Kuvvet ifadeleri (kuvvetli ifadeler) ve dönüşümleri. Rasyonel üslü kuvvet Konuyla ilgili örnekler Rasyonel üslü kuvvet

Matematik öğretmeni: Nashkenova A.N. Maybalık orta okulu “Rasyonel üssü olan üs” konulu ders planı

(cebir, 11. sınıf)

Dersin Hedefleri:

Öğrencilerin sayıların kuvvetlerine ilişkin bilgilerini genişletin ve derinleştirin; öğrencileri rasyonel üslü derece kavramı ve özellikleriyle tanıştırmak;

Özellikleri kullanarak ifadelerin değerlerini hesaplamak için bilgi, beceri ve yetenekler geliştirmek;

Ana şeyi analiz etme, karşılaştırma, vurgulama, kavramları tanımlama ve açıklama becerilerini geliştirmeye yönelik çalışmaya devam edin;

İletişimsel yeterliliği, kişinin eylemlerine neden verme yeteneğini geliştirmek, bağımsızlığı ve sıkı çalışmayı geliştirmek.

Teçhizat: ders kitabı, bildiri kartları, dizüstü bilgisayar,sunum materyali Priz ;

Ders türü: yeni bilgilerin incelenmesi ve başlangıçta pekiştirilmesine yönelik bir ders.

Ders planı:

1.Org. an. - 1 dakika.

2.Ders motivasyonu.-2 dakika

3.Temel bilgilerin güncellenmesi. - 5 dakika.

4.Yeni materyaller öğrenmek. - 15 dakika.

5. Beden eğitimi dakikası - 1 dk.

6.Çalışılan materyalin birincil konsolidasyonu - 10 dakika

7.Bağımsız çalışma. - 7 dakika

8.Ödev. - 2 dakika.

9.Yansıma – 1 dk.

10. Ders özeti. - 1 dakika.

Dersler sırasında

1. Organizasyon anı

Ders için duygusal ruh hali.

Çalışmak isterim, isterim

iş,
Bugün size başarılar diliyorum.
Sonuçta, gelecekte her şey sizin için

kullanışlı olacaktır.
Ve gelecekte senin için daha kolay olacak

çalışmak(Slayt No. 1)

2.Ders motivasyonu

Üs alma ve kök çıkarma işlemlerinin yanı sıra dört aritmetik işlem de pratik ihtiyaçların bir sonucu olarak ortaya çıktı. Yani karenin alanını hesaplama probleminin yanı sıra, kenarA Bilindiği gibi ters problemle karşılaşıldı: “Bir karenin alanının eşit olması için bir kenar uzunluğu ne kadar olmalıdır?V. 14. ve 15. yüzyıllarda Batı Avrupa'da prenslere ve tüccarlara faizle para veren, uzun mesafeli seyahatleri ve fetihleri ​​yüksek faiz oranlarıyla finanse eden bankalar ortaya çıktı. Bileşik faiz hesaplamalarını kolaylaştırmak için, ne kadar ödemeniz gerektiğini anında öğrenebileceğiniz tabloları derledik.P eğer tutar ödünç alınmışsa yıllarA İleR % yıllık. Ödenen tutar formülle ifade edilir: S = bir(1 + ) P Bazen para birkaç yıl boyunca değil, örneğin 2 yıl 6 ay boyunca borçlanıyordu. 2,5 yıl sonra miktarA temas etmek su , önümüzdeki 2,5 yıl içinde bir kat daha artacakQ kez ve eşit olacaksu 2 . 5 yıl sonra:a=(1 + 5 , Bu yüzden Q 2 = (1 + 5 Ve Araç Q =

(Slayt 2) .

Kesirli üslü bir derece fikri bu şekilde ortaya çıktı.

3.Temel bilgilerin güncellenmesi.

Sorular:

1.Giriş ne anlama geliyor;A P

2. Nedir A ?

3. Nedir P ?

4. A -P =?

5.Defterinize tamsayı üslü bir derecenin özelliklerini yazın.

6. Hangi sayılar doğal, tam sayı ve rasyoneldir? Bunları Euler dairelerini kullanarak çizin.(Slayt 3)

Yanıtlar: 1. Tam sayı üssü olan derece

2. A- temel

3. P- üs

4. A -P =

5. Tamsayı üssü olan bir derecenin özellikleri:

A M *A N =a (m+n) ;

A M : A N =a (a-n) ( en A Olumsuz eşit sıfır );

(A M ) N =a (m*n) ;

(a*b) N =a N *B N ;

(a/b) N = (bir N )/(B N ) (saatte B sıfıra eşit değil);

A 1 = bir;

A 0 = 1 (ile A sıfıra eşit değil);

Bu özellikler herhangi bir a, b sayısı ve herhangi bir m ve n tam sayısı için geçerli olacaktır.

6.1,2,3, … - pozitif sayılar – doğal sayılar kümesi –N

0,-1,-2,-3,.. sayı O ve negatif sayılar – bir tam sayılar kümesi -Z

N

Euler çevreleri (slayt 4)

4. Yeni materyalin incelenmesi.

İzin vermek. A - negatif olmayan bir sayıdır ve kesirli bir kuvvete yükseltilmesi gerekir . Eşitliği biliyor musun? (A M ) N = bir M N (slayt 4) yani bir gücü bir güce yükseltme kuralı. Yukarıdaki eşitlikte şunu varsayıyoruz: m = ise şunu elde ederiz: (A ) P = bir =a (slayt 4)

Bundan şu sonuca varabilirizA kök P - sayının inci kuvvetiA yani A = . şu şekildedir (A P ) = P =a (slayt 4).

Buradan A =(bir ) M =(bir M ) = M . ( slayt 4 ).

Böylece aşağıdaki eşitlik sağlanır:A = M (slayt 4)

Tanım: Negatif olmayan bir sayının derecesi A rasyonel bir üs ile , Nerede - indirgenemez kesir, bir sayının n'inci kökünün değerine denir A T .

Bu nedenle tanım gereği A = M (slayt 5)

Örnek 1'e bakalım : Dereceyi n'inci kök biçiminde rasyonel bir üsle yazın:

Bakışınızı sağa çevirin

Bakışınızı sola çevirin

Tavana baktım

Herkes ileriye baktı.

Bir kez - bükün - düzeltin,

İki ─ bükülme - esneme,

Üç - üç el çırpma,

Üç baş hareketi.

Beş ve altı sessizce oturuyorlar.

Ve yine yollardayız! (slayt 9)

6.Çalışılan materyalin birincil konsolidasyonu:

Sayfa 51, Sayı. 90, Sayı. 91 – defterinize kendiniz yapın,

tahtada çek ile

7.Bağımsız çalışma

seçenek 1

(Slayt 10)

seçenek 1

(Slayt 11)

Karşılıklı kontrol ile bağımsız çalışma yürütün.

Yanıtlar:

seçenek 1

(Slayt 12)

Böylece bugün derste rasyonel üslü derece kavramıyla tanıştık ve bunu kök şeklinde yazmayı öğrendik, sayısal ifadelerin değerlerini bulurken derecelerin temel özelliklerini uygulamayı öğrendik.8.Ödev: Sayı 92, Sayı 93 Ev ödevi bilgileri

9. Refleks

(Slayt 13)

10. Ders özeti:

Tamsayı üslü bir derece ile kesirli üslü bir derece arasındaki benzerlikler ve farklılıklar nelerdir? (benzerlik: tamsayı üssü olan bir derecenin tüm özellikleri aynı zamanda rasyonel üssü olan bir derece için de geçerlidir;

fark: derece)

Rasyonel üslü kuvvetlerin özelliklerini listeleyin

Bugünkü ders bitti
Daha arkadaş canlısı olamazsın.
Ancak herkesin şunu bilmesi gerekir:
Bilgi, azim, çalışma
Hayatta ilerlemeye yol açacaklar.
Ders için teşekkür ederiz! (slayt 14)

“Rasyonel üslü üs” video dersi, bu konuyla ilgili bir ders vermek için görsel eğitim materyali içerir. Video dersi, rasyonel üslü derece kavramı, bu derecelerin özellikleri ve pratik sorunları çözmek için eğitim materyalinin kullanımını açıklayan örnekler hakkında bilgi içerir. Bu video dersinin amacı, eğitim materyalini açık ve net bir şekilde sunmak, öğrenciler tarafından geliştirilmesini ve ezberlenmesini kolaylaştırmak ve öğrenilen kavramları kullanarak problem çözme yeteneğini geliştirmektir.

Video dersinin temel avantajları, dönüşümleri ve hesaplamaları görsel olarak gerçekleştirme yeteneği, öğrenme verimliliğini artırmak için animasyon efektlerini kullanma yeteneğidir. Ses eşliğinde, doğru matematiksel konuşmanın geliştirilmesine yardımcı olur ve aynı zamanda öğretmenin açıklamasının yerine geçmesini mümkün kılarak ona bireysel çalışma yapma özgürlüğü tanır.

Video dersi konunun tanıtılmasıyla başlar. Yeni bir konunun çalışmasını daha önce çalışılan materyalle ilişkilendirirken, n √a'nın doğal n ve pozitif a için a 1/n olarak gösterildiğinin hatırlanması önerilir. Bu n-kök temsili ekranda görüntülenir. Daha sonra, a'nın pozitif bir sayı ve m/n'nin bir kesir olduğu m/n ifadesinin ne anlama geldiğini düşünmeyi öneriyoruz. Rasyonel üslü a m/n = n √a m şeklinde bir derecenin tanımı çerçevede vurgulanarak verilmiştir. N'nin bir doğal sayı olabileceği ve m'nin bir tam sayı olabileceği belirtilmektedir.

Derecenin rasyonel üslü tanımı yapıldıktan sonra şu örneklerle anlamı ortaya çıkar: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Ayrıca, ondalık sayıyla temsil edilen bir kuvvetin, kök olarak temsil edilecek bir kesire dönüştürüldüğü bir örneği de gösterir: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 ve negatif kuvvete sahip bir örnek: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

Derecenin tabanının sıfır olduğu özel durumun özelliği ayrıca belirtilir. Bu derecenin yalnızca pozitif kesirli üs ile anlamlı olduğu belirtilmektedir. Bu durumda değeri sıfırdır: 0 m/n =0.

Rasyonel üslü bir derecenin bir başka özelliği de, kesirli üslü bir derecenin kesirli üslü olarak değerlendirilemeyeceğidir. Yanlış derece gösterimi örnekleri verilmiştir: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Sonraki video dersinde rasyonel bir üslü derecenin özelliklerini tartışacağız. Tamsayı üslü bir derecenin özelliklerinin, rasyonel üslü bir derece için de geçerli olacağı belirtiliyor. Bu durumda da geçerli olan özelliklerin listesinin hatırlanması önerilmektedir:

1. Üsleri aynı tabanlarla çarparken üslerin toplamı şu şekilde olur: a p a q =a p+q.
2. Aynı tabanlara sahip derecelerin bölümü, belirli bir tabana ve üsler arasındaki farka göre bir dereceye indirgenir: a p:a q =a p-q.
3. Dereceyi belirli bir kuvvete yükseltirsek, belirli bir tabana ve üslerin çarpımına sahip bir derece elde ederiz: (a p) q =a pq.

Tüm bu özellikler rasyonel üsleri p, q ve pozitif tabanı a>0 olan kuvvetler için geçerlidir. Ayrıca parantez açarken yapılan derece dönüşümleri de aynı kalır:

1. (ab) p =a p b p - rasyonel bir üsle bir kuvvete yükseltildiğinde, iki sayının çarpımı, her biri belirli bir kuvvete yükseltilen sayıların çarpımına indirgenir.
2. (a/b) p =a p /b p - bir kesri rasyonel bir üsle bir kuvvete yükseltmek, payı ve paydası belirli bir kuvvete yükseltilmiş bir kesre indirgenir.

Video eğitimi, rasyonel bir üsle kuvvetlerin dikkate alınan özelliklerini kullanan örnekleri çözmeyi tartışıyor. İlk örnekte, x değişkenlerini kesirli kuvvette içeren bir ifadenin değerini bulmanız istenir: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). İfadenin karmaşıklığına rağmen kuvvetlerin özelliklerini kullanarak oldukça basit bir şekilde çözülebilir. Problemin çözümü, rasyonel üssü olan bir kuvvetin bir kuvvete yükseltilmesi ve aynı tabana sahip kuvvetlerin çarpılması kuralını kullanan ifadenin basitleştirilmesiyle başlar. Verilen x=8 değerini basitleştirilmiş x 1/3 +48 ifadesine yerleştirdikten sonra - 50 değerini elde etmek kolaydır.

İkinci örnekte pay ve paydası rasyonel üslü kuvvetler içeren bir kesri azaltmanız gerekiyor. Derecenin özelliklerini kullanarak, farktan x 1/3 faktörünü çıkarırız, bu daha sonra pay ve paydada azaltılır ve kareler farkı formülünü kullanarak pay çarpanlara ayrılır, bu da aynı değerde daha fazla azalma sağlar. pay ve paydadaki faktörler. Bu tür dönüşümlerin sonucu kısa kesir x 1/4 +3'tür.

Öğretmenin yeni bir ders konusunu açıklaması yerine “Rasyonel Üslü Üslü” video dersi kullanılabilir. Bu kılavuz aynı zamanda öğrencinin bağımsız olarak çalışabilmesi için yeterince eksiksiz bilgi içerir. Materyal aynı zamanda uzaktan eğitim için de yararlı olabilir.

İfadeler, ifade dönüşümü

Kuvvet ifadeleri (kuvvetli ifadeler) ve dönüşümleri

Bu yazımızda üslü ifadelerin dönüştürülmesinden bahsedeceğiz. Öncelikle parantez açma, benzer terimleri getirme gibi kuvvet ifadeleri de dahil olmak üzere her türlü ifadeyle gerçekleştirilen dönüşümlere odaklanacağız. Daha sonra özellikle dereceli ifadelerin doğasında olan dönüşümleri analiz edeceğiz: taban ve üsle çalışmak, derecelerin özelliklerini kullanmak vb.

Sayfada gezinme.

Güç ifadeleri nelerdir?

"Güç ifadeleri" terimi pratik olarak okul matematik ders kitaplarında yer almaz, ancak özellikle Birleşik Devlet Sınavı ve Birleşik Devlet Sınavına hazırlık amaçlı olan problem koleksiyonlarında oldukça sık görülür. Güç ifadeleri ile herhangi bir eylemi gerçekleştirmenin gerekli olduğu görevler analiz edildikten sonra, güç ifadelerinin girişlerinde güç içeren ifadeler olarak anlaşıldığı ortaya çıkar. Bu nedenle aşağıdaki tanımı kendiniz için kabul edebilirsiniz:

Tanım.

Güç ifadeleri güçleri içeren ifadelerdir.

Hadi verelim güç ifadelerine örnekler. Ayrıca doğal üslü bir dereceden reel üslü bir dereceye doğru görüş gelişiminin nasıl gerçekleştiğine göre bunları sunacağız.

Bilindiği gibi bu aşamada öncelikle doğal üslü bir sayının kuvvetiyle tanışılır; 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) tipindeki ilk basit kuvvet ifadeleri kullanılır. 4, 3 a 2 görünür −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 vb.

Biraz sonra, tamsayı üslü bir sayının kuvveti incelenir, bu da aşağıdaki gibi negatif tamsayı kuvvetlerine sahip kuvvet ifadelerinin ortaya çıkmasına yol açar: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

Lisede derecelere geri dönerler. Orada, karşılık gelen güç ifadelerinin ortaya çıkmasını gerektiren rasyonel bir üslü bir derece tanıtılır: , , ve benzeri. Son olarak irrasyonel üslü dereceler ve bunları içeren ifadeler ele alınır: , .

Sorun, listelenen kuvvet ifadeleriyle sınırlı değildir: ayrıca değişken üs içine nüfuz eder ve örneğin aşağıdaki ifadeler ortaya çıkar: 2 x 2 +1 veya . Ve onu tanıdıktan sonra, kuvvetleri ve logaritmaları olan ifadeler ortaya çıkmaya başlar, örneğin x 2·lgx −5·x lgx.

Böylece güç ifadelerinin neyi temsil ettiği sorusunu ele aldık. Daha sonra bunları dönüştürmeyi öğreneceğiz.

Güç ifadelerinin ana dönüşüm türleri

Güç ifadeleri ile ifadelerin temel kimlik dönüşümlerinden herhangi birini gerçekleştirebilirsiniz. Örneğin parantez açabilir, sayısal ifadeleri değerleriyle değiştirebilir, benzer terimler ekleyebilirsiniz. Doğal olarak bu durumda eylemleri gerçekleştirmek için kabul edilen prosedüre uymak gerekir. Örnekler verelim.

Örnek.

2 3 ·(4 2 −12) kuvvet ifadesinin değerini hesaplayın.

Çözüm.

Eylemlerin gerçekleştirilme sırasına göre, önce parantez içindeki eylemleri gerçekleştirin. Burada öncelikle 4 2 kuvvetini 16 değeriyle değiştiriyoruz (gerekiyorsa bakınız) ve ikinci olarak 16−12=4 farkını hesaplıyoruz. Sahibiz 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Ortaya çıkan ifadede 2 3 kuvvetini 8 değeriyle değiştirip 8·4=32 sonucunu hesaplıyoruz. Bu istenen değerdir.

Bu yüzden, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Cevap:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Örnek.

İfadeleri güçlerle basitleştirin 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Çözüm.

Açıkçası, bu ifade 3·a 4 ·b −7 ve 2·a 4 ·b −7 gibi benzer terimleri içerir ve bunları şu şekilde sunabiliriz: .

Cevap:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Örnek.

Bir ifadeyi güçlerle birlikte ürün olarak ifade edin.

Çözüm.

9 sayısını 3 2'nin kuvveti olarak temsil ederek ve ardından kısaltılmış çarpma formülünü (kareler farkı) kullanarak bu görevin üstesinden gelebilirsiniz:

Cevap:

Ayrıca, özellikle güç ifadelerinin doğasında olan bir takım özdeş dönüşümler de vardır. Bunları daha ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.

Taban ve üs ile çalışma

Tabanı ve/veya üssü sadece sayı veya değişken değil, bazı ifadelerden oluşan kuvvetler vardır. Örnek olarak (2+0.3·7) 5−3.7 ve (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) girişlerini veriyoruz.

Bu tür ifadelerle çalışırken, hem derece tabanındaki ifadeyi hem de üs içindeki ifadeyi, değişkenlerinin ODZ'sinde tamamen eşit bir ifadeyle değiştirebilirsiniz. Yani bildiğimiz kurallara göre derecenin tabanını ayrı ayrı, üssünü ayrı ayrı dönüştürebiliriz. Bu dönüşüm sonucunda orijinal ifadeye tamamen eşit bir ifadenin elde edileceği açıktır.

Bu tür dönüşümler, ifadeleri güçlerle basitleştirmemize veya ihtiyaç duyduğumuz diğer hedeflere ulaşmamıza olanak tanır. Örneğin yukarıda bahsettiğimiz (2+0.3 7) 5−3.7 kuvvet ifadesinde taban ve üslerdeki sayılar ile işlemler gerçekleştirebilirsiniz, bu da 4.1 1.3 kuvvetine geçmenizi sağlayacaktır. Parantezleri açıp benzer terimleri (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) derecesinin tabanına getirdikten sonra, daha basit bir a 2·(x+ formunun kuvvet ifadesini elde ederiz. 1).

Derece Özelliklerini Kullanma

İfadeleri güçlerle dönüştürmenin ana araçlarından biri, yansıtan eşitliklerdir. Başlıcalarını hatırlayalım. Herhangi bir pozitif a ve b sayısı ve keyfi gerçek sayılar r ve s için, kuvvetlerin aşağıdaki özellikleri doğrudur:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Doğal, tam sayı ve pozitif üsler için a ve b sayılarına ilişkin kısıtlamaların o kadar katı olmayabileceğini unutmayın. Örneğin, m ve n doğal sayıları için a m ·a n =a m+n eşitliği yalnızca pozitif a için değil, aynı zamanda negatif a ve a=0 için de doğrudur.

Okulda güç ifadelerini dönüştürürken asıl odak noktası, uygun özelliği seçme ve onu doğru şekilde uygulama becerisidir. Bu durumda derece tabanları genellikle pozitiftir ve bu da derece özelliklerinin kısıtlama olmaksızın kullanılmasına olanak tanır. Aynısı, güç tabanlarında değişkenler içeren ifadelerin dönüşümü için de geçerlidir - değişkenlerin izin verilen değerlerinin aralığı genellikle bazların üzerinde yalnızca pozitif değerler alacağı şekildedir, bu da güçlerin özelliklerini özgürce kullanmanıza olanak tanır . Genel olarak, bu durumda herhangi bir derece özelliğini kullanmanın mümkün olup olmadığını sürekli olarak kendinize sormanız gerekir, çünkü özelliklerin yanlış kullanımı eğitim değerinin daralmasına ve diğer sorunlara yol açabilir. Bu noktalar, üslerin özellikleri kullanılarak ifadelerin dönüştürülmesi makalesinde ayrıntılı olarak ve örneklerle tartışılmaktadır. Burada kendimizi birkaç basit örneği ele almakla sınırlayacağız.

Örnek.

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 ifadesini a tabanlı bir kuvvet olarak ifade edin.

Çözüm.

İlk olarak, bir kuvveti bir kuvvete yükseltme özelliğini kullanarak ikinci faktör (a 2) −3'ü dönüştürürüz: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Orijinal güç ifadesi a 2,5 ·a −6:a −5,5 formunu alacaktır. Açıkçası, kuvvetlerin çarpımı ve bölünmesi özelliklerini aynı temelde kullanmaya devam ediyoruz.
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Cevap:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Kuvvet ifadelerini dönüştürürken kuvvetlerin özellikleri hem soldan sağa hem de sağdan sola kullanılır.

Örnek.

Güç ifadesinin değerini bulun.

Çözüm.

Sağdan sola uygulanan (a·b) r =a r ·b r eşitliği, orijinal ifadeden formun bir çarpımına ve daha ileriye gitmemize olanak tanır. Ve aynı tabanlarla kuvvetleri çarparken üslerin toplamı şöyle olur: .

Orijinal ifadeyi başka bir şekilde dönüştürmek mümkündü:

Cevap:

.

Örnek.

a 1,5 −a 0,5 −6 kuvvet ifadesi verildiğinde, yeni bir t=a 0,5 değişkeni ekleyin.

Çözüm.

a 1,5 derecesi, 0,5 3 olarak temsil edilebilir ve daha sonra, derecenin özelliğine bağlı olarak (a r) s =a r s derecesinin sağdan sola uygulanmasıyla (a 0,5) 3 biçimine dönüştürülebilir. Böylece, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Artık yeni bir değişken t=a 0,5 eklemek kolaydır, t 3 −t−6 elde ederiz.

Cevap:

t 3 −t−6 .

Üsleri içeren kesirleri dönüştürme

Kuvvet ifadeleri, kuvvetleri olan kesirleri içerebilir veya temsil edebilir. Herhangi bir türdeki kesirlerin doğasında bulunan kesirlerin temel dönüşümlerinden herhangi biri, bu kesirlere tamamen uygulanabilir. Yani, kuvvetleri içeren kesirler azaltılabilir, yeni bir paydaya indirgenebilir, paylarıyla ayrı ayrı ve paydayla ayrı ayrı çalışılabilir, vb. Bu kelimeleri açıklamak için birkaç örneğin çözümlerini düşünün.

Örnek.

Güç ifadesini basitleştirin .

Çözüm.

Bu güç ifadesi bir kesirdir. Pay ve paydasıyla çalışalım. Payda parantezleri açıyoruz ve kuvvetlerin özelliklerini kullanarak elde edilen ifadeyi basitleştiriyoruz ve paydada da benzer terimleri sunuyoruz:

Ayrıca kesrin önüne eksi koyarak paydanın işaretini de değiştirelim: .

Cevap:

.

Üsleri içeren kesirlerin yeni bir paydaya indirgenmesi, rasyonel kesirlerin yeni bir paydaya indirgenmesine benzer şekilde gerçekleştirilir. Bu durumda ek bir faktör daha bulunur ve kesrin pay ve paydası onunla çarpılır. Bu eylemi gerçekleştirirken, yeni bir paydanın azaltılmasının ODZ'nin daralmasına yol açabileceğini hatırlamakta fayda var. Bunun olmasını önlemek için orijinal ifade için ODZ değişkenlerinden değişkenlerin herhangi bir değeri için ek faktörün sıfıra gitmemesi gerekir.

Örnek.

Kesirleri yeni bir paydaya azaltın: a) payda a, b)'ye paydaya.

Çözüm.

a) Bu durumda hangi ek çarpanın istenen sonucu elde etmeye yardımcı olduğunu bulmak oldukça kolaydır. Bu 0,3'ün çarpanıdır, çünkü a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. A değişkeninin izin verilen değerleri aralığında (bu, tüm pozitif gerçek sayıların kümesidir), 0,3'ün kuvvetinin kaybolmadığını, bu nedenle, belirli bir sayının payını ve paydasını çarpma hakkına sahip olduğumuzu unutmayın. bu ek faktöre göre kesir:

b) Paydaya daha yakından baktığınızda şunu görürsünüz:

ve bu ifadeyi ile çarpmak küplerin toplamını ve yani, verecektir. Ve bu, orijinal kesri azaltmamız gereken yeni paydadır.

Bu şekilde ek bir faktör bulduk. X ve y değişkenlerinin izin verilen değerleri aralığında ifade kaybolmaz, bu nedenle kesrin payını ve paydasını onunla çarpabiliriz:

Cevap:

A) , B) .

Üs içeren kesirlerin azaltılmasında da yeni bir şey yoktur: pay ve payda bir dizi faktör olarak temsil edilir ve pay ve paydanın aynı faktörleri azaltılır.

Örnek.

Kesri azaltın: a) , B) .

Çözüm.

a) Öncelikle pay ve payda, 15'e eşit olan 30 ve 45 sayılarıyla azaltılabilir. Ayrıca x 0,5 +1 oranında ve şu oranda bir azaltmanın gerçekleştirilmesi de açıkça mümkündür: . İşte elimizde olanlar:

b) Bu durumda pay ve paydadaki aynı çarpanlar hemen görülmez. Bunları elde etmek için ön dönüşümler yapmanız gerekecektir. Bu durumda, kareler farkı formülü kullanılarak paydanın çarpanlara ayrılmasından oluşur:

Cevap:

A)

B) .

Kesirleri yeni bir paydaya dönüştürmek ve kesirleri azaltmak esas olarak kesirlerle işlemler yapmak için kullanılır. Eylemler bilinen kurallara göre gerçekleştirilir. Kesirleri eklerken (çıkarırken), ortak bir paydaya indirgenirler, ardından paylar eklenir (çıkarılır), ancak payda aynı kalır. Sonuç, payı payların çarpımı olan ve paydası da paydaların çarpımı olan bir kesirdir. Bir kesirle bölme, onun tersiyle çarpma işlemidir.

Örnek.

Adımları takip et .

Çözüm.

Öncelikle parantez içindeki kesirleri çıkarıyoruz. Bunu yapmak için onları ortak bir paydada buluşturuyoruz. , ardından payları çıkarıyoruz:

Şimdi kesirleri çarpıyoruz:

Açıkçası, x 1/2'lik bir kuvvetle azaltmak mümkündür, bundan sonra şunu elde ederiz: .

Ayrıca kareler farkı formülünü kullanarak paydadaki kuvvet ifadesini basitleştirebilirsiniz: .

Cevap:

Örnek.

Güç İfadesini Basitleştirin .

Çözüm.

Açıkçası, bu kesir (x 2,7 +1) 2 kadar azaltılabilir, bu kesri verir . X'in yetkileriyle başka bir şeyin yapılması gerektiği açıktır. Bunu yapmak için ortaya çıkan fraksiyonu bir ürüne dönüştürüyoruz. Bu bize güçlerin aynı temellerle bölünmesi özelliğinden yararlanma fırsatını verir: . Ve sürecin sonunda son çarpımdan kesire geçiyoruz.

Cevap:

.

Ve şunu da ekleyelim ki, negatif üslü faktörleri paydan paydaya veya paydadan paya, üssün işaretini değiştirerek aktarmanın mümkün olduğunu ve birçok durumda istendiğini de ekleyelim. Bu tür dönüşümler genellikle daha sonraki eylemleri basitleştirir. Örneğin, bir güç ifadesi ile değiştirilebilir.

Kökleri ve kuvvetleri olan ifadeleri dönüştürme

Çoğu zaman bazı dönüşümlerin gerekli olduğu ifadelerde kuvvetlerle birlikte kesirli üslü kökler de bulunur. Böyle bir ifadeyi istenilen forma dönüştürmek için çoğu durumda sadece köklere veya sadece kuvvetlere gitmek yeterlidir. Ancak güçlerle çalışmak daha uygun olduğundan genellikle köklerden güçlere doğru hareket ederler. Bununla birlikte, orijinal ifadeye ilişkin değişkenlerin ODZ'si, modüle başvurmaya veya ODZ'yi birkaç aralığa bölmeye gerek kalmadan kökleri güçlerle değiştirmenize izin verdiğinde böyle bir geçişin gerçekleştirilmesi tavsiye edilir (bunu daha önce ayrıntılı olarak tartıştık). makale köklerden kuvvetlere ve geriye geçiş Rasyonel üslü dereceyle tanıştıktan sonra irrasyonel üslü bir derece tanıtılır, bu da keyfi bir gerçek üslü bir dereceden bahsetmemize olanak tanır. Bu aşamada, oluşmaya başlar. okulda okudu. üstel fonksiyon tabanı bir sayı ve üssü bir değişken olan bir kuvvet tarafından analitik olarak verilir. Böylece kuvvet tabanında sayılar ve üslü ifadelerde değişken içeren kuvvet ifadeleriyle karşı karşıya kalıyoruz ve doğal olarak bu tür ifadelerin dönüşümlerini gerçekleştirme ihtiyacı doğuyor.

Belirtilen türdeki ifadelerin dönüşümünün genellikle çözerken yapılması gerektiği söylenmelidir. üstel denklemler Ve üstel eşitsizlikler ve bu dönüşümler oldukça basittir. Vakaların büyük çoğunluğunda derecenin özelliklerine dayanırlar ve çoğunlukla gelecekte yeni bir değişken getirmeyi amaçlarlar. Denklem onları göstermemize izin verecek 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

İlk olarak, üsleri belirli bir değişkenin (veya değişkenli ifadenin) ve bir sayının toplamı olan üslerin yerini ürünler alır. Bu, sol taraftaki ifadenin ilk ve son terimleri için geçerlidir:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Daha sonra eşitliğin her iki tarafı, orijinal denklem için x değişkeninin ODZ'sinde yalnızca pozitif değerleri alan 7 2 x ifadesine bölünür (bu, bu tür denklemleri çözmek için standart bir tekniktir, biz değiliz) Şimdi bunun hakkında konuşuyoruz, bu yüzden ifadelerin güçlerle sonraki dönüşümlerine odaklanın):

Artık kesirlerin kuvvetlerini iptal edebiliriz, bu da şunu verir: .

Son olarak, aynı üslere sahip kuvvetlerin oranı, ilişkilerin kuvvetleri ile değiştirilir ve denklem elde edilir. , eşdeğer olan . Yapılan dönüşümler, orijinal üstel denklemin çözümünü ikinci dereceden bir denklemin çözümüne indirgeyen yeni bir değişken eklememize olanak tanır.

a n ifadesi (tamsayı üslü kuvvet), a = 0 ve n'nin sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olduğu durumlar dışında tüm durumlarda tanımlanacaktır.

Derecelerin özellikleri

Tamsayı üssü olan derecelerin temel özellikleri:

a m *a n = a (m+n) ;

a m: a n = a (m-n) (ile A sıfıra eşit değil);

(bir m) n = bir (m*n) ;

(a*b) n = a n *b n;

(a/b) n = (a n)/(b n) (ile B sıfıra eşit değil);

a 0 = 1 (ile A sıfıra eşit değil);

Bu özellikler herhangi bir a, b sayısı ve herhangi bir m ve n tam sayısı için geçerli olacaktır. Ayrıca aşağıdaki özelliğe de dikkat etmek önemlidir:

Eğer m>n ise a>1 ve a m için a m > a n

Bir sayının kuvveti kavramını rasyonel sayıların üs görevi gördüğü durumlara genelleyebiliriz. Aynı zamanda yukarıdaki özelliklerin tamamının veya en azından bir kısmının yerine getirilmesini isterim.

Örneğin, (a m) n = a (m*n) özelliği karşılanırsa aşağıdaki eşitlik geçerli olacaktır:

(a (m/n)) n = a m .

Bu eşitlik, a (m/n) sayısının, a m sayısının n'inci kökü olması gerektiği anlamına gelir.

Rasyonel üssü r = (m/n) olan bir a sayısının (sıfırdan büyük) kuvveti; burada m bir tamsayı, n ise birden büyük bir doğal sayıdır. n√(birm). Tanıma göre: a (m/n) = n√(a m).

Tüm pozitif r'ler için sıfırın kuvveti belirlenecektir. Tanım gereği 0 r = 0. Ayrıca herhangi bir tamsayı için herhangi bir doğal m ve n ve pozitif olduğuna da dikkat edin. Aşu eşitlik doğrudur: a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .

Örneğin: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12).

Rasyonel üslü bir derecenin tanımından, herhangi bir pozitif a ve herhangi bir rasyonel r için a r sayısının şu şekilde olacağı doğrudan sonucu çıkar: pozitif.

Rasyonel üssü olan bir derecenin temel özellikleri

Herhangi bir p, q rasyonel sayısı ve herhangi bir a>0 ve b>0 için aşağıdaki eşitlikler doğrudur:

1. (a p)*(a q) = a (p+q) ;

2. (a p):(b q) = a (p-q) ;

3. (a p) q = a (p*q) ;

4. (a*b) p = (a p)*(b p);

5. (a/b) p = (a p)/(b p).

Bu özellikler köklerin özelliklerinden kaynaklanmaktadır. Tüm bu özellikler benzer şekilde kanıtlanmıştır, dolayısıyla kendimizi bunlardan yalnızca birini kanıtlamakla sınırlayacağız, örneğin ilk (a p)*(a q) = a (p + q) .

p = m/n ve q = k/l olsun; burada n, l bazı doğal sayılar ve m, k bazı tam sayılardır. O zaman şunu kanıtlamanız gerekir:

(a (m/n))*(a (k/l)) = a ((m/n) + (k/l)) .

Öncelikle m/n k/l kesirlerini ortak bir paydaya getirelim. (m*l)/(n*l) ve (k*n)/(n*l) kesirlerini elde ederiz. Bu gösterimleri kullanarak eşitliğin sol tarafını yeniden yazalım ve şunu elde edelim:

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l))))*(a ((k*n)/(n*l)) ).

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l))))*(a ((k*n)/(n*l)) ) = (n*l)√(a (m*l))*(n*l)√(a (k*n)) = (n*l)√((a (m*l))*(a (k*n)))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m /n)+(k/l)) .

30 Numaralı Ders (Cebir ve temel analiz, 11. sınıf)

Ders konusu: Rasyonel üslü derece.

Dersin Amacı: 1 . Derece kavramını genişletin, derece kavramını rasyonel bir üsle verin; Rasyonel üslü bir derecenin köke ve tersinin nasıl dönüştürüleceğini öğretin; Rasyonel üslü kuvvetleri hesaplar.

2. Hafızanın ve düşünmenin gelişimi.

3. Faaliyetin oluşumu.

"Birinin üzerini çizmeye çalışmasına izin verin

matematik diplomasından sonra şunu görecek,

Onlar olmadan çok uzağa gidemezsin. M.V.

Dersler sırasında.

I. Dersin konusunun ve amacının açıklanması.

II. İşlenen konunun tekrarı ve pekiştirilmesi.

1. Çözülmemiş ev örneklerinin analizi.

2. Bağımsız çalışmayı denetlemek:

Seçenek 1.

1. Denklemi çözün: √(2x – 1) = 3x – 12

2. Eşitsizliği çözün: √(3x – 2) ≥ 4 – x

Seçenek 2.

1. Denklemi çözün: 3 – 2x = √(7x + 32)

2. Eşitsizliği çözün: √(3x + 1) ≥ x – 1

III. Yeni materyal öğrenme.

1 . Sayı kavramının açılımını hatırlayalım: N є Z є Q є R.

Bu en iyi aşağıdaki diyagramla temsil edilir:

Doğal (K)

Sıfır

Negatif olmayan sayılar

Negatif sayılar

Kesirli sayılar

Tamsayılar (Z)

mantıksız

Rasyonel (Q)

Gerçek sayılar

2. Alt sınıflarda tamsayı üssü olan bir sayının kuvveti kavramı tanımlandı. a) Üssün a) doğal, b) negatif tamsayı, c) sıfır üssünün tanımını hatırlayın.İfadenin a olduğunu vurgulayın N a=0 ve n≤0 hariç tüm n tam sayıları ve a'nın tüm değerleri için anlamlıdır.

b) Derecelerin özelliklerini tam sayı üssüyle listeleyin.

3. Sözlü çalışma.

1). Hesapla: 1 -5; 4-3; (-100 ; (-5)-2; (1/2) -4; (3/7) -1 .

2). Negatif üssü olan bir kuvvet olarak yazın:

1/4 5 ;1/21 3 ; 1/x7; 1/a 9.

3).Birim ile karşılaştırın: 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .

4 . Şimdi ifadelerin anlamını anlamalısınız 3 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 vesaire. Bunu yapmak için derece kavramını, derecelerin listelenen tüm özelliklerini karşılayacak şekilde genelleştirmek gerekir. Eşitliği düşünün (a m/n ) n = a m . O halde, n'inci kökün tanımı gereği, şunu varsaymak mantıklıdır: a/n a'nın n'inci kökü olacak M . Derecenin rasyonel üslü bir tanımı verilmiştir.

5. Ders kitabındaki 1 ve 2 numaralı örnekleri düşünün.

6. Rasyonel üssü olan derece kavramıyla ilgili bir takım yorumlar yapalım.

Not 1 : Herhangi bir a>0 ve r rasyonel sayısı için a sayısı r>0

Not 2 : Kesirlerin temel özelliği gereği m/n rasyonel sayısı herhangi bir k doğal sayısı için mk/nk şeklinde yazılabilir. Daha sonraDerecenin değeri rasyonel sayının yazılış şekline bağlı değildir,çünkü a mk/nk = = nk √a mk = n √a m = a m/n

Not 3: Zaman Bunu bir örnekle açıklayalım. (-64) düşünün 1/3 = 3 √-64 = -4. Öte yandan: 1/3 = 2/6 ve sonra (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. Bir çelişki elde ederiz.