Хүч чадлын илэрхийлэл (хүчтэй илэрхийлэл) ба тэдгээрийн хувирал. Рационал илтгэгчтэй хүч Сэдвийн жишээнүүд Рационал илтгэгчтэй хүч

Математикийн багш: Нашкенова А.Н. Майбалык дунд сургууль “Рациональ илтгэгчтэй илтгэгч” сэдвийн хичээлийн төлөвлөгөө

(алгебр, 11-р анги)

Хичээлийн зорилго:

Оюутнуудын тооны хүчний талаарх мэдлэгийг өргөжүүлэх, гүнзгийрүүлэх; оюутнуудыг оновчтой илтгэгчтэй зэрэглэлийн тухай ойлголт, тэдгээрийн шинж чанаруудтай танилцуулах;

Шинж чанарыг ашиглан илэрхийллийн утгыг тооцоолох мэдлэг, ур чадвар, чадварыг хөгжүүлэх;

Дүн шинжилгээ хийх, харьцуулах, гол зүйлийг тодруулах, ойлголтыг тодорхойлох, тайлбарлах чадварыг хөгжүүлэх ажлыг үргэлжлүүлэх;

Харилцааны чадварыг хөгжүүлэх, үйлдлийнхээ шалтгааныг тайлбарлах, бие даасан байдал, шаргуу хөдөлмөрийг төлөвшүүлэх.

Тоног төхөөрөмж: сурах бичиг, тараах карт, зөөврийн компьютер,танилцуулгын материал Power Point ;

Хичээлийн төрөл: шинэ мэдлэгийг судлах, эхлээд нэгтгэх хичээл.

Хичээлийн төлөвлөгөө:

1.Org. мөч. - 1 мин.

2. Хичээлийн сэдэл.-2 минут

3.Үндсэн мэдлэгээ шинэчлэх. - 5 минут.

4.Шинэ материал сурах. - 15 минут.

5. Биеийн тамирын минут - 1 мин.

6.Судалсан материалыг анхан шатны нэгтгэх - 10 минут

7. Бие даасан ажил. - 7 мин.

8. Гэрийн даалгавар. - 2 минут.

9. Тусгал – 1 мин.

10. Хичээлийн хураангуй. - 1 мин.

Хичээлийн үеэр

1. Зохион байгуулалтын мөч

Хичээлийн сэтгэл хөдлөлийн байдал.

Би ажил хиймээр байна, би хүсч байна

ажил,
Өнөөдөр танд амжилт хүсье.
Эцсийн эцэст, ирээдүйд энэ бүхэн танд зориулагдана

хэрэг болно.
Мөн ирээдүйд энэ нь танд илүү хялбар байх болно

судлах(Слайд №1)

2. Хичээлийн сэдэл

Экспоненциаци, үндсийг задлах үйлдлүүд, мөн дөрвөн арифметик үйлдэл нь практик хэрэгцээний үр дүнд бий болсон. Тиймээс дөрвөлжин талбайн талбайг тооцоолох асуудалтай зэрэгцээд талА Мэдэгдэж байгаа урвуу асуудалтай тулгарсан: "Талбай нь тэнцүү байхын тулд дөрвөлжингийн тал нь ямар урттай байх ёстой вэ?В. 14-15-р зуунд Баруун Европт банкууд үүсч, ноёд, худалдаачдад хүүгийн мөнгө өгч, холын аялал, байлдан дагуулалыг өндөр хүүтэй санхүүжүүлдэг байв. Нийлмэл хүүгийн тооцоог хөнгөвчлөхийн тулд бид хүснэгтийг эмхэтгэсэн бөгөөд үүнээс та хэр их мөнгө төлөх шаардлагатайг шууд олж мэдэх боломжтой.П тухайн дүнг зээлсэн бол жилА ByR % жилд. Төлсөн дүнг томъёогоор илэрхийлнэ: с = a(1 + ) П Заримдаа мөнгийг бүхэл бүтэн жилээр биш, жишээлбэл, 2 жил 6 сарын хугацаатай зээлдэг байсан. Хэрэв 2.5 жилийн дараа хэмжээА холбоо барих ак , дараа нь ойрын 2.5 жилд дахин нэмэгдэнэq дахин дахин тэнцүү байх болноак 2 . 5 жилийн дараа:a=(1 + 5 , Тийм ч учраас q 2 = (1 + 5 Тэгээд гэсэн үг q =

(Слайд 2) .

Бутархай илтгэгчтэй зэрэг олгох санаа ингэж гарч ирэв.

3.Үндсэн мэдлэгээ шинэчлэх.

Асуултууд:

1. Оруулсан нь юу гэсэн үг вэ;А П

2. Юу вэ А ?

3. Юу вэ П ?

4. А -П =?

5. Бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэглэлийн шинж чанарыг дэвтэртээ бич.

6.Натурал, бүхэл тоо, рационал ямар тоо вэ? Эйлерийн тойрог ашиглан тэдгээрийг зур.(Слайд 3)

Хариултууд: 1. Бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэг

2. А-суурь

3. P- илтгэгч

4. А -П =

5. Бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэглэлийн шинж чанарууд:

а м *а n =а (м+н) ;

а м : a n =а (м-н) ( цагт а Үгүй ээ тэнцүү тэг );

(а м ) n =а (м*н) ;

(a*b) n =а n *б n ;

(а/б) n = (а n )/(б n ) (цагт б тэгтэй тэнцүү биш);

а 1 = a;

а 0 = 1 (хамт а тэгтэй тэнцүү биш);

Эдгээр шинж чанарууд нь a, b тоонууд болон m ба n бүхэл тоонуудад хүчинтэй байх болно.

6.1,2,3, … - эерэг тоо – натурал тооны багц –Н

0,-1,-2,-3,.. тоо О ба сөрөг тоо – бүхэл тоонуудын багц -З

Н

Эйлерийн тойрог (слайд 4)

4. Шинэ материалыг судлах.

Байцгаая. А - сөрөг бус тоо бөгөөд бутархайн зэрэглэлд хүргэх шаардлагатай . Та тэгш байдлыг мэдэх үү (А м ) n = a м n (слайд 4) , өөрөөр хэлбэл эрх мэдлийг хүчирхэг болгох дүрэм. Дээрх тэгшитгэлд бид үүнийг таамаглаж байна m =, тэгвэл бид дараахь зүйлийг авна. (А ) П = a =а (слайд 4)

Эндээс бид ийм байна гэж дүгнэж болноА үндэс П - тооны хүчА , өөрөөр хэлбэл А = . Үүний дараа (А П ) = П =а (слайд 4).

Тиймээс А =(а ) м =(а м ) = м . ( слайд 4 ).

Тиймээс дараахь тэгш байдлыг хангана.А = м (слайд 4)

Тодорхойлолт: сөрөг бус тооны зэрэг А рационал илтгэгчтэй , Хаана - бууруулж болохгүй бутархай, тооны n-р язгуурын утгыг нэрлэнэ А Т .

Тиймээс, тодорхойлолтоор А = м (слайд 5)

1-р жишээг харцгаая : Рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийг n-р язгуур хэлбэрээр бичнэ үү.

Харцаа баруун тийш эргүүл

Харцаа зүүн тийш эргүүл

Тааз руу харав

Бүгд урагшаа харав.

Нэг удаа нугалах - шулуун,

Хоёр ─ нугалах - сунгах,

Гурав гурван алга ташилт,

Толгойгоо гурван дохих.

Тав, зургаа чимээгүйхэн сууна.

Мөн дахин зам дээр! (слайд 9)

6. Судалсан материалын анхан шатны нэгтгэлт:

Хуудас 51, No90, No91 – дэвтэртээ өөрөө хий,

самбар дээрх чектэй

7. Бие даасан ажил

Сонголт 1

(Слайд 10)

Сонголт 1

(Слайд 11)

Бие даан бие даасан ажлыг харилцан шалгах.

Хариултууд:

Сонголт 1

(Слайд 12)

Тиймээс өнөөдөр хичээлээр бид рационал илтгэгчтэй градусын тухай ойлголттой танилцаж, түүнийг үндэс хэлбэрээр бичиж, тоон илэрхийллийн утгыг олохдоо зэрэглэлийн үндсэн шинж чанарыг ашиглаж сурсан.8.Гэрийн даалгавар: No92, No93 Гэрийн даалгаврын мэдээлэл

9. Тусгал

(Слайд 13)

10. Хичээлийн хураангуй:

Бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэгтэй, бутархай илтгэгчтэй зэрэгтэй ижил төстэй ба ялгаа нь юу вэ? (ижил төстэй байдал: бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэглэлийн бүх шинж чанарууд нь рациональ илтгэгчтэй зэрэгт мөн хамаарна;

ялгаа: градус)

Рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарыг жагсаа

Өнөөдрийн хичээл дууслаа
Та илүү нөхөрсөг байж чадахгүй.
Гэхдээ хүн бүр мэдэх ёстой:
Мэдлэг, тэвчээр, хөдөлмөр
Тэд амьдралд ахиц дэвшил гаргах болно.
Хичээл өгсөнд баярлалаа! (слайд 14)

"Рациональ илтгэгчтэй илтгэгч" видео хичээл нь энэ сэдвээр хичээл заахад зориулсан харааны боловсролын материалыг агуулдаг. Видео хичээл нь оновчтой илтгэгчтэй зэрэглэлийн тухай ойлголт, эдгээр зэрэглэлийн шинж чанарууд, түүнчлэн практик асуудлыг шийдвэрлэхэд боловсролын материалыг ашиглахыг тайлбарласан жишээг агуулсан болно. Энэхүү видео хичээлийн зорилго нь сургалтын материалыг тодорхой, ойлгомжтойгоор илэрхийлэх, түүнийг хөгжүүлэх, сурагчдад цээжлэх, сурсан ойлголтыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх явдал юм.

Видео хичээлийн гол давуу тал нь хувиргалт, тооцооллыг нүдээр хийх чадвар, сургалтын үр ашгийг дээшлүүлэхийн тулд хөдөлгөөнт эффект ашиглах чадвар юм. Дууны дагалдах хэрэгсэл нь математикийн зөв яриаг хөгжүүлэхэд тусалдаг бөгөөд багшийн тайлбарыг солих, бие даасан ажил хийх боломжийг олгодог.

Видео хичээл нь сэдвийг танилцуулж эхэлдэг. Шинэ сэдвийг судлах ажлыг өмнө нь судалсан материалтай холбохдоо n √a-г байгалийн n ба эерэг a-ийн хувьд 1/n гэж тэмдэглэдэг гэдгийг санах нь зүйтэй. Энэхүү n-язгуур дүрслэл дэлгэц дээр гарч ирнэ. Дараа нь, a нь эерэг тоо, m/n нь зарим бутархай гэсэн m/n илэрхийлэл ямар утгатай болохыг авч үзэхийг санал болгож байна. Рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн тодорхойлолтыг m/n = n √a m гэж хүрээн дээр тодруулсан болно. n нь натурал тоо, m нь бүхэл тоо байж болохыг тэмдэглэв.

Рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийг тодорхойлсны дараа түүний утгыг жишээн дээр харуулав: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Мөн аравтын бутархайгаар илэрхийлэгдсэн хүчийг бутархай болгон хувиргаж язгуур болгон илэрхийлдэг жишээг харуулав: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 ба сөрөг хүчин чадалтай жишээ: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

Зэрэглэлийн суурь нь тэг байх онцгой тохиолдлын онцлогийг тусад нь зааж өгсөн болно. Энэ зэрэг нь зөвхөн эерэг бутархай илтгэгчийн хувьд утга учиртай болохыг тэмдэглэв. Энэ тохиолдолд түүний утга тэг болно: 0 м/н =0.

Рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн өөр нэг онцлогийг тэмдэглэв - бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийг бутархай илтгэгчтэй авч үзэх боломжгүй юм. Зэрэг буруу тэмдэглэсэн жишээг үзүүлэв: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Дараа нь видео хичээлээр бид рационал экспонент бүхий зэрэглэлийн шинж чанаруудын талаар ярилцах болно. Бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэглэлийн шинж чанарууд нь рационал илтгэгчтэй зэрэгт ч хүчинтэй байх болно гэж тэмдэглэсэн. Энэ тохиолдолд хүчинтэй байгаа эд хөрөнгийн жагсаалтыг эргэн санахыг санал болгож байна.

1. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэхэд тэдгээрийн илтгэгч нь нийлбэр болно: a p a q =a p+q.
2. Ижил сууриудтай градусын хуваагдал нь өгөгдсөн суурь ба илтгэгчийн зөрүүтэй зэрэг хүртэл буурна: a p:a q =a p-q.
3. Хэрэв бид градусыг тодорхой хэмжээнд өсгөвөл өгөгдсөн суурь ба илтгэгчийн үржвэртэй зэрэгтэй болно: (a p) q =a pq.

Эдгээр бүх шинж чанарууд нь рационал илтгэгч p, q, эерэг суурь a>0 зэрэгт хүчинтэй байна. Мөн хаалт нээх үед градусын хувиргалт үнэн хэвээр байна:

1. (ab) p =a p b p - рациональ илтгэгчээр тодорхой хэмжээнд өсгөхөд хоёр тооны үржвэрийг тоонуудын үржвэр болгон бууруулж, тус бүр нь өгөгдсөн зэрэгт нэмэгдэнэ.
2. (a/b) p =a p /b p - бутархайг рационал илтгэгчтэй зэрэглэлд хүргэх нь хуваагч болон хуваагч нь өгөгдсөн зэрэгт өссөн бутархай болж буурна.

Видео заавар нь рационал экспонент бүхий чадлын шинж чанарыг ашигладаг жишээнүүдийг шийдвэрлэх талаар ярилцдаг. Эхний жишээ нь бутархай зэрэгт x хувьсагчдыг агуулсан илэрхийллийн утгыг олохыг танаас асууж байна: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Илэрхийлэл нь нарийн төвөгтэй хэдий ч хүч чадлын шинж чанарыг ашиглан үүнийг маш энгийнээр шийдэж болно. Асуудлыг шийдвэрлэх нь илэрхийлэлийг хялбарчлахаас эхэлдэг бөгөөд энэ нь рационал илтгэгчтэй хүчийг хүчирхэг болгон өсгөх, түүнчлэн ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг ашигладаг. Өгөгдсөн x=8 утгыг х 1/3 +48 хялбаршуулсан илэрхийлэлд орлуулсны дараа - 50 утгыг авахад хялбар болно.

Хоёрдахь жишээнд та хуваагч болон хуваагч нь рационал илтгэгчтэй зэрэглэл агуулсан бутархайг багасгах хэрэгтэй. Зэрэглэлийн шинж чанаруудыг ашиглан бид ялгавараас х 1/3 коэффициентийг гаргаж, дараа нь хуваагч ба хуваагчийг багасгаж, квадратуудын зөрүүний томъёог ашиглан тоологчийг хүчин зүйл болгон хуваасан бөгөөд энэ нь ижил төстэй байдлын цаашдын бууралтыг өгдөг. тоологч ба хуваагч дахь хүчин зүйлүүд. Ийм хувиргалтын үр дүн нь x 1/4 +3 богино фракц юм.

Багш шинэ хичээлийн сэдвийг тайлбарлахын оронд “Рациональ илтгэгчтэй илтгэгч” видео хичээлийг ашиглаж болно. Энэхүү гарын авлагад оюутан бие даан суралцахад хангалттай бүрэн мэдээллийг багтаасан болно. Энэ материал нь зайн сургалтанд бас хэрэг болно.

Илэрхийлэл, илэрхийлэл хувиргалт

Хүч чадлын илэрхийлэл (хүчтэй илэрхийлэл) ба тэдгээрийн хувирал

Энэ өгүүлэлд бид илэрхийллийг хүч чадалтай хөрвүүлэх талаар ярих болно. Нэгдүгээрт, бид хаалт нээх, ижил төстэй нэр томьёо авчрах зэрэг хүч чадлын илэрхийлэл зэрэг ямар ч төрлийн илэрхийллээр хийгддэг хувиргалтуудад анхаарлаа хандуулах болно. Дараа нь бид градус бүхий илэрхийлэлд хамаарах өөрчлөлтүүдийг шинжлэх болно: суурь ба экспоненттай ажиллах, градусын шинж чанарыг ашиглах гэх мэт.

Хуудасны навигаци.

Хүч чадлын илэрхийлэл гэж юу вэ?

"Эрх мэдлийн илэрхийлэл" гэсэн нэр томъёо нь сургуулийн математикийн сурах бичигт бараг байдаггүй, гэхдээ жишээлбэл, улсын нэгдсэн шалгалт, улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэхэд зориулагдсан асуудлын цуглуулгад ихэвчлэн гардаг. Хүч чадлын илэрхийлэл бүхий аливаа үйлдлийг гүйцэтгэх шаардлагатай ажлуудад дүн шинжилгээ хийсний дараа хүч чадлын илэрхийлэл нь тэдгээрийн оруулгад хүчийг агуулсан илэрхийлэл гэж ойлгогддог нь тодорхой болно. Тиймээс та дараах тодорхойлолтыг өөртөө хүлээн зөвшөөрч болно.

Тодорхойлолт.

Хүч чадлын илэрхийлэлхүчийг агуулсан илэрхийллүүд юм.

өгье хүч чадлын илэрхийллийн жишээ. Түүгээр ч зогсохгүй байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлээс бодит илтгэгчтэй зэрэг рүү чиглэсэн үзэл бодлын хөгжил хэрхэн явагддагийн дагуу бид тэдгээрийг танилцуулах болно.

Мэдэгдэж байгаагаар эхлээд энэ үе шатанд натурал илтгэгчтэй тооны хүчин чадалтай танилцаж, 3 төрлийн 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) зэрэглэлийн анхны хамгийн энгийн хүчний илэрхийллүүд; 4, 3 a 2 гарч ирнэ −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 гэх мэт.

Хэсэг хугацааны дараа бүхэл тоон илтгэгчтэй тооны хүчийг судалж байгаа нь сөрөг бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэглэлийн илэрхийлэл гарч ирэхэд хүргэдэг: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

Ахлах сургуульд тэд зэрэгтэй буцаж ирдэг. Тэнд оновчтой илтгэгчтэй зэрэглэлийг нэвтрүүлсэн бөгөөд энэ нь харгалзах хүчний илэрхийлэл гарч ирэхэд хүргэдэг. , , гэх мэт. Эцэст нь иррациональ илтгэгчтэй зэрэг ба тэдгээрийг агуулсан илэрхийлэлүүдийг авч үзнэ: , .

Энэ асуудал нь жагсаасан чадлын илэрхийллүүдээр хязгаарлагдахгүй: цаашлаад хувьсагч нь экспонент руу нэвтэрч, жишээлбэл, дараах илэрхийллүүд гарч ирнэ: 2 x 2 +1 эсвэл . Мөн -тэй танилцсаны дараа зэрэглэл, логарифм бүхий илэрхийллүүд гарч эхэлдэг, жишээлбэл, x 2·lgx −5·x lgx.

Тиймээс бид хүч чадлын илэрхийлэл юуг илэрхийлдэг вэ гэсэн асуултыг авч үзсэн. Дараа нь бид тэдгээрийг хөрвүүлж сурах болно.

Хүч чадлын илэрхийлэл хувиргах үндсэн төрлүүд

Хүчтэй илэрхийллүүдийн тусламжтайгаар та илэрхийллийн үндсэн таних хувиргалтыг хийж болно. Жишээлбэл, та хаалт нээх, тоон хэллэгийг утгаараа орлуулах, ижил төстэй нэр томъёо нэмэх гэх мэт. Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд үйлдэл хийхдээ хүлээн зөвшөөрөгдсөн журмыг дагаж мөрдөх шаардлагатай. Жишээ хэлье.

Жишээ.

Хүчтэй илэрхийллийн утгыг тооцоол 2 3 ·(4 2 −12) .

Шийдэл.

Үйлдлүүдийг гүйцэтгэх дарааллын дагуу эхлээд хаалтанд байгаа үйлдлүүдийг гүйцэтгэнэ. Тэнд, нэгдүгээрт, бид 4 2 хүчийг 16 гэсэн утгатай (шаардлагатай бол үзнэ үү) сольж, хоёрдугаарт 16−12=4 гэсэн зөрүүг тооцоолно. Бидэнд байгаа 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Үүссэн илэрхийлэлд бид 2 3 хүчийг 8 гэсэн утгатай сольж, үүний дараа 8·4=32 үржвэрийг тооцоолно. Энэ бол хүссэн үнэ цэнэ юм.

Тэгэхээр, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Хариулт:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Жишээ.

Хүчтэй илэрхийллийг хялбарчлах 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Шийдэл.

Мэдээжийн хэрэг, энэ илэрхийлэл нь 3·a 4 ·b −7 ба 2·a 4 ·b −7 гэсэн ижил төстэй нэр томъёог агуулсан бөгөөд бид тэдгээрийг танилцуулж болно: .

Хариулт:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Жишээ.

Хүчтэй илэрхийллийг бүтээгдэхүүн болгон илэрхийл.

Шийдэл.

Та 9-ийн тоог 3 2-ын хүчээр төлөөлж, дараа нь товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан даалгаврыг даван туулж чадна - квадратуудын зөрүү.

Хариулт:

Мөн хүч чадлын илэрхийлэлд тусгайлан хамаарах хэд хэдэн ижил төстэй өөрчлөлтүүд байдаг. Бид тэдгээрийг цаашид шинжлэх болно.

Суурь ба илтгэгчтэй ажиллах

Суурь ба/эсвэл илтгэгч нь зөвхөн тоо эсвэл хувьсагч биш, харин зарим илэрхийлэл байдаг хүчнүүд байдаг. Жишээ болгон бид (2+0.3·7) 5−3.7 ба (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) оруулгуудыг өгч байна.

Ийм илэрхийллүүдтэй ажиллахдаа та градусын суурь дахь илэрхийлэл болон экспонент дахь илэрхийлэл хоёрыг хувьсагчийнх нь ODZ дахь ижил тэнцүү илэрхийллээр сольж болно. Өөрөөр хэлбэл, бидэнд мэдэгдэж буй дүрмийн дагуу бид градусын суурийг тусад нь хувиргаж, илтгэгчийг тусад нь хувиргаж болно. Энэхүү хувиргалтын үр дүнд анхныхтай яг адилхан илэрхийлэл гарч ирэх нь тодорхой байна.

Ийм өөрчлөлтүүд нь бидэнд эрх мэдэл бүхий илэрхийлэлийг хялбарчлах эсвэл шаардлагатай бусад зорилгод хүрэх боломжийг олгодог. Жишээлбэл, дээр дурдсан чадлын илэрхийлэлд (2+0,3 7) 5−3,7 суурь болон илтгэгч дэх тоонуудтай үйлдлүүдийг хийж болох бөгөөд энэ нь 4.1 1.3 зэрэгт шилжих боломжийг олгоно. Мөн хаалтуудыг нээж, ижил төстэй нэр томъёог (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) зэрэглэлийн суурь дээр авсны дараа a 2·(x+) хэлбэрийн илүү энгийн хүчний илэрхийлэл гарна. 1) .

Degree Properties ашиглах

Хүчтэй илэрхийллийг өөрчлөх гол хэрэгслүүдийн нэг бол тусгах тэгш байдал юм. Голыг нь эргэн санацгаая. Аливаа эерэг тоо a, b болон дурын бодит тоо r ба s-ийн хувьд дараах чадваруудын шинж чанарууд үнэн болно.

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Натурал, бүхэл тоо, эерэг илтгэгчийн хувьд a, b тоонуудын хязгаарлалт тийм ч хатуу биш байж болохыг анхаарна уу. Жишээлбэл, m ба n натурал тоонуудын хувьд a m ·a n =a m+n тэгшитгэл нь зөвхөн эерэг a биш харин сөрөг a, мөн a=0 хувьд үнэн байна.

Сургуульд хүч чадлын илэрхийлэлийг хувиргахдаа тохирох өмчийг сонгох, зөв ​​хэрэглэх чадварт гол анхаарлаа хандуулдаг. Энэ тохиолдолд градусын суурь нь ихэвчлэн эерэг байдаг бөгөөд энэ нь градусын шинж чанарыг хязгаарлалтгүйгээр ашиглах боломжийг олгодог. Хүчин чадлын суурь дахь хувьсагчдыг агуулсан илэрхийлэлийг хувиргахад мөн адил хамаарна - хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээ нь ихэвчлэн суурь нь зөвхөн эерэг утгыг авдаг бөгөөд энэ нь хүч чадлын шинж чанарыг чөлөөтэй ашиглах боломжийг олгодог. . Ерөнхийдөө, та энэ тохиолдолд ямар нэгэн зэрэглэлийн өмчийг ашиглах боломжтой эсэхийг өөрөөсөө байнга асууж байх хэрэгтэй, учир нь шинж чанарыг буруу ашиглах нь боловсролын үнэ цэнийг багасгах болон бусад бэрхшээлд хүргэж болзошгүй юм. Эдгээр цэгүүдийг хүчин чадлын шинж чанарыг ашиглан илэрхийлэл хувиргах тухай өгүүлэлд нарийвчлан авч үзсэн болно. Энд бид хэд хэдэн энгийн жишээг авч үзэхээр хязгаарлагдах болно.

Жишээ.

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 илэрхийллийг a суурьтай зэрэглэлээр илэрхийл.

Шийдэл.

Эхлээд бид хоёр дахь хүчин зүйлийг (a 2) −3-ийг хүчийг хүчирхэг болгон өсгөх шинж чанарыг ашиглан хувиргана. (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Анхны чадлын илэрхийлэл нь 2.5 ·a −6:a −5.5 хэлбэртэй байна. Мэдээжийн хэрэг, ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх, хуваах шинж чанаруудыг ашиглах хэвээр байна.
a 2.5 ·a −6:a −5.5 =
a 2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

Хариулт:

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2.

Хүч чадлын илэрхийлэлийг хувиргахдаа хүч чадлын шинж чанарыг зүүнээс баруун тийш, баруунаас зүүн тийш хоёуланг нь ашигладаг.

Жишээ.

Хүч чадлын илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл.

Баруунаас зүүн тийш хэрэглэсэн (a·b) r =a r ·b r тэгш байдал нь анхны илэрхийллээс хэлбэрийн үржвэр рүү шилжих боломжийг олгодог. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэхэд илтгэгчүүд нь нийлдэг: .

Анхны илэрхийлэлийг өөр аргаар өөрчлөх боломжтой байсан:

Хариулт:

.

Жишээ.

a 1.5 −a 0.5 −6 чадлын илэрхийлэл өгөгдсөн бол t=a 0.5 шинэ хувьсагчийг оруул.

Шийдэл.

a 1.5 зэргийг 0.5 3-аар илэрхийлж, дараа нь баруунаас зүүн тийш хэрэглэх (a r) s =a r s зэрэглэлийн шинж чанарт үндэслэн (a 0.5) 3 хэлбэрт шилжүүлнэ. Тиймээс, a 1.5 −a 0.5 −6=(a 0.5) 3 −a 0.5 −6. Одоо t=a 0.5 гэсэн шинэ хувьсагчийг оруулахад амархан, бид t 3 −t−6 болно.

Хариулт:

t 3 −t−6 .

Хүч агуулсан бутархайг хөрвүүлэх

Хүчин чадлын илэрхийлэл нь эрх бүхий бутархайг агуулж эсвэл төлөөлж болно. Ямар ч төрлийн бутархайд байдаг бутархайн үндсэн хувиргалтын аль нэг нь ийм бутархайд бүрэн хамаатай. Өөрөөр хэлбэл, хүчийг агуулсан бутархайг багасгаж, шинэ хуваагч болгон бууруулж, тоологчтой нь тусад нь, хуваагчтай нь тусад нь ажиллах гэх мэт. Эдгээр үгсийг тайлбарлахын тулд хэд хэдэн жишээн дээр шийдлийг авч үзье.

Жишээ.

Хүч чадлын илэрхийлэлийг хялбарчлах .

Шийдэл.

Энэхүү чадлын илэрхийлэл нь бутархай юм. Түүний тоо, хуваагчтай ажиллацгаая. Тоолуур дээр бид хаалтуудыг нээж, үр дүнгийн илэрхийлэлийг зэрэглэлийн шинж чанарыг ашиглан хялбаршуулж, хуваагч дээр бид ижил төстэй нэр томъёог өгдөг.

Мөн бутархайн өмнө хасах тэмдэг тавьж хувагчийн тэмдгийг өөрчилье. .

Хариулт:

.

Эрх бүхий бутархайг шинэ хуваагч руу багасгах нь рационал бутархайг шинэ хуваагч болгон бууруулахтай адил хийгдэнэ. Энэ тохиолдолд нэмэлт хүчин зүйл мөн олдож, бутархайн хуваагч ба хуваагчийг түүгээр үржүүлнэ. Энэ үйлдлийг гүйцэтгэхдээ шинэ хуваагч болгон бууруулах нь ODZ-ийг нарийсгахад хүргэдэг гэдгийг санах нь зүйтэй. Үүнээс урьдчилан сэргийлэхийн тулд анхны илэрхийлэлд зориулсан ODZ хувьсагчдын хувьсагчийн ямар ч утгыг нэмэлт хүчин зүйл нь тэглэхгүй байх шаардлагатай.

Жишээ.

Бутархайг шинэ хуваагч болгон бууруул: a) хуваагч a, b) хуваагч руу.

Шийдэл.

a) Энэ тохиолдолд ямар нэмэлт үржүүлэгч нь хүссэн үр дүнд хүрэхэд тусалдаг болохыг тодорхойлоход хялбар байдаг. 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a тул энэ нь 0.3-ын үржүүлэгч юм. a хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын мужид (энэ нь бүх эерэг бодит тоонуудын багц) 0.3-ын хүч алга болохгүй тул бид өгөгдсөн тоон болон хуваагчийг үржүүлэх эрхтэй болохыг анхаарна уу. энэ нэмэлт хүчин зүйлээр хуваах:

б) Хугацааг сайтар ажиглавал та үүнийг олох болно

мөн энэ илэрхийллийг үржүүлбэл шоо ба нийлбэр гарна. Энэ бол анхны бутархайг багасгах шаардлагатай шинэ хуваагч юм.

Ингэж бид нэмэлт хүчин зүйлийг олсон. X ба y хувьсагчдын зөвшөөрөгдөх утгын мужид илэрхийлэл алга болохгүй тул бид бутархайн хуваагч ба хуваагчийг үржүүлж болно.

Хариулт:

A) , б) .

Хүчин чадал агуулсан бутархайг багасгахад шинэ зүйл байхгүй: хүртэгч ба хуваагчийг хэд хэдэн хүчин зүйлээр төлөөлдөг бөгөөд хуваагч ба хуваагчийн ижил хүчин зүйлүүд буурч байна.

Жишээ.

Бутархайг багасгах: a) , б) .

Шийдэл.

a) Нэгдүгээрт, тоологч ба хуваагчийг 30 ба 45 тоогоор багасгаж болох бөгөөд энэ нь 15-тай тэнцүү байна. Мөн x 0.5 +1-ээр бууруулж болох нь ойлгомжтой . Бидэнд байгаа зүйл энд байна:

б) Энэ тохиолдолд тоологч ба хуваагч дахь ижил хүчин зүйлүүд шууд харагдахгүй. Тэдгээрийг олж авахын тулд та урьдчилсан өөрчлөлтийг хийх хэрэгтэй болно. Энэ тохиолдолд тэдгээр нь квадратын зөрүүг ашиглан хуваагчийг хүчин зүйл болгон хуваахаас бүрдэнэ.

Хариулт:

A)

б) .

Бутархайг шинэ хуваарьт хөрвүүлэх, бутархайг багасгах үйлдлийг бутархайтай зүйл хийхэд голчлон ашигладаг. Үйлдлүүд нь мэдэгдэж буй дүрмийн дагуу хийгддэг. Бутархайг нэмэх (хасах) үед тэдгээрийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулж, дараа нь тоог нэмэх (хасах) боловч хуваагч нь ижил хэвээр байна. Үр дүн нь хуваагч нь хуваагчийн үржвэр, хуваагч нь хуваагчийн үржвэр болох бутархай юм. Бутархайд хуваах нь урвуугаар үржүүлэх явдал юм.

Жишээ.

Алхмуудыг дагана уу .

Шийдэл.

Эхлээд бид хаалтанд байгаа бутархайг хасна. Үүнийг хийхийн тулд бид тэдгээрийг нийтлэг зүйлд хүргэдэг, энэ нь , үүний дараа бид тоологчдыг хасна:

Одоо бид бутархайг үржүүлж байна:

Мэдээжийн хэрэг, үүнийг х 1/2-ийн хүчээр багасгах боломжтой бөгөөд үүний дараа бид байна .

Та мөн квадратын зөрүүний томъёог ашиглан хуваагч дахь хүчийг илэрхийлэхийг хялбарчилж болно. .

Хариулт:

Жишээ.

Эрчим хүчний илэрхийлэлийг хялбарчлах .

Шийдэл.

Мэдээжийн хэрэг, энэ бутархайг (x 2.7 +1) 2-оор багасгаж болно, энэ нь бутархайг өгнө. . Х-ийн эрх мэдлээр өөр зүйл хийх шаардлагатай байгаа нь ойлгомжтой. Үүнийг хийхийн тулд бид үүссэн фракцыг бүтээгдэхүүн болгон хувиргадаг. Энэ нь бидэнд эрх мэдлийг ижил үндэслэлээр хуваах боломжийг ашиглах боломжийг олгодог. . Мөн процессын төгсгөлд бид сүүлчийн бүтээгдэхүүнээс фракц руу шилждэг.

Хариулт:

.

Сөрөг илтгэгчтэй хүчин зүйлсийг хуваагчаас хуваагч руу эсвэл хуваагчаас хуваагч руу шилжүүлж, илтгэгчийн тэмдгийг өөрчлөх боломжтой бөгөөд ихэнх тохиолдолд зүйтэй гэдгийг нэмж хэлье. Ийм өөрчлөлтүүд нь ихэвчлэн дараагийн үйлдлүүдийг хялбаршуулдаг. Жишээлбэл, чадлын илэрхийлэлийг -ээр сольж болно.

Үндэс ба хүч бүхий илэрхийллийг хөрвүүлэх

Ихэнхдээ зарим хувиргалт хийх шаардлагатай илэрхийлэлд бутархай илтгэгчтэй язгуурууд нь зэрэглэлийн хамт байдаг. Ийм илэрхийлэлийг хүссэн хэлбэрт шилжүүлэхийн тулд ихэнх тохиолдолд зөвхөн үндэс эсвэл зөвхөн эрх мэдэл рүү шилжихэд хангалттай. Гэхдээ эрх мэдэлтэй ажиллах нь илүү тохиромжтой байдаг тул тэд ихэвчлэн үндэснээс эрх мэдэл рүү шилждэг. Гэсэн хэдий ч анхны илэрхийлэлд зориулсан хувьсагчдын ODZ нь модульд хандах эсвэл ODZ-ийг хэд хэдэн интервалд хуваах шаардлагагүйгээр үндсийг хүчээр солих боломжийг олгодог бол ийм шилжилтийг хийхийг зөвлөж байна (бид үүнийг нарийвчлан авч үзсэн болно. язгуураас зэрэглэл рүү шилжих нийтлэл Рационал илтгэгчтэй зэрэгтэй танилцсаны дараа дурын бодит илтгэгчтэй зэрэглэлийн тухай ярих боломжийг олгодог сургуульд сурсан. экспоненциал функц, суурь нь тоо, илтгэгч нь хувьсагч гэсэн үндэслэлээр аналитик байдлаар өгөгдсөн. Тиймээс бид хүч чадлын суурьт тоо, илтгэгч хэсэгт хувьсагчтай илэрхийллүүдтэй тулгардаг бөгөөд мэдээжийн хэрэг ийм илэрхийлэлийг хувиргах хэрэгцээ гарч ирдэг.

Шийдвэрлэхдээ заасан төрлийн илэрхийллийн хувиргалтыг ихэвчлэн хийх шаардлагатай байдаг гэдгийг хэлэх хэрэгтэй экспоненциал тэгшитгэлТэгээд экспоненциал тэгш бус байдал, эдгээр хөрвүүлэлтүүд нь маш энгийн. Ихэнх тохиолдолд тэдгээр нь зэрэглэлийн шинж чанарт суурилдаг бөгөөд ихэнх тохиолдолд ирээдүйд шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэхэд чиглэгддэг. Тэгшитгэл нь бидэнд тэдгээрийг харуулах боломжийг олгоно 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Нэгдүгээрт, тодорхой хувьсагч (эсвэл хувьсагчтай илэрхийлэл) ба тооны нийлбэр болох илтгэгч хүчийг үржвэрээр солино. Энэ нь зүүн талд байгаа илэрхийллийн эхний ба сүүлчийн нөхцөлүүдэд хамаарна:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Дараа нь тэгш байдлын хоёр талыг 7 2 x илэрхийллээр хуваадаг бөгөөд энэ нь анхны тэгшитгэлийн хувьд x хувьсагчийн ODZ дээр зөвхөн эерэг утгыг авдаг (энэ нь ийм төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх стандарт арга юм, бид тийм биш юм. Энэ тухай одоо ярьж байгаа тул эрх мэдэл бүхий илэрхийллийн дараагийн хувиргалтанд анхаарлаа хандуулаарай ):

Одоо бид хүч чадал бүхий бутархайг цуцалж болно, энэ нь өгдөг .

Эцэст нь ижил илтгэгчтэй чадлын харьцааг харилцааны эрхээр сольж, тэгшитгэл гарч ирнэ. , энэ нь тэнцүү байна . Хийсэн өөрчлөлтүүд нь анхны экспоненциал тэгшитгэлийн шийдийг квадрат тэгшитгэлийн шийдэл болгон бууруулдаг шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх боломжийг бидэнд олгож байна.

a = 0 ба n нь тэгээс бага буюу тэнцүү байхаас бусад тохиолдолд a n илэрхийлэл (бүхэл тоон үзүүлэлттэй хүч) тодорхойлогдоно.

Зэрэглэлийн шинж чанарууд

Бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэглэлийн үндсэн шинж чанарууд:

a m *a n = a (m+n) ;

a m: a n = a (m-n) (нь атэгтэй тэнцүү биш);

(a m) n = a (m*n) ;

(a*b) n = a n *b n ;

(a/b) n = (a n)/(b n) (хамт бтэгтэй тэнцүү биш);

a 0 = 1 (тэй атэгтэй тэнцүү биш);

Эдгээр шинж чанарууд нь a, b тоонууд болон m ба n бүхэл тоонуудад хүчинтэй байх болно. Мөн дараахь өмчийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Хэрэв m>n бол a>1 ба m-ийн хувьд a m > a n болно

Рационал тоонууд илтгэгчийн үүрэг гүйцэтгэдэг тохиолдолд бид тооны чадлын тухай ойлголтыг нэгтгэж болно. Үүний зэрэгцээ дээр дурдсан бүх шинж чанарууд, эсвэл ядаж зарим нь биелэхийг хүсч байна.

Жишээлбэл, хэрэв (a m) n = a (m * n) шинж чанар хангагдсан бол дараахь тэгшитгэлийг хангана.

(a (m/n)) n = a m .

Энэ тэгш байдал нь a (m/n) тоо нь a m тооны n-р үндэс байх ёстой гэсэн үг юм.

r = (m/n) рационал илтгэгчтэй зарим a (тэгээс их) тооны чадал нь m нь бүхэл тоо, n нь нэгээс их натурал тоо юм. n√(а м). Тодорхойлолт дээр үндэслэн: a (m/n) = n√(a m).

Бүх эерэг r-ийн хувьд тэгийн хүчийг тодорхойлно. Тодорхойлолтоор 0 r = 0. Аливаа бүхэл тоонуудын хувьд ямар ч натурал m ба n, эерэг утгатай болохыг анхаарна уу. Адараах тэгш байдал үнэн: a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .

Жишээ нь: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12).

Рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн тодорхойлолтоос үзэхэд аливаа эерэг a ба дурын рационал r-ийн хувьд a r тоо байх болно. эерэг.

Рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн үндсэн шинж чанарууд

Аливаа рационал тоо p, q болон дурын a>0 ба b>0 хувьд дараах тэгшитгэлүүд үнэн байна.

1. (a p)*(a q) = a (p+q) ;

2. (a p):(b q) = a (p-q) ;

3. (a p) q = a (p*q) ;

4. (a*b) p = (a p)*(b p);

5. (a/b) p = (a p)/(b p).

Эдгээр шинж чанарууд нь үндэсийн шинж чанараас үүдэлтэй. Эдгээр бүх шинж чанарууд нь ижил төстэй байдлаар батлагдсан тул бид тэдгээрийн зөвхөн нэгийг нь нотлохоор хязгаарлагдах болно, жишээлбэл, эхний (a p)*(a q) = a (p + q) .

p = m/n, q = k/l гэж үзье, энд n, l нь зарим натурал тоо, m, k нь бүхэл тоо байна. Дараа нь та үүнийг батлах хэрэгтэй:

(а (м/н))*(а (к/л)) = a ((м/н) + (к/л)) .

Эхлээд m/n k/l бутархайг нийтлэг хуваагч руу авъя. Бид (m*l)/(n*l) ба (k*n)/(n*l) бутархайг авна. Эдгээр тэмдэглэгээг ашиглан тэгш байдлын зүүн талыг дахин бичээд дараахийг олж авцгаая.

(а (м/н))*(а (к/л)) = (а ((м*л)/(н*л)*(а ((к*н)/(н*л)) ).

(а (м/н))*(а (к/л)) = (а ((м*л)/(н*л)*(а ((к*н)/(н*л)) ) = (n*l)√(a (m*l))*(n*l)√(a (k*n)) = (n*l)√((a (m*l))*(a (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m) /n)+(k/l)) .

Хичээл No30 (Алгебр ба үндсэн анализ, 11-р анги)

Хичээлийн сэдэв: Рационал илтгэгчтэй зэрэг.

Хичээлийн зорилго: 1 . Зэрэглэлийн тухай ойлголтыг өргөжүүлэх, зэрэглэлийн ойлголтыг оновчтой илтгэгчээр өгөх; рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийг язгуур болон эсрэгээр хэрхэн хөрвүүлэхийг заах; Рационал илтгэгчтэй хүчийг тооцоолох.

2. Ой тогтоолт, сэтгэлгээг хөгжүүлэх.

3. Үйл ажиллагаа үүсэх.

"Хэн нэгэнд хөндлөнгөөс оролдохыг зөвшөөр

математикийн зэрэгтэй, тэр харах болно,

Тэдэнгүйгээр та хол явахгүй."М.В.Ломоносов

Хичээлийн үеэр.

I. Хичээлийн сэдэв, зорилгын мэдэгдэл.

II. Хамарсан материалыг давтах, нэгтгэх.

1. Шийдвэрлэгдээгүй гэрийн жишээнүүдийн шинжилгээ.

2. Бие даасан ажилд хяналт тавих:

Сонголт 1.

1. Тэгшитгэлийг шийд: √(2x – 1) = 3x – 12

2. Тэгш бус байдлыг шийд: √(3x – 2) ≥ 4 – x

Сонголт 2.

1. Тэгшитгэлийг шийд: 3 – 2x = √(7x + 32)

2. Тэгш бус байдлыг шийд: √(3x + 1) ≥ x – 1

III. Шинэ материал сурах.

1 . Тооны тухай ойлголтын өргөтгөлийг эргэн санацгаая: N є Z є Q є R.

Үүнийг доорх диаграмаар хамгийн сайн дүрсэлсэн болно.

Байгалийн (N)

Тэг

Сөрөг бус тоо

Сөрөг тоонууд

Бутархай тоо

Бүхэл тоо (Z)

Оновчгүй

Рациональ (Q)

Бодит тоо

2. Бага ангид бүхэл тоон илтгэгчтэй тооны зэрэглэлийн тухай ойлголтыг тодорхойлсон. a) А) натурал, б) сөрөг бүхэл тоо, в) тэг илтгэгчийн тодорхойлолтыг санаарай.илэрхийлэл гэдгийг онцлон a n a=0 ба n≤0-ээс бусад бүх n бүхэл тоо болон a-ийн дурын утгуудад утга учиртай.

б) Бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэглэлийн шинж чанарыг жагсаа.

3. Аман ажил.

1). Тооцоолох: 1 -5 ; 4 -3; (-100 ; (-5) -2; (1/2) -4; (3/7) -1 .

2). Үүнийг сөрөг илтгэгчтэй зэрэглэлээр бичнэ үү.

1/4 5 ;1/21 3 ; 1/х 7; 1/а 9.

3).Нэгжтэй харьцуулах: 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .

4 . Одоо та 3-р илэрхийллийн утгыг ойлгох хэрэгтэй 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 гэх мэт. Үүнийг хийхийн тулд зэрэглэлийн бүх шинж чанарыг хангахуйц хэмжээнд зэрэглэлийн тухай ойлголтыг нэгтгэх шаардлагатай. Тэгш байдлыг авч үзье (a m/n ) n = a m . Тэгвэл n-р язгуурын тодорхойлолтоор а гэж үзэх үндэслэлтэйм/н a-ийн n-р үндэс болном . Рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн тодорхойлолтыг өгсөн болно.

5. Сурах бичгийн 1, 2-р жишээг авч үзье.

6. Рационал илтгэгчтэй зэрэг гэдэг ойлголттой холбоотой хэд хэдэн тайлбар хийцгээе.

Тайлбар 1 : дурын a>0 ба рационал тоо r-ийн хувьд a тоо r >0

Тайлбар 2 : Бутархайн үндсэн шинж чанараар m/n рационал тоог дурын натурал k тоонд mk/nk гэж бичиж болно. Дараа ньзэрэглэлийн утга нь оновчтой тоог бичих хэлбэрээс хамаарахгүй; a mk/nk = = nk √a mk = n √a m = a m/n тул

Тайлбар 3: Хэзээ a Үүнийг жишээгээр тайлбарлая. (-64) 1/3 = 3 √-64 = -4. Нөгөө талаас: 1/3 = 2/6, дараа нь (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. Бид зөрчилдөөнийг олж авдаг.