B 1 C düzlemi. D ve D 1'in AB ve A 1 B 1 kenarlarının orta noktası olduğunu gösterelim. D köşesinden CDD 1 dik üçgeninde DE yüksekliğini çiziyoruz. Bu gerekli mesafe olacaktır. Elimizde DD 1 = 1, CD = Cevap: Bu nedenle DE = , CD 1 = olur.

Prizma 6 Tüm kenarları 1'e eşit olan normal üçgen ABCA 1 B 1 C 1 prizmasında, AB 1 ve BC 1 çizgileri arasındaki mesafeyi bulun. Çözüm: Prizmayı 4 açılı bir prizma haline getirelim. Gerekli mesafe, AB 1 D 1 ve BDC 1 paralel düzlemleri arasındaki mesafeye eşit olacaktır. Cevap olan AOO 1 dik üçgeninin OH yüksekliğine eşittir. Bu yükseklik

Prizma 7 Kenarları 1'e eşit olan 6. düzgün prizma A…F 1'de AB ve A 1 B 1 çizgileri arasındaki mesafeyi bulun. Cevap: 1.

Prizma 8 Kenarları 1'e eşit olan 6. düzgün prizma A...F 1'de AB ve B 1 C 1 doğruları arasındaki mesafeyi bulun. Cevap: 1.

Prizma 9 Kenarları 1'e eşit olan 6. düzgün prizma A…F 1'de AB ve C 1 D 1 çizgileri arasındaki mesafeyi bulun. Cevap: 1.

Prizma 10 Kenarları 1'e eşit olan normal 6. prizma A...F 1'de AB ve DE çizgileri arasındaki mesafeyi bulun. Cevap: .

Prizma 11 Kenarları 1'e eşit olan 6. düzgün prizma A…F 1'de AB ve D 1 E 1 çizgileri arasındaki mesafeyi bulun. Cevap: 2.

Prizma 12 Kenarları 1'e eşit olan 6. düzgün prizma A...F 1'de AA 1 ve CC 1 doğruları arasındaki mesafeyi bulun. Cevap: .

Prizma 13 Kenarları 1'e eşit olan 6. düzgün prizma A...F 1'de AA 1 ve DD 1 doğruları arasındaki mesafeyi bulun. Cevap: 2.

Prizma 14 Kenarları 1'e eşit olan normal 6. A...F 1 prizmasında, AA 1 ve B 1 C 1 çizgileri arasındaki mesafeyi bulun. Çözüm: B 1 C 1 ve A 1 kenarlarını uzatın. F 1'den G noktasındaki kesişme noktasına. A 1 B 1 G eşkenar üçgeni. A 1 H yüksekliği istenen ortak diktir. Uzunluğu eşittir. Cevap: .

Prizma 15 Kenarları 1'e eşit olan düzgün 6. A...F 1 prizmasında, AA 1 ve C 1 D 1 çizgileri arasındaki mesafeyi bulun. Çözüm: Gerekli ortak dik A 1 C segmentidir. 1. Uzunluğu eşittir. Cevap: .

Prizma 16 Kenarları 1'e eşit olan 6. düzgün prizma A...F 1'de AA 1 ve BC 1 doğruları arasındaki mesafeyi bulun. Çözüm: Gerekli mesafe ADD 1 paralel düzlemleri arasındaki mesafedir. ve BCC 1. Eşittir. Cevap: .

Prizma 17 Kenarları 1'e eşit olan düzgün 6. A...F 1 prizmasında, AA 1 ve CD 1 çizgileri arasındaki mesafeyi bulun. Çözüm: Gerekli ortak dik AC segmentidir. Uzunluğu eşittir. Cevap: .

Prizma 18 Kenarları 1'e eşit olan normal 6. A...F 1 prizmasında, AA 1 ve DE 1 çizgileri arasındaki mesafeyi bulun. Çözüm: Gerekli ortak dik A 1 E 1 segmentidir. Uzunluğu eşittir. Cevap: .

Prizma 19 Kenarları 1'e eşit olan düzgün 6. A...F 1 prizmasında AA 1 ve BD 1 doğruları arasındaki mesafeyi bulun. Çözüm: Gerekli ortak dik AB doğru parçasıdır. Uzunluğu 1'dir. Cevap: 1.

Prizma 20 Kenarları 1'e eşit olan düzgün 6. prizma A...F 1'de, AA 1 ve CE 1 düz çizgileri arasındaki mesafeyi bulun. Çözüm: Gerekli mesafe, AA düz çizgisi arasındaki mesafedir. 1 ve CEE 1 düzlemi eşittir. Cevap: .

Prizma 21 Kenarları 1'e eşit olan düzgün 6. prizma A...F 1'de, AA 1 ve BE 1 düz çizgileri arasındaki mesafeyi bulun. Çözüm: Gerekli mesafe, AA düz çizgisi arasındaki mesafedir. 1 ve BEE 1 düzlemi eşittir. Cevap: .

Prizma 22 Kenarları 1'e eşit olan düzgün 6. prizma A...F 1'de, AA 1 ve CF 1 düz çizgileri arasındaki mesafeyi bulun. Çözüm: Gerekli mesafe, AA düz çizgisi arasındaki mesafedir. 1 ve CFF 1 düzlemi eşittir. Cevap: .

Prizma 23 Kenarları 1'e eşit olan düzgün 6. prizma A...F 1'de AB 1 ve DE 1 çizgileri arasındaki açıyı bulun. Çözüm: Gerekli mesafe, ABB 1 ile paralel düzlemler arasındaki mesafedir. DEE 1. Aralarındaki mesafe eşittir. Cevap: .

Prizma 24 Kenarları 1'e eşit olan düzgün 6. prizma A...F 1'de AB 1 ve CF 1 düz çizgileri arasındaki açıyı bulun. Çözüm: Gerekli mesafe AB düz çizgisi arasındaki mesafedir. 1 ve CFF 1 düzlemi eşittir. Cevap:

Prizma 25 Kenarları 1'e eşit olan düzgün 6. prizma A...F 1'de AB 1 ve BC 1 doğruları arasındaki mesafeyi bulun. Çözüm: Prizmanın merkezleri O, O 1 olsun. yüzler. AB 1 O 1 ve BC 1 O düzlemleri paraleldir. ACC 1 A 1 düzlemi bu düzlemlere diktir. Gerekli mesafe d, AG 1 ve GC 1 düz çizgileri arasındaki mesafeye eşittir. AGC 1 G 1 paralelkenarında AG = Cevap: ; AG 1 = AA 1 kenarına çizilen yükseklik 1'dir. Dolayısıyla d= . .

Prizma 26 Kenarları 1'e eşit olan düzgün bir 6. A...F 1 prizmasında, AB 1 ve BD 1 çizgileri arasındaki mesafeyi bulun. Çözüm: BD'ye dik olan A 1 B 1 HG düzlemini düşünün. 1. Bu düzlem üzerindeki dik izdüşüm, BD 1 doğrusunu H noktasına ve AB 1 doğrusunu GB 1 doğrusuna çevirir. Bu nedenle, gereken d mesafesi, H noktasından GB 1 doğrusuna olan mesafeye eşittir. GHB dik üçgeninde 1'de GH = 1 var; Cevap: B 1 H = . Bu nedenle d = .

Prizma 27 Kenarları 1'e eşit olan düzgün bir 6. A...F 1 prizmasında, AB 1 ve BE 1 çizgileri arasındaki mesafeyi bulun. Çözüm: AB 1'e dik olan A 1 BDE 1 düzlemini düşünün. Bu düzlem üzerindeki dik izdüşüm AB 1 doğrusunu G noktasına çevirir ve BE 1 doğrusunu yerinde bırakır. Bu nedenle gerekli d mesafesi, G noktasından BE 1 çizgisine kadar olan GH mesafesine eşittir. Bir A 1 BE 1 dik üçgeninde A 1 B = ; A 1 E 1 =. Cevap: Bu nedenle d = .

“Geçiş çizgileri arasındaki mesafe” - Teorem. Hazırlık sözlü görevleri. MN düz çizgisi ile AA1D1D düzlemi arasındaki mesafeyi bulun. B1K düz çizgisi ile DD1C1C düzlemi arasındaki mesafeyi bulun. OK=OO1?OM/O1M =a/3 (Pisagor teoremine göre O1M=3/2?2, OM=1/2?2). AA1C1C diyagonal düzlemi BD düz çizgisine diktir. B ve N noktalarının yeni konumları AD ve BM doğrularının birbirine en yakın noktaları olacaktır.

“Ders Hızı zaman mesafesi” - Matematiksel ısınma. Dersin amacı: Öğrencilere hareket problemlerini çözmeyi öğretmek. Mesafe. 5 km/saat sabit hızla 30 km yürümek ne kadar sürer? Hız, zaman ve mesafe arasındaki ilişki. Şehre kaç kişi gitti? Bir uçak A şehrinden B şehrine 1 saat 20 dakikada ulaşmaktadır.

“Hız zaman mesafe matematiği” - 5 ve 65 sayılarının toplamını 2 kat azaltın. Dunno aya gitti. Bir masal kitabının sayfalarında bir yolculuk. Beden eğitimi dakikası. Biri saat 8'de, diğeri saat 10'da yola çıktı. Özetleme. Laura haklı mı? -Laura şu sorunu çözdü: “500 km. araba 10 saatte gidecektir. Zaman. Cevap anahtarı "38" kitabı açar:

“Doğrudan konuşma diyaloğu” - Doğrudan konuşmanın diyalogdan farkı nedir? Örneğin: L.N. Tolstoy şöyle dedi: "Dünyada hepimizin birbirimize ihtiyacı var." Doğrudan konuşma grafikleri. C: "p." Görev 3. Doğrudan konuşmayı diyalogla değiştirin. Örneğin: "P?" - A. "P!" - A. Aşağıdaki cümlelerin doğru diyagramlarını bulunuz. Diyalog grafikleri. Doğrudan konuşma ve diyalog nasıl yazılır?

“Doğrudan konuşmalı cümleler” - Petronius, eski Romalı yazar. Oyun “Hatayı bul” (kontrol edin). Yazarın doğrudan konuşmayı tanıtan sözleri: Arkamı döndüm ve Peder Gerasim'in evine gittim. Köyden bir arkadaşım beni ziyarete geldi. Doğrudan konuşma içeren cümleler. Yaratıcı görev. Yazılı olarak doğrudan konuşma tırnak işaretleri içine alınır. Okumak!" - Konstantin Georgievich Paustovsky bağırdı.

"Mesafe ve Ölçek" - Yüksek büyütme ölçeğindeki bir atomun modeli. Ölçekli bir haritada mesafe 5 cm'dir. Ölçek, payı 1 olan bir kesirle verilirse. İtfaiye aracının küçültülmüş ölçekli modeli. Yerde mesafe bulma algoritması: Karayolu boyunca güzergahın uzunluğu 700 km'dir. Cümleyi tamamlayınız: İki şehir arasındaki mesafe 400 km'dir.