Огтлолцсон шугамын хоорондох зайг олох асуудлыг шийдэх дөрвөн арга. Хоёр огтлолцох шугамын хоорондох зай Орон зайн шугам хоорондын зай

Геометрийн сурах бичиг, янз бүрийн бодлогын цуглуулга, их дээд сургуульд бэлтгэх сурах бичигт байдаг стереометрийн олон тооны бодлогуудын дунд огтлолцсон шугамын хоорондох зайг олох асуудал маш ховор байдаг. Магадгүй энэ нь тэдгээрийн практик хэрэглээний явцуу байдал (талбай, эзлэхүүнийг тооцоолох "хожлох" асуудлуудаас ялгаатай нь сургуулийн сургалтын хөтөлбөртэй холбоотой) болон энэ сэдвийн нарийн төвөгтэй байдлаас үүдэлтэй байж болох юм.

Улсын нэгдсэн шалгалт өгөх практик нь олон оюутнууд шалгалтын хуудсанд багтсан геометрийн даалгавруудыг гүйцэтгэж эхлээгүй байгааг харуулж байна. Нарийн төвөгтэй байдлын өндөр түвшний геометрийн даалгавруудыг амжилттай биелүүлэхийн тулд сэтгэлгээний уян хатан байдал, төлөвлөсөн тохиргоонд дүн шинжилгээ хийх, тэдгээрийн хэсгүүдийг тусгаарлах чадварыг хөгжүүлэх шаардлагатай бөгөөд үүнийг авч үзэх нь асуудлыг шийдэх арга замыг олох боломжийг олгодог. асуудал.

Сургуулийн курс нь огтлолцох шугамын хоорондох зайг олох асуудлыг шийдэх дөрвөн аргыг судлах явдал юм. Аргын сонголт нь юуны түрүүнд тодорхой даалгаврын шинж чанар, сонголт хийх боломжууд, хоёрдугаарт, тухайн оюутны "орон зайн сэтгэлгээний" чадвар, шинж чанараар тодорхойлогддог. Эдгээр аргууд тус бүр нь асуудлын хамгийн чухал хэсгийг шийдвэрлэх боломжийг олгодог - огтлолцох шугамын аль алинд нь перпендикуляр сегмент байгуулах (асуудлын тооцооллын хэсгийн хувьд аргад хуваах шаардлагагүй).

Огтлолцох шугам хоорондын зайг олох асуудлыг шийдвэрлэх үндсэн аргууд

Хоёр хазайсан шугамын нийтлэг перпендикулярын уртыг олох, i.e. Эдгээр шугамууд дээр төгсгөлтэй, эдгээр шугам бүрт перпендикуляр сегмент.

Нэг огтлолцсон шулуунаас нөгөө шулуунаар дамжин өнгөрөх түүнтэй параллель хавтгай хүртэлх зайг олох.

Өгөгдсөн огтлолцох шулуунуудыг дайран өнгөрөх хоёр зэрэгцээ хавтгайн хоорондын зайг олох.

Перпендикуляр хавтгайд ("дэлгэц" гэж нэрлэгддэг) огтлолцсон шугамуудын аль нэгнийх нь проекц болох цэгээс нэг хавтгайд өөр шугамын проекц хүртэлх зайг олох.

Дараах хамгийн энгийн аргыг ашиглан бүх дөрвөн аргыг үзүүлье даалгавар: "Ирмэгтэй шоо хэлбэрээр ААль ч ирмэг ба түүнийг огтлолцохгүй нүүрний диагональ хоорондын зайг ол." Хариулт: .

Зураг 1

h skr нь диагональ агуулсан хажуугийн нүүрний хавтгайд перпендикуляр байна гба ирмэгтэй перпендикуляр тул, h skrба ирмэг хоорондын зай Аба диагональ г.

Зураг 2

А хавтгай нь ирмэгтэй параллель бөгөөд өгөгдсөн диагональ дундуур дамждаг тул өгөгдсөн h skrнь зөвхөн ирмэгээс А хавтгай хүртэлх зай төдийгүй ирмэгээс өгөгдсөн диагональ хүртэлх зай юм.

Зураг 3

А ба В хавтгайнууд нь параллель бөгөөд өгөгдсөн хоёр хазайлтыг дайран өнгөрдөг тул эдгээр хавтгайн хоорондын зай нь хоёр налуу шугамын хоорондох зайтай тэнцүү байна.

Зураг 4

А хавтгай нь шоогийн ирмэгтэй перпендикуляр байна. А диагональ дээр проекцлох үед гЭнэ диагональ нь кубын суурийн аль нэг тал руу эргэдэг. Энэ h skrнь ирмэгийг агуулсан шугам ба диагоналын C хавтгайд проекцын хоорондох зай, тиймээс ирмэг ба диагональ агуулсан шугамын хоорондох зай юм.

Сургуульд судлагдсан олон талтуудын арга тус бүрийг ашиглах талаар илүү дэлгэрэнгүй авч үзье.

Эхний аргыг ашиглах нь нэлээд хязгаарлагдмал: үүнийг зөвхөн зарим асуудалд сайн ашигладаг, учир нь хамгийн энгийн бодлогод огтлолцсон хоёр цэгийн нийтлэг перпендикулярын ойролцоо байрлалыг нарийн тодорхойлох, зөвтгөх нь нэлээд хэцүү байдаг. шугамууд. Нэмж дурдахад, нарийн төвөгтэй асуудалд энэ перпендикулярын уртыг олоход даван туулах боломжгүй бэрхшээлтэй тулгарах болно.

Бодлого 1. Хэмжээтэй тэгш өнцөгт параллелепипедт a, b, hСуурийн хажуугийн ирмэг ба түүнтэй огтлолцохгүй диагональ хоорондын зайг ол.

Зураг 5

AHBD зөвшөөрнө үү. A 1 A нь ABCD хавтгайд перпендикуляр тул A 1 A AH байна.

AH нь хоёр огтлолцох шугамын аль алинд нь перпендикуляр байдаг тул AH нь A 1 A ба BD шугамуудын хоорондох зай юм. ABD тэгш өнцөгт гурвалжинд AB ба AD хөлүүдийн уртыг мэддэг тул тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг тооцоолох томъёог ашиглан AH өндрийг олдог. Хариулт:

Бодлого 2. Хажуугийн ирмэгтэй ердийн 4 өнцөгт пирамид Лба суурь тал аЭнэ өргөдлийг агуулсан хажуугийн нүүрийг огтолж буй суурийн тал ба апотемийн хоорондох зайг ол.

Зураг 6

SHCD нь үгийн үсэгтэй адил, ADCD нь ABCD нь дөрвөлжин хэлбэртэй байдаг. Тиймээс DH нь SH ба AD шулуун шугамуудын хоорондох зай юм. DH нь хажуугийн CD-ийн хагастай тэнцүү. Хариулт:

Хэрэв та огтлолцсон шулуун шугамуудын аль нэгийг нь дайран өнгөрч, өөр шулуун шугамтай параллель нисэх онгоцыг хурдан барьж (эсвэл бэлэн болсон) боломжтой бол аль ч цэгээс перпендикуляр барих боломжтой тул энэ аргыг ашиглах нь хязгаарлагдмал. Энэ хавтгайд хүрэх хоёр дахь шулуун шугам (полиэдрон дотор) хүндрэл үүсгэдэг. Гэсэн хэдий ч, заасан перпендикуляр барих (эсвэл олох) нь хүндрэл учруулахгүй энгийн асуудлуудад энэ арга нь хамгийн хурдан бөгөөд хялбар байдаг тул хүртээмжтэй байдаг.

Бодлого 2. Дээрх асуудлыг энэ аргыг ашиглан шийдвэрлэх нь онцгой хүндрэл учруулахгүй.

Зураг 7

AD ||-ээс хойш EFM хавтгай нь AD шугамтай параллель байна Э.Ф. MF шугам нь энэ хавтгайд байрладаг тул AD шугам ба EFM хавтгай хоорондын зай нь AD шугам ба MF шугамын хоорондох зайтай тэнцүү байна. OHAD хийцгээе. OHEF, OHMO, тиймээс OH(EFM), тиймээс OH нь AD шулуун ба EFM хавтгай хоорондын зай, тиймээс AD шулуун ба шулуун MF хоорондох зай юм. AOD гурвалжнаас OH-г ол.

Бодлого 3. Хэмжээтэй тэгш өнцөгт параллелепипедт а,бТэгээд hпараллелепипедийн хажуугийн ирмэг ба түүнтэй огтлолцохгүй диагональ хоорондын зайг ол.

Зураг 8

AA 1 шулуун BB 1 D 1 D, B 1 D хавтгайд параллель байгаа тул AA 1-ээс BB 1 D 1 D хавтгай хүртэлх зай нь AA 1 ба B 1 D шулуунуудын хоорондох зайтай тэнцүү байна. AHBD гарч байна. Мөн AH B 1 B, тиймээс AH(BB 1 D 1 D), тиймээс AHB 1 D, өөрөөр хэлбэл AH нь шаардлагатай зай юм. ABD тэгш өнцөгт гурвалжнаас AH-г ол.

Хариулт:

Бодлого 4. Энгийн зургаан өнцөгт призмд A:F 1 өндөртэй hба суурь тал аШугамын хоорондох зайг ол:

Зураг 9 Зураг 10

a) AA 1 ба ED 1.

E 1 EDD 1 хавтгайг авч үзье. A 1 E 1 EE 1, A 1 E 1 E 1 D 1, тиймээс

A 1 E 1 (E 1 EDD 1). Мөн A 1 E 1 AA 1 . Иймд A 1 E 1 нь AA 1 шулуун шугамаас E 1 EDD 1 хавтгай хүртэлх зай юм. ED 1 (E 1 EDD 1) Тиймээс AE 1 нь AA 1 шулуун шугамаас ED 1 хүртэлх зай юм. Бид косинусын теоремыг ашиглан F 1 A 1 E 1 гурвалжнаас A 1 E 1-ийг олно. Хариулт:

b) AF ба диагональ BE 1.

F цэгээс BE-д перпендикуляр FH шулуун зуръя. EE 1 FH, FHBE, тиймээс FH(BEE 1 B 1), тиймээс FH нь шулуун шугамын AF ба (BEE 1 B 1) хоорондын зай, тиймээс AF шулуун шугам ба диагональ BE 1 хоорондын зай юм. Хариулт:

АРГА III

Энэ аргын хэрэглээ маш хязгаарлагдмал, учир нь аль нэг шулуунтай параллель хавтгай (II арга) нь хоёр зэрэгцээ хавтгайг барихаас илүү хялбар байдаг, гэхдээ огтлолцох шулуунууд нь зэрэгцээ нүүрэнд хамаарах бол III аргыг призмд ашиглаж болно. түүнчлэн олон талт хэлбэртэй тохиолдолд өгөгдсөн шугамуудыг агуулсан параллель хэсгүүдийг барихад хялбар байдаг.

Даалгавар 4.

Зураг 11

a) AB || тул BAA 1 B 1 ба DEE 1 D 1 хавтгайнууд зэрэгцээ байна ED ба АА 1 || EE 1. ED 1 DEE 1 D 1, AA 1 (BAA 1 B 1), тиймээс AA 1 ба ED 1 шулуунуудын хоорондох зай нь BAA 1 B 1 ба DEE 1 D 1 хавтгайн хоорондын зайтай тэнцүү байна. A 1 E 1 AA 1 , A 1 E 1 A 1 B 1, тиймээс A 1 E 1 BAA 1 B 1 . Үүнтэй адилаар бид A 1 E 1 (DEE 1 D 1) гэдгийг баталж байна. Тиймээс A 1 E 1 нь BAA 1 B 1 ба DEE 1 D 1 хавтгайн хоорондын зай, тиймээс AA 1 ба ED 1 шулуунуудын хоорондох зай юм. Бид A 1 F 1 E 1 гурвалжнаас A 1 E 1-ийг олдог бөгөөд энэ нь A 1 F 1 E 1 өнцөгтэй тэнцүү өнцөгт байна. Хариулт:

Зураг 12

b) AF ба диагональ BE 1 хоорондын зай ижил төстэй олддог.

Бодлого 5. Ирмэгтэй шоо Азэргэлдээх хоёр нүүрний огтлолцохгүй диагональ хоорондын зайг ол.

Энэ асуудлыг зарим сурах бичигт сонгодог гэж үздэг боловч дүрмээр бол түүний шийдлийг IV аргаар өгдөг боловч III аргыг ашиглан шийдвэрлэхэд хялбар байдаг.

Зураг 13

Энэ асуудлын зарим хүндрэл нь A 1 C диагональ нь параллель хавтгайд перпендикуляр болохыг нотолсонтой холбоотой юм (AB 1 D 1 || BC 1 D). B 1 CBC 1 ба BC 1 A 1 B 1, тиймээс BC 1 шулуун нь A 1 B 1 C хавтгайд перпендикуляр, тиймээс BC 1 A 1 C. Мөн A 1 CBD. Иймээс A 1 C шулуун нь BC 1 D хавтгайд перпендикуляр байна. Бодлогын тооцооллын хэсэг нь ямар нэгэн онцгой хүндрэл учруулахгүй. h skr= EF нь кубын диагональ ба A 1 AB 1 D 1 ба CC 1 BD хоёр ижил энгийн пирамидын өндрийн зөрүүгээр олддог.

IV АРГА.

Энэ арга нь нэлээд өргөн хэрэглээтэй. Дунд болон хүнд хэцүү даалгаврын хувьд үүнийг гол зүйл гэж үзэж болно. Өмнөх гурван аргын аль нэг нь илүү хялбар бөгөөд хурдан ажиллах үед үүнийг ашиглах шаардлагагүй, учир нь ийм тохиолдолд IV арга нь зөвхөн асуудлын шийдлийг улам хүндрүүлж, эсвэл хүрэхэд хэцүү болгодог. Энэ аргыг огтлолцсон шугамын перпендикуляр тохиолдолд ашиглах нь маш ашигтай байдаг, учир нь "дэлгэц" дээр аль нэг шугамын проекцийг бүтээх шаардлагагүй болно.

L ба суурь тал а.

Зураг 16

Энэ болон үүнтэй төстэй асуудлуудад IV арга нь бусад аргуудаас илүү хурдан шийдэлд хүргэдэг, учир нь хувьсах гүйдлийн перпендикуляр (BDM гурвалжин) "дэлгэц"-ийн үүрэг гүйцэтгэдэг хэсгийг байгуулснаар цаашид барих шаардлагагүй болох нь тодорхой байна. энэ дэлгэц дээрх өөр шулуун шугамын (BM) проекц. DH нь шаардлагатай зай юм. DH-г талбайн томьёо ашиглан MDB гурвалжингаас олно. Хариулт: .

Энэ нийтлэлд улсын нэгдсэн шалгалтаас C2 асуудлыг шийдвэрлэх жишээг ашиглан координатын аргыг ашиглан олох аргыг шинжилэв. Шулуун шугамууд нэг хавтгайд хэвтэхгүй бол хазайлттай байдаг гэдгийг санаарай. Ялангуяа нэг шулуун хавтгайд хэвтэж, хоёр дахь шугам нь энэ хавтгайг эхний мөрөнд ороогүй цэгээр огтолж байвал ийм шугамууд огтлолцдог (зураг харна уу).

Олох огтлолцох шугам хоорондын зайшаардлагатай:

Нөгөө огтлолцох шулуунтай параллель байгаа огтлолцох шугамуудын аль нэгээр нь хавтгай зур.
Хоёр дахь шугамын аль ч цэгээс үүссэн хавтгайд перпендикуляр буулгана. Энэ перпендикулярын урт нь шугамын хоорондох шаардлагатай зай байх болно.

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтаас C2 асуудлыг шийдэх жишээн дээр энэ алгоритмыг илүү нарийвчлан шинжилье.

Орон зайн шугам хоорондын зай

Даалгавар.Нэгж шоо ABCDA 1 Б 1 C 1 Д 1 шугам хоорондын зайг ол Б.А. 1 ба Д.Б. 1 .

Цагаан будаа. 1. Даалгаврын зураг

Шийдэл.Кубын диагональ дунд дундуур Д.Б. 1 (цэг О) шугамтай параллель шугам зурна А 1 Б. Энэ шугамын ирмэгтэй огтлолцох цэгүүд МЭӨТэгээд А 1 Д 1-ийг зохих ёсоор тэмдэглэв НТэгээд М. Чигээрээ М.Нонгоцонд хэвтэж байна МҮОНРТ 1 ба шугамтай зэрэгцээ А 1 Б, энэ хавтгайд хэвтэхгүй. Энэ нь шулуун шугам гэсэн үг юм А 1 Бхавтгайтай зэрэгцээ МҮОНРТ 1 шулуун ба хавтгайн параллелизм дээр үндэслэсэн (Зураг 2).

Цагаан будаа. 2. Огтлолцох шугамын хоорондох зай нь сонгосон шугамын аль ч цэгээс дүрслэгдсэн хавтгай хүртэлх зайтай тэнцүү байна.

Одоо бид шугамын аль нэг цэгээс зайг хайж байна А 1 Бонгоц руу МҮОНРТ 1 . Тодорхойлолтоор энэ зай нь огтлолцох шугамын хоорондох шаардлагатай зай байх болно.

Энэ зайг олохын тулд бид координатын аргыг ашиглана. Гарал үүсэл нь В цэгийн тэнхлэгтэй давхцах тэгш өнцөгт декартын координатын системийг танилцуулъя. Xирмэгийн дагуу чиглүүлсэн Б.А., тэнхлэг Ю- хавирганы дагуу МЭӨ, тэнхлэг З- хавирганы дагуу Б.Б 1 (Зураг 3).

Цагаан будаа. 3. Зурагт үзүүлсэн шиг тэгш өнцөгт декартын координатын системийг бид сонгоно

Хавтгайн тэгшитгэлийг олох МҮОНРТЭнэ координатын систем дэх 1. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд цэгүүдийн координатыг тодорхойлно М, НТэгээд Б 1: Бид үүссэн координатыг шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд орлуулж дараах тэгшитгэлийн системийг олж авна.

Системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс бид гурав дахь тэгшитгэлээс олж авсан бөгөөд дараа нь эхнийхээс олж авсан утгыг шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд орлуулна.

Онгоц өөрөөр хэлбэл гэдгийг бид тэмдэглэж байна МҮОНРТ 1 нь гарал үүслээр дамжих болно. Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг хувааж, бид дараахыг олж авна.

Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайг томъёогоор тодорхойлно.

ЗАЙН ШУУД ХООРОНДЫН ЗАЙ Орон зайн огтлолцох хоёр шугамын хоорондох зай нь эдгээр шулуунуудад татсан нийтлэг перпендикулярын урт юм. Хэрвээ огтлолцсон хоёр шулууны нэг нь хавтгайд хэвтэж, нөгөө нь энэ хавтгайтай параллель байвал эдгээр шугамын хоорондох зай нь шулуун ба хавтгай хоорондын зайтай тэнцүү байна. Хэрэв огтлолцсон хоёр шулуун зэрэгцээ хавтгайд орвол эдгээр шугамын хоорондох зай нь параллель хавтгай хоорондын зайтай тэнцүү байна.

Шоо 1 Нэгж шоо A…D 1-д AA 1 ба BC шулуунуудын хоорондох зайг ол. Хариулт: 1.

Шоо 2 Нэгж шоо A…D 1-д AA 1 ба CD шугамын хоорондох зайг ол. Хариулт: 1.

Шоо 3 Нэгж шоо A...D 1-д AA 1 ба B 1 C 1 шулуунуудын хоорондох зайг ол.Хариулт: 1.

Шоо 4 Нэгж шоо A…D 1-д AA 1 ба C 1 D 1 шулуунуудын хоорондох зайг ол. Хариу: 1.

Шоо 5 Нэгж шоо A…D 1-д AA 1 ба ВС 1 шулуунуудын хоорондох зайг ол. Хариу: 1.

Шоо 6 Нэгж шоо A…D 1-д AA 1 ба B 1 C шулуунуудын хоорондох зайг ол. Хариу: 1.

Шоо 7 Нэгж шоо A…D 1-д AA 1 ба CD 1 шулуунуудын хоорондох зайг ол.Хариулт: 1.

Шоо 8 Нэгж шоо A…D 1-д AA 1 ба DC 1 шулуунуудын хоорондох зайг ол. Хариу: 1.

Шоо 9 Нэгж шоо A...D 1-д AA 1 ба CC 1 шулуунуудын хоорондох зайг ол.Хариулт:

Шоо 10 Нэгж шоо A…D 1-д AA 1 ба BD шулуунуудын хоорондох зайг ол. Шийдэл. О-г BD-ийн дунд цэг гэж үзье. Шаардлагатай зай нь AO сегментийн урт юм. Энэ нь Хариулттай тэнцүү байна:

Шоо 11 Нэгж шоо A...D 1-д AA 1 ба B 1 D шулуунуудын хоорондох зайг ол 1. Хариулт:

Шоо 12 Нэгж шоо A…D 1-д AA 1 ба BD 1 шулуунуудын хоорондох зайг ол. Шийдэл. P, Q нь AA 1, BD 1-ийн дунд цэгүүд байх ёстой. Шаардлагатай зай нь PQ сегментийн урт юм. Энэ нь Хариулттай тэнцүү байна:

Шоо 13 Нэгж шоо A…D 1-д AA 1 ба BD 1 шулуунуудын хоорондох зайг ол. Хариулт:

Шоо 14 Нэгж шоо A…D 1 дээр AB 1 ба CD 1 шулуун шугамаар зайг ол. Хариу: 1.

Шоо 15 Нэгж шоо A…D 1-д AB 1 ба ВС 1 шулуунуудын хоорондох зайг ол. Шийдэл. Шаардлагатай зай нь параллель хавтгай AB 1 D 1 ба BDC 1 хоорондын зайтай тэнцүү байна. Диагональ A 1 C нь эдгээр хавтгайд перпендикуляр бөгөөд огтлолцлын цэгүүд дээр гурван тэнцүү хэсэгт хуваагдана. Тиймээс шаардлагатай зай нь EF сегментийн урттай тэнцүү бөгөөд Хариулттай тэнцүү байна.

Шоо 16 Нэгж шоо A…D 1-д AB 1 ба A 1 C 1 шулуунуудын хоорондох зайг ол. Шийдэл нь өмнөхтэй төстэй. Хариулт:

Шоо 17 Нэгж шоо A…D 1-д AB 1 ба BD шулуунуудын хоорондох зайг ол. Шийдэл нь өмнөхтэй төстэй юм. Хариулт:

Шоо 18 Нэгж шоо A…D 1-д AB 1 ба BD 1 шулуун шугамуудыг ашиглан зайг ол. Шийдэл. Диагональ BD 1 нь тэгш талт гурвалжны ACB 1-ийн хавтгайд перпендикуляр байх ба түүнийг дотор нь сийлсэн тойргийн P төвд огтлолцоно. Шаардлагатай зай нь энэ тойргийн OP радиустай тэнцүү байна. OP = Хариулт:

Пирамид 1 ABCD тетраэдрт AD ба BC шулуунуудын хоорондох зайг ол. Шийдэл. Шаардлагатай зай нь EF сегментийн урттай тэнцүү бөгөөд E, F нь AD, GF ирмэгүүдийн дунд цэгүүд юм. Гурвалжин DAG DA = 1, AG = DG = Хариулт: Иймд EF =

Пирамид 2 Бүх ирмэг нь 1-тэй тэнцүү энгийн SABCD пирамидын AB ба CD шулуунуудын хоорондох зайг ол. Хариулт: 1.

Пирамид 3 Бүх ирмэг нь 1-тэй тэнцүү энгийн SABCD пирамидын хувьд SA ба BD шулуунуудын хоорондох зайг ол. Шийдэл. Шаардлагатай зай нь SAO гурвалжны OH өндөртэй тэнцүү бөгөөд О нь BD-ийн дунд цэг юм. SAO тэгш өнцөгт гурвалжинд бид: SA = 1, AO = SO = Хариулт: Тиймээс OH =

Пирамид 4 Бүх ирмэг нь 1-тэй тэнцүү энгийн SABCD пирамид SA ба BC шулуунуудын хоорондох зайг ол. Шийдэл. SAD хавтгай нь BC шулуунтай параллель байна. Тиймээс шаардлагатай зай нь BC шулуун ба SAD хавтгай хоорондын зайтай тэнцүү байна. Энэ нь SEF гурвалжны EH өндөртэй тэнцүү бөгөөд E, F нь BC, AD ирмэгүүдийн дунд цэгүүд юм. SEF гурвалжинд бид дараах байдалтай байна: EF = 1, SE = SF = Өндөр SO нь Тиймээс EH = Хариулт:

Пирамид 5 Суурийн ирмэгүүд нь 1-тэй тэнцүү SABCDEF ердийн 6-р пирамид дээр AB ба DE шулуунуудын хоорондох зайг ол. Хариулт:

Пирамид 6 Энгийн 6-р пирамид SABCDEF, хажуугийн ирмэг нь 2, суурийн ирмэг нь 1, SA ба BC шулуунуудын хоорондох зайг ол. Шийдэл: BC ба AF ирмэгийг G цэгт огтлолцох хүртэл сунгана. SA ба BC-ийн нийтлэг перпендикуляр нь ABG гурвалжны AH өндөр байх болно. Энэ нь Хариулттай тэнцүү байна:

Пирамид 7 Хажуу ирмэг нь 2, суурийн ирмэг нь 1 байх ердийн 6-р пирамид SABCDEF-д SA ба BF шулуунуудын хоорондох зайг ол. Шийдэл: Шаардлагатай зай нь SAG гурвалжны GH өндөр бөгөөд G нь BF ба AD-ийн огтлолцох цэг юм. SAG гурвалжинд: SA = 2, AG = 0.5, SO өндөр нь тэнцүү байна. Тиймээс бид GH = Хариултыг олно.

Пирамид 8 Хажуугийн ирмэг нь 2, суурийн ирмэг нь 1-тэй тэнцүү SABCDEF ердийн 6-р пирамидын SA ба CE шулуунуудын хоорондох зайг ол. Шийдэл: Шаардлагатай зай нь SAG гурвалжны GH өндөр бөгөөд G нь CE ба AD-ийн огтлолцох цэг юм. SAG гурвалжинд: SA = 2, AG =, SO өндөр нь тэнцүү байна. Тиймээс бид GH = Хариултыг олно.

Пирамид 9 Энгийн 6-р пирамид SABCDEF, хажуугийн ирмэг нь 2, суурийн ирмэг нь 1, SA ба BD шулуунуудын хоорондох зайг ол. Шийдэл: BD шугам нь SAE хавтгайтай параллель байна. Шаардлагатай зай нь BD шулуун ба энэ хавтгай хоорондын зайтай тэнцүү бөгөөд SPQ гурвалжны PH өндөртэй тэнцүү байна. Энэ гурвалжинд SO өндөр нь PQ = 1, SP = SQ = Эндээс PH = Хариултыг олно.

Пирамид 10 Энгийн 6-р пирамид SABCDEF, хажуугийн ирмэг нь 2, суурийн ирмэг нь 1, SA ба BG шулуунуудын хоорондох зайг ол, G нь SC ирмэгийн дунд цэг юм. Шийдэл: G цэгээр бид SA-тай параллель шугам татна. Түүний АС шулуунтай огтлолцох цэгийг Q тэмдэглэе. Шаардлагатай зай нь ASQ гурвалжны QH өндөртэй тэнцүү бөгөөд AS = 2, AQ =, SQ = Эндээс QH = Хариултыг олно: .

Призм 1 Энгийн гурвалжин ABCA 1 B 1 C 1 призмд бүх ирмэг нь 1-тэй тэнцүү байх ба шулуунуудын хоорондох зайг ол: BC ба B 1 C 1. Хариу: 1.

Призм 2 Бүх ирмэгүүд нь 1-тэй тэнцүү энгийн гурвалжин ABCA 1 B 1 C 1 призмд AA 1 ба BC шулуунуудын хоорондох зайг ол. Хариулт:

Призм 3 Бүх ирмэг нь 1-тэй тэнцүү энгийн гурвалжин ABCA 1 B 1 C 1 призмд AA 1 ба BC 1 шулуунуудын хоорондох зайг ол.

Призм 4 Бүх ирмэг нь 1-тэй тэнцүү энгийн гурвалжин ABCA 1 B 1 C 1 призмд AB ба A 1 C шулуунуудын хоорондох зайг ол 1. Хариу: 1.

Призм 5 Энгийн гурвалжин ABCA 1 B 1 C 1 призмд бүх ирмэг нь 1-тэй тэнцүү шулуун шугамын хоорондох зайг ол: AB ба A 1 C. Шийдэл: Шаардлагатай зай нь шулуунуудын хоорондох зайтай тэнцүү байна. AB шулуун ба A 1 B хавтгайг 1 C. D ба D 1 ирмэгийг AB ба А 1 B 1 ирмэгүүдийн дунд цэг гэж тэмдэглэе. CDD 1 зөв гурвалжинд D оройноос DE өндрийг зурна. Энэ нь шаардлагатай зай байх болно. Бидэнд DD 1 = 1, CD = Хариулт: Иймд DE =, CD 1 = байна.

Призм 6 Энгийн гурвалжин ABCA 1 B 1 C 1 призмд бүх ирмэг нь 1-тэй тэнцүү байх ба шулуунуудын хоорондох зайг ол: AB 1 ба ВС 1. Шийдэл: Призмийг 4 өнцөгт призм болгон байгуулъя. Шаардлагатай зай нь параллель хавтгай AB 1 D 1 ба BDC 1 хоорондын зайтай тэнцүү байх болно. Энэ нь AOO 1 тэгш өнцөгт гурвалжны OH өндөртэй тэнцүү бөгөөд үүнд Хариулт. Энэ өндөр

Призм 7 Ирмэгүүд нь 1-тэй тэнцүү энгийн 6-р призм A...F 1-д AB ба A 1 B шулуунуудын хоорондох зайг ол 1. Хариу: 1.

Призм 8 Ирмэгүүд нь 1-тэй тэнцүү A...F 1 энгийн 6-р призмд AB ба B 1 C шулуунуудын хоорондох зайг ол 1. Хариу: 1.

Призм 9 Ирмэгүүд нь 1-тэй тэнцүү A…F 1 энгийн 6-р призмд AB ба C 1 D шулуунуудын хоорондох зайг ол 1. Хариу: 1.

Призм 10 Ирмэгүүд нь 1-тэй тэнцүү A...F 1 ердийн 6-р призмд AB ба DE шулуунуудын хоорондох зайг ол. Хариулт: .

Призм 11 Ирмэгүүд нь 1-тэй тэнцүү A...F 1 энгийн 6-р призмд AB ба D 1 E шулуунуудын хоорондох зайг ол 1. Хариу: 2.

Призм 12 Ирмэгүүд нь 1-тэй тэнцүү A...F 1 энгийн 6-р призмд AA 1 ба CC 1 шулуунуудын хоорондох зайг ол.Хариулт: .

Призм 13 Ирмэгүүд нь 1-тэй тэнцүү A...F 1 энгийн 6-р призмд AA 1 ба DD 1 шулуунуудын хоорондох зайг ол.Хариулт: 2.

Призм 14 Ирмэгүүд нь 1-тэй тэнцүү A...F 1 энгийн 6-р призмд AA 1 ба B 1 C шулуунуудын хоорондох зайг ол 1. Шийдэл: B 1 C 1 ба A 1 талуудыг сунгана. G цэгийн уулзвар хүртэл F 1. Гурвалжин A 1 B 1 G тэгш талт. Түүний өндөр A 1 H нь хүссэн нийтлэг перпендикуляр юм. Түүний урт нь тэнцүү байна. Хариулт: .

Призм 15 Ирмэгүүд нь 1-тэй тэнцүү A...F 1 энгийн 6-р призмд AA 1 ба C 1 D шулуунуудын хоорондох зайг ол 1. Шийдэл: Шаардлагатай нийтлэг перпендикуляр нь A 1 C хэрчим юм. 1. Түүний урт нь тэнцүү байна. Хариулт: .

Призм 16 Энгийн 6-р призм A...F 1, ирмэгүүд нь 1-тэй тэнцүү, шулуунуудын хоорондох зайг ол: AA 1 ба ВС 1. Шийдэл: Шаардлагатай зай нь ADD 1 параллель хавтгайн хоорондох зай юм. ба BCC 1. Энэ нь тэнцүү байна. Хариулт: .

Призм 17 Ирмэгүүд нь 1-тэй тэнцүү A...F 1 энгийн 6-р призмд AA 1 ба CD 1 шулуунуудын хоорондох зайг ол. Шийдэл: Шаардлагатай нийтлэг перпендикуляр нь АС хэрчм юм. Түүний урт нь тэнцүү байна. Хариулт: .

Призм 18 Ирмэгүүд нь 1-тэй тэнцүү A...F 1 энгийн 6-р призмд AA 1 ба DE 1 шулуунуудын хоорондох зайг ол. Шийдэл: Шаардлагатай нийтлэг перпендикуляр нь A 1 E 1 хэрчим юм. Түүний урт нь тэнцүү байна. Хариулт: .

Призм 19 Ирмэгүүд нь 1-тэй тэнцүү A...F 1 энгийн 6-р призмд AA 1 ба BD 1 шулуунуудын хоорондох зайг ол. Шийдэл: Шаардлагатай нийтлэг перпендикуляр нь AB хэрчим байна. Түүний урт нь 1. Хариулт: 1.

Призм 20 Ирмэгүүд нь 1-тэй тэнцүү A...F 1 энгийн 6-р призмд шулуун шугамын хоорондох зайг ол: AA 1 ба CE 1. Шийдэл: Шаардлагатай зай нь АА шулууны хоорондох зай юм. 1 ба ТЗЭ хавтгай 1. Энэ нь тэнцүү байна. Хариулт: .

Призм 21 Энгийн 6-р призм A...F 1 ирмэг нь 1-тэй тэнцүү шулуун шугамын хоорондох зайг ол: AA 1 ба BE 1. Шийдэл: Шаардлагатай зай нь АА шулууны хоорондох зай юм. 1 ба BEE онгоц 1. Энэ нь тэнцүү байна. Хариулт: .

Призм 22 Ирмэгүүд нь 1-тэй тэнцүү A...F 1 энгийн 6-р призмд шулуун шугамын хоорондох зайг ол: AA 1 ба CF 1. Шийдэл: Шаардлагатай зай нь АА шулууны хоорондох зай юм. 1 ба хавтгай CFF 1. Энэ нь тэнцүү байна. Хариулт: .

Призм 23 Ирмэгүүд нь 1-тэй тэнцүү A...F 1 энгийн 6-р призмд AB 1 ба DE 1 шулуунуудын хоорондох өнцгийг ол. Шийдэл: Шаардлагатай зай нь ABB 1 ба параллель хавтгайн хоорондын зай юм. DEE 1. Тэдний хоорондын зай тэнцүү байна. Хариулт: .

Призм 24 Ирмэгүүд нь 1-тэй тэнцүү A...F 1 энгийн 6-р призмд шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ол: AB 1 ба CF 1. Шийдэл: Шаардлагатай зай нь АВ шулуун шугамын хоорондох зай юм. 1 ба хавтгай CFF 1. Энэ нь тэнцүү байна. Хариулт:

Призм 25 Ирмэгүүд нь 1-тэй тэнцүү A...F 1 энгийн 6-р призмд AB 1 ба ВС 1 шулуунуудын хоорондох зайг ол. Шийдэл: О, О 1 призмийн төвүүд байг. нүүр царай. AB 1 O 1 ба BC 1 O онгоцууд параллель байна. ACC 1 A 1 хавтгай нь эдгээр хавтгайд перпендикуляр байна. Шаардлагатай d зай нь AG 1 ба GC 1 шулуунуудын хоорондох зайтай тэнцүү байна. AGC 1 G 1 параллелограмд бид AG = Хариулт: ; AG 1 = АА 1 тал руу татсан өндөр нь 1. Иймд d= . .

Призм 26 Энгийн 6-р призм A...F 1, ирмэгүүд нь 1-тэй тэнцүү бол AB 1 ба BD 1 шулуунуудын хоорондох зайг ол. Шийдэл: BD-д перпендикуляр A 1 B 1 HG хавтгайг авч үзье. 1. Энэ хавтгай дээрх ортогональ проекц нь BD 1 шулууныг H цэг рүү, AB 1 шулууныг GB 1 шулуун руу хөрвүүлнэ. Иймд шаардлагатай d зай нь H цэгээс GB 1 шулуун хүртэлх зайтай тэнцүү байна. GHB тэгш өнцөгт гурвалжинд. 1 бидэнд GH = 1 байна; Хариулт: B 1 H =. Иймд d = байна.

Призм 27 Энгийн 6-р призм A...F 1, ирмэгүүд нь 1-тэй тэнцүү бол AB 1 ба BE 1 шулуунуудын хоорондох зайг ол. Шийдэл: AB 1-д перпендикуляр A 1 BDE 1 хавтгайг авч үзье. Энэ хавтгай дээрх ортогональ проекц нь AB 1 шулууныг G цэг рүү шилжүүлж, BE 1 шулууныг байранд нь үлдээдэг. Тиймээс шаардлагатай d зай нь G цэгээс BE 1 шулуун хүртэлх GH зайтай тэнцүү байна. A 1 BE 1 тэгш өнцөгт гурвалжинд бид A 1 B =; A 1 E 1 =. Хариулт: Иймд d = байна.

"Газар шугам хоорондын зай" - Теорем. Бэлтгэл аман даалгавар. MN шулуун ба AA1D1D хавтгай хоорондын зайг ол. B1K шулуун ба DD1C1C хавтгай хоорондын зайг ол. OK=OO1?OM/O1M =a/3 (Пифагорын теоремын дагуу O1M=3/2?2, OM=1/2?2). AA1C1C диагональ хавтгай нь BD шулуунтай перпендикуляр байна. B ба N цэгүүдийн шинэ байрлалууд нь AD ба BM шулуунуудын бие биендээ хамгийн ойрхон цэгүүд байх болно.

"Хичээлийн хурдны зай" - Математикийн халаалт. Хичээлийн зорилго: оюутнуудад хөдөлгөөний асуудлыг шийдвэрлэхийг заах. Зай. Тогтмол 5км/ц хурдтайгаар 30км алхахад хэр хугацаа шаардагдах вэ? Хурд, цаг хугацаа, зай хоорондын хамаарал. Хэдэн хүн хот руу явсан бэ? Онгоц А хотоос В хот хүртэлх зайг 1 цаг 20 минутад нисдэг.

"Хурдны цагийн зайн математик" - 5 ба 65 тоонуудын нийлбэрийг 2 дахин багасга. Мэдэхгүй сар руу явсан. Үлгэрийн номын хуудсуудаар аялах. Биеийн тамирын минут. Нэг нь 8 цагт, нөгөө нь 10 цагт гарсан. Дүгнэж байна. Лаура зөв үү? -Лаура дараах асуудлыг шийдсэн: “500 км. машин 10 цагийн дотор явна. Цаг хугацаа. "38" хариултын түлхүүр нь номыг нээнэ.

"Шууд ярианы харилцан яриа" - Шууд яриа нь харилцан ярианаас юугаараа ялгаатай вэ? Жишээ нь: Л.Н.Толстой: "Дэлхий дээр бид бүгд бие биедээ хэрэгтэй." Шууд ярианы график. Х: "х." Даалгавар 3. Шууд яриаг харилцан яриагаар солих. Жишээ нь: "P?" - А. "П!" - А. Дараах өгүүлбэрт тохирох диаграммыг өг. Диалог график. Шууд яриа, харилцан яриаг хэрхэн бичих вэ?

"Шууд яриатай өгүүлбэрүүд" - Петрониус, эртний Ромын зохиолч. Тоглоом "Алдааг олох" (шалгах). Шууд яриаг танилцуулсан зохиолчийн үгс: Би эргэж, эцэг Герасимын гэр рүү явлаа. Тосгоноос нэг найз над дээр ирсэн. Шууд яриатай өгүүлбэрүүд. Бүтээлч даалгавар. Бичгийн хувьд шууд яриаг хашилтад бичнэ. Унш!" - гэж Константин Георгиевич Паустовский дуу алдав.

"Зай ба масштаб" - Өндөр өсгөлтийн масштабтай атомын загвар. Масштабтай газрын зураг дээр зай нь 5 см байна. Хэрэв масштабыг 1 тоологчтой бутархайгаар өгвөл. Галын машиныг багасгасан загвар. Газар дээрх зайг олох алгоритм: Хурдны зам дагуу маршрутын урт 700 км байна. Өгүүлбэрийг гүйцээ: Хоёр хотын хоорондох зай 400 км.